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广东省中山一中教育集团2026年中考数学诊断试卷
1． 下列银行图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A：图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B：图案是轴对称图形，有是中心对称图形，所以B符合题意；
C：图案既不是轴对称，也不是中心对称图形，所以C不符合题意；
D：图案不是轴对称，是中心对称图形，所以D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
2．一个不透明的袋中，装有1个黄球、2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同.从袋中任意摸出一个球，是红球的概率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵袋中共有1个黄球，2个红球，5个白球，所有球除颜色外都相同
∴从袋中任意摸出一个球，是红球的概率为，
故答案为：A.．
【分析】根据概率公式计算即可．
3． 将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转 90°，所得图形一定能与原图形重合的是(　　)
A．平行四边形 B．长方形 C．正六边形 D．正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；正方形的性质；旋转的性质；旋转对称图形
【解析】【解答】解：A： 平行四边形绕其对角线的交点逆时针旋转 180°，所得图形与才能与原图形重合，所以A不符合题意；
B： 长方形绕其对角线的交点逆时针旋转 180°，所得图形才能与与原图形重合，所以B不符合题意；
C： 正六边形绕其对角线的交点逆时针旋转 180°，所得图形才能与与原图形重合，所以C不符合题意；
D： 正方形绕其对角线的交点逆时针旋转 90°，所得图形能与原图形重合，所以D符合题意。
故答案为：D.
【分析】根据旋转对称的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
4． 如图，已知△ABC与△DEF，下列条件一定能推得它们相似的是(　　)
A． B．
C．∠A=∠D， ∠B=∠E D．∠A=∠B， ∠D=∠E
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A：已知两边对应成比例，且其中一边的对角对应相等，不能判定 △ABC与△DEF相似，所以A不正确；
B：已知两边对应成比例，且其中一边的对角对应相等，不能判定 △ABC与△DEF相似，所以B不正确；
C：已知两角对应相等，可得出△ABC与△DEF相似，所以C正确；
D：由条件不能得出两个三角形之间的边角之间的关系，无法判定△ABC与△DEF相似，所以D不正确；
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定，逐项进行判断，即可得出答案。
5． 下列现象中，不属于中心投影的是(　　)
A．路灯下人的影子 B．电影院银幕上的影子
C．阳光下窗框的影子 D．探照灯下物体的影子
【答案】C
【知识点】平行投影；中心投影
【解析】【解答】解：A： 路灯下人的影子是中心投影，所以A不符合题意；
B： 电影院银幕上的影子是中心投影，所以B不符合题意；
C： 阳光下窗框的影子是平行投影，不是中心投影，所以C符合题意；
D： 探照灯下物体的影子 是中心投影，所以D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据中心投影和平行投影的定义逐项进行判断，即可得出答案。
6． 如图， △ABD内接于⊙O，连接 OA， OB，若∠AOB=70°，则∠D度数是(　　)
A．50° B．25° C．40° D．35°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∠D=
故答案为：D.
【分析】根据圆周角定理及可得出答案。
7． 若方程 的两根分别为 x1，x2，则
A．-1 B．-2 C．-3 D．-4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：根据根与系数的关系可得出：，
∴-1-2=-3
故答案为：C.
【分析】首先根据根与系数的关系可得出，进而整体代入即可得出答案。
8． 反比例函数 图象如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．k>0
B．y随 x的增大而减小
C．若矩形 OABC面积为 2，则 k=-2
D．若图象上点 B的坐标是 (-2，1) ，则当 x<-2时， y的取值范围是 y<1
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：A：根据图象的一个分支在第二象限，可得出k＜0，所以A不正确；
B：由图象从左到右呈上升趋势，可知y随 x的增大而增大，所以B不正确；
C：根据 矩形 OABC面积为 2，可得出，再根据图象的位置，即可得出 k=-2，所以C正确；
D： 若图象上点 B的坐标是 (-2，1) ，则当 x<-2时， y的取值范围是0＜ y<1，所以D不正确。
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数的图象及其性质，逐项进行判断，及可得出答案。
9． 2025年 9月 13 日，第五届山西乐器产业博览会在太原市中国煤炭博物馆盛大启幕，为山西演出行业与乐器产业的协同发展注入新活力. 如图，乐器上的一根弦 AB长为 80cm，两个端点 A，B固定在乐器的板面上，支撑点 C是靠近点 B的黄金分割点(即 )，则支点 C到端点 B的距离为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵ AB= 80cm， ，
∴AC=，
∴CB=AB-AC=80-40（-1）=（120-40）（cm）。
故答案为：A.
【分析】首先根据黄金分割的定义可得出AC的长，进而根据CB=AB-AC即可得出答案。
10． 图形结合法既可以由数解决形的问题，也可以由形解决数的问题. 二次函数与其图象，由图象可以看出函数的开口方向、对称轴以及 y随 x的变化规律，也可以看出 x取某个值时，y的取值情况. 已知二次函数 的图象如图所示，有以下结论： ①ab>0； ②a-b>0； ③a+b+1<0； ④9a-3b+1>0. 其中所有正确结论的序号是(　　)
A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据抛物线的开口向下，可得出a＜0，
根据对称轴x=-1，可得出，即b=2a，即a，b同号，所以ab＞0，即①正确；
根据当x=-1时，图象有最高点，得出当x=-1时，y的值＞1，可得出a-b+1＞1，所以a-b＞0.即②正确；
由图象可知当x=1时，y＜0，所以a+b+1＜0，即③正确；
由图象可知当x=-3时，y＜0，可得出 9a-3b+1＜0，所以④不正确，
所以所有正确结论的序号是①②③。
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴及图像上的点的特征，逐项进行推理，即可得出答案。
11． 若关于 x的方程 有一根是 x=3，则另一个根是　 　.
【答案】-2
【知识点】解一元一次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一根为m，根据根与系数的关系可得出：m+3=1
∴m=-2.
故答案为：-2.
