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四川省眉山市仁寿县2025-2026学年上学期七年级期末教学质量监测数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑．
1．的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图是由边长相等的小正方形组成的图形，从以下4个位置中选取一个正方形可以与实线部分的五个正方形组成正方体的展开图的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
4．用代数式表示“、两数和的平方”，下列表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．单项式与单项式的次数相同，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用幕布进行表演的民间戏剧，是中国民间古老的传统艺术．在表演过程中，当光源离人物剪影越来越远时，落在幕布上的皮影会（ ）
A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．无法确定
7．下列说法正确的是（　　）
A．小于的角是钝角
B．和为的两个角互为邻补角
C．多项式是三次三项式
D．负数的绝对值大于它本身，正数的绝对值小于它本身
8．如图，直线、交于点，是的平分线，已知，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．下列选项中，能用“”表示的是（　　）
A． B．
C． D．
10．已知时，代数式的值为17，则时，代数式的值为（　　）
A． B． C． D．14
11．如图，数轴上的点表示的数分别是、、，下列说法：①；②；③；④；⑤在与之间有2个整数．正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．如图是某射箭运动员瞬间的示意图，已知，，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上．
13．计算：　 　．
14．2025年11月25日神舟二十二号由长征二号F遥二十二运载火箭发射，该火箭起飞质量约497000千克，497000用科学记数法表示为　 　．
15．将多项式按字母的升幂排列为　 　．
16．将无限循环小数化为分数的结果是　 　．
17．如图，在数轴上个单位长度表示，点，分别表示的数为，，点是数轴上的一个动点，从点出发以的速度匀速向右运动，点是的中点，设点的运动时间为秒，当　 　时，线段．
18．把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：
第一组：2，4，6；
第二组：8，10，12，14；
第三组：16，18，20，22，24；
第四组：26，28，30，32，34，36；
……
现在用表示第组从左往右数第个数是，如果，则　 　．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分．
19．计算：
（1）；
（2）．
20．先化简，再求值：（其中，）
21．已知：如图，，，．求的度数．（请将解答过程补充完整）
解：∵（已知），
∴（ ），
又∵（已知），
∴（ ），
∴________________（内错角相等，两直线平行），
∴（ ），
∵（已知），
∴________________．
22．某校为培养学生节约用水的习惯，对学生家庭每日用水量进行统计．若规定每户每日用水量标准为，超过的部分记为“”，不足的部分记为“”，下表记录了某同学家一周七天的用水量数据（单位：）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
用水量（）
已知：吨，居民用水原价为2.75元/吨．
（1）该同学家用水量最多的一天比最少的一天多多少升？
（2）该同学家这周的总用水量是多少升？若规定每周用水量不超过即为节水达标，判断该同学家这周用水量是否达标？
（3）若该同学家这周前4天按原价缴纳水费，后3天因参与节水活动每吨减少0.2元，求该同学家这周一共缴纳多少水费？（结果保留两位小数）
23．如图，已知点是线段的中点，，，，求线段的长．
24．为纪念“一二·九”运动，某校七年级举办歌咏比赛，某班积极筹备相关物资：租赁男生合唱服装12套，每套租金元；租赁女生合唱服装18套，每套租金比男生每套少元．班委分两次购买小红旗，第一次买20面，每面元；第二次购买的数量比第一次多10面，每面单价少0.5元．根据以上信息，解答下列问题：
（1）求该班租赁服装的总费用（用含的整式表示）．
（2）求该班两次购买小红旗的总花费（用含的整式表示）．
（3）若，，计算该班服装租赁费和小红旗采购费的总金额．
25．(项目学习·探究包装盒的制作)根据材料，完成任务．
项目主题 设计经济适用的包装盒
项目背景 为了减少包装盒产生的垃圾，红红和她的数学兴趣小组想通过实验，设计出一款经济适用的包装盒，现有一个长，宽的长方形硬纸板．(纸板厚度忽略不计)
