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压轴专题：双曲线-2026届高考数学押题专项
1．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率.
（1）求双曲线C的方程；
（2）记双曲线C的右顶点为，过点作直线，与C的左支分别交于两点，且，为垂足.
（i）证明：直线恒过定点，并求出点坐标；
（ii）判断是否存在定点，使得为定值，若存在说明理由并求出点坐标.
2．已知双曲线经过点，一条渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设为原点，若点为双曲线上的动点，点在直线上，且．
（ⅰ）求面积的最小值；
（ⅱ）判断是否存在定圆与直线相切，若存在，求出定圆方程；若不存在，说明理由．
3．已知双曲线的左 右焦点分别是，并且经过点.
（1）求的方程；
（2）过点的直线交双曲线的右支于两点（点在第一象限），过点作直线的垂线，垂足为.
（i）求证：直线经过定点；
（ii）记的面积为，求的取值范围.
4．已知双曲线（，）的两条渐近线为，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点；过点作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点……；依此类推得到点列，.
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）、分别在双曲线的左支和右支上，且直线经过点，当，时满足：①直线的倾斜角总是；②点和关于轴对称.设点的坐标为，数列的前项和为.证明：.
5．已知双曲线的右焦点为，离心率为2，分别为的左，右顶点，A为双曲线上一点，且．
（1）求点A的坐标；
（2）设点在上．
（ⅰ）若点A在第一象限且直线的斜率为－2，求证：直线的斜率之和为定值；
（ⅱ）若，过的直线与的两条渐近线分别交于两点，，过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点，若．求证：三点共线．
6．已知双曲线的渐近线方程为，点在上．
（1）求的方程．
（2）设是双曲线的左顶点，过点的直线与的右支交于两点，直线分别与直线交于两点.试探究：是否存在定点，使得以为直径的圆过点？若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．已知双曲线：的实轴长为2，右焦点F到双曲线的渐近线距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，连接并延长交双曲线左支于点P（O为坐标原点），求的面积的最小值；
（3）设定点，过点T的直线交双曲线于M，N两点，M，N不是双曲线的顶点，若在双曲线上存在一点S，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数t的取值范围.
8．已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离为．点在的渐近线上，过的直线与交于两点，直线分别与轴交于两点．
（1）求的方程；
（2）若的面积为，求的方程；
（3）证明：线段的中点为定点．
9．如图双曲线的左右顶点分别为且，已知双曲线的离心率为2．
（1）求双曲线的方程．
（2）直线与双曲线交于两点且以线段为直径的圆恰好经过点．
①证明：直线过轴上一定点，请求出点的坐标；
②若都在双曲线的右支，求的面积的最小值．
10．已知双曲线过点，离心率为，左、右焦点分别为，，点P为直线l：上且不在x轴上的一点，直线和与双曲线的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设直线，的斜率分别为，．
（i）证明：为定值；
（ii）直线l上是否存在点P，使得OA，OB，OC，OD满足？若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】（1）（1）解：由题意得，双曲线的中心为坐标原点，
左焦点为，离心率为，
可得，解得，
所以双曲线方程.
（2）（2）证明：（i）由（1）知，当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立方程组，整理得，
，即，
设，由韦达定理可得.
因为，所以，可得，
即，
即，
整理得，
即，
即，
可得，解得，
将代入直线，
此时直线过定点，不合题意；
将代入直线，
此时直线过定点，
当直线的斜率不存在时，不妨设直线方程为，
因为，所以为等腰直角三角形，
此时点坐标为，
所以（舍）或，
此时过定点，
综上可知，直线恒过定点
（ii）解：因为，此时存在以为斜边的直角三角形，
所以存在定点为中点满足，此时.
2．【答案】（1）解：双曲线经过点，
且一条渐近线方程为，
所以，解得，
所以的标准方程为；
（2）解：设，，
（ⅰ）由点双曲线上的动点，则，
由于，则，显然，可得，
且，
所以
，
则当且仅当时，等号成立，；
（ⅱ）由对称性可知，若存在定圆，则定圆圆心在轴上，
当点趋于顶点时，点趋于无穷远处，此时切线的极限位置为，
由此猜想定圆为，
下面进行证明：
显然，直线，
即，
点到直线的距离为
，
所以存在定圆与直线相切.
3．【答案】（1）解：依题意，双曲线半焦距为，
则，
解得，
所以，双曲线的方程为.
（2）（i）证明：设，
则，
由，消去，得，
则，
解得，所以，
则直线的方程为，
所以，
又因为
，
因此，直线的方程为，
所以，直线经过定点.
或令，得：
，
所以直线经过定点.
（ii）解：由（i）知，，
则
又因为，
令，
因此在上单调递增，
则，
所以的取值范围是.
4．【答案】（1）解：由双曲线的两条渐近线为，得，即，
又双曲线经过点，得，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）解： （ⅰ） 令，设两条直线的方程分别为和，
设，，联立，消元整理得，
由，得，，
则，，
点，同理得点，
于是直线的斜率，
直线的方程为：，
令，得，因此，
由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列，
即；
（ⅱ）设直线的方程为，由点的坐标为，得的坐标为，
由消去得，因此，，
则，
所以.
