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第1-3章综合自检卷-2025-2026学年数学七年级下册浙教版（2024）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各式是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，点、、、、、、都为格点（方格纸中小正方形的顶点），若，则点N可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
5．用代入法解二元一次方程组时，将方程①代入②中，通过消去未知数y，将方程组转化为一元一次方程求解，这一过程体现的数学思想是（ ）
A．建模思想 B．化归思想 C．数形结合思想 D．类比思想
6．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．《九章算术》中关于“盈不足术”的记载，其译文为：有几人去买鸡，每人出9钱，余11钱；每人出6钱，差16钱．问人数和鸡价各多少？设有人买鸡，鸡的价格为钱，根据题意，列出方程组（ ）
A． B． C． D．
8．武汉市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是共享单车示意图，．已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将一张正方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有四块是边长都为的小正方形，中间一块是边长为的大正方形，剩余四块均是宽为，长为的小长方形，且．若每块小长方形的面积是3，五个正方形的面积和为13，则所有裁剪线（虚线部分）长度之和为（ ）
A．10 B．13 C．16 D．20
10．已知关于，的方程组，下列四个结论中正确的是（ ）
①当时，该方程组的解也是方程的解；
②存在有理数，使得；
③当时，；
④不论取什么数，的值始终不变．
A．①② B．②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
11．近年来，我国科研团队成功研发出一种革命性二维金属材料：厚度仅为头发丝直径的0.000005倍．将数0.000005用科学记数法表示为_________．
12．已知，，，则的大小关系是_________（用“<”连接）．
13．如图，不添加辅助线，请写出一个能判定的条件________．
14．已知是二元一次方程组的解，则的值是____．
15．已知直线，现将一个含角的直角三角板如图放置，点P，N分别在直线，上，，，作的角平分线，直线交于点Q，点E是直线上一定点，过E作直线与三角板的一条直角边所在的直线平行，交直线于点F，若，则________．（用含α的代数式表示）．
16．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：今有黄金八枚，白银一十三枚，称之重，适等．交易其一，金轻九两．问金、银一枚各重几何？大意是说：八枚黄金与十三枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻九两，问：每枚黄金、白银重量各为多少？设一枚黄金的重量为两，一枚白银的重量为两，则所列方程组为__________．
三、解答题
17．解下列方程组：
(1)
(2)
18．先化简，再求值：，其中，满足．
19．如图，，的平分线交于点，交的延长线于点，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
20．已知关于x，y的方程组．
(1)请写出方程的所有正整数解；
(2)若原方程组的解满足，求m的值．
21．如图，已知：于D，于G，．求证：平分．
下面是部分推理过程，请你将其补充完整：
∵于D，于G（已知），
∴，
∴（_________），
∴（_________），_________（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（_________），
∴平分（_________）．
22．某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计共需要购买足球的有名同学，需要购买跳绳的有名同学．
(1)请根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价；
(2)由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球个和跳绳根其中，恰好用了元，其中足球每个进价为元，跳绳每根的进价为元，则有哪几种购进方案？
(3)假如（2）中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与（1）中的售价相同，为了使销售获利最多，应选择哪种购进方案？
23．已知直线，为平面内一点，连接、．
(1)如图1，已知，，求的度数；
(2)如图2，判断、、之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数．
24．定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为．
(1)方程的“亲密方程”为__________；