【分析】设方程的另一根为m，利用根与系数的关系可得出m+3=1，解方程即可得出m的值。
12． 将抛物线 向右平移 2个单位，再向上平移 3个单位，所得抛物线的表达式为　 　.
【答案】y= (x-2)2+4
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 将抛物线 向右平移 2个单位，再向上平移 3个单位，所得抛物线的表达式为：
y=（x-2）2+1+3即：y= (x-2)2+4
故答案为：y= (x-2)2+4.
【分析】根据二次函数的平移规律，即可得出抛物线的表达式为 y= (x-2)2+4.
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，则∠BAE＝　 　.
【答案】100°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，
∴∠CAE=40°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=60°+40°=100°.
故答案是：100°.
【分析】根据旋转角可得∠CAE=40°，然后根据∠BAE=∠BAC+∠CAE，代入数据进行计算即可得解.
14． 如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为 120°，弧长为 6π的扇形，则圆锥的高h为　 　.
【答案】6
【知识点】勾股定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为：R，
根据弧长计算公式，即可得出：
∴R=9.
设圆锥的店面半径为r，可得出
∴r=3
根据勾股定理可得出：h=
故答案为：6.
【分析】根据弧长计算公式可得出圆锥的母线长，再根据圆周长计算公式可得出圆锥底面的半径，进而根据勾股定理即可得出 圆锥的高h的长度。
15． 如图，矩形 ABCD的边 AB=4， AD=3， M为 BC的中点， P是矩形内部一动点，且满足∠APD=90°， N为边 CD上的一个动点，连接 PN， MN，则PN+MN的最小值为　 　.
【答案】3. 5
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】解：解：设AD的中点为点O，则以O为圆心，AD为半径作圆，点P就在这个圆上，作点M关于直线DC的对称点M'，连接OM'交圆O于点P’，交CD于N’，连接OP，M'N，如图：
∴MN = M'N，OP=OP'=r，OA=OD=AD，CM =CM'.
∴PN +MN = PN + M'N，
∵P是矩形内部一动点，N为边CD上的一个动点，两点之间线段最短，
.'.(PN + MN)min = P'N'+ M'N’=P'M'=OM' -OP'，
∵四边形ABCD为矩形，AD=3，AB=4，
∴AD=BC=3，AB=CD=4，∠BCD=90°，AD//BC，
∴OD//MC，
∵AD=3，
∴.圆O的半径r =0D=AD=x3=1.5，
∴OP =OP'=r=1.5，
∵M为BC的中点，AD=BC，
∴CM=CM'=BC=AD=OD=1.5
∴MM'=CM+CM' = 1.5+1.5=3，
∵∠BCD=90°，CM=OD，OD//MC，
∴四边形OMCD为矩形，
∴ ∠OMM’= 90°，OM=CD=4，
在Rt△OMM'中，
∴OM'=
∴(PN + MN)min = OM'-OP'=5-1.5 =3.5，
故答案为：3.5.
【分析】作点M关于直线DC的对称点M'，连接OM'交圆O于点P’，交CD于N’，连接OP，M'N，如图：根据对称的性质，可得出PN +MN = PN + M'N，进而根据两点点之间线段最短。可得出(PN + MN)min = P'N'+ M'N’=P'M'=OM' -OP'，进而根据矩形的性质及勾股定理可得出OM'和OP'的长度，进一步即可得出答案。
16． 计算：
【答案】解：解 ：
=
=
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的化简求值；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】首先根据平方根的性质，绝对值的性质及特殊锐角的三角函数值进行化简，进而再进行二次根式的加减即可。
17． 如图，直线 y=x+5与反比例函数 的图象交于点 A (a，6) .
（1）求 a的值和反比例函数的表达式.
（2）直线 y=x+5向下平移后与反比例函数 的图象交于点 B (b，2) ，求直线 y=x+5向下平移的距离.
【答案】（1）解：∵点A在 直线 y=x+5 上，
∴6=a+5，
∴a=1；
∵点A在 反比例函数 的图象上，
∴k=1×6=6，
∴ 反比例函数的表达式为：y=（x＞0）；
（2）解：∵ 点 B (b，2) 在 反比例函数y=（x＞0） 的图象上，
∴2b=6，
∴b=3，
设直线 y=x+5向下平移后的解析式为y=x+m，
∵点B在直线y=x+m上，
∴2=3+m，解得：m=-1，
∴直线 y=x+5向下平移后的解析式为y=x-1，
∵5-（-1）=6，
∴ 直线 y=x+5向下平移的距离为6.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据点A在在 直线 y=x+5 上，即可得出a的值，进而利用待定系数法即可得出反比例函数的表达式为：y=（x＞0）；
（2）由（1）知反比例函数的表达式为：y=（x＞0），进而根据点B在反比例函数y=（x＞0） 的图象上，即可得出b的值，进而利用待定系数法可得出直线y=x+5平移后的解析式，进一步即可得出 直线 y=x+5向下平移的距离.
18． 亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红. 据统计“江南忆”公仔在某电商平台 8月份的销售量是 5万件，10月份的销售量是 7. 2万件.
（1）若该平台 8月份到 10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少
（2）若增长率不变，则该吉祥物“江南忆”公仔 11月份的销售量是多少
【答案】（1）解：设月平均增长率是 x，
根据题意，得：5（1+x）2=7.2
解方程。得：x1=0.2=20%；x2=-2.2（舍去）
答：月平均增长率为 20%。
（2）解：7.2×（1+20%）=8.64（万件）
答：11月份的销售量是 8. 64万件
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设月平均增长率是 x，根据题意即可得出5（1+x）2=7.2，解方程并取符合题意的值即可；
（2）根据（1）的增长率，即可得出 11月份的销售量为7.2×（1+20%），进一步计算即可得出答案。
19． 2022 年 11月 21 日，卡塔尔足球世界杯正式开赛，本届世界杯口号是“此刻即所有(NowisAll)”. 某校为了了解学生对各类体育运动的喜爱程度，随机抽取部分学生进行问卷调查(每个被调查学生只能选择其中一种项目)，对调查结果统计后，绘制了如下统计图：
根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）此次调查抽取的学生人数为　 　人；
（2）补全条形统计图；
（3）学校准备从每一项运动中选择一位学生，并在他们中任意抽取两人进行体能测试，请用画树状图或列表的方法求正好抽到两人是喜爱“足球”和“乒乓球”运动的概率.