5．【答案】（1）解：求双曲线方程及点A的坐标：
已知双曲线右焦点，离心率，
因为在双曲线中（为半焦距），且，所以，
又因为，所以，
则双曲线的方程为；
设，则，
由，可得：，即，
又因为在双曲线上，所以，即，
将代入，得：，
整理，得，解得：，
当时，，即；
当时，，即，
所以点A的坐标为或或或；
（2）证明：（ⅰ）直线的斜率之和为定值：
因为点A在第一象限，所以，设直线的方程为，
联立，消去得：，
化简得：
由韦达定理，得：，
直线的斜率，直线的斜率，
则，
因为，代入上式，
得：，
将上式的分子展开，得：
，
整理，得：，
代入，
可得，
即，所以直线的斜率之和为定值；
（ⅱ）证明三点共线：双曲线的渐近线方程为，
由题可得直线PQ，MN斜率存在且不为0
设直线MN方程为，设
如图，直线MN与交点为M，与交点为N.
联立，解得：，即，
联立，解得：，即，
则.
由，则
移项并利用平方差公式，可得：
.
由题，直线PG斜率为，直线QG斜率为，又，
则，
则，又，
则.
直线PG方程为：，
代入中，
则，
据此可得P的横坐标即，
同理可得Q的横坐标即.
则，.
则.
由，代入，则.
则，
则点G满足直线MN方程，所以G，M，N三点共线.
6．【答案】（1）解：由题意可知：，解得，
故双曲线C的方程为：

（2）解：存在.
由双曲线的对称性，又点及点均在轴上，
若存在定点，满足以为直径的圆过点，则点在轴上.
故假设存在定点，使得以为直径的圆过点.
双曲线的左顶点，
由题意知直线不垂直于轴，故设直线的方程为：，
设，，
∴，
，解得，
∴，
由直线与双曲线的右支交于两点，
则，解得.
又直线的方程为，代入，
同理，直线的方程为，代入.
要使以为直径的圆过点，则.
∴，
∴
，
解得，或
故存在定点，或，使得以为直径的圆过点.
7．【答案】（1）解：因为双曲线的实轴长为2，故，
而双曲线的渐近线为，
故右焦点到渐近线的距离为，
故双曲线的方程为：.
（2）解：显然直线与轴不垂直，设：，，，
由双曲线的对称性知的中点为，故，
联立
故，，
由于A，均在双曲线右支，故，故，
而，
代入韦达定理得，
令，则，
易知在上为减函数，则当时，，
综上：的面积的最小值为12.
（3）解：不妨设，，，
若直线的斜率为，则直线与双曲线的交点为双曲线的顶点，与条件矛盾，
所以可设直线的方程为，且，
联立，消可得，
方程的判别式，
所以，
所以，，
所以，
，
，
，
所以
所以
所以，
因为直线的斜率与直线的斜率之和为定值，
所以，故，
故为定值，
所以，
因为或，，，
所以或，存在双曲线上的点满足，
使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，定值为，
所以的范围为.
8．【答案】（1）解：因为的一条渐近线方程为，
到渐近线的距离为，
过得，
解得：，
所以的方程为①．
（2）解：显然直线的斜率存在，设的方程为②，
①②联立得：．
则有③，④，
设，
则⑤，⑥，
把⑤⑥代入：，
所以，
得：，解得：．
满足③④式，则直线的方程为．
（3）证明：设，不妨设．则直线⑦，
联立①⑦得：，
则，
则；
同理：．
而，，
又三点共线，则有，
则，
得：，
所以的中点为定点．
9．【答案】（1）解：双曲线的左右顶点分别为且，
，，，，，
双曲线：．
（2）解：①证明：直线与双曲线交于两点且以线段为直径的圆恰好经过双曲线左顶点，
，，
设直线的方程为，，
联立双曲线得，()，
，
，，
，，解得或，
若，则直线过，与题意矛盾舍去，故，
直线过．
②，，，
由①知，直线：，联立双曲线方程得()，
，
都在双曲线的右支上，，，
，
，
令，则，代入得，
令，，解得，，
求导得，在时恒成立，在单调递增，
在时取最小值，，的最小值为9．
10．【答案】（1）解：由题意可知，，解得，∴双曲线方程为．
（2）解：（i）证明：∵，，，的斜率分别是，，且点P不在x轴上．
∴，，．
又直线、的方程分别为，，
联立方程组解得，∴，
∵点P在直线上，∴，
即，故为定值．
（ii）设，，，，
联立方程组消y可得，
∵，
∴，，
所以
，同理可得：，
∵，∴或，
①当时，由（i）的结论可得，解得P点的坐标为；
②当时，由（i）的结论可得或（舍去），
此时直线CD的方程为与联立得，，
∴，经检验，两种情况均符合要求．
综上所述，满足条件的点P的坐标分别为，．
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