(2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，求与它的“亲密方程”组成的方程组的解；
(3)若（2）中方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值．
25．对于一个图形，通过不同的方法计算其面积可得到一些数学等式．在整式乘法的学习中，我们常借助几何图形对等式进行直观解释．如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线等分成4块小长方形．
(1)将其中2块小长方形置于一个边长为的正方形框内，摆放如图2所示．用两种不同的方法表示空白部分面积，可得到的数学等式为______________；
(2)如图3，将4块小长方形拼成一个“回形”正方形．用两种不同的方法表示空白部分面积，可得到的数学等式为_________________；
(3)应用上述结论解决下列问题：
①若，，求的值；
②如图4，点是线段上一点，，，以为边作正方形，再以长度为边长作正方形，且点在上．若正方形与正方形两正方形的面积和为，直接写出图中阴影部分的面积．
《第1-3章综合自检卷-2025-2026学年数学七年级下册浙教版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D B B B B D D B
1．B
【分析】本题根据二元一次方程的定义判断选项即可，二元一次方程需要满足三个条件：含有两个未知数，含未知数的项的次数为1，是整式方程．
【详解】解：选项A：整理后为，只含有1个未知数，不符合定义．
选项B：，含有两个未知数和，所有含未知数的项的次数都是1，且属于整式方程，符合二元一次方程的定义．
选项C：，是分式，该方程不是整式方程，不符合定义．
选项D：，的次数为2，不符合“一次”的要求，不符合定义．
2．C
【分析】运用合并同类项、同底数幂的乘除、单项式乘多项式的运算法则，计算各选项结果后得到正确答案．
【详解】选项A：，不符合要求；
选项B：，不符合要求；
选项C：，符合要求；
选项D：，不符合要求．
3．D
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则逐一判断选项．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，A错误；
B、，B错误；
C、与不是同类项，不能合并，C错误；
D、，D正确．
4．B
【分析】根据平移的性质即可求解．
【详解】∵，观察图形可知，点是点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到的，点是由点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到的，
∴，
∴点可能是点．
5．B
【详解】代入法解二元一次方程组时，通过消元将陌生的二元方程组问题，转化为已经掌握解法的一元一次方程问题，
即将复杂问题转化为可解决的简单问题，符合化归思想的特征．
因为建模思想是建立数学模型解决实际问题，数形结合思想是结合数与形分析问题，
类比思想是根据两类对象的相似性推导结论，均不符合该过程．
6．B
【详解】解：长方形的长为，宽为
原长方形的水平边长为，竖直边长为
长方形先向右平移，再向下平移
阴影部分长方形的长为，宽为
阴影部分的面积为 ．
7．B
【分析】设有人买鸡，鸡的价格为钱，根据每人出9钱，余11钱可得方程，根据每人出6钱，差16钱，可得方程，据此列出方程组即可．
【详解】解：设有人买鸡，鸡的价格为钱，
由题意得，．
8．D
【详解】解：，
（两直线平行，内错角相等）．
，
．
9．D
【详解】解：根据题意得，，且，
∴
，
∴所有裁剪线（虚线部分）长度之和为．
10．B
【分析】通过对原方程组进行整体加减运算，可将结论中的表达式用含 的代数式表示，进而判断结论的正误．
【详解】解：原方程组为
判断①：当时，方程组变为
解得
将解代入得
故①错误；
判断②：对原方程组，由得
若，则，解得，是有理数，
故②正确；
判断③：对原方程组，由得，
若，则，解得，
故③错误；
判断④：对原方程组，由得
得，即无论取何值，的值恒为，
故④正确；
因此正确结论为②④．
11．
【分析】科学记数法的形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：0.000005用科学记数法表示为．
12．
【分析】均为的乘方，根据幂的乘方将的底数全部转化为，即可求出答案．
【详解】解：，
，
，
∵，
∴．
13．（答案不唯一）
【详解】解：若，那么（内错角相等，两直线平行）．
14．
【分析】先将方程组的解代入方程组，得到关于的二元一次方程组，再由加减消元法解方程组求出，再进行代数式求值．
【详解】解：由题意得，将代入，
则，
得，，解得，
将代入①得，，解得，
∴．
15． 或
【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义和三角板的有关知识点，解题的关键是熟悉分类讨论思想的应用．当时，得到，利用平行线的性质得到，结合三角板得，根据平角的定义得，再由角平分线得，再次利用平行线的性质得到即可；当时，有，结合平行线得，由平角得，利用角平分线得，再次利用平行线得即可．
【详解】解：①当时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴；
②当时，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴．
