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广东省梅州市五华县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知，下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，某社会实践学习小组为测量学校与河对岸江景房之间的距离，在学校附近选一点，利用测量仪器测得，，AC=300米．由此可求得学校与江景房之间的距离等于
A．150米 B．600米 C．800米 D．1200米
5．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，点是的中点．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
7．若关于的分式方程有增根，则的值是（　　）
A． B． C． D．
8．将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（　　）
A．100° B．80° C．70° D．60°
9．如图，正五边形绕点旋转了，当时，则（　　）
A． B． C． D．
10．如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，也平行于．其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．因式分解：　 　．
12．已知一个凸多边形的内角和等于五边形外角和的2倍，则这个凸多边形的边数是　 　．
13．进行心肺复苏急救措施时，一般胸外心脏按压速度x（单位：次）的范围如图所示，则x的取值范围可表示为　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到了线段，点A、B的对应点分别是点C、D，已知点，，，则点C的坐标为　 　．
15．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作，连接，则的最小值为　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．先化简，再求值：，其中．
17．解不等式组，并写出它的所有正整数解．
18．认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题．
（1）请你写出这四个图案都具有的三个共同特征；
（2）请在下面所给的两个网格纸中分别设计出一个图案（用阴影表示），使它也具备你所写出的上述三个特征．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．如图，在中，E，F是对角线上的两点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若．求线段长．
20．若且满足，求的值．
解：设，
则，
，
，
请仿照上面的方法解答下面的问题：
（1）若且满足，求的值．
（2）如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是48，分别以为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积．
21．第九届亚洲冬季运动会以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，于2025年2月7日在哈尔滨隆重开幕．吉祥物滨滨和妮妮在市场热销，某特许商店准备购进吉祥物滨滨和妮妮，已知每件滨滨的进价比每件妮妮的进价贵10元．用360元购买滨滨的件数恰好与用300元购买妮妮的件数相同．
（1）求滨滨、妮妮每件的进价分别是多少元？
（2）计划购买这两种商品共50件，且投入的经费不超过2650元，那么最多可购买多少件滨滨？
（3）在（2）的条件下，若滨滨的售价为每件80元，妮妮的售价为每件65元，则这50件商品全部售出后获得的最大利润是多少？
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与直线轴分别交于点．
（1）不等式的解集为______．
（2）在轴上是否存在一点，使得是以为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）若D，E分别是直线和轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．综合与实践
【问题情境】在综合与实践课上，老师出示了这样一个情境：
在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点D，E的对应点分别是点B，C．
【初探感知】（1）如图1，____________；
【深入领悟】（2）如图2，当线段经过点C时，求证：；
【融会贯通】（3）如图3，在旋转的过程中，当点D落在的延长线上时，过点E作，交的延长线于点G．请你判断线段和的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故Ａ正确.
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故Ｂ错误.
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故Ｃ错误.
D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故Ｄ错误.
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义分别判断Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项图形即可得答案.
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．∵，
∴，故不符合题意；
B． ∵，
∴，
∴，故符合题意；
C．∵，
∴，故不符合题意；
D． ∵，
∴，故不符合题意．
故选：B．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A．不是因式分解，故选项不符合题意；
B．不是因式分解，故选项不符合题意；
C．是因式分解，故选项符合题意；
D．不是因式分解，故选项不符合题意．
故选：C．
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
，，
∵AC=300米，
（米）.
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形性质，结合，，可求出 再根据所对的直角边是斜边的一半可得 即可得米.
5．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：，解得：.
故答案为：C．
【分析】题根据分式的意义条件，结合代数式即可得，解出即可得答案.
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴为的中位线，
∵，
∴.
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质得相等，根据点是的中点，结合平行四边形的性质可得为的中位线，根据三角形中位线的性质得，再根据即可得的长.
7．【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
关于的分式方程有增根，
，解得：．
故答案为：A ．
【分析】解分式方程得，解出关于的一元一次方程即可求出的值.
