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压轴专题：导数及其应用-2026届高考数学押题专项
1．已知函数，其中．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，其中，若存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围．
2．已知函数.
（1）证明：存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值.
（2）当时，讨论零点的个数.
（3）当的零点个数最多时，证明：的零点之和大于3.
3．已知函数.
（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围；
（3）设，若函数与共有4个不同的零点，是否存在实数，使得这4个零点在调整顺序后成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
4．已知函数．
（1）若，证明：．
（2）设有两个零点．
①求的取值范围；
②证明：．
5．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，讨论函数的单调性；
（3）若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数m的最大值．
6．函数，.
（1）若在上单调递减，求a的取值范围；
（2）若曲线与在处有相同的切线，
（i）求a的值；
（ⅱ）若，证明：.
7．已知实数，函数．
（1）当时，试比较和的大小，并说明理由：
（2）若时，，求的取值范围；
（3）设正项数列的前项和为，若，且，求证：．
8．已知函数，．
（1）证明：当时，
（2）若是的极大值点，求的取值范围．
（3）若，且，其中，证明：．
9．设，，.已知函数在处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）当时，不等式是否恒成立，若是，给予证明；若否，给出反例.
（3）证明：若正实数满足，，则必有．
10．已知函数．
（1）若，求在区间上的最值；
（2）若在区间上单调递增，求的取值范围；
（3）若，函数，证明：有且仅有2个零点，且2个零点之和小于．
11．已知函数，，.
（1）判断是否对恒成立，并给出理由；
（2）证明：
①当时，；
②当，时，.
12．已知函数.
（1）若，求的值；
（2）已知数列满足，且.
（i）证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
（ii）设的前项积为，为整数，若对任意的正整数都有，求的最小值.
参考数据：，，.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：由，
可得，
因为为严格单调递增函数，且，
所以，
解得，
所以实数的取值范围为.
（2）解：因为，
所以，，
由，
可得，，
当时，，在上单调递增，不合题意；
当时，，
则当或时，，
当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值，
此时，不存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点；
当时，，
则当或时，，
当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值，
则的极小值，
当时，，
所以存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点.
综上所述，实数的取值范围.
2．【答案】（1）证明：函数定义域为，，
由，得，，
则存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值；
（2）解：当时，由，得或，
构造函数，则，
令，得，则在上单调递减，
令，得或，则在上单调递增，在上单调递增，
当时，，
若，则，若，则，
当时，，若，则，若，则，
当时，方程只有一个非零实数解，则有两个零点；
当时，方程有两个非零实数解，则有三个零点；
当时，方程有三个非零实数解，则有四个零点；
（3）证明：由（2）知，当时，的零点个数最多，
且0为其中一个零点，不妨设，
且，，等式两边同时取对数并整理得，，
设函数，则，
，则在上单调递增，
因为在上单调递增，且，所以，
要证，只需证，即证，
因为，且在上单调递增，
所以只需证，即，
令函数，，
则，
所以在上单调递减，则，
即，故，
故当的零点个数最多时，的零点之和大于3.
3．【答案】（1）解：当时，函数，求导可得，，，
则的图象在处的切线方程为，即；
（2）解：由，
当时，令，在上递减，最多一个零点，与题意不符；
当时，令，则，则当，；当，，
所以在单调递增，在上单调递减，
故，且，.
故有两个零点，即，则，即实数的取值范围为；
（3）解：由于，所以与的零点个数相同，
依题意共有4个不同的零点，所以与各有两个零点，
不妨设的两个零点为，，的两个零点为，，
则有，
因为，得①，
所以②，
又，则，，若四个零点成等差数列，则有两种情况：
（1）当时，即，，，成等差数列，则有③，
由②③得，
代入①得，④，
又⑤，
将④代入⑤式可得，
由等差数列性质及，可得，从而有，
可得，解得，，这与④矛盾，故实数不存在；
（2）当时，即，，，成等差数列，则③，
由②③得，同理得，④，
又⑥，
将④代入⑥式可得，
代入③可得，解得，，
这与④矛盾，故实数不存在，
综上所述，不存在实数使得四个零点成等差数列.
4．【答案】（1）证明：因为，，所以，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
则，则；
（2）解：①、由，可得，
令，则，
令，显然在上单调递增，且，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，则，
当时，，且当时，，
因为，所以由有两个零点，可知的取值范围为；
②由①可知，，
要证，需证，即，
即，
令，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，则，即，
则，
令，则，
则在上单调递减，则，从而．
5．【答案】（1）解：当时，，求导可得，，则曲线在点处的切线方程为；
（2）解：，
令，则，
若，则，所以在上单调递增，所以，
若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故，
因此当时，，单调递减；当时，，单调递增；
（3）解：由（2）知时不符合题意；
当时，易知在上单调递减，在上单调递增，，且，，当时，，故存在，使，又，故，
则当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，故，为的两个极小值点，且满足，则，令，得，
则，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，，，，
故在内存在唯一零点，即，且当时，，，
则单调递减；当时，，，则单调递增，
故，
由，得，
故整数的最大值为2．
6．【答案】（1）解：函数在上单调递减，则，，
即，，因为，当且仅当时取等号，所以，
则a的取值范围是；
（2）解：（i）由，求导得，
由曲线与在处有相同的切线，得，即，解得，
此时曲线与在处的切线都为，符合题意，
则；
（ⅱ）由（1）及（i）知，函数在上单调递减，且，
，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，且，
当时，，而，不符合题意；
当时，，则，，因此，符合题意；
当，的取值集合为，而在的取值集合为，
在的取值集合为，因此能成立，
当时，；
当时，，，
令，求导得，
函数在上单调递增，，即，
因此，而，则，
又因为函数在上单调递增，所以，即，
故.