16．
【分析】本题考查二元一次方程组，根据题目给出的两个等量关系列出方程组即可．
【详解】解：八枚黄金与十三枚白银重量相等，得 ，
互换一枚，黄金重： ，
白银重： ，
互换一枚，黄金比白银轻 9 两，得 ，
方程组为 ．
17．(1)；
(2)
【详解】（1）解：，
得，
解得，
将代入②，得，
解得，
∴方程组的解为；
（2）解：原方程化简得，
得，
解得，
将代入①，得，
解得，
∴方程组的解为．
18．，．
【详解】解：
，
∵，，
又∵，
∴，，即，，
当时，原式．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（）利用平行线的性质和角平分线的定义可得，即得，即可求证；
（）利用平行线的性质得 ，利用角平分线的定义得 ，再根据角平分线的定义即可求解；
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
20．(1)；
(2)
【分析】（1）由x，y为正整数，从而可得方程的正整数解；
（2）先构建新的方程组，再解方程组求解x，y的值，再把x，y的值代入，再求解m的值即可．
【详解】（1）解：方程的所有正整数解：或；
（2）解：由题意得：，
解得，
把代入，
得： ，
解得．
21．同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等量代换；角平分线的定义
【分析】主要考查了平行线的判定与性质．结合同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等、两直线平行，同位角相等作答．
【详解】解：∵于D，于G（已知）
∴
∴，（同位角相等，两直线平行）．
∴，（两直线平行，内错角相等）．（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知）
∴，（等量代换）．
∴平分．（角平分线的定义）．
22．(1)足球和跳绳的单价分别为100元、20元
(2)有两种方案：方案一，购进足球15个，跳绳20根；方案二，购进足球18个，跳绳4根
(3)选方案一，购进足球15个，跳绳20根
【分析】（1）设足球和跳绳的单价分别为元、元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（2）由题意得：，根据，且、是正整数，进而求得的值，即可求解；
（3）根据（1）（2）的结论列出算式计算，即可求解．
【详解】（1）解：设足球和跳绳的单价分别为元、元，
由题意得： ，
解得： ，
答：足球和跳绳的单价分别为元、元；
（2）解：由题意得：，，
当全买足球时，可买足球的数量为：，
，且、是正整数
∴ 或
∴有两种方案：方案一，购进足球个，跳绳根；
方案二，购进足球个，跳绳根；
答：有两种方案：方案一，购进足球个，跳绳根；方案二，购进足球个，跳绳根；
（3）解：方案一利润：（元），
方案二利润：（元），
元元，
选方案一，购进足球个，跳绳根
23．(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）首先过点P作，则可得，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解；
（2）作，可得，根据平行线的性质，即可证得；
（3）先证明，利用（2）的结论即可求解．
【详解】（1）解：过点P作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，作，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴；
∴；
（3）解：设交于O，如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
由（2）得，
∴，
∴．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据“亲密方程”的定义即可得解；
（2）联立方程组，利用加减消元法求解即可；
（3）将解代入二元一次方程中，得到，，整体代入代数式化简求值即可．
【详解】（1）解：根据“亲密方程”的定义可得，方程的“亲密方程”为；
（2）解：由题意得：，
得，，
即，
，
，
，
将代入得，，解得，
，
，
，
方程组的解为；
（3）解：是方程的一个解，
，
，，
．
25．(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）根据正方形的面积公式来求解；
（2）根据正方形和矩形的面积公式来求解；
（3）①利用（2）的结果来求解；
②设，，则，且，根据题意得到，得出，进而根据阴影部分的面积为，即可求解．
【详解】（1）解：方法一：空白部分的面积为：；
方法二：空白部分的面积为：，
所以得到的数学等式为：．
（2）解：空白处正方形的边长为，外面正方形的边长为，
方法一：空白部分面积为，
方法二：空白部分面积为，
所以得到的数学等式为：．
（3）解：①，，
，
．
②∵，，
∴设，，则，且，
∵正方形与正方形两正方形的面积和为，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵阴影部分的面积为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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