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压轴专题：直线与圆的方程-2026届高考数学押题专项
1．已知函数，点均为曲线图象上的点，且，，.
（1）当时，证明：是等比数列；
（2）求的取值范围；
（3）证明：直线的斜率随的增大而增大.
2．已知的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，被直线l：截得的弦长为2.
（1）求的方程；
（2）设点D在上运动，且点满足，（O为原点）记点的轨迹为.
①求曲线的方程；
②过点的直线与曲线交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
3．平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的非负半轴上，直线与圆相切.
（1）求圆的方程；
（2）设，过点作斜率为的直线，交圆于、两点，设、是圆与轴的两个交点（在的上方）.
①求四边形面积的最大值；
②证明：直线与的交点在定直线上.
4．已知直线相交于点M，且它们的斜率之积是点M的轨迹记为
（1）求轨迹C的方程；
（2）设是线段AB的从左至右的两个三等分点.
（）试比较与的大小，并说明理由；
（）若直线分别与曲线C相交于另一点E和F，直线与C交于另一点G，求证：直线经过一定点.
5．已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为．
（1）求轨迹的方程．
（2）直线与分别与轨迹交于点和点（与同向），且，线段与交于点，线段与的中点分别为．
（ⅰ）求证：三点共线；
（ⅱ）若，，求四边形ABCD的面积．
6．已知点，直线，，，.
（1）若这三条直线不能围成三角形，求实数的值；
（2）点关于直线的对称点为，求的取值范围.
7．已知函数，．
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）当时，求的解集；
（3）若函数图象上有三个点，，，并且从左到右横坐标成等差数列，判断曲线在点处的切线斜率与，两点连线斜率的大小关系．
8．已知圆和点
（1）过点M作圆O的切线，求切线的方程；
（2）已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值 若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由；
（3）过点M作直线l交圆O于两个不同的点C，线段CD不经过圆心，分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程.
9．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程；
（3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值.
10．已知在平面直角坐标系中.
（1）若圆与轴，轴及线段都相切，用表示圆的半径；
（2）若，求的最小值；
（3）判断以下两个命题的真假并说明理由.
命题1：若两个直角三角形的面积比等于周长比的平方，则这两个直角三角形相似；
命题2：若两个三角形的面积比等于周长比的平方，则这两个三角形相似.
11．直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
（1）圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式；
（2）若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程；
（3）在（2）的条件下，过直线上的动点作曲线的两条切线，切点分别为，求原点到直线的距离的最大值.
12．在平面直角坐标系中，已知圆和圆．
（1）求圆O与圆C的外公切线的长；
（2）过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设．
①求的值；
②求圆心C到直线AB的距离的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：由，
得，
因为，
所以，
则数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）解：由，
得，
则，
因此数列与分别是以与为首项，6为公差的等差数列，
则，
由，，
得，.
则等价于对于任意成立，
即，
即，
即，
解得，
由点均为图象上的点，且，
得，
所以的取值范围是.
（3）证明：因为直线的斜率.
任取，设函数，
求导得
令函数，
求导得，
当时，；当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，
则，
所以函数在和上都单调递增，
因为数列单调递增，
取，而，
则，
取，而，
则，
所以，
则直线的斜率随单调递增．
2．【答案】（1）解：由题意，可设圆的圆心的坐标为，
圆的圆心在直线上，
，
解得：，
则圆C的圆心C为，
圆心到直线的距离为，
设圆的半径为r，
圆C的弦长为，
由，
得，
所以圆的标准方程为.
（2）解：①设，
则，
由，得：，
所以
因为点D在圆上运动，
则
整理可得，点T的轨迹方程为：.
②当直线轴时，轴平分；
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，
联立，
化简可得，
因为方程的判别式为：，
设，，，
则
若轴平分，
则，
所以，
又因为，，
所以，
则，
所以，
则，
解得，
当时，能使轴平分.
3．【答案】（1）解：设圆心为，，则圆的方程为，
圆心到直线的距离，解得或（舍去），
所以圆的方程为.
（2）解：由（1）可知，，设的方程为，，，
联立，消去并整理得，
则，，
①四边形的面积，
令，则，所以，
易知函数在单调递增，所以当（即时），取到最小值，
此时面积取到最大值，故.
②证明：直线的方程为，直线的方程为，
消去得：，
由韦达定理可知，将此式代入上式得，，
即，解得，
即直线与的交点在定直线上.
4．【答案】（1）解：设
因为直线AM，BM的斜率之积是
所以
化简得.
（2）解：因为P，Q是线段AB的从左至右的两个三等分点，
所以
设的焦点坐标为
所以
则
所以为C的焦点.
因为
所以
则.
设
①当斜率存在时，不妨令直线
联立
化简得
因为与C的另一个交点为E，
所以
又因为
所以式可以化为则
所以，点
同理可得点
当轴，即当时
所以直线EG过x轴上点.
下证：三点共线，
因为
同理可得
又因为三点共线，
所以所以
则三点共线，
所以直线经过一定点；
②当轴时，则
所以此时
联立
解得，
所以直线交C于
则
综上所述，直线经过定点
5．【答案】（1）解动点到点的距离比它到直线的距离小，
点到的距离与到直线的距离相等，
则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以轨迹的方程为．
（2）（ⅰ）解：设，，，，
则直线的斜率为，，
直线的方程为，即，
直线的斜率为，，
直线的方程为，即，
，，，即，故．
又直线的斜率为，
直线的方程为，即，
令，得，
直线的斜率为，
直线的方程为，即，
令，得，
所以直线与的交点和直线与的交点重合，即为点．
所以三点共线；
（ⅱ）解：，，
，，得，
，
，
上面两式相减得，
由（ⅰ）知，即，，
过点作交于点，
，，，，，
则，
又，不妨设，则，
四边形是平行四边形，，
分别是的中点，，，
，，
设的边上的高为，的边上的高为，则，
，，
，
，，，
．
6．【答案】（1）解：因为已知三条直线不能围成三角形，所以或或三条直线交于一点，
①当时，，解得；
②当时，，解得；
③当三条直线交于一点时，由，解得，即与相交于点，
因为也过，即，解得.
