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压轴专题：抛物线-2026届高考数学押题专项
1．设抛物线（为常数，且）的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，过点作的垂线，垂足为．
（1）若点的坐标为，求．
（2）设过，，三点可作椭圆，且的两个焦点均在轴上，记轴正半轴上的焦点为，且在的左侧．
（ⅰ）证明：的周长为定值．
（ⅱ）证明：的离心率大于．
2．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，过点的直线交抛物线于、两点，且.
（1）求证：为定值，并求出该定值；
（2）如图，点、在轴的同侧，，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围.
3．设抛物线与两坐标轴的交点分别记为M，N，G，曲线C是经过这三点的圆.
（1）求圆C的方程.
（2）过作直线l与圆C相交于A，B两点，
①用坐标法证明：是定值.
②设，求的最大值.
4．如图，P是抛物线E：y2＝4x上的动点，F是抛物线E的焦点．
（1）求|PF|的最小值；
（2）点B，C在y轴上，直线PB，PC与圆（x﹣1）2+y2＝1相切．当|PF|∈[4，6]时，求|BC|的最小值．
5．已知 为坐标原点， 为抛物线 ： 的焦点，点 在抛物线上，其中 ，弦 的中点为 ，以 为端点的射线 与抛物线交于点 ．
（1）若 恰好是 的重心，求 ；
（2）若 ，求 的取值范围．
6．在水平桌面上放一只内壁光滑的玻璃水杯，已知水杯内壁为抛物面型（抛物面指抛物线绕其对称轴旋转所得到的面），抛物面的轴截面是如图所示的抛物线.现有一些长短不一 质地均匀的细直金属棒，其长度均不小于抛物线通径的长度（通径是过抛物线焦点，且与抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线截得的弦），若将这些细直金属棒，随意丢入该水杯中，实验发现：当细棒重心最低时，达到静止状态，此时细棒交汇于一点.
（1）请结合你学过的数学知识，猜想细棒交汇点的位置；
（2）以玻璃水杯内壁轴截面的抛物线顶点为原点，建立如图所示直角坐标系.设玻璃水杯内壁轴截面的抛物线方程为，将细直金属棒视为抛物线的弦，且弦长度为，以细直金属棒的中点为其重心，请从数学角度解释上述实验现象.
7．如图所示，边长为2（百米）的正方形区域是某绿地公园的一个局部，环线是修建的健身步道（不计宽度），其中弯道段是抛物线的一段，该抛物线的对称轴与平行，端点是该抛物线的顶点且为的中点，端点在上，且长为（百米），建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题.
（1）求弯道段所确定的函数的表达式；
（2）绿地管理部门欲在弯道段上选取一点安装监控设备，使得点处监测段的张角最大，求点的坐标.
8．如图，已知抛物线 ，斜率分别为 ， 的直线 ， 过焦点 且交抛物线于 ， 两点和 ， 两点.
（Ⅰ）若弦 上一点 在准线上的投影为 ， ， ， 成等差数列，求抛物线 的方程；
（Ⅱ）若 ，直线 ， 的倾斜角互补，求四边形 面积的最大值.
9．如图，已知直线 是抛物线 的准线.过焦点 的直线 交抛物线于 ， 两点，过点 且与直线 垂直的直线交抛物线的准线于点 .
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求 的最大值，并求出此时直线 的方程.
10．设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， ，已知以 为圆心， 为半径的圆 交 于 两点；
（1）若 ， 的面积为 ；求 的值及圆 的方程；
（2）若 三点在同一直线 上，直线 与 平行，且 与 只有一个公共点，求坐标原点到 距离的比值.
11．已知是抛物线（>0）的焦点，抛物线上点A满足AF垂直于x轴，且．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）、是该抛物线上的两点，，求线段的中点到轴的距离；
（3）已知点H（1，1），直线过点与抛物线交于，两个不同的点均与点H不重合，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
12．已知抛物线，斜率为1的直线交于不同于原点的，两点，点为线段的中点.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，，设切线，的交点为
①求证：为直角三角形.
②记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：将点的坐标代入，得，解得，
抛物线的方程为，故，准线的方程为，则，
．
（2）证明：（i）设，，，则，
由题意知，，，
经过，两点，且这两个点的纵坐标相同，
由椭圆的对称性可得，的短轴必在线段的垂直平分线上，且的中心的横坐标．
又的焦点均在轴上，在轴上，即．
设的长半轴长为，则．
设的左焦点为，则，
则的周长．
，且，
，故的周长为定值．
（ⅱ）设的焦距为，离心率为，则．
由（ⅰ）知，为的右顶点，为右焦点，
则．
由在轴正半轴上可知，则，
．
设的短半轴长为，则，将点的坐标代入的方程，
并结合，得，
整理得，代入与，化简得，解得．
点在第一象限且为的右顶点，，即．
由知，，则．
要证，只需证，即证，即证，
的离心率大于．
2．【答案】（1）证明：如图所示
由已知可知直线，的斜率均存在且不等于0，
因，过点，可设的方程为，则的斜率为，
设与相交于，，
由，得，则，，
，
同理可得，
所以.
即=.
（2）解：设，，，，
因为，
所以直线，即.
同理：直线.
联立，解得.
设直线的方程为：，由对称性不妨设，，，
联立.
因为，解得，，，所以，
因为，
所以
，化简得：.
所以.
因为，
，
所以
.
，
因，故，可得，则，
故的取值范围为.