素材1 常规的设计方案如图1，在纸板上截去图中阴影部分，盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折叠成一个有盖的长方体包装盒．
素材2 从实用和减少包装材料的角度考虑；是否有增加包装盒容积或节省纸板材料的方法？红红提出可以设计成如图2，在纸板中截去图中阴影部分，然后沿虚线折叠成一个有盖的圆柱体包装盒．
任务1 计算长方体包装盒的容积？
任务2 计算圆柱体包装盒的容积，判断红红的方案是否使包装盒的容积变大？(取3)
任务3 计算两种方案纸板的使用面积，判断红红的方案是否节省材料？(取3)
26．【问题探究】如图1，将两个形状、大小完全相同的含角的直角三角板的直角顶点重合放置在直线上．
（1）若，则________，________；
（2）写出与的数量关系，并说明理由；
【类比探究】若将图1中的直角三角板绕点以度每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转的时间为秒，．
（1）当直角三角板旋转到如图2所示的位置时，恰好平分，试猜想此时与之间的数量关系，并说明理由；
（2）在旋转的过程中，射线、、中的一条是另外两条所构成的角的平分线，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】 解：由题可得：，
故选：A．
【分析】本题考查绝对值的概念，掌握绝对值的定义是解题关键。根据绝对值的定义可直接得出答案。
2．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】∵ 选项A中，和不是同类项，不能合并，∴ A错误；∵ 选项B中，，∴ B错误；
∵ 选项C中，和是同类项，，∴ C正确；
∵ 选项D中，和是同类项，，∴ D错误；
∴ 故选：C．
【分析】根据合并同类项的原则，只有字母部分完全相同的项才能进行合并，不同类别的项（如常数项或不同字母的项）无法合并。
本题主要考查合并同类项的运算能力，正确理解合并同类项的法则是解题的核心。
3．【答案】B
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：正方形①③④与实线部分的五个正方形组成的图形出现重叠的面，所以不能围成正方体．
故选：B．
【分析】本题考查正方体展开图的相关知识。在正方体的平面展开图中，相对的面之间必定间隔一个正方形，根据这一特点进行分析判断。
4．【答案】D
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：用代数式表示“、两数和的平方”为，
故选：D．
【分析】本题考查代数式的表示方法。首先需要表示出两个数的和，然后对这个和进行平方运算，最终得到正确的结果表达式。
5．【答案】D
【知识点】单项式的次数与系数；同类项的概念
【解析】【解答】∵ 单项式 的次数为，单项式 的次数为，
又∵ 两个单项式的次数相同，
∴，
∴．
故选：D．【分析】 本题考查单项式次数的定义，需明确次数是字母指数之和（对多字母单项式）或直接为指数（对单字母单项式）。正确建立次数相等的方程是解题的核心步骤。
6．【答案】B
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：由题意，当光源离人物剪影越来越远时，落在幕布上的皮影会逐渐变小；
故选B．
【分析】本题考查中心投影的性质。根据中心投影的几何特性，当光源与物体之间的距离增大时，物体在投影面上的影子尺寸会相应减小，由此可作出判断。
7．【答案】C
【知识点】角的概念及表示；多项式的项、系数与次数；邻补角；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵钝角定义为大于且小于的角，小于的角包括锐角、直角等，故A错误；∵邻补角需有公共边且和为，仅和为不一定满足邻补角条件，故B错误；
∵多项式中，最高次项的次数为（的指数和为），且项数为，故C正确；
∵负数的绝对值大于它本身，但正数的绝对值等于它本身，并非小于它本身，故D错误；
故选：C．
【分析】本题综合考查角的概念、邻补角定义、多项式次数以及绝对值性质，需要根据相关定义逐一分析判断。
8．【答案】D
【知识点】角的运算；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：直线、交于点，则，
∵，
，
，
∵是的平分线，
，
，
故选：D．
【分析】首先利用对顶角性质求出的度数，再通过邻补角关系求得，最后根据角平分线定义完成计算。
9．【答案】C
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：A.线段长为，故此选项不符合题意；B.组合图形的面积等于，故此选项不符合题意；
C.长方形的周长为，故此选项符合题意；
D.三角形的面积为，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据题目中各选项图示所表达的数量关系，建立相应的代数表达式进行分析。
10．【答案】A
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】∵当时，，即，
∴.