【答案】（1）100
（2）解：参加乒乓球的人数为：100-（10+40+20）=30（人）
补全条形统计图如下：
（3）解：设足球、篮球、羽毛球和乒乓球运动分别记为A、B、C、D，
画树状图为：
由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽到两人是喜爱"足球”和“乒乓球”运动的结果有2种，所以概率为：。
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1） 此次调查抽取的学生人数为 ：20÷20%=100（人）
故答案为：100；
【分析】（1）根据羽毛球人数除以羽毛球占抽取学生人数的百分比，即可得出答案；
（2）从总人数里边减去其他各组的的人数，即可得出参加乒乓球的人数，并补全条形统计图即可；
（3）设足球、篮球、羽毛球和乒乓球运动分别记为A、B、C、D，然后化树状图进行分析，得出共有12种等可能结果，其中抽到两人是喜爱"足球”和“乒乓球”运动的结果有2种，进而根据概率计算公式，即可得出答案。
20． 如图， AB为⊙O的直径，弦 CD与 AB交于点 E，过点 C的直线 MN∥AB， ∠C=75°， ∠D=45°.
（1）求证： MN是⊙O的切线； .
（2）若 AC=12，求 CD的长.
【答案】（1）证明：AB为⊙O的直径，弦 CD与 AB交于点 E，过点 C的直线 MN∥AB，连接 OC，
∵∠BDC=45°，
∴∠BAC=∠BDC=45°，
∴∠BOC=2∠BAC=90°，
∵MN经过点 C，且 MN∥AB，
∴∠OCM=∠BOC=90°，
∴MN是⊙O的切线
（2）解：如图，过点O作OF⊥CD于点F，
∵∠A=∠BDC=45°，OA=OC
∴∠AOC=90°，
∵AC=12
∴2OA2=122
∴OA=OC=6，
∵∠ ACD=75°，
∴∠OCF=30°，
∴OF=，
∴CF=
∴CD=2CF=2×= 。
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）首先根据圆周角定理可得出∠BOC=2∠BDC=90°，进而根据平行线的性质可得出∠OCM=∠BOC=90°，进而根据切线的判定即可得出MN是⊙O的切线 ；
（2）过点O作OF⊥CD于点F，根据圆周角定理可得出∠A=∠BDC=45°，进而得出∠AOC=90°，根据等腰三角形的性质及勾股定理可得出OA=OC=6，进而再根据含30°锐角的直角三角形的性质，可得出OF=，进而根据勾股定理得出CF=，再根据垂径定理。即可得出CD的长。
21． 【问题情境】
在我们的生活中，处处都蕴含着数学. 小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究. 他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁 (如图①)，另一类是洗手间内的旋转门锁 (如图②).
【问题提出】
数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图.
图③是图①门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由 和矩形 ABCD组成，且 圆心是倒锁按钮点 F，若 的弓形高EG=2cm，CD=8cm，此时可求出图③中圆心 F到 AB的距离.
图④是图②门锁的工作简化图，锁芯 O固定在门边 RP右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达 K处，把手绕锁芯 O旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边 N点处，此时∠NOS=20°. 将ON绕点 O顺时针旋转 90°得到 OQ，过点 Q作 QM⊥PR 于点 M. 若(QN所在圆的半径 ON=10cm，此时可求出 MN的长度. (参考数据：
【问题解决】
（1）请求出图③中圆心 F到 AB的距离；
（2）请求出图④中 MN的长度 (结果保留小数点后一位).
【答案】（1）解：连接AF，延长FH交圆弧AB于点T，
∵AB=DC，弓形高EG=2cm，
∴弓形高TH=2cm。
∵矩形ABCD，CD=8cm，
∴AB= 8cm， AH =-AB= 4cm。
设AF=xcm，则FH =(x - 2)cm。
在△AFH中，由勾股定理：
(x - 2)2 +42 =x2
x2-4x+4+16=x2
-4x=-20
x=5
∴FH=5-2=3cm。
答：圆心F到AB的距离为3cm.
（2）解：延长QM与KO交于点W。
∵∠WMN=∠MNS =∠NSO=90°，
∴∠W=90°。
∵ON绕点O顺时针旋转90°得OQ，
∴OQ=ON=10cm，∠QON =90°。
∴∠QOW + ∠NOS =90°。
∵∠NSO=90°，
∴∠NOS +∠ONS=90°。
∴∠ONS =∠QOW.
在△QWO和△OSN 中：
∠W=∠OSN=90°
∠QOW=∠ONS
OQ=ON
∴△QWO ≌△OSN (AAS)
∴WO =NS.
易证四边形MNSW是矩形，
∴MN=WS=OW+OS。
在Rt△ONS中：
NS=ON.sin∠NOS =10 . sin 20°≈10x0.342≈3.42
OS=ON·cos∠NOS=10.cos20°≈10x0.940≈9.40
∴MN =3.42+9.40=12.82≈12.8cm。
答：MN的长度约为12.8cm。
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接AF，延长FH交圆弧AB于点T，根据矩形的性质可得出AB= 8cm， AH =-AB= 4cm，设AF=rcm，则FH =(x - 2)cm。进而在△AFH中，由勾股定理可得出(x - 2)2 +42 =x2，解方程即可得出AF的长度，进而即可得出圆心F到AB的距离FH的长度；
（2）延长QM与KO交于点W，根据旋转的性质可得出OQ=ON=10cm，∠QON =90°，进而得出∠ONS =∠QOW.然后根据AAS可证得△QWO ≌△OSN，得出WO =NS.再根据四边形MNSW是矩形，可得出MN=WS=OW+OS，进而在在Rt△ONS中：解直角三角形即可得出NS=ON.sin∠NOS =10 . sin 20°≈10x0.342≈3.42，OS=ON·cos∠NOS=10.cos20°≈10x0.940≈9.40，进而得出答案。
22． 如图，直线 与 x轴交于点 A (3， 0)，与 y轴交于点 B. 抛物线 经过点 A，B.