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠AEG=∠EGC，
∵∠EFG=90°，∠EGF=60°，
∴∠GEF=30°，
∴∠GEA=80°，
∴∠EGC=80°．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质得AB、DC平行，即可得∠AEG、∠EGC相等，根据∠EFG等于90°，∠EGF等于60°，结合根据三角形内角和定理得∠GEF等于30°，得到∠GEA为 80° ，可得∠EGC的度数．
9．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；旋转的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵正五边形的每一个内角为：
当时，
故答案为：C．
【分析】根据正五边形内角和公式可得到一个内角的度为数108度，当时，求得＝72度，进一步得
10．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：过点作于点，于点， 如图所示：
∵点是的平分线上的一点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；故①正确；
，
，即，
∵点是的平分线上的一个定点，
∴四边形的面积是一个定值，
∴四边形的面积是一个定值，故②正确；
如图，当时，点O与点F重合，
，
，
，
∴一定与不平行， 故③错误．
故选： C．
【分析】过点作于点，于点，根据角平分线性质可得，根据四边形内角和定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等边三角形判定定理可判断①，再根据割补法，结合三角形面积可判断②；当时，点O与点F重合，根据直线平行性质可得，再根据直线平行判定定理可判断③.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
12．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设这个凸多边形的边数是，由题意得：
，解得：.
故答案为：6．
【分析】根据多边形的内角和公式，结合题目情境可列方程，解出方程即可得答案.
13．【答案】
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：根据题意可得，
故答案为：．
【分析】根据在数轴上表示不等式组的解集即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由，可知，线段的平移方式为先向右平移7个单位长度，再向下平移2个单位长度，
，
对应点的坐标为即，
故答案为：．
【分析】根据点的平移即可求出答案.
15．【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
过作的垂线，则当最短时也最短，
∴的最小值为，
∵，，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】过作的垂线，即的最小值为，根据等于，等于，等于，进一步得，根据勾股定理得，再根据平行四边形的性质得相等，相等，等于的的一半，等于3，再求出，可得，即可得.
16．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x值代入即可求出答案.
17．【答案】解：，
解①得，
解②得．
则不等式组的解集是，
则不等式组的正整数解是1，2．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再求出正整数解即可.
18．【答案】（1）解：根据题意得这四个图案都具有的三个共同特征为：①都是轴对称图形.
②都是中心对称图形.③这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积.
（2）解：根据题意画图如下：
【知识点】轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；利用轴对称、旋转、平移设计图案
【解析】【分析】（1）根据轴对称图形以及中心对称的定义，观察图案即可得共同特征.
（2）根据（1）中的三个特征画出图形即可得答案.
（1）解：特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积；
（2）解：满足条件的图案有很多，这里画三个，三个都具有上述特征，如图所示：
19．【答案】（1）证明：连接BD交AC于点O，如下图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵AB⊥BF
∴∠ABF=90°
∵AB=8，BF=6
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，灵活运用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．
（1）连接，根据平行四边形的性质可得，根据已知证得，从而证得结论；
（2）根据勾股定理求出，然后求得，进而求出．
（1）证明：连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴．
20．【答案】（1）解：设，则：，
，
，
.
（2）解：根据题意得：
正方形的边长为，正方形的边长为，
长方形的面积是48，
，
设，则：，
，
，
阴影部分的面积为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）设，则，，根据完全平方公式变形求值即可得答案.
（2）根据题意得正方形的边长为，正方形的边长为，根据长方形的面积是48，得，设，则，再根据完全平方公式变形求值即可得答案.
（1）解：设，
则，
，
；
（2）解：由题意得：正方形的边长为，正方形的边长为，
长方形的面积是48，
，
设，
则，
，
，
阴影部分的面积为．
21．【答案】（1）解：设滨滨的进价每件是x元，则妮妮的进价每件是元，根据题意得：，解得，
经检验，是原方程的解.
∴，
∴滨滨每件的进价是60元，妮妮每件的进价是50元.
（2）解：设购买m件滨滨，则购买件妮妮，
∵投入的经费不超过2650元，
∴，
解得，
∴最多可购买15件滨滨；
（3）解：设全部售出后获得的利润是w元，
∴，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴时，w取最大值，最大值为（元），
∴这50件商品全部售出后获得的最大利润是825元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设滨滨的进价每件是x元，则妮妮的进价每件是元，根据题目情境即可列分式方程，解出后检验可得答案.
（2）设购买m件滨滨，则购买件妮妮，根据投入的经费不超过2650元可列不等式，解出即可得最多可购买15件滨滨.
（3）设全部售出后获得的利润是w元，根据题目情境得，再根据一次函数性质可得这50件商品全部售出后获得的最大利润是825元．
（1）解：设滨滨的进价每件是x元，则妮妮的进价每件是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
∴，
∴滨滨每件的进价是60元，妮妮每件的进价是50元；
（2）解：设购买m件滨滨，则购买件妮妮，
∵投入的经费不超过2650元，
∴，
解得，
∴最多可购买15件滨滨；
（3）解：设全部售出后获得的利润是w元，
∴，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴时，w取最大值，最大值为（元），
答：这50件商品全部售出后获得的最大利润是825元．
22．【答案】（1）
（2）解：存在，点的坐标为：或或.