当时，，
∵，
∴原式
故选：A．
【分析】本题考查代数式求值的基本方法，关键在于正确运用代入法和符号变换。
11．【答案】B
【知识点】有理数的减法法则；有理数在数轴上的表示；有理数的大小比较-数轴比较法；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知，，，，
①，故正确；
②，故正确；
③，，则，故原式错误；
④，，则；故正确；
⑤在与之间有3个整数，故原说法错误；
则正确的个数为3，
故选：B．
【分析】本题考查数轴表示有理数的方法，理解有理数的概念是解题关键。
12．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】延长交于点，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：C．
【分析】本题主要考查平行线性质的应用和角度计算能力，解题关键在于正确运用平行线的性质定理
13．【答案】
【知识点】化简多重符号有理数
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】本题考查了化简带有符号的表达式。根据有理数的符号规则，负号作用于正数时，结果为该数的相反数。
14．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】科学记数法的形式为，其中，为整数，
的小数点向左移动5位，得到，
因此．
故答案为：．
【分析】把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
15．【答案】
【知识点】幂的排列
【解析】【解答】解：将多项式按字母的升幂排列为．
故答案为：．
【分析】根据多项式升幂排列的要求，需要将各项按照字母的指数从小到大进行排列。
16．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】设，
则，
所以，
即，
解得．
故答案为：．
【分析】通过设立变量建立方程，将循环小数转换为分数形式。此解法主要运用一元一次方程的知识，关键在于找出循环小数的等量关系。
17．【答案】或
【知识点】线段的中点；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵点，分别表示的数为，，设点的运动时间为秒，则秒后，点表示的数为，
∵点是的中点，
∴点表示的数为
∴
∵，
∴
解得：或
故答案为：或
【分析】本题主要考查数轴上两点间距离的计算、绝对值的几何意义、线段中点性质以及一元一次方程的解法。设点的运动时间为秒，则经过秒后，点在数轴上对应的数值可表示为。根据点是线段的中点这一条件，可确定点对应的数值。再根据题目给定的条件建立方程，通过解这个方程即可求得最终结果。
18．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】=解：观察题干数字，得出第m组有个偶数，第1组数字的总数量为个，，最后一个偶数．
前2组数字的总数量为7个，，最后一个偶数．
以此类推得前m组数字的总数量为，第m组最后一个偶数．
依题意，，
当时，；
当时，，
故．
∴前42组总数字的数量是，
则第43组第一个偶数为．
设第43组第n个数为，则，
令，
解得，
∴，
∴．
因此．
故答案为：．
【分析】本题考查数字排列的规律。根据题目描述，第m组包含个偶数，前m组数字总数为，且第m组的最后一个偶数是。通过解不等式，确定m=43，然后计算该组内的位置n=26，最终求出n-m的值即可得到答案。
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握运算法则是解题关键。
(1) 解题步骤：先求绝对值与乘方运算，再进行除法运算，最后完成加法运算
(2) 运用有理数乘法运算律进行计算即可得到结果。
（1）解：
；
（2）解：
．
20．【答案】解：
，
当，时，原式
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】本题主要考查整式的加减运算和代数式求值。首先需要对给定的多项式进行化简，通过去括号和合并同类项等步骤完成化简，最后将给定的x和y值代入求值。解题关键在于熟练掌握整式运算的基本法则。
21．【答案】两直线平行，同位角相等；等量代换；；两直线平行，同旁内角互补；
