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广东省深圳实验学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷
一、单选题
1．斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（　　）
A． B． C． D．四边形
3．已知点，和都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在等腰中，，，则点B到直线的距离是（　　）
A．5 B． C．3 D．
5．如图，在中，直尺的一边与重合，另一边分别交于点．其中点处的读数分别为，已知直尺宽为2，则为（　　）
A．8 B．16 C．32 D．64
6．如图，在菱形中，点E是边上一点，连接，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上），则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知，则　 　．
10．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时，　 　Pa．
11．在一个不透明的盒子中有20个大小相同的乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同，将盒中的乒乓球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回盒中，不断重复这一过程，共摸了1000次球，发现有400次摸到黄色乒乓球，估计这个盒子中的黄色乒乓球的个数是　 　．
12．如图，在中，，按以下步骤作图，①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交AC于点H，若H恰好为的中点，则的长为　 　.
13．如图，长方形ABCD中，AB=6，BC=，E为BC上一点，且BE=，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为　 　．
三、解答题
14．（1）解方程：．
（2）计算：．
15．小丽解分式方程时，出现了错误，她的解题过程如下：
解：去分母得……第一步
解得……第二步
∴原分式方程的解是……第三步
（1）小丽的解答过程从第　 　步开始出错，这一步应为　 　，这一步的依据是　 　．
（2）请写出正确的解题过程．
16．某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表．
校本课程 频数 频率
A 36 0.45
B
　 0.25
C 16 b
D 8
　
合计 a 1
请您根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的a＝　 　，b＝　 　；
（2）“D”对应扇形的圆心角为　 　度；
（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；
（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．
17．如图，在中，，D是边上的中点，连接，过点B作交延长线于点E．已知．
（1）求线段的长；
（2）求的值．
18．根据以下素材，探索完成任务．
素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器．
素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元．
问题解决
任务1 设镇流器补进x件，若，则补进镇流器的单价为　 　元，补进灯管的总价为　 　元（用含x的代数式表示）；
任务2 若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？　 　
19．综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
（1）【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和　 　，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或　 　m，　 　m．
根据小颖的分析思路，完成上面的填空；
（2）【类比探究】
若，能否围出矩形地块？并仿照小颖的方法，在图2中利用函数图象说明理由．
（3）【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数的图象有唯一交点时的交点坐标及的值．
（4）【拓展应用】
外观从以上积分中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围　 　．
20．综合与探究：如图，，点在的平分线上，于点．
（1）【操作判断】
如图①，过点作于点，根据题意在图①中画出，四边形是那种特殊四边形？并证明你的结论；
（2）【问题探究】
如图②，点在线段上，连接，过点作交射线于点，求证：；
（3）【拓展延伸】
点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，请直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示：
故答案为：C．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】盲区
【解析】【解答】解：由图知：在视点的位置，看不到段，因此监视器的盲区在所在的区域，
故选：C．
【分析】 本题的关键是理解 “视线与障碍物的交点决定了盲区的边界”。监视器的视线是直线传播的，当直线被广告牌挡住时，广告牌后方、在这条视线下方的区域，就是监视器看不到的盲区。
选项 A：△ACE 位于监视器前方、无遮挡的区域，监视器可以直接观察到，不是盲区。
选项 B：△ADF 位于视线 EA 的外侧，监视器可以直接观察到，不是盲区。
选项 D：四边形 BCED 是监视器与广告牌之间的区域，无遮挡，监视器可以直接观察到，不是盲区。
3．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据反比例函数的图象可得，反比例函数的图象在二、四象限，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，且函数值均为正，当x＞0时，y随x的增大而增大，且函数值均为负，
∴当点A、B、C三个点在反比例函数的图象上时，
∵-2＜-1＜2，