（3）解：如图，
把代入，得：，解得：，
∴，
设，
∵以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴点先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点，
当四边形为平行四边形时，
∴点先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点，
∴，
∵点在轴上，
∴，
∴，
∴；
当四边形为平行四边形时，
∴点先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点，
∴，
∵点在轴上，
∴，
∴，
∴
综上：或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：如图，
∵直线与直线交于点，
由图象可知：的解集为：.
故答案为：.
（2）存在一点，使得是以为腰的等腰三角形，理由如下：
如图，
当时，，
∴，
∵，
∴；
当时，则：或.
当时，设，
∵，，
∴，
∴，
∴.
综上：或或.
【分析】（1）不等式的解可看作的图像在图像上方时自变量的取值范围，根据图象即可得不等式的解集.
（2）当时，，即可得，根据，可得，当相等，等于时，可得或，当相等时，设，
根据Ａ、Ｂ坐标得，解出m可得的坐标，综合即可得的坐标.
（3）把把坐标代入，列方程解得m、n的值，可得，设，根据以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形，得平行，相等，根据Ａ、Ｂ坐标得点先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点，当四边形为平行四边形时，根据平移得，再根据点在轴上，即可得，同理得当四边形为平行四边形时，，两种情况综合即可得答案.
（1）解：∵直线与直线交于点，
由图象可知：的解集为：；
（2）存在；
当时，，
∴，
∵，
∴；
当时，则：或；
当时，设，
∵，，
∴，
∴，
∴，
综上：或或；
（3）把代入，得：，
解得：，
∴，
设，
∵以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴点先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点，
当四边形为平行四边形时，
∴点先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点，
∴，
∵点在轴上，
∴，
∴，
∴；
当四边形为平行四边形时，
∴点先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点，
∴，
∵点在轴上，
∴，
∴，
∴
综上：或．
23．【答案】解：（1）67.5；
（2）证明：由旋转的性质得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3），
理由：如图3，延长交于点 H，
由旋转的性质得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）根据旋转的性质得到，
，，
；
故答案为：67.5.
【分析】（1）先利用旋转的性质可得，证出是等腰三角形， 再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求出即可；
（2）先求出，再利用角的运算求出，即可证出；
（3） 延长交于点 H， 先利用线段的和差及等量代换可得，再利用平行线的性质角的运算求出，再证出，结合，利用等量代换可得.
1 / 1广东省梅州市五华县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故Ａ正确.
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故Ｂ错误.
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故Ｃ错误.
D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故Ｄ错误.
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义分别判断Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项图形即可得答案.
2．已知，下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．∵，
∴，故不符合题意；
B． ∵，
∴，
∴，故符合题意；
C．∵，
∴，故不符合题意；
D． ∵，
∴，故不符合题意．
故选：B．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A．不是因式分解，故选项不符合题意；
B．不是因式分解，故选项不符合题意；
C．是因式分解，故选项符合题意；
D．不是因式分解，故选项不符合题意．
故选：C．
【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．如图，某社会实践学习小组为测量学校与河对岸江景房之间的距离，在学校附近选一点，利用测量仪器测得，，AC=300米．由此可求得学校与江景房之间的距离等于
A．150米 B．600米 C．800米 D．1200米
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
，，
∵AC=300米，
（米）.
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形性质，结合，，可求出 再根据所对的直角边是斜边的一半可得 即可得米.
5．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：，解得：.
故答案为：C．
【分析】题根据分式的意义条件，结合代数式即可得，解出即可得答案.
6．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，点是的中点．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴为的中位线，
∵，
∴.
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质得相等，根据点是的中点，结合平行四边形的性质可得为的中位线，根据三角形中位线的性质得，再根据即可得的长.
7．若关于的分式方程有增根，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
关于的分式方程有增根，
，解得：．
故答案为：A ．
【分析】解分式方程得，解出关于的一元一次方程即可求出的值.
