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压轴专题：三角函数-2026届高考数学押题专项
1．在中，角的对边分别为，已知
（1）求证：；
（2）若是锐角三角形，求的取值范围．
2．在中，内角的对边分别为，满足．
（1）证明：；
（2）若，，点为边上一点，为的平分线，求的值；
（3）若为锐角三角形，求的取值范围．
3．如图是函数图象的一部分．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间；
（3）记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值．
4．在锐角中，是角的对边，若满足.
（1）求角的大小；
（2）求取值范围；
（3）当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积的最大值．
5．已知是函数定义域的子集，若成立，则称为上的“函数”.
（1）判断是否是上的“函数”？请说明理由；
（2）证明：当（是与无关的实数），是上的“函数”时，；
（3）已知是上的“函数”，求的取值范围.
6．在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围；
（3）若是外一点（，分别位于两侧），且，，，，求的值．
7．已知函数的定义域为，现有下面两种对变换的操作：
变换：；
变换：，其中．
（1）若，，对进行变换后得到函数，解方程；
（2）若，，对进行变换后得到函数，解不等式；
（3）定义：先对进行变换得到函数；再对进行变换得到函数．设，．证明：无论是奇函数还是偶函数，函数的图象总关于直线对称．
8．已知将函数的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于轴对称.
（1）求；
（2）求的相位及其最小正周期；
（3）当时，求使得不等式恒成立的对应的取值范围.
9．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
（2）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
（3）记向量的相伴函数为，若当时不等式恒成立，求实数k的取值范围.
10．定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为.
（1）若，，求最大值及对应的取值集合；
（2）若向量的“积函数”满足，求的值；
（3）已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系.
11．定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量，
（1）若向量为函数的伴随向量，求；
（2）若函数为向量的伴随函数，在中，，且，求证：．
（3）若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围．
12．在锐角中，角的对边分别为，满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的取值范围；
（3）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小，”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点.若的面积为3，是否在内部存在费马点，使得为定值，若存在请求出该定值并说明理由，若不存在也请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：由余弦定理，得，
代入，得，
则，
由正弦定理，得
所以，
则，
得
由，知，
则，
所以或（舍去），
则.
（2）解：解法1：因为，
由，
得，
所以，则.
，
由，
得，，
所以，
则，
所以.
解法2：由，
得，
因为，
所以，
得，
所以，
则，
所以.
2．【答案】（1）证明：由，利用正弦定理得：，
又，
所以，
所以，
所以或，
所以或（舍去）
所以；
（2）解：由，可得，
又，所以，
又因为，所以，
又由为的平分线，所以，
所以，
所以，
又由余弦定理得：，即，
则；
（3）解：由（1），，可得，
由正弦定理得：，
因为为锐角三角形，所以，
所以，所以，则.
3．【答案】（1）解：由图可得，
函数的最小正周期为，又，
则，所以，
又函数过点，所以，则，
则，解得，
因为，所以，
所以．
（2）解：令，，解得，，
令，，解得，．
因此函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，．
（3）解：方程，即，即，
因为，所以，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，可得方程在区间有个解，即，
又的对称轴为，
不妨设个解从小到大依次为，
则关于对称，关于对称，关于对称，
所以，，，
即，，，
解得，，．
所以，
所以，．
4．【答案】（1）解：由，由正弦定理可得，
因为，则，
可得，即，
又因为，则，可得，即，
且，所以.
（2）解：在锐角中，由（1）得，则，
可得，解得，
可得
，
由，得，
则，即，
所以的取值范围为.
（3）解：由（2）知，当取得最大值时，，即，
且，可知为等边三角形，
在中，令，
由正弦定理可得，则，
由余弦定理可得，
则，
所以，
所以
，
且，故当时等号成立，所以面积的最大值为.
5．【答案】（1）解：是上的“函数”，
理由如下：，.
，，
，
在恒成立，
是上的“函数”.
（2）证明：是上的“函数”，在上恒成立，
设，则，
∴在上单调递增，且.
又，，即.
∵在上单调递增，，∴.
（3）解：，.∵是上的“函数”，
∴在上恒成立，
即在上恒成立.
当时，对任意的，上式恒成立，符合题意；
当时，恒成立，
设，，
则，∴函数在上单调递减，
∴，即；
当时，恒成立，
设，，
则，∴函数在上单调递减，
∴，即.
综上所述，.
6．【答案】（1）解：由，可得，
，则，
即，
在中，因为，所以，，所以.
（2）解：因为为锐角三角形，，则，所以.
，
因为，所以，所以，
所以
即的取值范围.
（3）解：在中，由余弦定理，
在中，由余弦定理或2，
又，
当时，，
所以，所以.
当时，，
所以，所以，
综上，当时，的值为，当时，的值为.
7．【答案】（1）解：由变换得：，解得
（2）解：由变换得：
，
解不等式得：
或，，
故不等式的解集为，即，
（3）证明：由变换得：；
由变换得：，
即，
若是奇函数，得，，
由，
所以是偶函数．
若是偶函数，得，，
由，
所以是偶函数．
所以无论是奇函数还是偶函数，都是偶函数，
则图象总关于直线对称．
8．【答案】（1）解：将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，
由题意该函数为偶函数，所以，
解得，
又因为，解得.
（2）解：由（1）可得，
故的相位为，
最小正周期为.
（3）解：令，因为，所以，
则原题等价于求使得不等式恒成立时，对应的取值范围，
注意到当或时，，
当时，单调递增，单调递减，又因为，
所以时，，不符合题意；
当时，，符合题意；时，单调递减，单调递增，
所以时，，符合题意.
综上，满足题意，此时.
9．【答案】（1）解：因为向量的相伴函数为，
所以
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
所以.
（2）解：由为
的相伴特征向量知：，
所以，
设，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又因为，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴当且仅当时，和同时等于，
这时（*）式成立，
∴在图象上存在点，使得.
（3）解：因为向量的相伴函数为
当时，，
则，恒成立.
所以①当，
则当时，，
所以，
则，
因为，
所以的最小值为，
则；
②当，时，不等式化为成立
③当，时，，
所以，
则，
因为，
所以的最大值为，
则，
综上所述，k的取值范围是.
10．【答案】（1）解：若，，则，
当时，即，，函数有最大值，
函数的最大值为，对应的取值集合为；
（2）解：，
令，所以，
所以，，
即，，所以；
（3）解：因为，，
所以
，
所以
，
此时存在满足，，，
当且仅当时等号成立，
所以，即，，
所以成立，
且，则，
，
当时有最小值，
所以的最小值为.
11．【答案】（1）解：因为，
则，故.
（2）证明：由题意得，，
由可得，
因，则，故，解得.
，①
因，则，
②+①可得：，②-①可得，
两式相比可得：，即.
（3）解：由题意得，，
由可得，
即，
当或时，；
当时，，
作出函数在上的图象.
因方程在上有且仅有四个不相等的实数根
等价于函数与函数的图象在上有四个交点.
由图知，当且仅当或时，两者有四个交点.
故实数的取值范围为.
12．【答案】（1）解：由，
可得，
即，即，即，
因为，所以；
（2）解：由题设及（1）知，
因为为锐角三角形，且，
所以，即，
又由余弦定理得，所以，即，
所以，
则面积的取值范围是；
（3）解：因为的面积为3，所以，所以，
设，则，
在中，由正弦定理，可得，
在中，由正弦定理，可得，
则.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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