∴y2＞y1＞y3；
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的图象和性质判断即可。
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形—边角关系；求正弦值
【解析】【解答】解：如图，过点B作于点D，
∵，，
∴，
∴，
即点B到直线的距离是．
故答案为：B．
【分析】解题思路：依据点到直线距离定义作垂线，构造直角三角形，再利用正弦定义代入数值直接计算。
归纳：本题核心是通过作辅助线将斜三角形转化为直角三角形，运用锐角三角函数公式即可快速求解。
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：根据题意，，
∴，
∴，
∵点处的读数分别为，
∴，
∴相似比为，
设点到的高为，点到的高为，直尺宽为2，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴，
故选：B ．
【分析】解题思路：先通过直尺读数算出 BC 和 DE 的长度，再利用 DE∥BC 得到相似三角形，结合相似三角形对应高的比等于相似比，求出 △ABC 的高，最后用三角形面积公式计算结果。
核心关键：识别出 △ADE 与 △ABC 相似，并利用 “相似三角形对应高的比等于相似比” 建立方程求解。
6．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，，
，，
，，
，
，
，
，
故选：B．
【分析】解题思路：先利用等腰三角形性质求出 △ADE 的底角，再结合菱形的边相等、对边平行的性质，推出 △CDE 为等腰三角形，最后在 △CDE 中计算 ∠DEC 的度数。
核心关键：两次应用等腰三角形的内角性质，同时结合菱形 “对边平行、四边相等” 的特征，建立角度之间的等量关系。
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意；
B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意；
C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意；
D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意；
故选D．
【分析】根据一次函数，反比例函数图象与系数的关系即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上），
∴，，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴
即，
∴，
整理得
∴
解得（舍去），，
故选：C
【分析】
首先先利用 “图形无缝拼接” 的性质，通过 “两角分别相等” 构造相似三角形，利用相似比例方程，实现几何问题代数化。其次证明 △DGF∽△DHB，利用相似三角形对应边成比例的性质列出关于 r 的一元二次方程。最后解一元二次方程，并结合图形的实际边长范围，舍去不合理的解，得到 FG 的长度。
9．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设x=3k，y=5k，
∴
故答案为：.
【分析】由比例性质，设x=3k，y=5k，然后代入待求式子分子合并同类项后，再约分化简即可.
10．【答案】16000
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．
∴设这个反比例函数的解析式为，
把时，代入，得，
解得，
∴，
把代入，
得，
故答案为：．
【分析】先根据反比例函数的定义设出解析式，确定函数解析式后，再利用已知的一组 V、p 值求出比例系数 k，从而计算对应的 p 值。
11．【答案】8
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由题可得摸到黄色乒乓球的频率为
∴估计
∴ 盒子中的黄色乒乓球的个数=20×=8个
故答案为：8.
【分析】根据摸到黄色乒乓球的频率估计摸到黄色乒乓球的概率，根据概率计算公式可得结果.
12．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：连接FG，如图所示，
由题意得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵H是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】连接FG，由作图过程知BF=BG=CD=CE，FG=DE，可用SSS判断出△BFG≌△CDE，由全等三角形的对应角相等得∠C=∠ABH，进而利用有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABH∽△ACB，由相似三角形对应边成比例建立方程，求解可得AC的长.
13．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接DE交CG于J．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，∠B=∠BCD=90°，
∵∠BET=∠FEG=45°，
∴∠BEF=∠TEG，
∵EB=ET，EF=EG，
∴△EBF≌△ETG（SAS），
∴∠B=∠ETG=90°，
∴点G的在射线TG上运动，
∴当CG⊥TG时，CG的值最小，
∵BC=，BE=，CD=AB=6，
∴CE= BC-BE==6=CD，
∴DE=，∠CED=∠BET=45°，
∴∠TEJ=90°=∠ETG=∠JGT=90°，
∴四边形ETGJ是矩形，
∴GJ=TE=BE=，CJ⊥DE，
∴JE=JD，
∴CJ=DE=，
∴CG=CJ+GJ=，
∴CG的最小值为+，
故答案为：+．
【分析】将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接DE交CG于J；由角的构成及等式性质推出 ∠BEF=∠TEG， 从而由SAS判断出△EBF≌△ETG，由全等三角形的对应角相等得∠B=∠ETG=90°，推出点G的在射线TG上运动，由垂线段最短推出当CG⊥TG时，CG的值最小；利用矩形的性质线段的和差求出CE=CD=6，利用勾股定理算出DE，由有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形ETGJ是矩形，由矩形性质及等腰直角三角形性质推出JE=JD=CJ，GJ=TE=BE，然后根据线段和差可求出CG的长度，得出答案.