8．将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（　　）
A．100° B．80° C．70° D．60°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠AEG=∠EGC，
∵∠EFG=90°，∠EGF=60°，
∴∠GEF=30°，
∴∠GEA=80°，
∴∠EGC=80°．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质得AB、DC平行，即可得∠AEG、∠EGC相等，根据∠EFG等于90°，∠EGF等于60°，结合根据三角形内角和定理得∠GEF等于30°，得到∠GEA为 80° ，可得∠EGC的度数．
9．如图，正五边形绕点旋转了，当时，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；旋转的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵正五边形的每一个内角为：
当时，
故答案为：C．
【分析】根据正五边形内角和公式可得到一个内角的度为数108度，当时，求得＝72度，进一步得
10．如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，也平行于．其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：过点作于点，于点， 如图所示：
∵点是的平分线上的一点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；故①正确；
，
，即，
∵点是的平分线上的一个定点，
∴四边形的面积是一个定值，
∴四边形的面积是一个定值，故②正确；
如图，当时，点O与点F重合，
，
，
，
∴一定与不平行， 故③错误．
故选： C．
【分析】过点作于点，于点，根据角平分线性质可得，根据四边形内角和定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等边三角形判定定理可判断①，再根据割补法，结合三角形面积可判断②；当时，点O与点F重合，根据直线平行性质可得，再根据直线平行判定定理可判断③.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
12．已知一个凸多边形的内角和等于五边形外角和的2倍，则这个凸多边形的边数是　 　．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设这个凸多边形的边数是，由题意得：
，解得：.
故答案为：6．
【分析】根据多边形的内角和公式，结合题目情境可列方程，解出方程即可得答案.
13．进行心肺复苏急救措施时，一般胸外心脏按压速度x（单位：次）的范围如图所示，则x的取值范围可表示为　 　．
【答案】
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：根据题意可得，
故答案为：．
【分析】根据在数轴上表示不等式组的解集即可求出答案.
14．如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到了线段，点A、B的对应点分别是点C、D，已知点，，，则点C的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由，可知，线段的平移方式为先向右平移7个单位长度，再向下平移2个单位长度，
，
对应点的坐标为即，
故答案为：．
【分析】根据点的平移即可求出答案.
15．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作，连接，则的最小值为　 　．
【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
过作的垂线，则当最短时也最短，
∴的最小值为，
∵，，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】过作的垂线，即的最小值为，根据等于，等于，等于，进一步得，根据勾股定理得，再根据平行四边形的性质得相等，相等，等于的的一半，等于3，再求出，可得，即可得.
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x值代入即可求出答案.
17．解不等式组，并写出它的所有正整数解．
【答案】解：，
解①得，
解②得．
则不等式组的解集是，
则不等式组的正整数解是1，2．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再求出正整数解即可.
18．认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题．
（1）请你写出这四个图案都具有的三个共同特征；
（2）请在下面所给的两个网格纸中分别设计出一个图案（用阴影表示），使它也具备你所写出的上述三个特征．
【答案】（1）解：根据题意得这四个图案都具有的三个共同特征为：①都是轴对称图形.
②都是中心对称图形.③这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积.
（2）解：根据题意画图如下：
【知识点】轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；利用轴对称、旋转、平移设计图案
【解析】【分析】（1）根据轴对称图形以及中心对称的定义，观察图案即可得共同特征.
（2）根据（1）中的三个特征画出图形即可得答案.
（1）解：特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积；
（2）解：满足条件的图案有很多，这里画三个，三个都具有上述特征，如图所示：
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．如图，在中，E，F是对角线上的两点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若．求线段长．
【答案】（1）证明：连接BD交AC于点O，如下图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵AB⊥BF
∴∠ABF=90°
∵AB=8，BF=6
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，灵活运用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．
（1）连接，根据平行四边形的性质可得，根据已知证得，从而证得结论；
（2）根据勾股定理求出，然后求得，进而求出．
（1）证明：连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴．
20．若且满足，求的值．
解：设，
则，
，
，
请仿照上面的方法解答下面的问题：
（1）若且满足，求的值．
（2）如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是48，分别以为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：设，则：，
，
，
.
（2）解：根据题意得：
正方形的边长为，正方形的边长为，
长方形的面积是48，
，
设，则：，
，
，
阴影部分的面积为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）设，则，，根据完全平方公式变形求值即可得答案.
（2）根据题意得正方形的边长为，正方形的边长为，根据长方形的面积是48，得，设，则，再根据完全平方公式变形求值即可得答案.
（1）解：设，
则，
，
；
（2）解：由题意得：正方形的边长为，正方形的边长为，
长方形的面积是48，
，
设，
则，
，
，
阴影部分的面积为．
21．第九届亚洲冬季运动会以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，于2025年2月7日在哈尔滨隆重开幕．吉祥物滨滨和妮妮在市场热销，某特许商店准备购进吉祥物滨滨和妮妮，已知每件滨滨的进价比每件妮妮的进价贵10元．用360元购买滨滨的件数恰好与用300元购买妮妮的件数相同．
（1）求滨滨、妮妮每件的进价分别是多少元？
（2）计划购买这两种商品共50件，且投入的经费不超过2650元，那么最多可购买多少件滨滨？
（3）在（2）的条件下，若滨滨的售价为每件80元，妮妮的售价为每件65元，则这50件商品全部售出后获得的最大利润是多少？
【答案】（1）解：设滨滨的进价每件是x元，则妮妮的进价每件是元，根据题意得：，解得，
经检验，是原方程的解.