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵（已知），∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴
故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；；两直线平行，同旁内角互补；．
【分析】本题主要考查平行线的性质与判定。根据题目条件，利用平行线的性质可以推导出，从而证明。进一步应用平行线的性质即可完成解答。
22．【答案】（1）解：由表格可得：该同学家用水量最多的一天比最少的一天多升
（2）解：
，
∵，
∴该同学家这周用水量达标
（3）解：前四天的水费为：
（元），
后三天的水费为：
（元），
故该同学家这周一共缴纳水费为（元）
【知识点】有理数混合运算的实际应用；正数、负数的实际应用；有理数减法的实际应用
【解析】【分析】本题主要考查正数和负数的概念，以及有理数混合运算的实际应用。解题关键在于正确理解题意并准确计算。
（1）根据题目要求，列出相应的算式，运用有理数的减法法则进行计算，即可得到答案；
（2）通过有理数的加减混合运算，求出该同学家一周的总用水量，然后与标准值进行比较，得出结论；
（3）分别计算前四天和后三天的水费支出，将两部分费用相加，即可得到最终需要缴纳的总水费金额。
（1）解：由表格可得：该同学家用水量最多的一天比最少的一天多升；
（2）解：
，
∵，
∴该同学家这周用水量达标；
（3）解：前四天的水费为：
（元），
后三天的水费为：
（元），
故该同学家这周一共缴纳水费为（元）．
23．【答案】解：∵点是线段的中点，∴，
∵，
，
，
，
∵，
，
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】本题主要考查线段中点性质以及线段之间的加减乘除运算关系，理解并灵活运用线段的倍数关系是解决此类问题的关键。
24．【答案】（1）解：租赁男生合唱服装费用，租赁女生合唱服装费用，
则租赁服装的总费用．
故答案为：．
（2）解：第一次购买的费用，第二次购买的费用，
则两次购买小红旗的总花费．
故答案为：
（3）解：班服装租赁费和小红旗采购费的总金额为：
将，代入
得：（元）
故答案为：（元）
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解析】（1）计算租赁服装总费用时，需将男生服装租赁费用与女生服装租赁费用相加；
（2）两次购买小红旗的总支出包含第一次购买费用和第二次购买费用之和；
（3）将具体数值代入给定代数式即可求得结果。
（1）解：租赁男生合唱服装费用，租赁女生合唱服装费用，
则租赁服装的总费用．
故答案为：．
（2）解：第一次购买的费用，第二次购买的费用，
则两次购买小红旗的总花费．
故答案为：
（3）解：班服装租赁费和小红旗采购费的总金额为：
将，代入
得：（元）
故答案为：（元）．
25．【答案】解：任务1，长方体包装盒的容积为，任务2，容积变大；
理由：设半径为，
∴，
∴，
∴直径为，
∴高为，
∴圆柱形包装盒的容积为：，
∵，
∴容积变大．
任务3，图1中的阴影部分面积为，
则包装盒的表面积为：，
图2中的阴影部分面积为，
包装盒的表面积为：，
，
∴红红的方案节省材料
【知识点】已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【分析】本题考查长方体和圆柱的体积计算。
任务1：使用长方体的体积公式计算体积；
任务2：先确定圆柱底面圆的半径，再应用圆柱的体积公式求解；
任务3：计算纸板阴影部分的面积，并进行比较分析。
26．【答案】[问题探究]（1）解：∵，∴，，
（2）∵，
∴，
即；
[类比探究] （1）解：；
理由如下：
，
，
，
恰好平分，
，
，
；
（2）解：①当是、构成夹角的平分线，
，
（秒）；
②当是、构成夹角的平分线，
，
（秒）；
③当是、构成夹角的平分线，
，
绕旋转了，
（秒）；
综上所述：的值为秒或秒或秒
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】[问题探究]（1）利用角的和差关系可得：，，据此求解；
（2）由关系式求解；
[类比探究]（1）通过角的和差及角平分线定义得出：，，再运用余角性质求解；
（2）分三种情况讨论：①当是、的夹角平分线；②当是、的夹角平分线；③当是、的夹角平分线。结合角平分线定义计算旋转角度后求解.
