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压轴专题：指数函数与对数函数-2026届高考数学押题专项
1．已知函数，．
（1）求的值；
（2）已知．
①判断并证明的奇偶性和单调性；
②设为的零点，且满足，求满足条件的的个数．
2．已知函数.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的奇偶性；
（3）设关于的方程有两个不同的实根，求的取值范围.
3．已知函数.
（1）若函数有4个零点，，，（），求与；
（2）是否存在非零实数和闭区间，使得函数在上的值域为？若存在，求出的取值范围.若不存在，请说明理由.
4．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（）
（1）若，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少？
（2）若雄性候鸟的飞行速度为，雌性候鸟的飞行速度为，那么此时雄性候鸟每分钟的耗氧量是雌性候鸟每分钟的耗氧量的多少倍？
5．已知
（1）当时，解关于的不等式；
（2）已知有四个零点，且，求；
（3）当时，求的最大值，最小值.
6．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：
时间/min 0 1 2 3 4 5
水温/℃ 100.00 92.00 84.80 78.37 72.53 67.27
设茶水温度从100℃开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型：
①（，）；
②（，，）；
③（，，）．
（1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前的数据求出相应的解析式；
（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）；
（3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，试判断进行实验时的室温为多少℃，并说明理由．（参考数据：，．）
7．对于定义域为的函数，如果存在区间.同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”.
（1）求证：，是函数的一个“优美区间”；
（2）函数是否存在“优美区间”？若存在，求出它的“优美区间”，若不存在，请说明理由.
（3）已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值.
8．若函数对于其定义域中任意非零实数，都满足，则称函数为“好玩函数”．已知．
（1）试判断，，是否是“好玩函数”．并说明理由；
（2）若，求的最小值；
（3）设函数，求证：在其定义域内有且仅有两个零点．
9．已知函数是定义在R上的奇函数.
（1）求的值；
（2）已知函数在上单调递增；
①判断在上的单调性（直接写结果，无需证明）；
②对任意，不等式恒成立时，求的取值范围；
（3）设函数，求在上的最小值.
10．某企业新研发了一款产品，通过对这款产品的销售情况调查发现：该产品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，该产品的日销售量（单位：个）与时间部分数据如下表所示：
5 10 15 20 25 30
105 110 115 120 115 110
（1）现提供两种函数模型：①；②，请你根据上表中的数据特征，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该产品的日销售量与时间的函数关系，并求出该函数的解析式；
（2）求该产品的日销售总收入（单位：元）的最小值.（注：日销售总收入日销售价格日销售量）
11．已知函数．
（1）求c的值；
（2）函数图象中心对称的事实：“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立，其中点称为函数图象的对称中心”．试应用上述事实判断函数的图象是否中心对称，若是，求出其对称中心的坐标；若不是，请说明理由；
（3）若对任意（其中），都存在，使得．求实数的取值范围．
12．若函数在定义域内存在区间满足以下条件：①函数在区间上是单调函数；②函数在区间上的值域为（为常数且），则称函数在定义域内为“闭函数”．
（1）当时，证明：为“闭函数”，并求出区间；
（2）当时，若函数是“闭函数”，求的取值范围；
（3）若定义在上的函数是“闭函数”，求实数的取值范围．
13．已知函数
（1）若是偶函数， 求a的值；
（2）当时， 证明：
（3）若， 记 ，函数
恰有3个零点，求实数的取值范围．
14．设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“T区间”．
性质1：对任意，有；
性质2：对任意，有．
（1）分别判断区间是否为下列两函数的“T区间”；
①；
②；
（2）若是函数的“T区间”，求m的取值范围；
（3）已知定义在R上且图象连续不断的函数满足：对， ，有．求证：存在“T区间”，且使得不属于的所有“T区间”．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：根据题意，，
由平方差公式，得：，
代入，，
得：
则.
（2）解：①因为，
所以，
又因为定义域为，所以，函数为奇函数，
因为，
同时乘以，得：，
则随着的增大而增大，减小，
所以，函数在上单调递增.
②因为，函数零点为，，
则，
所以，不等式为：，
代入，得
注意到为奇函数，则，
又因为为偶数，设，则，
不等式化为
由，
得
又因为函数单调递增，
则
对应，共个；
又因为为奇数，设，则，
不等式化为：
由，
得
由函数单调递增，可得：
解为，
则，共个，
所以，满足条件的的个数为.