14．【答案】（1）解：，
∴，
∴或，
解得：，；
（2）解：
；
【知识点】因式分解法解一元二次方程；因式分解﹣十字相乘法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）通过因式分解法将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解得到方程的两个根，是一元二次方程的基础解法。
（2）按照实数混合运算的顺序，先化简二次根式、计算负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值，再计算绝对值，最后进行加减运算，属于基础运算题。
15．【答案】（1）一；；等式的基本性质
（2）解：，
去分母得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴原分式方程的解是．
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】（1）解：小丽解答过程从第一步开始出错，正确结果是，这一步的依据是等式的性质，
故答案为：一，，等式的基本性质；
【分析】（1）小丽的错误出现在第一步，去分母时，漏乘了常数项 “1”，没有给 1 乘最简公分母 2x+2，导致方程变形错误，注意不能漏乘常数项。
（2）正确解法需先确定最简公分母，给方程两边每一项都乘最简公分母，再按整式方程的步骤求解，分式方程必须检验，防止增根。
16．【答案】（1）80；0.20
（2）36
（3）解：估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数为：2000×0.25=500（人）；
（4）解：列表格如下：
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种，所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为： ．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）a=36÷0.45=80，b=16÷80=0.20．
故答案为80，0.20；
（2）“D”对应扇形的圆心角的度数为：
8÷80×360°=36°．
故答案为36；
【分析】（1）求出a=36÷0.45=80，b=16÷80=0.20即可作答；
（2）求出8÷80×360°=36°即可作答；
（3）根据 该校2000名学生 计算求解即可；
（4）先列表，再求出共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种， 最后求概率即可。
17．【答案】（1）解：在中，，
，
，
，
又是边的中点，
；
（2）解：过C点作于点F
，
，
∵，
∴，
，
，
，
．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】(1) 利用余弦的定义先求出斜边 AB 的长度，再根据 “直角三角形斜边中线等于斜边的一半” 直接求出 CD 的长度。
核心关键：牢记直角三角形斜边中线的性质，快速将问题转化为求斜边长度。
(2) 先利用勾股定理和面积法求出斜边上的高 CF，再通过 “等角的三角函数值相等”，将求 cos∠DBE 转化为求 cos∠DCF，最后在直角三角形中计算三角函数值。
(3) 通过作辅助线构造直角三角形，利用角度相等实现三角函数值的转化，简化计算。
18．【答案】；；；100 件或 60 件或 150 件
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务 1：设镇流器补进件，若，则补进镇流器的单价为（元），
补进灯管的总价为：（元），
故答案为：．
任务2：当时，镇流器单价为 80 元，
依题意，，
解得：，
当时，镇流器的单价为元，
依题意，，
解得：，
，
，
当时，镇流器的单价固定为 50 元，
则，
解得：，
答：补进镇流器 100 件或 60 件或 150 件．
【分析】
任务 1：根据 “每多买 1 件单价降 1 元” 的促销规则，先推导出镇流器的单价表达式；再根据灯管数量和单价，写出灯管总价的代数式。
任务 2：根据镇流器数量的不同区间（x≤80、80镇流器单价随购买数量分段变化，因此必须分区间讨论，避免漏解或错解。
19．【答案】（1）；4；2
（2）不能围出面积为 的矩形；
理由如下：
的图象，如图中所示：
∵与函数 图象没有交点，
∴不能围出面积为 的矩形．
故答案为：与函数 图象没有交点；
（3）如图中直线：所示，
∵直线与反比例函数的图象有唯一交点，
∴由唯一解，即：方程只有一个解，
∴，解得：（负值舍去），
此时：，解得：，
当时，，
∴此时交点坐标为；
（4）
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）将反比例函数与直线：联立得，
∴，
∴，
∴，，
∴另一个交点坐标为，
∵为，为，
∴，．
故答案为：；4；2；
（4）∵和的长均不小于
∴，，
∴，
∴，
∴，
如图所示，直线在、上面或之间移动，
把代入得，
∴．
故答案为：.