（1）求点 B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M(m，0)为 x轴上一个动点，过点 M垂直于 x轴的直线与直线 AB 和抛物线分别交于点 P、N，点M在线段 OA上运动，若以 B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点 M的坐标.
【答案】（1）解：∵ 直线 与 x轴交于点 A (3， 0)，
∴0=
解得：c=2，
∴直线的解析式为：y=
令x=0，则y=2，
∴点B的坐标为（0，2）
∵ 抛物线 经过点 A，B.
∴
解得：
∴ 抛物线的解析式为：
（2）解：(2)由(1)可知直线解析式为y=：
∵ M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，
∴P(m，），N(m，），
∴PM=，AM=3-m，PN=-()=
∴△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM
∴∠BNP= ∠AMP=90°或∠NBP= ∠AMP=90°，
当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，
∴N点的纵坐标为2，
∴=2，解得m=0(舍去)或m=
∴M(，0）
当∠NBP =90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，
则∠NBC+∠BNC=90°，NC =m，BC=-2=，
∵∠NBP=90°，
∴∠NBC +∠ABO = 90°，
∴∠ABO=∠BNC，
∴RtRtBOA，
∴
∴
解得m=0(舍去)或m=
∴M(，0），
综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为 (，0），（）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式；一元二次方程的应用-动态几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）首先根据直线与x轴的交点可得出c=2，即可得出直线解析式，进而可得出直线与y轴的交点B的坐标，然后根据点A，B的坐标，利用待定系数法，即可得出抛物线的解析式；
（2）由(1)可知直线解析式为y=，根据M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，可得出P(m，），N(m，），进一步可得出PM=，AM=3-m，PN=-()=，然后根据△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，可分两种情况进行讨论：当∠BNP=90°时，M(，0）；当∠NBP =90°时，根据相似三角形的性质，可得出，解方程，可得出m的值，进而即可得出M(，0），综上即可得出当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为 (，0），（）。
23． 我们约定：如图 1， 与 x轴相交于 A (xA， yA) 、B (xB， yB)两点， 顶点为 M，而抛物线 的顶点恰好为 上的点 B，且经过 的顶点 M，那么我们将抛物线 称为抛物线 的“兄弟函数”.
（1）填空：抛物线 的“兄弟函数”为　 　；
（2）若抛物线 存在“兄弟函数”，求 c的取值范围；
（3）已知点 P是正比例函数 上一点，抛物线 从点 O出发，在射线 OP上移动，运动 t秒后，移动距离为 得到抛物线 G2，抛物线 G2的“兄弟函数”为 G3.
①当 t=3时，抛物线 G2的解析式为 ▲ ；
②当 t=4时，求抛物线 G3的解析式；
③设抛物线 G3与 G1的另一交点为 D，当 OM=MD时，求 t的值.
【答案】（1）y=2x2-4x+2
（2）解：存在“兄弟函数”，理由如下：
令y=-x2+2x+2=0，
当△=b2-4ac=4+4c>0时，
抛物线与x轴有2个交点，
解得：c>-l；
（3）解：由题可得，移动速度为每个单位长度，射线OP是角平分线，
抛物线y=-沿射线OP的方向运动，t秒钟向右移动了t个单位，向上移动了t个单位，
此时，G2：y=(x-t)2+t，顶点M为(t.t)，
令y=0，则x=1+2，点B的坐标为(t+2.0)，
同理可得：G3：y=(x-t-2)2，
①当t=3时，G2：y=-(x-t)2+t=-(x-3)2+3
②当t=4时，G3：y=(x-t-2)2=(x-8)2.
③由题可得G2：y=-(x-1)2+t，顶点M为(t，t)
∵G3：y=(x-t-2)2，直线OP的函数表达式为：y=x，
联立G1、G3，可得：(x-t-2）2=x，
整理得：x2-(2t+4+4)x+t2+4t+4t=0，
两个函数的交点为点M和点D，
由韦达定理得：xM+xD=-=-2t+4+4，
即：t+xD=2t+4 +4，
解得：xD=t+4+4，
∴点D的坐标为(t+4+4，t+4+4)，
∵点O的坐标为(0，0)，点M的坐标为(t，t)，点M为OD的中点，
点M为OD中点，则2t=t+4+4，
解得：t=12+8。
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解： （1）抛物线 的 顶点坐标为：（0，2），
令y=0，可得出-2x2+2=0，解得x=±1
∴点B的坐标为(1， 0)，顶点M坐标为(0， 2)，
设y=-2x2+2的“兄弟函数”的表达式为：y=a(x-I)2，
把点M坐标代入上式得：2=a(-1)2.解得：a=2，
∴y=-2x2+2的“兄弟函数”的解析式为y=2x2-4x+2，
【分析】（1）求出点B、M的坐标，用待定系数法求出y=-2x2+2的“兄弟函数”的解析式；
（2）根据“兄弟函数”的定义可知，若y=-x2+2x+2有“兄弟函数”，需要与x轴有两个交点，根据一元二次方程根的判别式即可求出c的取值范围；
（3）根据运动t秒后，移动距离为，可知抛物线y=-沿射线OP的方向运动，t秒钟向右移动了t个单位，向上移动了t个单位，根据平移的方向可以得到当t=3和t=4时抛物线的解析式；联立G1、G3，可得：(x-t-2)2=x，可得：xD=t+4 +4，根据点D在G1上，可知点D的坐标为(t+4 +4，t+4 +4)，因为点M为OD中点，可得2t=t+4 +4，解方程即可求出r的值；
1 / 1广东省中山一中教育集团2026年中考数学诊断试卷
1． 下列银行图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　)
A． B． C． D．
2．一个不透明的袋中，装有1个黄球、2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同.从袋中任意摸出一个球，是红球的概率是(　　)
A． B． C． D．
3． 将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转 90°，所得图形一定能与原图形重合的是(　　)
