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第十三章 立体几何初步
13.2.1 平面的基本性质
1. 理解点、直线、平面之间的位置关系；
2. 理解并掌握关于平面的三个基本事实及推论，并能解决有关问题.
问题1：如果将“冰立方”的外形建筑近似看成是一个长方体，那么这个长方体的 8 个顶点、12 条棱对应所在的直线、6 个面对应所在的平面间的位置关系有哪些
问题 2：生活中经常看到用三角架支撑照相机、自行车脚撑等，请问为什么它们可以稳定的支撑物体？
由于三个支点在同一个平面上且不共线，保证了三角支架的稳定性
上述经验和类似的事实可以归纳为以下基本事实：
A
C
B
简记为：不共线的三点确定一个平面.
符号语言：A，B，C 三点不共线 存在唯一的平面 α 使 A，B，C ∈α.
作用：确定一个平面的依据！
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
唯一性
存在性
问题3：如果直线 l 与平面 α 有一个公共点 P，直线 l 是否在平面 α 内？如果直线 l 与平面 α 有两个公共点呢？
α
l
A
B
在实际生活中，握笔写字时，笔尖一点落在纸上，但整只笔并不在纸上；如果一根直尺边缘上的任意两点在桌面上，那么直尺的整个边缘就落在了桌面上，由此可以得出一个点确定不了平面。
上述经验和类似的事实可以归纳为以下基本事实：
符号语言：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l α.
作用：判定直线在平面内的依据.
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
空间中点、直线和平面的位置关系表示
问题 4：如图，把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
B
假设三角尺所在的无限延展的平面，穿越了课桌面，可以想象，两个平面相交于一条直线。
B
α
上述经验和类似的事实可以归纳为以下基本事实：
符号语言：P∈α，P∈β α ∩ β = l，且 P∈l.
作用：判定直线在平面内的依据.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
问题 5：利用基本事实1 和基本事实 2，再结合“两点确定一条直线”，还能得到哪些确定一个平面的方法？
推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面.
α
a
A
B
C
α
α
b
a
b
a
P
推论3：两条平行直线确定一个平面.
推论2：两条相交直线确定一个平面.
例 1：如图，已知：A∈l，B∈l，C∈l，D l.
求证：直线 AD，BD，CD 共面.
分析：因为直线 l 和点 D 可以确定平面 α，所以只需证明 AD，BD，CD 都在平面 α 内即可.
证明：因为 D l，所以 l 与 D 可以确定平面 α（推论 1）.
因为 A∈l，所以 A∈α；又 D∈α，所以 AD α（基本事实2）.
同理，BD α，CD α，所以 AD，BD，CD 在同一平面 α 内，即它们共面.
例 2：如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，P 为棱 BB1 的中点，画出由 A1，C1，P 三点所确定的平面 α 与长方体表面的交线.
分析：因为点 P 既在平面 α 内又在平面 AB1 内，所以点 P 在平面 α 与平面 AB1 的交线上.
同理，点 A1 在平面 α 与平面 AB1 的交线上.
因此，PA1 就是平面 α 与平面 AB1 的交线．
作法：如图，连接 A1P，PC1，A1C1，它们就是平面 α 与长方体表面的交线．
根据今天所学，画出知识框图.
平面的基本性质
推论 1
推论 1
推论 3
基本事实 2
基本事实 1
基本事实3
空间中点、线、面的位置关系

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