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一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑．
1．的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】 解：由题可得：，
故选：A．
【分析】本题考查绝对值的概念，掌握绝对值的定义是解题关键。根据绝对值的定义可直接得出答案。
2．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】∵ 选项A中，和不是同类项，不能合并，∴ A错误；∵ 选项B中，，∴ B错误；
∵ 选项C中，和是同类项，，∴ C正确；
∵ 选项D中，和是同类项，，∴ D错误；
∴ 故选：C．
【分析】根据合并同类项的原则，只有字母部分完全相同的项才能进行合并，不同类别的项（如常数项或不同字母的项）无法合并。
本题主要考查合并同类项的运算能力，正确理解合并同类项的法则是解题的核心。
3．如图是由边长相等的小正方形组成的图形，从以下4个位置中选取一个正方形可以与实线部分的五个正方形组成正方体的展开图的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：正方形①③④与实线部分的五个正方形组成的图形出现重叠的面，所以不能围成正方体．
故选：B．
【分析】本题考查正方体展开图的相关知识。在正方体的平面展开图中，相对的面之间必定间隔一个正方形，根据这一特点进行分析判断。
4．用代数式表示“、两数和的平方”，下列表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：用代数式表示“、两数和的平方”为，
故选：D．
【分析】本题考查代数式的表示方法。首先需要表示出两个数的和，然后对这个和进行平方运算，最终得到正确的结果表达式。
5．单项式与单项式的次数相同，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】单项式的次数与系数；同类项的概念
【解析】【解答】∵ 单项式 的次数为，单项式 的次数为，
又∵ 两个单项式的次数相同，
∴，
∴．
故选：D．【分析】 本题考查单项式次数的定义，需明确次数是字母指数之和（对多字母单项式）或直接为指数（对单字母单项式）。正确建立次数相等的方程是解题的核心步骤。
6．皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用幕布进行表演的民间戏剧，是中国民间古老的传统艺术．在表演过程中，当光源离人物剪影越来越远时，落在幕布上的皮影会（ ）
A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．无法确定
【答案】B
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：由题意，当光源离人物剪影越来越远时，落在幕布上的皮影会逐渐变小；
故选B．
【分析】本题考查中心投影的性质。根据中心投影的几何特性，当光源与物体之间的距离增大时，物体在投影面上的影子尺寸会相应减小，由此可作出判断。
7．下列说法正确的是（　　）
A．小于的角是钝角
B．和为的两个角互为邻补角
C．多项式是三次三项式
D．负数的绝对值大于它本身，正数的绝对值小于它本身
【答案】C
【知识点】角的概念及表示；多项式的项、系数与次数；邻补角；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵钝角定义为大于且小于的角，小于的角包括锐角、直角等，故A错误；∵邻补角需有公共边且和为，仅和为不一定满足邻补角条件，故B错误；
∵多项式中，最高次项的次数为（的指数和为），且项数为，故C正确；
∵负数的绝对值大于它本身，但正数的绝对值等于它本身，并非小于它本身，故D错误；
故选：C．
【分析】本题综合考查角的概念、邻补角定义、多项式次数以及绝对值性质，需要根据相关定义逐一分析判断。
8．如图，直线、交于点，是的平分线，已知，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：直线、交于点，则，
∵，
，
，
∵是的平分线，
，
，
故选：D．
【分析】首先利用对顶角性质求出的度数，再通过邻补角关系求得，最后根据角平分线定义完成计算。
9．下列选项中，能用“”表示的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：A.线段长为，故此选项不符合题意；B.组合图形的面积等于，故此选项不符合题意；
C.长方形的周长为，故此选项符合题意；
D.三角形的面积为，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据题目中各选项图示所表达的数量关系，建立相应的代数表达式进行分析。
10．已知时，代数式的值为17，则时，代数式的值为（　　）
A． B． C． D．14
【答案】A
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】∵当时，，即，
∴.