A．平行四边形 B．长方形 C．正六边形 D．正方形
4． 如图，已知△ABC与△DEF，下列条件一定能推得它们相似的是(　　)
A． B．
C．∠A=∠D， ∠B=∠E D．∠A=∠B， ∠D=∠E
5． 下列现象中，不属于中心投影的是(　　)
A．路灯下人的影子 B．电影院银幕上的影子
C．阳光下窗框的影子 D．探照灯下物体的影子
6． 如图， △ABD内接于⊙O，连接 OA， OB，若∠AOB=70°，则∠D度数是(　　)
A．50° B．25° C．40° D．35°
7． 若方程 的两根分别为 x1，x2，则
A．-1 B．-2 C．-3 D．-4
8． 反比例函数 图象如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．k>0
B．y随 x的增大而减小
C．若矩形 OABC面积为 2，则 k=-2
D．若图象上点 B的坐标是 (-2，1) ，则当 x<-2时， y的取值范围是 y<1
9． 2025年 9月 13 日，第五届山西乐器产业博览会在太原市中国煤炭博物馆盛大启幕，为山西演出行业与乐器产业的协同发展注入新活力. 如图，乐器上的一根弦 AB长为 80cm，两个端点 A，B固定在乐器的板面上，支撑点 C是靠近点 B的黄金分割点(即 )，则支点 C到端点 B的距离为(　　)
A． B． C． D．
10． 图形结合法既可以由数解决形的问题，也可以由形解决数的问题. 二次函数与其图象，由图象可以看出函数的开口方向、对称轴以及 y随 x的变化规律，也可以看出 x取某个值时，y的取值情况. 已知二次函数 的图象如图所示，有以下结论： ①ab>0； ②a-b>0； ③a+b+1<0； ④9a-3b+1>0. 其中所有正确结论的序号是(　　)
A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④
11． 若关于 x的方程 有一根是 x=3，则另一个根是　 　.
12． 将抛物线 向右平移 2个单位，再向上平移 3个单位，所得抛物线的表达式为　 　.
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，则∠BAE＝　 　.
14． 如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为 120°，弧长为 6π的扇形，则圆锥的高h为　 　.
15． 如图，矩形 ABCD的边 AB=4， AD=3， M为 BC的中点， P是矩形内部一动点，且满足∠APD=90°， N为边 CD上的一个动点，连接 PN， MN，则PN+MN的最小值为　 　.
16． 计算：
17． 如图，直线 y=x+5与反比例函数 的图象交于点 A (a，6) .
（1）求 a的值和反比例函数的表达式.
（2）直线 y=x+5向下平移后与反比例函数 的图象交于点 B (b，2) ，求直线 y=x+5向下平移的距离.
18． 亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红. 据统计“江南忆”公仔在某电商平台 8月份的销售量是 5万件，10月份的销售量是 7. 2万件.
（1）若该平台 8月份到 10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少
（2）若增长率不变，则该吉祥物“江南忆”公仔 11月份的销售量是多少
19． 2022 年 11月 21 日，卡塔尔足球世界杯正式开赛，本届世界杯口号是“此刻即所有(NowisAll)”. 某校为了了解学生对各类体育运动的喜爱程度，随机抽取部分学生进行问卷调查(每个被调查学生只能选择其中一种项目)，对调查结果统计后，绘制了如下统计图：
根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）此次调查抽取的学生人数为　 　人；
（2）补全条形统计图；
（3）学校准备从每一项运动中选择一位学生，并在他们中任意抽取两人进行体能测试，请用画树状图或列表的方法求正好抽到两人是喜爱“足球”和“乒乓球”运动的概率.
20． 如图， AB为⊙O的直径，弦 CD与 AB交于点 E，过点 C的直线 MN∥AB， ∠C=75°， ∠D=45°.
（1）求证： MN是⊙O的切线； .
（2）若 AC=12，求 CD的长.
21． 【问题情境】
在我们的生活中，处处都蕴含着数学. 小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究. 他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁 (如图①)，另一类是洗手间内的旋转门锁 (如图②).
【问题提出】
数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图.
图③是图①门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由 和矩形 ABCD组成，且 圆心是倒锁按钮点 F，若 的弓形高EG=2cm，CD=8cm，此时可求出图③中圆心 F到 AB的距离.
图④是图②门锁的工作简化图，锁芯 O固定在门边 RP右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达 K处，把手绕锁芯 O旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边 N点处，此时∠NOS=20°. 将ON绕点 O顺时针旋转 90°得到 OQ，过点 Q作 QM⊥PR 于点 M. 若(QN所在圆的半径 ON=10cm，此时可求出 MN的长度. (参考数据：
【问题解决】
（1）请求出图③中圆心 F到 AB的距离；
（2）请求出图④中 MN的长度 (结果保留小数点后一位).
22． 如图，直线 与 x轴交于点 A (3， 0)，与 y轴交于点 B. 抛物线 经过点 A，B.
（1）求点 B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M(m，0)为 x轴上一个动点，过点 M垂直于 x轴的直线与直线 AB 和抛物线分别交于点 P、N，点M在线段 OA上运动，若以 B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点 M的坐标.
23． 我们约定：如图 1， 与 x轴相交于 A (xA， yA) 、B (xB， yB)两点， 顶点为 M，而抛物线 的顶点恰好为 上的点 B，且经过 的顶点 M，那么我们将抛物线 称为抛物线 的“兄弟函数”.
（1）填空：抛物线 的“兄弟函数”为　 　；
（2）若抛物线 存在“兄弟函数”，求 c的取值范围；
（3）已知点 P是正比例函数 上一点，抛物线 从点 O出发，在射线 OP上移动，运动 t秒后，移动距离为 得到抛物线 G2，抛物线 G2的“兄弟函数”为 G3.