【分析】(1)联立解方程组得到另一个交点坐标即可；
(2)观察图象得到 与函数 图象没有交点，所以不能围出面积为 的矩形；
(3)平移直线y=-2x通过(2，4)， 将点(2，4)代入y=-2x+a，求出a的值即可；
(4)AB和BC的长均不小于1m， 所以 直线y=-2x+a在 上面或之间移动，可得求a的范围.
20．【答案】（1）解：过点作于点，如图，连接，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∵点在的平分线上，
∴平分，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴四边形为正方形；
（2）解：过点作于点，如图，
由（1）知：四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①当点在线段上时，如图：延长交于点，
由（2）知：四边形为正方形， ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当点在线段的延长线上时，如图：过点作，延长交于点，
同法可得：四边形为正方形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：或．
【知识点】正方形的性质；正方形的判定；相似三角形的性质-对应三线；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】 (1)利用正方形的性质构造全等三角形，实现线段等量代换。
(2) 通过作辅助线构造正方形，利用 ASA 证明三角形全等，将线段和差转化为正方形边长的两倍。
(3) 分点M在线段AO上和延长线上两种情况，利用全等三角形、相似三角形的性质，结合线段比例关系求解。
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一、单选题
1．斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示：
故答案为：C．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
2．如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（　　）
A． B． C． D．四边形
【答案】C
【知识点】盲区
【解析】【解答】解：由图知：在视点的位置，看不到段，因此监视器的盲区在所在的区域，
故选：C．
【分析】 本题的关键是理解 “视线与障碍物的交点决定了盲区的边界”。监视器的视线是直线传播的，当直线被广告牌挡住时，广告牌后方、在这条视线下方的区域，就是监视器看不到的盲区。
选项 A：△ACE 位于监视器前方、无遮挡的区域，监视器可以直接观察到，不是盲区。
选项 B：△ADF 位于视线 EA 的外侧，监视器可以直接观察到，不是盲区。
选项 D：四边形 BCED 是监视器与广告牌之间的区域，无遮挡，监视器可以直接观察到，不是盲区。
3．已知点，和都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据反比例函数的图象可得，反比例函数的图象在二、四象限，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，且函数值均为正，当x＞0时，y随x的增大而增大，且函数值均为负，
∴当点A、B、C三个点在反比例函数的图象上时，
∵-2＜-1＜2，
∴y2＞y1＞y3；
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的图象和性质判断即可。
4．如图，在等腰中，，，则点B到直线的距离是（　　）
A．5 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形—边角关系；求正弦值
【解析】【解答】解：如图，过点B作于点D，
∵，，
∴，
∴，
即点B到直线的距离是．
故答案为：B．
【分析】解题思路：依据点到直线距离定义作垂线，构造直角三角形，再利用正弦定义代入数值直接计算。
归纳：本题核心是通过作辅助线将斜三角形转化为直角三角形，运用锐角三角函数公式即可快速求解。
5．如图，在中，直尺的一边与重合，另一边分别交于点．其中点处的读数分别为，已知直尺宽为2，则为（　　）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：根据题意，，
∴，
∴，
∵点处的读数分别为，
∴，
∴相似比为，
设点到的高为，点到的高为，直尺宽为2，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴，
故选：B ．
【分析】解题思路：先通过直尺读数算出 BC 和 DE 的长度，再利用 DE∥BC 得到相似三角形，结合相似三角形对应高的比等于相似比，求出 △ABC 的高，最后用三角形面积公式计算结果。
核心关键：识别出 △ADE 与 △ABC 相似，并利用 “相似三角形对应高的比等于相似比” 建立方程求解。
6．如图，在菱形中，点E是边上一点，连接，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，，
，，
，，
，
，
，
，
故选：B．
【分析】解题思路：先利用等腰三角形性质求出 △ADE 的底角，再结合菱形的边相等、对边平行的性质，推出 △CDE 为等腰三角形，最后在 △CDE 中计算 ∠DEC 的度数。
核心关键：两次应用等腰三角形的内角性质，同时结合菱形 “对边平行、四边相等” 的特征，建立角度之间的等量关系。
7．一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意；
B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意；
C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意；
D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意；
故选D．
【分析】根据一次函数，反比例函数图象与系数的关系即可求出答案.