综上所述， 实数的值为或1或.
（2）解：因为直线，所以，
令，解得，
即直线恒过点，
又点与点关于直线对称，
即，
所以点在以为圆心，为半径的圆上，
即点满足方程，
若直线斜率存在，则斜率，
过点，斜率为的直线，
设此时点的对称点，
即，解得，即，
综上所述，动点的轨迹方程为，且不包括点，
设点，，且，不同时成立，
所以，，
即，其中，，
所以，
即，
则.
7．【答案】（1）解：由，，
令，得或，
因为，则，
令，解得或，
所以的单调增区间为和.
（2）解：当时，，且，
因为，
所以在上单调递增，
所以的解集为.
（3）解：设，，，
且，，
因为曲线在点处切线斜率为，
所以两点连线斜率为：
，
，
令，
则，
令，，
则，
令，
，
则在上单调递减，
，则，
所以在上单调递减，故，
，
又因为，则，
所以，则，
所以曲线在点处切线斜率小于两点连线斜率.
8．【答案】（1）解：当切线斜率不存在时，显然与圆相切，
当切线斜率存在时，设切线为，
由圆心到切线的距离为1，所以，解得，
则，整理得，
综上所述，切线的方程为和
（2）解：由题意，若，
则，整理得，
若存在，使为定值，
因为，，
则，
整理得，
即，
整理得，
要使为定值，则，
得，，或，，，
综上所述，存在定点，定值，或定点，定值
（3）证明：设，，，
，，
由，则，
即，
因为，故，
同理，
所以直线CD为，
又因为M在直线CD上，
所以，
故点E在直线上.
9．【答案】（1）解：设圆的方程为，圆心为，
由直线与圆相切于点，
则，解得，
故圆的方程为；
（2）解：设圆心到直线的距离为d，因为，所以，解得，
①当直线斜率不存在时，，满足到直线的距离；
②当直线斜率存在时：设方程：，即，
，整理得，解得，
则，即，
综上：直线的一般式方程为或；
（3）解：由题意知，，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
由，得，解得或，则点A的坐标为，
又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为，
由题可知：，
，
因为，同理，
所以，
当且仅当时等号成立，故的最大值为.
10．【答案】（1）解： 圆内切于，所以，可得，
圆旁切于，设圆心，直线，所以，
左右平方化简得出，所以，
所以
（2）解： 方法一：设的旁切圆的圆心为，
由（1）可知，因为，所以恒过点，
点恒在圆外或圆上，所以，即，解得或（舍），
所以的最小值为10.
方法二：设，
因为，，可设，，
因为，则，，
，，
，，解得或，
由知，，，舍去，因此，
即的最小值为10
（3）解： 命题1正确，命题2错误.
对于命题1涉及三角形面积与内切圆半径联系起来，
记的面积为，周长为，内切圆半径为，旁切圆半径为，
记的面积为，周长为，内切圆半径为，旁切圆半径为，
，，又，
若即，
两圆心均在上，且直线为与的公切线，与相似（此时），
设，则
得：，，
，代入①得：
，，
，，
，，
同时除得，，
（舍）或，
，，因为，
的值由比值确定，但两个对应的三角形是相似的.
对于命题2：点在椭圆上，焦点的周长，面积，
点在椭圆上，焦点的周长，面积，满足，
由焦半径公式计算得到，，
，，
与三边无论如何都不能成比例，所以与不相似.
11．【答案】（1）解：易知圆的圆心，半径为，
由题意可得：直线族是圆的切线，
则，整理可得满足；
（2）解：将点代入，可得关于的方程，
因为点不在直线族上，所以方程无实数解，
所以，那么，故，
因为区域的边界为抛物线，
下证：是的包络曲线．
证明：联立直线与，可得，
所以，
故直线族：为抛物线的切线，
因此直线族的包络曲线的方程为；
（3）解：由（2）得曲线的方程为，
设在直线上，则，即，
设，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，消元整理可得，即，
因为直线与相切，所以，即，
因为，所以，，解得，
所以直线的方程为，化简得，
同理可得直线的方程为，
因为点在切线上，所以，
所以直线的方程为，即，
将代入，
得，化简得，
则原点到直线的距离，
设，则，，，
当时，，则重合，不符合题意，所以，
，
令，则，
对于二次函数，其对称轴为，
则时，的最小值为，
所以有最大值，则的最大值为.
12．【答案】（1）解：因为圆C的圆心，半径为，
又因为圆O的圆心，半径为，
所以，
则外公切线长为．
（2）解：①设点，则满足，
所以，
所以
，
因为，
所以，
则．
②设点，以为直径的圆方程为，
则，
所以两圆的公共弦所在的直线方程为．
则圆心到直线AB的距离为，
又因为点在圆上，
所以，，
所以，
设，且，
由对勾函数在单调递减，在单调递增，
则的最小值为，
所以，
，
则最大值为，
所以的取值范围为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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