①当 t=3时，抛物线 G2的解析式为 ▲ ；
②当 t=4时，求抛物线 G3的解析式；
③设抛物线 G3与 G1的另一交点为 D，当 OM=MD时，求 t的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A：图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B：图案是轴对称图形，有是中心对称图形，所以B符合题意；
C：图案既不是轴对称，也不是中心对称图形，所以C不符合题意；
D：图案不是轴对称，是中心对称图形，所以D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵袋中共有1个黄球，2个红球，5个白球，所有球除颜色外都相同
∴从袋中任意摸出一个球，是红球的概率为，
故答案为：A.．
【分析】根据概率公式计算即可．
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；正方形的性质；旋转的性质；旋转对称图形
【解析】【解答】解：A： 平行四边形绕其对角线的交点逆时针旋转 180°，所得图形与才能与原图形重合，所以A不符合题意；
B： 长方形绕其对角线的交点逆时针旋转 180°，所得图形才能与与原图形重合，所以B不符合题意；
C： 正六边形绕其对角线的交点逆时针旋转 180°，所得图形才能与与原图形重合，所以C不符合题意；
D： 正方形绕其对角线的交点逆时针旋转 90°，所得图形能与原图形重合，所以D符合题意。
故答案为：D.
【分析】根据旋转对称的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A：已知两边对应成比例，且其中一边的对角对应相等，不能判定 △ABC与△DEF相似，所以A不正确；
B：已知两边对应成比例，且其中一边的对角对应相等，不能判定 △ABC与△DEF相似，所以B不正确；
C：已知两角对应相等，可得出△ABC与△DEF相似，所以C正确；
D：由条件不能得出两个三角形之间的边角之间的关系，无法判定△ABC与△DEF相似，所以D不正确；
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定，逐项进行判断，即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】平行投影；中心投影
【解析】【解答】解：A： 路灯下人的影子是中心投影，所以A不符合题意；
B： 电影院银幕上的影子是中心投影，所以B不符合题意；
C： 阳光下窗框的影子是平行投影，不是中心投影，所以C符合题意；
D： 探照灯下物体的影子 是中心投影，所以D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据中心投影和平行投影的定义逐项进行判断，即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∠D=
故答案为：D.
【分析】根据圆周角定理及可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：根据根与系数的关系可得出：，
∴-1-2=-3
故答案为：C.
【分析】首先根据根与系数的关系可得出，进而整体代入即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：A：根据图象的一个分支在第二象限，可得出k＜0，所以A不正确；
B：由图象从左到右呈上升趋势，可知y随 x的增大而增大，所以B不正确；
C：根据 矩形 OABC面积为 2，可得出，再根据图象的位置，即可得出 k=-2，所以C正确；
D： 若图象上点 B的坐标是 (-2，1) ，则当 x<-2时， y的取值范围是0＜ y<1，所以D不正确。
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数的图象及其性质，逐项进行判断，及可得出答案。
9．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵ AB= 80cm， ，
∴AC=，
∴CB=AB-AC=80-40（-1）=（120-40）（cm）。
故答案为：A.
【分析】首先根据黄金分割的定义可得出AC的长，进而根据CB=AB-AC即可得出答案。
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据抛物线的开口向下，可得出a＜0，
根据对称轴x=-1，可得出，即b=2a，即a，b同号，所以ab＞0，即①正确；
根据当x=-1时，图象有最高点，得出当x=-1时，y的值＞1，可得出a-b+1＞1，所以a-b＞0.即②正确；
由图象可知当x=1时，y＜0，所以a+b+1＜0，即③正确；
由图象可知当x=-3时，y＜0，可得出 9a-3b+1＜0，所以④不正确，
所以所有正确结论的序号是①②③。
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴及图像上的点的特征，逐项进行推理，即可得出答案。
11．【答案】-2
【知识点】解一元一次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一根为m，根据根与系数的关系可得出：m+3=1
∴m=-2.
故答案为：-2.
【分析】设方程的另一根为m，利用根与系数的关系可得出m+3=1，解方程即可得出m的值。
12．【答案】y= (x-2)2+4
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 将抛物线 向右平移 2个单位，再向上平移 3个单位，所得抛物线的表达式为：
y=（x-2）2+1+3即：y= (x-2)2+4
故答案为：y= (x-2)2+4.
【分析】根据二次函数的平移规律，即可得出抛物线的表达式为 y= (x-2)2+4.
13．【答案】100°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，
∴∠CAE=40°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=60°+40°=100°.
故答案是：100°.
【分析】根据旋转角可得∠CAE=40°，然后根据∠BAE=∠BAC+∠CAE，代入数据进行计算即可得解.
14．【答案】6
【知识点】勾股定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为：R，
根据弧长计算公式，即可得出：
∴R=9.
设圆锥的店面半径为r，可得出
∴r=3
根据勾股定理可得出：h=
故答案为：6.
【分析】根据弧长计算公式可得出圆锥的母线长，再根据圆周长计算公式可得出圆锥底面的半径，进而根据勾股定理即可得出 圆锥的高h的长度。
15．【答案】3. 5
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】解：解：设AD的中点为点O，则以O为圆心，AD为半径作圆，点P就在这个圆上，作点M关于直线DC的对称点M'，连接OM'交圆O于点P’，交CD于N’，连接OP，M'N，如图：
∴MN = M'N，OP=OP'=r，OA=OD=AD，CM =CM'.