当时，，
∵，
∴原式
故选：A．
【分析】本题考查代数式求值的基本方法，关键在于正确运用代入法和符号变换。
11．如图，数轴上的点表示的数分别是、、，下列说法：①；②；③；④；⑤在与之间有2个整数．正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】有理数的减法法则；有理数在数轴上的表示；有理数的大小比较-数轴比较法；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知，，，，
①，故正确；
②，故正确；
③，，则，故原式错误；
④，，则；故正确；
⑤在与之间有3个整数，故原说法错误；
则正确的个数为3，
故选：B．
【分析】本题考查数轴表示有理数的方法，理解有理数的概念是解题关键。
12．如图是某射箭运动员瞬间的示意图，已知，，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】延长交于点，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：C．
【分析】本题主要考查平行线性质的应用和角度计算能力，解题关键在于正确运用平行线的性质定理
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上．
13．计算：　 　．
【答案】
【知识点】化简多重符号有理数
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】本题考查了化简带有符号的表达式。根据有理数的符号规则，负号作用于正数时，结果为该数的相反数。
14．2025年11月25日神舟二十二号由长征二号F遥二十二运载火箭发射，该火箭起飞质量约497000千克，497000用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】科学记数法的形式为，其中，为整数，
的小数点向左移动5位，得到，
因此．
故答案为：．
【分析】把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
15．将多项式按字母的升幂排列为　 　．
【答案】
【知识点】幂的排列
【解析】【解答】解：将多项式按字母的升幂排列为．
故答案为：．
【分析】根据多项式升幂排列的要求，需要将各项按照字母的指数从小到大进行排列。
16．将无限循环小数化为分数的结果是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】设，
则，
所以，
即，
解得．
故答案为：．
【分析】通过设立变量建立方程，将循环小数转换为分数形式。此解法主要运用一元一次方程的知识，关键在于找出循环小数的等量关系。
17．如图，在数轴上个单位长度表示，点，分别表示的数为，，点是数轴上的一个动点，从点出发以的速度匀速向右运动，点是的中点，设点的运动时间为秒，当　 　时，线段．
【答案】或
【知识点】线段的中点；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵点，分别表示的数为，，设点的运动时间为秒，则秒后，点表示的数为，
∵点是的中点，
∴点表示的数为
∴
∵，
∴
解得：或
故答案为：或
【分析】本题主要考查数轴上两点间距离的计算、绝对值的几何意义、线段中点性质以及一元一次方程的解法。设点的运动时间为秒，则经过秒后，点在数轴上对应的数值可表示为。根据点是线段的中点这一条件，可确定点对应的数值。再根据题目给定的条件建立方程，通过解这个方程即可求得最终结果。
18．把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：
第一组：2，4，6；
第二组：8，10，12，14；
第三组：16，18，20，22，24；
第四组：26，28，30，32，34，36；
……
现在用表示第组从左往右数第个数是，如果，则　 　．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】=解：观察题干数字，得出第m组有个偶数，第1组数字的总数量为个，，最后一个偶数．
前2组数字的总数量为7个，，最后一个偶数．
以此类推得前m组数字的总数量为，第m组最后一个偶数．
依题意，，
当时，；
当时，，
故．
∴前42组总数字的数量是，
则第43组第一个偶数为．
设第43组第n个数为，则，