3．【答案】（1）解：设抛物线与x轴分别交于M，N，交y轴于点G，
令y=0，则，即，，0)，令x=0，则y=-3，则G（0．-3），
设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则，解得，
则x2+y2+2y-3=0，化为标准式为x2+（y+1)2=4；
（2）解： （i）证明：当直线l的斜率不存在时，则l方程为x=-1，
联立，可得或，
即，，则，，则|PA|·|PB|=2；
当当直线l的斜率存在时，设l方程为y=k（x+1），
联立直线与圆的方程，消去y可得（1+k2）x2+2（k2+k）x+（k2+2k-3）=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由根与系数的关系可得，，
且，
，
则
，是定值．
（ii）由（i）可知，当直线l的斜率不存在时，，，
且Q（0，-2），则，，则|QA|2+|QB|2=10；
当直线l的斜率存在时，设l方程为y=k（x+1），
则
，
当且仅当时，等号成立，
所以|QA|2+|QB|2的最大值为．
4．【答案】（1）解：P是抛物线E：y2＝4x上的动点，F是抛物线E的焦点（1，0），准线方程为x＝﹣1，
由抛物线的定义可得|PF|＝d＝xP+1，
由 ，可得d的最小值为1，|PF|的最小值为1；
（2）解：设 ，
则PB的方程为y x+m，PC的方程为y x+n，
由直线PA与圆（x﹣1）2+y2＝1相切，可得 1，
整理得（x0﹣2）m2+2y0m﹣x0＝0，
同理可得（x0﹣2）n2+2y0n﹣x0＝0，
即有m，n为方程（x0﹣2）x2+2y0x﹣x0＝0的两根，可得m+n ，mn ，
则|m﹣n| ，
由|PF|∈[4，6]，可得x0+1∈[4，6]，即x0∈[3，5]，
令t＝|2﹣x0|＝x0﹣2，t∈[1，3]，
即有|m﹣n| 2 在[1，3]递减，
可得t＝3即x0＝5时，|BC|＝|m﹣n|取得最小值 ．
5．【答案】（1）依题意，抛物线 ： 的焦点 ，设 ，
由 是 的重心，于是得 ， ，又 ，且 ，从而得 ，而 ，
所以 ；
（2）因 为弦 的中点，即 ，且 ，
因此， ，
因 、 、 三点共线，则有 ，
显然直线 斜率不为0，则设直线 ： ，
由 消去 得 ，而 ，
解得 ，其中 ，
则 ，
因为 ，从而得 对 递减，
所以 .
6．【答案】（1）解：根据通径的特征，知通径会经过抛物线的焦点达到静止状态，
则可猜想细棒交汇点位置为：抛物线的焦点或抛物面的焦点.
（2）解：解释上述现象，即证：当 （ 为抛物线通径）时，只要 过点 ，则 中点 到 的距离最小；
如图所示，记点 在抛物线准线上的射影分别是 ，
，
由抛物线定义知： ，
当 过抛物线焦点时，点 到准线距离取得最小值，最小值为 的一半，此时点 到 轴距离最小.
7．【答案】（1）如图建立平面直角坐标系，
则，
设抛物线的方程为，则，
∴，即，
∴弯道段所确定的函数；
（2）设，过P作PQ⊥CD于Q，
则，
∴，
令则，
∴，
当且仅当，即，时取等号，
∴当时，最大，即最大，
∴点的坐标为时，点处监测段的张角最大.
8．【答案】解：（Ⅰ）作 、 垂直于准线，垂足分别为 、 ，如图，
因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
所以点 为弦 的中点，
设点 ， ，则 ， ，
将点 ， 代入抛物线的方程可得 ，
作差得 即 ，所以 ，
又点 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以抛物线 的方程为 ；
（Ⅱ）当 时，抛物线 ，焦点 ，
设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，易知 ，
设点 ， ， ， ，
联立 ，消去x整理得 ， ，
所以 ， ，
同理 ， ，
所以 ，
点C到直线 的距离 ，点D到直线 的距离 ，
由题知 ， ， ，
所以
，
所以当 即 时，四边形 的面积取最大值，最大值为32.
9．【答案】（1）解：∵ 是抛物线的准线，∴ ，即
∴抛物线的标准方程为
（2）解：设直线 的方程为
与抛物线方程 联立，化简得：
设 ， ，则 ，
∴
将直线 ： 与直线 联立，得
∴ ，当且仅当 时取“=”．
此时直线 的方程为 ．
10．【答案】（1）解：由对称性知： 是等腰直角 ，斜边
点 到准线 的距离
圆 的方程为
（2）解：由对称性设 ，则 点 关于点 对称得： 得： ，直线 切点
直线
坐标原点到 距离的比值为
11．【答案】（1）解：由题知，又，所以+=，解得.
所以抛物线的方程为．
（2）解：，
．
线段的中点到轴的距离为．
（3）证明：设过点的直线的方程为，
即，
代入，得，
设，，
则，，
所以，
，
，
所以为定值．
12．【答案】（1）解：设直线的方程为，代入抛物线，
可得，设，，则
点为线段的中点，可得，即则抛物线的方程为.
（2）解：①设，，由，可得，则，
所以，两点处的切线斜率分别为，，
由，得，所以，，
所以，所以，即为直角三角形.
②由（1）知，即：，同理，
由直线，都过点，即，
则点，的坐标都满足方程，
即直线的方程为：，
又由直线过点，∴，
联立得，
∴，
点到直线的距离，
∴
∴
当且仅当时，有最小值4，此时
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