2．【答案】（1）解：；
（2）解：函数是奇函数.
证明：因为的定义域为，
所以任取，则，
所以，
所以函数是奇函数；
（3）解：由（2）知是奇函数，所以
又因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以方程在上有两个不同的实根，
即在上有两个不同的解.
令，则在上有两个不同的正解，
即直线与函数的图象有两个不同的交点，
画出与的图象，
如图所示，可得，
所以实数的取值范围为.
3．【答案】（1）解：因为函数有4个零点，
所以方程有4个不同的解，
于是方程都各有两个不同的解，
即方程各有两个实数根，
所以，；
（2）解：因为函数在上都是增函数，
所以函数在是增函数，
又当时，，
则当时，，当时，，
故，
所以在上单调递减，在上单调递增，
①函数在上不单调，则有，且，
由于，所以，与假设矛盾；
②时，则函数在上单调递增，
有，即，
所以，
所以是一元二次方程的两个不相等的实数根，
记，
有，所以；
③当时，则函数在上单调递减，
应有，即，
两式相减整理得，所以；
两式相加得，
整理得，
又，
所以
所以，
所以，
所以，与矛盾，满足条件的实数不存在.
综上所述，实数的取值范围是，
所以存在，实数的取值范围是.
4．【答案】（1）解：将代入函数式可得：，
故此时候鸟飞行速度为．
（2）解：设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为，
依题意可得：，两式相减可得：，于是．
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍；
5．【答案】（1）解：当时，，
当时，，解得；
当时，，解得，
综上可得，不等式的解集为；
（2）解：由题可得，即有4个根，
即方程或，
由对称性得，
则；
（3）解：，
当时，，故，
同理，当时，，
（i），
（ii），
当时，，
（i），
（ii），
综上所述：当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
6．【答案】（1）解：选择②（，，）作为函数模型．
由表格中的数据可知，当自变量增大时，函数值减小，所以不应该选择对数增长模型③；
当自变量增加量为1时，函数值的减少量有递减趋势，不是同一个常数，所以不应该选择一次函数模型①．
故应选择②（，，）
将表中前的数据代入，得，解得，
所以函数模型的解析式为：．
（2）解：由（1）中函数模型，有，即，所以，
即，
所以刚泡好的乌龙茶大约放置能达到最佳饮用口感．
（3）解： 由为减函数，且当x越大时，y越接近20，考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，
所以乌龙茶所在实验室的室温约为20℃．
7．【答案】（1）证明：函数在，上单调递增，所以，（2），
即，，由题“优美区间”的定义可知，，是函数的一个“优美区间”.
（2）解：假设，是函数的一个“优美区间”，的定义域为，
所以，或，，又在，上单调递减，
所以，
又，即，不符，所以不存在“优美区间”.
（3）解：定义域为，假设，或，，
在，上单调递增，又，是函数的“优美区间”，
所以，，所以，是方程，即的两个同号且不等的实数根.
所以，解得或，又，
所以，
所以当时，取得最大值为.
8．【答案】（1）解：，所以是“好玩函数”．
，
所以是“好玩函数”．
由，则或，而，
当或时无意义，
所以不是“好玩函数”．
（2）解：因为，
所以在上单调递增，
由（1）知，，所以，
又，所以，
所以．
，
当且仅当即时等号成立．
所以，的最小值为12．
（3）证明：因为，
在上单调递增，在上单调递增．
又，
由零点存在性定理知，，
所以在上有且只有一个零点．
又
所以是“好玩函数”，，
所以，
故也是的零点，
所以在和各有一个零点，
即在定义域内有且只有两个零点．
9．【答案】（1）解：函数是定义在R上的奇函数，
，即，解得.（经检验满足题意）
（2）解：①函数在上单调递增，理由如下：
因为在单调递增，又为奇函数，
故函数在上单调递增；
②函数在R上单调递增，且为奇函数，
等价于
对任意，不等式恒成立，
即，对任意恒成立，即，
，解得，
的取值范围是.
（3）解：令，则，
当，时，.