令，
解得，
∴，
∴．
因此．
故答案为：．
【分析】本题考查数字排列的规律。根据题目描述，第m组包含个偶数，前m组数字总数为，且第m组的最后一个偶数是。通过解不等式，确定m=43，然后计算该组内的位置n=26，最终求出n-m的值即可得到答案。
三、解答题：本大题共8个小题，共78分．
19．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握运算法则是解题关键。
(1) 解题步骤：先求绝对值与乘方运算，再进行除法运算，最后完成加法运算
(2) 运用有理数乘法运算律进行计算即可得到结果。
（1）解：
；
（2）解：
．
20．先化简，再求值：（其中，）
【答案】解：
，
当，时，原式
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】本题主要考查整式的加减运算和代数式求值。首先需要对给定的多项式进行化简，通过去括号和合并同类项等步骤完成化简，最后将给定的x和y值代入求值。解题关键在于熟练掌握整式运算的基本法则。
21．已知：如图，，，．求的度数．（请将解答过程补充完整）
解：∵（已知），
∴（ ），
又∵（已知），
∴（ ），
∴________________（内错角相等，两直线平行），
∴（ ），
∵（已知），
∴________________．
【答案】两直线平行，同位角相等；等量代换；；两直线平行，同旁内角互补；
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵（已知），∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴
故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；；两直线平行，同旁内角互补；．
【分析】本题主要考查平行线的性质与判定。根据题目条件，利用平行线的性质可以推导出，从而证明。进一步应用平行线的性质即可完成解答。
22．某校为培养学生节约用水的习惯，对学生家庭每日用水量进行统计．若规定每户每日用水量标准为，超过的部分记为“”，不足的部分记为“”，下表记录了某同学家一周七天的用水量数据（单位：）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
用水量（）
已知：吨，居民用水原价为2.75元/吨．
（1）该同学家用水量最多的一天比最少的一天多多少升？
（2）该同学家这周的总用水量是多少升？若规定每周用水量不超过即为节水达标，判断该同学家这周用水量是否达标？
（3）若该同学家这周前4天按原价缴纳水费，后3天因参与节水活动每吨减少0.2元，求该同学家这周一共缴纳多少水费？（结果保留两位小数）
【答案】（1）解：由表格可得：该同学家用水量最多的一天比最少的一天多升
（2）解：
，
∵，
∴该同学家这周用水量达标
（3）解：前四天的水费为：
（元），
后三天的水费为：
（元），
故该同学家这周一共缴纳水费为（元）
【知识点】有理数混合运算的实际应用；正数、负数的实际应用；有理数减法的实际应用
【解析】【分析】本题主要考查正数和负数的概念，以及有理数混合运算的实际应用。解题关键在于正确理解题意并准确计算。
（1）根据题目要求，列出相应的算式，运用有理数的减法法则进行计算，即可得到答案；
（2）通过有理数的加减混合运算，求出该同学家一周的总用水量，然后与标准值进行比较，得出结论；
（3）分别计算前四天和后三天的水费支出，将两部分费用相加，即可得到最终需要缴纳的总水费金额。
（1）解：由表格可得：该同学家用水量最多的一天比最少的一天多升；
（2）解：
，
∵，
∴该同学家这周用水量达标；
（3）解：前四天的水费为：
（元），
后三天的水费为：
（元），
故该同学家这周一共缴纳水费为（元）．
23．如图，已知点是线段的中点，，，，求线段的长．
【答案】解：∵点是线段的中点，∴，
∵，
，
，
，
∵，
，
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】本题主要考查线段中点性质以及线段之间的加减乘除运算关系，理解并灵活运用线段的倍数关系是解决此类问题的关键。
24．为纪念“一二·九”运动，某校七年级举办歌咏比赛，某班积极筹备相关物资：租赁男生合唱服装12套，每套租金元；租赁女生合唱服装18套，每套租金比男生每套少元．班委分两次购买小红旗，第一次买20面，每面元；第二次购买的数量比第一次多10面，每面单价少0.5元．根据以上信息，解答下列问题：