8．如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上），则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上），
∴，，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴
即，
∴，
整理得
∴
解得（舍去），，
故选：C
【分析】
首先先利用 “图形无缝拼接” 的性质，通过 “两角分别相等” 构造相似三角形，利用相似比例方程，实现几何问题代数化。其次证明 △DGF∽△DHB，利用相似三角形对应边成比例的性质列出关于 r 的一元二次方程。最后解一元二次方程，并结合图形的实际边长范围，舍去不合理的解，得到 FG 的长度。
二、填空题
9．已知，则　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设x=3k，y=5k，
∴
故答案为：.
【分析】由比例性质，设x=3k，y=5k，然后代入待求式子分子合并同类项后，再约分化简即可.
10．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时，　 　Pa．
【答案】16000
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．
∴设这个反比例函数的解析式为，
把时，代入，得，
解得，
∴，
把代入，
得，
故答案为：．
【分析】先根据反比例函数的定义设出解析式，确定函数解析式后，再利用已知的一组 V、p 值求出比例系数 k，从而计算对应的 p 值。
11．在一个不透明的盒子中有20个大小相同的乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同，将盒中的乒乓球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回盒中，不断重复这一过程，共摸了1000次球，发现有400次摸到黄色乒乓球，估计这个盒子中的黄色乒乓球的个数是　 　．
【答案】8
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由题可得摸到黄色乒乓球的频率为
∴估计
∴ 盒子中的黄色乒乓球的个数=20×=8个
故答案为：8.
【分析】根据摸到黄色乒乓球的频率估计摸到黄色乒乓球的概率，根据概率计算公式可得结果.
12．如图，在中，，按以下步骤作图，①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交AC于点H，若H恰好为的中点，则的长为　 　.
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：连接FG，如图所示，
由题意得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵H是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】连接FG，由作图过程知BF=BG=CD=CE，FG=DE，可用SSS判断出△BFG≌△CDE，由全等三角形的对应角相等得∠C=∠ABH，进而利用有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABH∽△ACB，由相似三角形对应边成比例建立方程，求解可得AC的长.