，，
，，
二次函数开口向上，对称轴为，
在区间上单调递增，
，
即在上的最小值为.
10．【答案】（1）解：根据表格数据，的函数值关于对称，故选择合适，
又，，
解得，故，验证均满足，
所以.
（2）解：
，
当时，，
当且仅当，即时等号成立；
当时，在上单调递减，
故最小值为.
综上所述：当时，有最小值为元.
11．【答案】（1）解：函数，因为，所以，解得；
（2）解：假设函数图象关于点对称，则在定义域内恒成立，
整理得恒成立，
则，解得
故的图象关于中心对称，对称中心为；
（3）解：对任意，都存在，使得，
则，即，即，
即，则，
因为，则，
因为，所以，
所以，即，解得，
故实数的取值范围为．
12．【答案】（1）证明：因为函数在区间上单调递增，
若函数是闭函数且，
则当时，函数在上的值域应为，
且，
因为，
所以解方程得，，
则在区间上单调递增，且值域为，
所以为“闭函数”，
则所求区间为．
（2）解：因为在上单调递减，
当时，若函数是“闭函数”，
则，且，
两式作差，得：，
所以，
则，
所以，
同理可得，
所以，为方程在区间上的两个不相等的非负实根，
则，
解得．
（3）解：因为，
当，在区间上单调递减，
所以，
则，
消去，得，与矛盾；
当，，在区间上单调递增，
所以，
则，
所以方程在上有两个不相等的实数根，
则在上有两个不相等的实数根，
令，
则在单调递增，
在单调递减，
所以，，
则的取值范围为．
13．【答案】（1）解：因为是偶函数，，即．
，所以．
（2）证明：因为，所以，
当且仅当时等号成立，所以原结论成立.
（3）解：因为在上单调递增．恰有三个零点等价于方程恰有三个根，结合的单调性可知，y有三个零点等价于方程恰有三个根．
当时，，即是方程的一个根．
记，原问题等价于函数恰有两个零点，
．
①当时，不符合题意．
②当时，恒成立；
对于，当时，恒成立，此时无零点，
当时，单调递减且图象过点，此时恰有一个零点，
时，恰有一个零点，不合题意．
③当时，
（i）当，函数，
若时，则，函数零点为，
若时，则，对称轴为，且的图象过定点，，恰有两个零点．
若时，则中，此时函数没有零点．
（ii）当时，函数的图象过定点，对称轴，
若时，则函数图象开口向上，此时函数恰有一个零点，
若时，则函数图象开口向下，对称轴，此时函数没有零点．
若时，此时函数没有零点．
（iii）当时，函数的图象过定点．
若时，则函数图象开口向上，对称轴，此时函数没有零点，
若时，则函数图象开口向下，此时函数恰有一个零点．
若时，此时函数没有零点．
综上所述，当时，恰有三个零点.
14．【答案】（1）解：时，，满足性质1，
故为的一个“T区间”；
由对勾函数性质得在上单调递增，
且时，，当时，，
故的值域为，
由于与的交集为，不满足性质1，也不满足性质2，
故不是的一个“T区间”；
（2）解： 若，在上单调递增，
又，故，
由题意得，即，解得或，
与取交集，得到，
若，在上单调递减，在上单调递增，
故，
其中，
若，即，与取交集得，
此时，故，满足要求，
若，即或，与取交集得，
此时，故，
由于，，显然不能满足性质1和性质2，
所以不合要求，舍去，
综上，；

（3）证明： 对于任意的区间，，记，
由题意，，故在上单调递减，
故，
因为，所以，，
即的长度大于的长度，不满足性质1，
因此，如果为的“T区间”，需满足性质2，即，
即只需存在使得，或存在使得，
因为显然不恒成立，所以存在常数，使得，
若，取，区间，满足性质2，
若，取，区间满足性质2，
综上，一定存在“T区间”，
记，则的图象在R上连续不断，下证有零点，
因为在R上为减函数，所以在R上为减函数，记，
若，则为的零点，
若，则，即，，
由零点存在性定理，可知存在，使得，
若，则，即，，
由零点存在性定理，可知存在，使得，
综上，有零点，
因为的所有“T区间”都满足性质2，故，
故使得不属于的所有“T区间”．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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