∴，
∴滨滨每件的进价是60元，妮妮每件的进价是50元.
（2）解：设购买m件滨滨，则购买件妮妮，
∵投入的经费不超过2650元，
∴，
解得，
∴最多可购买15件滨滨；
（3）解：设全部售出后获得的利润是w元，
∴，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴时，w取最大值，最大值为（元），
∴这50件商品全部售出后获得的最大利润是825元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设滨滨的进价每件是x元，则妮妮的进价每件是元，根据题目情境即可列分式方程，解出后检验可得答案.
（2）设购买m件滨滨，则购买件妮妮，根据投入的经费不超过2650元可列不等式，解出即可得最多可购买15件滨滨.
（3）设全部售出后获得的利润是w元，根据题目情境得，再根据一次函数性质可得这50件商品全部售出后获得的最大利润是825元．
（1）解：设滨滨的进价每件是x元，则妮妮的进价每件是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
∴，
∴滨滨每件的进价是60元，妮妮每件的进价是50元；
（2）解：设购买m件滨滨，则购买件妮妮，
∵投入的经费不超过2650元，
∴，
解得，
∴最多可购买15件滨滨；
（3）解：设全部售出后获得的利润是w元，
∴，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴时，w取最大值，最大值为（元），
答：这50件商品全部售出后获得的最大利润是825元．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与直线轴分别交于点．
（1）不等式的解集为______．
（2）在轴上是否存在一点，使得是以为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）若D，E分别是直线和轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：存在，点的坐标为：或或.
（3）解：如图，
把代入，得：，解得：，
∴，
设，
∵以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴点先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点，
当四边形为平行四边形时，
∴点先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点，
∴，
∵点在轴上，
∴，
∴，
∴；
当四边形为平行四边形时，
∴点先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点，
∴，
∵点在轴上，
∴，
∴，
∴
综上：或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：如图，
∵直线与直线交于点，
由图象可知：的解集为：.
故答案为：.
（2）存在一点，使得是以为腰的等腰三角形，理由如下：
如图，
当时，，
∴，
∵，
∴；
当时，则：或.
当时，设，
∵，，
∴，
∴，
∴.
综上：或或.
【分析】（1）不等式的解可看作的图像在图像上方时自变量的取值范围，根据图象即可得不等式的解集.
（2）当时，，即可得，根据，可得，当相等，等于时，可得或，当相等时，设，
根据Ａ、Ｂ坐标得，解出m可得的坐标，综合即可得的坐标.
（3）把把坐标代入，列方程解得m、n的值，可得，设，根据以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形，得平行，相等，根据Ａ、Ｂ坐标得点先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点，当四边形为平行四边形时，根据平移得，再根据点在轴上，即可得，同理得当四边形为平行四边形时，，两种情况综合即可得答案.
（1）解：∵直线与直线交于点，
由图象可知：的解集为：；
（2）存在；
当时，，
∴，
∵，
∴；
当时，则：或；
当时，设，
∵，，
∴，
∴，
∴，
综上：或或；
（3）把代入，得：，
解得：，
∴，
设，
∵以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴点先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点，
当四边形为平行四边形时，
∴点先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点，
∴，
∵点在轴上，
∴，
∴，
∴；
当四边形为平行四边形时，
∴点先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点，
∴，
∵点在轴上，
∴，
∴，
∴
综上：或．
23．综合与实践
【问题情境】在综合与实践课上，老师出示了这样一个情境：
在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点D，E的对应点分别是点B，C．
【初探感知】（1）如图1，____________；
【深入领悟】（2）如图2，当线段经过点C时，求证：；
【融会贯通】（3）如图3，在旋转的过程中，当点D落在的延长线上时，过点E作，交的延长线于点G．请你判断线段和的数量关系，并说明理由．
【答案】解：（1）67.5；
（2）证明：由旋转的性质得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3），
理由：如图3，延长交于点 H，
由旋转的性质得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）根据旋转的性质得到，
，，
；
故答案为：67.5.
【分析】（1）先利用旋转的性质可得，证出是等腰三角形， 再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求出即可；
（2）先求出，再利用角的运算求出，即可证出；
（3） 延长交于点 H， 先利用线段的和差及等量代换可得，再利用平行线的性质角的运算求出，再证出，结合，利用等量代换可得.
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