7．【答案】（1）解：当时，函数，则，
所以，
所以，所以；
（2）解：由题可知，因为，
所以原不等式等价于，即，
设，因为，，
令，，，
当时，，所以在上单调递减，
，也即在上单调递减，，所以不符题意；
当时，又，令，解得，
则时，，所以在上单调递减，
又因为，所以必存在，使得时，，
也即在上单调递减，，所以不符题意；
当时，，则时，，
所以在上单调递增，，
也即在上单调递增，，所以符合题意；
综上所述，a的取值范围为；
（3）证明：因为，所以，
即，又，
所以，
也即当时，，又，
所以，
由（2）可知，当时，，也即，
令，则，即，
故．
8．【答案】（1）证明：因，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以，故当时，．
（2）解：的定义域为，则，
记，则，则．
①若，即，则
令，则，所以在上单调递增，
当时，此时，则，故在上单调递增，不合题意；
②若，即，则必存在，使得当时，，则在上单调递增．
又，所以当时，，即在上单调递增，不合题意；
③若，即，同理可得，存在，使得当时，，
则在上单调递减．又，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以是的极大值点．
综上所述，的取值范围是．
（3）证明：由（1）知，当时，．
令，则，再令，
则．
令，，则．
所以．
由，得．
要证，只需证．
因为在上单调递减，所以只需证．
令，则，令，则，
易知在上单调递减．又，，
所以存在，使得，则在上单调递增，在上单调递减．
又，且在上单调递增，故在上大于0.
而在 上单调递减，且，故存在唯一的，使得.
则在上单调递增，在上单调递减．
又，，所以恒成立，
所以，则，所以．
9．【答案】（1）解：设，
则，
所以，
则，
所以，函数在处的切线方程为，
即，
与对照，知且，
所以.
（2）解：由（1）知，，
结论：当时，不等式恒成立.
证明如下：由，
得，，
设，
则，
令，
当时，，
所以在上单调递增，
因为，
所以，
则，
所以在上单调递增，
又因为，
所以
则
因为，
设，，
则，
令，
则，
所以在上递增，
又因为，
所以，
则在上单调递增，
又因为，
所以，
则，
所以，.
（3）证明：方法1：因为上单调递增，
则当时，必有，
由（2）知，当时，，
所以，
当时，则，
所以，
设，对称轴为，
欲证，
只需证，
即证，
即证，
即证成立，
所以，
由（2）知，
所以，
当时，则，
所以，
设，
因为在单调递增，
欲证，
只需证，
即证，
即证，
即证，
即证，
即证，
即证 成立，
所以，
综上所述，， .
10．【答案】（1）解：若，则，
令，
则，所以在区间上单调递增，
又因为，
所以在区间上恒成立，则在区间上单调递增．
由
所以在区间上的最大值为，最小值为．
（2）解：若在区间上单调递增，
则在区间上恒成立，
所以．
设，
则
因为，所以，则，
所以在区间上单调递增，
则，
所以的取值范围为．

（3）证明：若，则，
令，得，整理得．
令，
再令，则，
所以在区间上单调递增，
又因为
根据零点存在定理，存在唯一的，使得．
因此，当时，单调递减；当时，单调递增，
又因为
结合函数的单调性，在区间上单调递减，可知存在1个零点，
所以函数在区间上单调递增，可知函数存在1个零点；
当时，单调递增且，故无零点，
综上所述，有且仅有2个零点，则，
所以．
11．【答案】（1）解：恒成立，理由如下：
令，
则，令，
则在上恒成立，
故在上单调递增，其中，
故在上恒成立，则函数在上单调递增，
故，即恒成立.
（2）证明：①当时，单调递增，故，
又因为，故要证，
只需证，
令，
则只需证明，，
令，则函数在上单调递增，
所以，当时，，
所以，所以在上单调递减，
所以，故，
所以当时，.
②由（1）知，，
由于，
所以，
所以
。
12．【答案】（1）解：函数的定义域为，由题意可得，
若，则单调递增，当时，，不符合题意；
若，则，令，解得，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
此时为最小值，
若，则有，不满足题意，
若，则，故；
（2）解：（i）因为，
所以，即，
又，故是以首项为，公比为的等比数列，
故，得，
经检验时同样成立，故；
（ii）由，且，可得，
则即，
而，
又，
由（1）可得，则，当且仅当等号成立，
故，
故
，
故 ，所以，则，故最小值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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