13．如图，长方形ABCD中，AB=6，BC=，E为BC上一点，且BE=，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接DE交CG于J．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，∠B=∠BCD=90°，
∵∠BET=∠FEG=45°，
∴∠BEF=∠TEG，
∵EB=ET，EF=EG，
∴△EBF≌△ETG（SAS），
∴∠B=∠ETG=90°，
∴点G的在射线TG上运动，
∴当CG⊥TG时，CG的值最小，
∵BC=，BE=，CD=AB=6，
∴CE= BC-BE==6=CD，
∴DE=，∠CED=∠BET=45°，
∴∠TEJ=90°=∠ETG=∠JGT=90°，
∴四边形ETGJ是矩形，
∴GJ=TE=BE=，CJ⊥DE，
∴JE=JD，
∴CJ=DE=，
∴CG=CJ+GJ=，
∴CG的最小值为+，
故答案为：+．
【分析】将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接DE交CG于J；由角的构成及等式性质推出 ∠BEF=∠TEG， 从而由SAS判断出△EBF≌△ETG，由全等三角形的对应角相等得∠B=∠ETG=90°，推出点G的在射线TG上运动，由垂线段最短推出当CG⊥TG时，CG的值最小；利用矩形的性质线段的和差求出CE=CD=6，利用勾股定理算出DE，由有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形ETGJ是矩形，由矩形性质及等腰直角三角形性质推出JE=JD=CJ，GJ=TE=BE，然后根据线段和差可求出CG的长度，得出答案.
三、解答题
14．（1）解方程：．
（2）计算：．
【答案】（1）解：，
∴，
∴或，
解得：，；
（2）解：
；
【知识点】因式分解法解一元二次方程；因式分解﹣十字相乘法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）通过因式分解法将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解得到方程的两个根，是一元二次方程的基础解法。
（2）按照实数混合运算的顺序，先化简二次根式、计算负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值，再计算绝对值，最后进行加减运算，属于基础运算题。
15．小丽解分式方程时，出现了错误，她的解题过程如下：
解：去分母得……第一步
解得……第二步
∴原分式方程的解是……第三步
（1）小丽的解答过程从第　 　步开始出错，这一步应为　 　，这一步的依据是　 　．
（2）请写出正确的解题过程．
【答案】（1）一；；等式的基本性质
（2）解：，
去分母得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴原分式方程的解是．
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】（1）解：小丽解答过程从第一步开始出错，正确结果是，这一步的依据是等式的性质，
故答案为：一，，等式的基本性质；
【分析】（1）小丽的错误出现在第一步，去分母时，漏乘了常数项 “1”，没有给 1 乘最简公分母 2x+2，导致方程变形错误，注意不能漏乘常数项。
（2）正确解法需先确定最简公分母，给方程两边每一项都乘最简公分母，再按整式方程的步骤求解，分式方程必须检验，防止增根。
16．某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表．
校本课程 频数 频率
A 36 0.45
B
　 0.25
C 16 b
D 8
　
合计 a 1
请您根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的a＝　 　，b＝　 　；
（2）“D”对应扇形的圆心角为　 　度；
（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；
（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．
【答案】（1）80；0.20
（2）36
（3）解：估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数为：2000×0.25=500（人）；
（4）解：列表格如下：
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种，所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为： ．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）a=36÷0.45=80，b=16÷80=0.20．
故答案为80，0.20；
（2）“D”对应扇形的圆心角的度数为：
8÷80×360°=36°．
故答案为36；
【分析】（1）求出a=36÷0.45=80，b=16÷80=0.20即可作答；
（2）求出8÷80×360°=36°即可作答；
（3）根据 该校2000名学生 计算求解即可；
（4）先列表，再求出共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种， 最后求概率即可。
17．如图，在中，，D是边上的中点，连接，过点B作交延长线于点E．已知．
（1）求线段的长；
（2）求的值．
【答案】（1）解：在中，，
，
，
，
又是边的中点，
；
（2）解：过C点作于点F
，
，
∵，
∴，
，
，
，
．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】(1) 利用余弦的定义先求出斜边 AB 的长度，再根据 “直角三角形斜边中线等于斜边的一半” 直接求出 CD 的长度。