∴PN +MN = PN + M'N，
∵P是矩形内部一动点，N为边CD上的一个动点，两点之间线段最短，
.'.(PN + MN)min = P'N'+ M'N’=P'M'=OM' -OP'，
∵四边形ABCD为矩形，AD=3，AB=4，
∴AD=BC=3，AB=CD=4，∠BCD=90°，AD//BC，
∴OD//MC，
∵AD=3，
∴.圆O的半径r =0D=AD=x3=1.5，
∴OP =OP'=r=1.5，
∵M为BC的中点，AD=BC，
∴CM=CM'=BC=AD=OD=1.5
∴MM'=CM+CM' = 1.5+1.5=3，
∵∠BCD=90°，CM=OD，OD//MC，
∴四边形OMCD为矩形，
∴ ∠OMM’= 90°，OM=CD=4，
在Rt△OMM'中，
∴OM'=
∴(PN + MN)min = OM'-OP'=5-1.5 =3.5，
故答案为：3.5.
【分析】作点M关于直线DC的对称点M'，连接OM'交圆O于点P’，交CD于N’，连接OP，M'N，如图：根据对称的性质，可得出PN +MN = PN + M'N，进而根据两点点之间线段最短。可得出(PN + MN)min = P'N'+ M'N’=P'M'=OM' -OP'，进而根据矩形的性质及勾股定理可得出OM'和OP'的长度，进一步即可得出答案。
16．【答案】解：解 ：
=
=
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的化简求值；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】首先根据平方根的性质，绝对值的性质及特殊锐角的三角函数值进行化简，进而再进行二次根式的加减即可。
17．【答案】（1）解：∵点A在 直线 y=x+5 上，
∴6=a+5，
∴a=1；
∵点A在 反比例函数 的图象上，
∴k=1×6=6，
∴ 反比例函数的表达式为：y=（x＞0）；
（2）解：∵ 点 B (b，2) 在 反比例函数y=（x＞0） 的图象上，
∴2b=6，
∴b=3，
设直线 y=x+5向下平移后的解析式为y=x+m，
∵点B在直线y=x+m上，
∴2=3+m，解得：m=-1，
∴直线 y=x+5向下平移后的解析式为y=x-1，
∵5-（-1）=6，
∴ 直线 y=x+5向下平移的距离为6.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据点A在在 直线 y=x+5 上，即可得出a的值，进而利用待定系数法即可得出反比例函数的表达式为：y=（x＞0）；
（2）由（1）知反比例函数的表达式为：y=（x＞0），进而根据点B在反比例函数y=（x＞0） 的图象上，即可得出b的值，进而利用待定系数法可得出直线y=x+5平移后的解析式，进一步即可得出 直线 y=x+5向下平移的距离.
18．【答案】（1）解：设月平均增长率是 x，
根据题意，得：5（1+x）2=7.2
解方程。得：x1=0.2=20%；x2=-2.2（舍去）
答：月平均增长率为 20%。
（2）解：7.2×（1+20%）=8.64（万件）
答：11月份的销售量是 8. 64万件
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设月平均增长率是 x，根据题意即可得出5（1+x）2=7.2，解方程并取符合题意的值即可；
（2）根据（1）的增长率，即可得出 11月份的销售量为7.2×（1+20%），进一步计算即可得出答案。
19．【答案】（1）100
（2）解：参加乒乓球的人数为：100-（10+40+20）=30（人）
补全条形统计图如下：
（3）解：设足球、篮球、羽毛球和乒乓球运动分别记为A、B、C、D，
画树状图为：
由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽到两人是喜爱"足球”和“乒乓球”运动的结果有2种，所以概率为：。
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1） 此次调查抽取的学生人数为 ：20÷20%=100（人）
故答案为：100；
【分析】（1）根据羽毛球人数除以羽毛球占抽取学生人数的百分比，即可得出答案；
（2）从总人数里边减去其他各组的的人数，即可得出参加乒乓球的人数，并补全条形统计图即可；
（3）设足球、篮球、羽毛球和乒乓球运动分别记为A、B、C、D，然后化树状图进行分析，得出共有12种等可能结果，其中抽到两人是喜爱"足球”和“乒乓球”运动的结果有2种，进而根据概率计算公式，即可得出答案。
20．【答案】（1）证明：AB为⊙O的直径，弦 CD与 AB交于点 E，过点 C的直线 MN∥AB，连接 OC，
∵∠BDC=45°，
∴∠BAC=∠BDC=45°，
∴∠BOC=2∠BAC=90°，
∵MN经过点 C，且 MN∥AB，
∴∠OCM=∠BOC=90°，
∴MN是⊙O的切线
（2）解：如图，过点O作OF⊥CD于点F，
∵∠A=∠BDC=45°，OA=OC
∴∠AOC=90°，
∵AC=12
∴2OA2=122
∴OA=OC=6，
∵∠ ACD=75°，
∴∠OCF=30°，
∴OF=，
∴CF=
∴CD=2CF=2×= 。
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）首先根据圆周角定理可得出∠BOC=2∠BDC=90°，进而根据平行线的性质可得出∠OCM=∠BOC=90°，进而根据切线的判定即可得出MN是⊙O的切线 ；
（2）过点O作OF⊥CD于点F，根据圆周角定理可得出∠A=∠BDC=45°，进而得出∠AOC=90°，根据等腰三角形的性质及勾股定理可得出OA=OC=6，进而再根据含30°锐角的直角三角形的性质，可得出OF=，进而根据勾股定理得出CF=，再根据垂径定理。即可得出CD的长。
21．【答案】（1）解：连接AF，延长FH交圆弧AB于点T，
∵AB=DC，弓形高EG=2cm，
∴弓形高TH=2cm。
∵矩形ABCD，CD=8cm，
∴AB= 8cm， AH =-AB= 4cm。
设AF=xcm，则FH =(x - 2)cm。
在△AFH中，由勾股定理：
(x - 2)2 +42 =x2
x2-4x+4+16=x2
-4x=-20
x=5
∴FH=5-2=3cm。
答：圆心F到AB的距离为3cm.
（2）解：延长QM与KO交于点W。
∵∠WMN=∠MNS =∠NSO=90°，
∴∠W=90°。
∵ON绕点O顺时针旋转90°得OQ，
∴OQ=ON=10cm，∠QON =90°。
∴∠QOW + ∠NOS =90°。
∵∠NSO=90°，
∴∠NOS +∠ONS=90°。
∴∠ONS =∠QOW.
