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压轴专题：数列-2026届高考数学押题专项
1．在数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足；
①求证：数列是等差数列；
②若，设数列的前n项和为，求证：．
2．设，，，若各项均为正数的数列满足，则称数列具有性质“”．
（1）已知数列的前n项和为，且，试判断数列是否具有性质“”，并说明理由；
（2）若数列满足，且．
（i）证明：数列具有性质“”；
（ii）记数列的前n项和为，证明：．
3．若无穷数列满足：，，，则称为“均值递减数列”.
（1）已知无穷数列的前项和为，若为“均值递减数列”，求证：，；
（2）若数列的通项公式，判断是否为“均值递减数列”，并说明理由；
（3）若两个正项数列和均为“均值递减数列”，证明：数列也为“均值递减数列”.
4．已知数列满足，且，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列的前项和为，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列．
5．已知等比数列中，，．
（1）求等比数列的通项公式；
（2）令．
①求数列的前项和；
②令，求最小值．
6．若给定数列，对于任意的，若满足，则称为“型数列”．若数列满足：，，当时，．
（1）判断数列是否为“型数列”，并证明；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，，使不等式成立，求实数的取值范围．
7．设有穷数列的项数，若正整数满足，则称为数列的“低洼点”．
（1）若，求数列的“低洼点”；
（2）已知有穷等比数列的公比为，前项和为，若数列存在“低洼点”，求正数的取值范围；
（3）若，数列的“低洼点”的个数为，证明：
8．对一个元数列，规定一次洗牌操作为：先任选一个正整数，将前个数在保证相对顺序不变的前提下，任意插入后个数（也保持相对顺序不变）中得到一个新的数列．例如：对数列进行一次洗牌，先选择，然后数列可以变成，或者变成．特别地，如果取（其中表示不超过的最大整数），且将放到的后面，则称这样一次洗牌为“完美洗牌”．
（1）请写出数列经过两次完美洗牌后得到的新的数列；
（2）对任意给定的正整数，数列能否经过有限次完美洗牌后变成？并说明理由；
（3）至少需要多少次洗牌才能将变成？
9．设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数，总存在正整数，使得，则称这样的数列具有性质.
（1）若数列的通项公式为，数列是否具有性质？并说明理由；
（2）若，求出具有性质的数列公差的所有可能值；
（3）对于给定的，具有性质的数列是有限个，还是可以无穷多个？
10．若项数列同时满足.则称为“阶0数列”.
（1）若等比数列为“4阶0数列”，写出的各项；
（2）若等差数列为“阶数列”（且），求的通项公式（用表示）；
（3）记“阶数列”的前项和为，若存在，使，判断数列能否是“阶数列”？若是，求出所有这样的数列；若不是，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：因为，所以，
所以，所以，
因为，所以n=1时，，所以数列是各项为0的常数列，即，
则；
（2）解：①由得，
所以①，
所以②，
②-①得：③，
所以④，
④-③得，所以，
即，
所以数列是等差数列，
②当时，由，可得，，
又因为，故的公差为1，所以，
所以，
即
．
2．【答案】（1）解：数列中，，当时，，则，
而，解得，因此数列是首项和公比都为的等比数列，
则，，，
正项数列满足，所以数列具有性质“”.
（2）（i）证明：函数，令函数，
求导得，函数在上单调递减，则，
即，，
任意，，而，，则，，
于是，
令，求导得，
函数在上单调递增，，
当时，，，而，
则，因此；
依题意，，
令，
令函数，求导得，
令函数，求导得，函数在上单调递增，
当时，，，函数在上单调递增，
当时，，即当时，，，
因此当时，，又，则，
于是，，则，
所以数列具有性质“”.
（ii）证明：由（i）知，，则，
当，时，，
当时，，
当时，，
所以.
3．【答案】（1）证明：
（2）解：设的前项和为，
令，
则，判别式小于零，所以递减，
因此是“均值递减数列”；
（3）证明：设依题意，均为递减数列，
而，
相乘展开得，
由于，，则由补充不等式有，
所以
，
求和得，由（1）的结论知，，
所以，
于是再由（1）的结论即可知是“均值递减数列”；
4．【答案】（1）证明：已知，
则.
又，，所以.
那么（常数）.
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）解：由（1）知，等式两边同时除以得：.
设，则，且.
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
所以.
因为，所以.
（3）证明：已知，则.
.
所以.
假设数列中存在不同的三项，，（，）构成等差数列，
则，即，
两边同时乘以得：.
因为，，所以，，
则是的倍数，除以余，等式不成立.
所以假设不成立，即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列.
5．【答案】（1）解：设公比为，则，
所以．
（2）解：①，，
则，
，
，
所以．
②，
，
当时，，即为减数列，
当时，，即为增数列，
所以．
6．【答案】（1）证明：数列是“型数列”，理由如下：由，得，
因为，则，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
则，，
，
所以数列满足“型数列”的定义，
即数列是“型数列”．
（2）解：由（1）知，，…，，
累加得，
又，所以．
（3）解：由（2）可知，，不等式有解，
整理为，有解，即，
设，，则，
设，，，
所以在上单调递增，
，所以函数的值域为，
则，
当时，，所以，
所以的取值范围是．
7．【答案】（1）解：因为，所以，，，，
所以数列的“低洼点”为和.