核心关键：牢记直角三角形斜边中线的性质，快速将问题转化为求斜边长度。
(2) 先利用勾股定理和面积法求出斜边上的高 CF，再通过 “等角的三角函数值相等”，将求 cos∠DBE 转化为求 cos∠DCF，最后在直角三角形中计算三角函数值。
(3) 通过作辅助线构造直角三角形，利用角度相等实现三角函数值的转化，简化计算。
18．根据以下素材，探索完成任务．
素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器．
素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元．
问题解决
任务1 设镇流器补进x件，若，则补进镇流器的单价为　 　元，补进灯管的总价为　 　元（用含x的代数式表示）；
任务2 若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？　 　
【答案】；；；100 件或 60 件或 150 件
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务 1：设镇流器补进件，若，则补进镇流器的单价为（元），
补进灯管的总价为：（元），
故答案为：．
任务2：当时，镇流器单价为 80 元，
依题意，，
解得：，
当时，镇流器的单价为元，
依题意，，
解得：，
，
，
当时，镇流器的单价固定为 50 元，
则，
解得：，
答：补进镇流器 100 件或 60 件或 150 件．
【分析】
任务 1：根据 “每多买 1 件单价降 1 元” 的促销规则，先推导出镇流器的单价表达式；再根据灯管数量和单价，写出灯管总价的代数式。
任务 2：根据镇流器数量的不同区间（x≤80、80镇流器单价随购买数量分段变化，因此必须分区间讨论，避免漏解或错解。
19．综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
（1）【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和　 　，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或　 　m，　 　m．
根据小颖的分析思路，完成上面的填空；
（2）【类比探究】
若，能否围出矩形地块？并仿照小颖的方法，在图2中利用函数图象说明理由．
（3）【问题延伸】
当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数的图象有唯一交点时的交点坐标及的值．
（4）【拓展应用】
外观从以上积分中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围　 　．
【答案】（1）；4；2
（2）不能围出面积为 的矩形；
理由如下：
的图象，如图中所示：
∵与函数 图象没有交点，
∴不能围出面积为 的矩形．
故答案为：与函数 图象没有交点；
（3）如图中直线：所示，
∵直线与反比例函数的图象有唯一交点，
∴由唯一解，即：方程只有一个解，
∴，解得：（负值舍去），
此时：，解得：，
当时，，
∴此时交点坐标为；
（4）
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）将反比例函数与直线：联立得，
∴，
∴，
∴，，
∴另一个交点坐标为，
∵为，为，
∴，．
故答案为：；4；2；
（4）∵和的长均不小于
∴，，
∴，
∴，
∴，
如图所示，直线在、上面或之间移动，
把代入得，
∴．
故答案为：.
【分析】(1)联立解方程组得到另一个交点坐标即可；
(2)观察图象得到 与函数 图象没有交点，所以不能围出面积为 的矩形；
(3)平移直线y=-2x通过(2，4)， 将点(2，4)代入y=-2x+a，求出a的值即可；
(4)AB和BC的长均不小于1m， 所以 直线y=-2x+a在 上面或之间移动，可得求a的范围.
20．综合与探究：如图，，点在的平分线上，于点．
（1）【操作判断】
如图①，过点作于点，根据题意在图①中画出，四边形是那种特殊四边形？并证明你的结论；
（2）【问题探究】
如图②，点在线段上，连接，过点作交射线于点，求证：；
（3）【拓展延伸】
点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，请直接写出的值．
【答案】（1）解：过点作于点，如图，连接，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∵点在的平分线上，
∴平分，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴四边形为正方形；
（2）解：过点作于点，如图，
由（1）知：四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①当点在线段上时，如图：延长交于点，
由（2）知：四边形为正方形， ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当点在线段的延长线上时，如图：过点作，延长交于点，
同法可得：四边形为正方形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：或．
【知识点】正方形的性质；正方形的判定；相似三角形的性质-对应三线；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】 (1)利用正方形的性质构造全等三角形，实现线段等量代换。
(2) 通过作辅助线构造正方形，利用 ASA 证明三角形全等，将线段和差转化为正方形边长的两倍。
(3) 分点M在线段AO上和延长线上两种情况，利用全等三角形、相似三角形的性质，结合线段比例关系求解。
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