在△QWO和△OSN 中：
∠W=∠OSN=90°
∠QOW=∠ONS
OQ=ON
∴△QWO ≌△OSN (AAS)
∴WO =NS.
易证四边形MNSW是矩形，
∴MN=WS=OW+OS。
在Rt△ONS中：
NS=ON.sin∠NOS =10 . sin 20°≈10x0.342≈3.42
OS=ON·cos∠NOS=10.cos20°≈10x0.940≈9.40
∴MN =3.42+9.40=12.82≈12.8cm。
答：MN的长度约为12.8cm。
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接AF，延长FH交圆弧AB于点T，根据矩形的性质可得出AB= 8cm， AH =-AB= 4cm，设AF=rcm，则FH =(x - 2)cm。进而在△AFH中，由勾股定理可得出(x - 2)2 +42 =x2，解方程即可得出AF的长度，进而即可得出圆心F到AB的距离FH的长度；
（2）延长QM与KO交于点W，根据旋转的性质可得出OQ=ON=10cm，∠QON =90°，进而得出∠ONS =∠QOW.然后根据AAS可证得△QWO ≌△OSN，得出WO =NS.再根据四边形MNSW是矩形，可得出MN=WS=OW+OS，进而在在Rt△ONS中：解直角三角形即可得出NS=ON.sin∠NOS =10 . sin 20°≈10x0.342≈3.42，OS=ON·cos∠NOS=10.cos20°≈10x0.940≈9.40，进而得出答案。
22．【答案】（1）解：∵ 直线 与 x轴交于点 A (3， 0)，
∴0=
解得：c=2，
∴直线的解析式为：y=
令x=0，则y=2，
∴点B的坐标为（0，2）
∵ 抛物线 经过点 A，B.
∴
解得：
∴ 抛物线的解析式为：
（2）解：(2)由(1)可知直线解析式为y=：
∵ M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，
∴P(m，），N(m，），
∴PM=，AM=3-m，PN=-()=
∴△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM
∴∠BNP= ∠AMP=90°或∠NBP= ∠AMP=90°，
当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，
∴N点的纵坐标为2，
∴=2，解得m=0(舍去)或m=
∴M(，0）
当∠NBP =90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，
则∠NBC+∠BNC=90°，NC =m，BC=-2=，
∵∠NBP=90°，
∴∠NBC +∠ABO = 90°，
∴∠ABO=∠BNC，
∴RtRtBOA，
∴
∴
解得m=0(舍去)或m=
∴M(，0），
综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为 (，0），（）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式；一元二次方程的应用-动态几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）首先根据直线与x轴的交点可得出c=2，即可得出直线解析式，进而可得出直线与y轴的交点B的坐标，然后根据点A，B的坐标，利用待定系数法，即可得出抛物线的解析式；
（2）由(1)可知直线解析式为y=，根据M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，可得出P(m，），N(m，），进一步可得出PM=，AM=3-m，PN=-()=，然后根据△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，可分两种情况进行讨论：当∠BNP=90°时，M(，0）；当∠NBP =90°时，根据相似三角形的性质，可得出，解方程，可得出m的值，进而即可得出M(，0），综上即可得出当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为 (，0），（）。
23．【答案】（1）y=2x2-4x+2
（2）解：存在“兄弟函数”，理由如下：
令y=-x2+2x+2=0，
当△=b2-4ac=4+4c>0时，
抛物线与x轴有2个交点，
解得：c>-l；
（3）解：由题可得，移动速度为每个单位长度，射线OP是角平分线，
抛物线y=-沿射线OP的方向运动，t秒钟向右移动了t个单位，向上移动了t个单位，
此时，G2：y=(x-t)2+t，顶点M为(t.t)，
令y=0，则x=1+2，点B的坐标为(t+2.0)，
同理可得：G3：y=(x-t-2)2，
①当t=3时，G2：y=-(x-t)2+t=-(x-3)2+3
②当t=4时，G3：y=(x-t-2)2=(x-8)2.
③由题可得G2：y=-(x-1)2+t，顶点M为(t，t)
∵G3：y=(x-t-2)2，直线OP的函数表达式为：y=x，
联立G1、G3，可得：(x-t-2）2=x，
整理得：x2-(2t+4+4)x+t2+4t+4t=0，
两个函数的交点为点M和点D，
由韦达定理得：xM+xD=-=-2t+4+4，
即：t+xD=2t+4 +4，
解得：xD=t+4+4，
∴点D的坐标为(t+4+4，t+4+4)，
∵点O的坐标为(0，0)，点M的坐标为(t，t)，点M为OD的中点，
点M为OD中点，则2t=t+4+4，
解得：t=12+8。
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解： （1）抛物线 的 顶点坐标为：（0，2），
令y=0，可得出-2x2+2=0，解得x=±1
∴点B的坐标为(1， 0)，顶点M坐标为(0， 2)，
设y=-2x2+2的“兄弟函数”的表达式为：y=a(x-I)2，
把点M坐标代入上式得：2=a(-1)2.解得：a=2，
∴y=-2x2+2的“兄弟函数”的解析式为y=2x2-4x+2，
【分析】（1）求出点B、M的坐标，用待定系数法求出y=-2x2+2的“兄弟函数”的解析式；
（2）根据“兄弟函数”的定义可知，若y=-x2+2x+2有“兄弟函数”，需要与x轴有两个交点，根据一元二次方程根的判别式即可求出c的取值范围；
（3）根据运动t秒后，移动距离为，可知抛物线y=-沿射线OP的方向运动，t秒钟向右移动了t个单位，向上移动了t个单位，根据平移的方向可以得到当t=3和t=4时抛物线的解析式；联立G1、G3，可得：(x-t-2)2=x，可得：xD=t+4 +4，根据点D在G1上，可知点D的坐标为(t+4 +4，t+4 +4)，因为点M为OD中点，可得2t=t+4 +4，解方程即可求出r的值；
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