（2）解：依题意，，因为数列存在“低洼点”，所以存在，使得，
所以，
即，则，
因为单调递减，所以当时的最大值为，所以，
又因为，所以，
当时，有，所以数列存在“低洼点”，
所以的取值范围为.
（3）证明：①若，则数列不存在“低洼点”，即，由，得，所以；
②若存在，使得，下面证数列有“低洼点”，
若，则是数列的“低洼点”，
若，因为存在，使得，
所以设数列中第个小于的项为，则，
所以是数列的第个“低洼点”，
综上，数列存在“低洼点”.
不妨设数列的“低洼点”由小到大依次为、、、，
则是中第个小于的项，
故，
因为，所以，所以，故，
所以
（个1），
故.
8．【答案】（1）解：由题意，得数列为，
则，
所以，
则每一次洗牌应将放到的后面，
所以放到后面，放到后面，
则数列经过一次完美洗牌后为，
再经过一次完美洗牌后为.
所以，经过两次完美洗牌后得到的新的数列为.
（2）解：当时，数列为，经过次完美洗牌后变成数列；
当时，数列为，
由，
可知，数列经过次完美洗牌后变成；
当时，数列为，
由
，
可知，数列经过次完美洗牌后变成，
猜想：数列可以经过次完美洗牌后变成.
下面用数学归纳法证明：
（i）由上可知，当时，
数列经过次完美洗牌后变成；
（ii）假设当时，
数列可以经过次完美洗牌后变成，
当时，数列为，
由完美洗洗牌规则可知，前次洗牌中，每次洗牌前数列均分前后两组，
每组张牌，且两组数中与奇偶性相同，，
则经过每次完美洗牌后，前组偶数均放在后一组相应位置的偶数后，
同理可得，奇数也均放在后一组相应位置的奇数后，
则偶数的排列与奇数的排列互不影响.
由归纳假设可知，原数列中的偶数项数列与奇数项数列，
经过次完美洗牌后分别变成与，
再经过第次完美洗牌，偶数项插入相应奇数项后，
则数列可变成，
由（i）（ii）可知，对任意给定的正整数，
数列可以经过次完美洗牌后变成，
综上所述，对任意给定的正整数，
数列可以经过次完美洗牌后变成.
（3）解：因为，
由（2）可知，
数列经过次完美洗牌可变成数列，
由数列可看成张空白牌加2025张牌共张牌，
则数列进行完美洗牌，
所以，经过次洗牌可将数列变成，
则变成数列.
下面证明至少需要次洗牌才能将变成，
首先给出定义：对于给定递减数列，
若在数列中删除若干项，
不改变剩余项的顺序得到的子数列仍为递减数列，
则称该所得数列为递减子数列，
所有递减子数列中项数最多的称为最长递减子数列.
记数列经过次洗牌的最长递减子数列项数为，，
由题意，得一次洗牌操作，先要任选一个正整数，
记为第次洗牌选择的正整数的取值，
则，，
记经过次洗牌的最长递减子数列为，
则第次洗牌后，数列的最长递减子数列的项数，
所以，，，
则，
所以，经过任意次洗牌，最长递减子数列项至少还有2项，
则不可能变成数列.
综上可知，至少需要次洗牌才能将变成.
9．【答案】（1）解：因为，
则对任意有，
所以，对任意正整数，总存在正整数，使得，
则数列具有性质.
（2）解：设等差数列的公差为d，数列具有性质，
当时，恒成立；
当时，则，
所以，
则，
若时，则，不满足题意；
所以，
得，
由等差数列的各项均为整数，得为整数，
又因为，且，
所以或，
则或.
又因为，
若对任意，且，
则，
又因为正整数n和必一奇一偶，且，
则为非负整数，
因此只需为整数，
那么为数列的第项，
则当时，即当时，
则，满足题意；
当时，即当时，
则，满足题意；
当时，即当时，
则，满足题意，
所以d的所有可能值为或.
（3）解：①若给定，则，
所以，
则给定，
所以，任意，都具有性质，
则此时这样的数列有无穷多个；
②若给定，则，
由（2）知，，，
则，
所以，只需为整数，
则，即为数列的第项，
因为任意给定整数的约数为有限个，
所以公差d必为有限个，
若给定，
则具有性质P的数列有有限个；
综上所述，若给定，具有性质的数列有无穷多个；
若给定，具有性质的数列有有限个.
10．【答案】（1）解：设是公比为的等比数列，
由题意，得，
则，
所以，
解得，
又因为，
所以，
解得，
所以数列的各项为或.
（2）解：设等差数列的公差为，
，
，
则，
，
，
若，则与矛盾，
当时，，
，
则，
由，
得，
解得，
，
当时，同理可得，
则，
由，
得，
解得，
，
综上所述，当时，；
当时，.
（3）解：记中非负项和为，负项和为，
则，
解得，
所以，
则
若存在，使得，
可知，且
时，；
当时，.
，
又因为与不能同时成立，
所以，数列不为“阶数列”.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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