（1）求该班租赁服装的总费用（用含的整式表示）．
（2）求该班两次购买小红旗的总花费（用含的整式表示）．
（3）若，，计算该班服装租赁费和小红旗采购费的总金额．
【答案】（1）解：租赁男生合唱服装费用，租赁女生合唱服装费用，
则租赁服装的总费用．
故答案为：．
（2）解：第一次购买的费用，第二次购买的费用，
则两次购买小红旗的总花费．
故答案为：
（3）解：班服装租赁费和小红旗采购费的总金额为：
将，代入
得：（元）
故答案为：（元）
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解析】（1）计算租赁服装总费用时，需将男生服装租赁费用与女生服装租赁费用相加；
（2）两次购买小红旗的总支出包含第一次购买费用和第二次购买费用之和；
（3）将具体数值代入给定代数式即可求得结果。
（1）解：租赁男生合唱服装费用，租赁女生合唱服装费用，
则租赁服装的总费用．
故答案为：．
（2）解：第一次购买的费用，第二次购买的费用，
则两次购买小红旗的总花费．
故答案为：
（3）解：班服装租赁费和小红旗采购费的总金额为：
将，代入
得：（元）
故答案为：（元）．
25．(项目学习·探究包装盒的制作)根据材料，完成任务．
项目主题 设计经济适用的包装盒
项目背景 为了减少包装盒产生的垃圾，红红和她的数学兴趣小组想通过实验，设计出一款经济适用的包装盒，现有一个长，宽的长方形硬纸板．(纸板厚度忽略不计)
素材1 常规的设计方案如图1，在纸板上截去图中阴影部分，盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折叠成一个有盖的长方体包装盒．
素材2 从实用和减少包装材料的角度考虑；是否有增加包装盒容积或节省纸板材料的方法？红红提出可以设计成如图2，在纸板中截去图中阴影部分，然后沿虚线折叠成一个有盖的圆柱体包装盒．
任务1 计算长方体包装盒的容积？
任务2 计算圆柱体包装盒的容积，判断红红的方案是否使包装盒的容积变大？(取3)
任务3 计算两种方案纸板的使用面积，判断红红的方案是否节省材料？(取3)
【答案】解：任务1，长方体包装盒的容积为，任务2，容积变大；
理由：设半径为，
∴，
∴，
∴直径为，
∴高为，
∴圆柱形包装盒的容积为：，
∵，
∴容积变大．
任务3，图1中的阴影部分面积为，
则包装盒的表面积为：，
图2中的阴影部分面积为，
包装盒的表面积为：，
，
∴红红的方案节省材料
【知识点】已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【分析】本题考查长方体和圆柱的体积计算。
任务1：使用长方体的体积公式计算体积；
任务2：先确定圆柱底面圆的半径，再应用圆柱的体积公式求解；
任务3：计算纸板阴影部分的面积，并进行比较分析。
26．【问题探究】如图1，将两个形状、大小完全相同的含角的直角三角板的直角顶点重合放置在直线上．
（1）若，则________，________；
（2）写出与的数量关系，并说明理由；
【类比探究】若将图1中的直角三角板绕点以度每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转的时间为秒，．
（1）当直角三角板旋转到如图2所示的位置时，恰好平分，试猜想此时与之间的数量关系，并说明理由；
（2）在旋转的过程中，射线、、中的一条是另外两条所构成的角的平分线，求的值．
【答案】[问题探究]（1）解：∵，∴，，
（2）∵，
∴，
即；
[类比探究] （1）解：；
理由如下：
，
，
，
恰好平分，
，
，
；
（2）解：①当是、构成夹角的平分线，
，
（秒）；
②当是、构成夹角的平分线，
，
（秒）；
③当是、构成夹角的平分线，
，
绕旋转了，
（秒）；
综上所述：的值为秒或秒或秒
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】[问题探究]（1）利用角的和差关系可得：，，据此求解；
（2）由关系式求解；
[类比探究]（1）通过角的和差及角平分线定义得出：，，再运用余角性质求解；
（2）分三种情况讨论：①当是、的夹角平分线；②当是、的夹角平分线；③当是、的夹角平分线。结合角平分线定义计算旋转角度后求解.
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