资源简介

浙江省温州市2024-2025学年高一下学期期末教学质量统一检测数学试题(B卷)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数，则的虚部是（　　）
A．1 B．2 C．-i D．2i
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，所以的虚部是2.
故答案为：.
【分析】先通过复数乘法运算化简 z，再根据复数虚部的定义判断结果。
2．已知向量，若与垂直，则实数的值是（　　）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】C
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：，且，
所以，解得.
故答案为：.
【分析】根据向量垂直的坐标运算，两向量垂直时其数量积为 0，据此列方程求解 λ 的值。
3．已知a，b为空间中不重合的直线，为空间中不重合的平面，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：A：若，则直线可能与平面相交、平行或，故A错误；
B：若，则直线可能平行平面、也可能，故B错误；
C：若，则平面与可能平行，也可能相交，故C错误；
D：若，根据线面垂直的性质定理，所以，故D正确.
故答案为：D.
【分析】A：线面垂直的判定要求直线垂直于平面内两条相交直线，仅垂直于一条直线无法判定。
B：线面平行的判定要求直线不在平面内，若直线在平面内则不成立。
C：垂直于同一平面的两个平面可能平行，也可能相交（如墙角的三个平面）。
D：根据线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两条直线互相平行。
4．下列各组数据中方差最大的一组是（　　）
A．5，5，5，5，5 B．4，4，5，6，6
C．3，4，5，6，7 D．2，2，5，8，8
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；离散型随机变量的方差
【解析】【解答】解：A：数据全部为5，相等，没有波动，所以方差为0，A错误；
B：平均数为，方差为，B错误；
C：平均数为，方差为，C错误；
D：平均数为，方差为，通过比较可知方差最大，D正确。
故答案为：D.
【分析】A：计算该组数据的平均数与方差；
B：计算该组数据的平均数与方差；
C：计算该组数据的平均数与方差；
D：计算该组数据的平均数与方差，对比四组方差大小。
5．已知正六边形ABCDEF的边长为1，则（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：
在边长为1的正六边形ABCDEF中，是边长为的正三角形，
所以
故答案为：C.
【分析】先利用正六边形的几何性质，确定△ACE 为正三角形，再用向量数量积的定义式计算。
6．如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E为SC中点，，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：因为平面，底面是正方形，
故以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
因为点E为SC中点，所以，
所以，，
设异面直线EB与AC所成角为，
则.
故答案为：A.
【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，通过向量夹角公式计算异面直线EB与AC所成角的余弦值。
7．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察朝上面的点数．设事件甲=“第一次点数小于3”，事件乙=“第一次点数为偶数”，事件丙=“两次点数之和为8”，事件丁=“两次点数之和是奇数”，则（　　）
A．事件乙和事件丙互斥 B．事件丙和事件丁互为对立
C．事件甲与事件丙相互独立 D．事件乙与事件丁相互独立
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：用表示第一枚骰子向上的点数，表示第二枚骰子向上的点数，
则两枚骰子的情况用数对表示，
则所有可能的情况有：，
，
，
，
，
，共36种情况，
对于：事件乙可以和事件丙同时发生，如出现，
所以事件乙和事件丙不互斥，故错误；
对于：事件丙和事件丁的所有情况不是总的样本空间，
如事件丙和事件丁不包括，所以事件丙和事件丁不互为对立，故错误；
对于：第一次点数小于3的情况有，
，共12种情况，
所以，
两次点数之和为8 的情况有，
共5种情况，所以，
第一次点数小于3且两次点数之和为8 的情况有，
所以，，
所以事件甲与事件丙不相互独立，故错误；
对于：第一次点数为偶数的情况有18种，所以，
两次点数之和为奇数的情况共有18种，所以，
第一次点数为偶数且两次点数之和为奇数的情况共有9种，所以，
，所以事件乙与事件丁相互独立，故正确.
故答案为：.
【分析】互斥事件：不能同时发生的事件；对立事件：不能同时发生，且必有一个发生的事件（并集为样本空间）；独立事件：事件 A 的发生不影响事件 B 的发生，满足 P(AB)=P(A)P(B)。
8．已知正三棱柱的棱长均为1，E，F，G，H分别为棱的中点，点为线段EF上的动点，直线AM与平面交于点，则点的轨迹长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：连接AE，AF，分别交，于点P，Q，连接.
因为点M在线段EF上运动，故AM在平面AEF内，
又因为线AM与平面交于点N，
故点N的轨迹为平面AEF与平面的交线，即线段PQ，
在，，中，可得，
，F分别为棱AC，的中点，故≌，，
，，即，
，，，
同理，，故，且，
故答案为：B.
【分析】点N的轨迹为平面AEF与平面A1GH的交线PQ，先通过几何关系确定PQ与EF平行，再计算PQ的长度。
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知复数，则下列说法正确的是（　　）
A．在复平面内z对应的点位于第四象限
B．
C．
D．
【答案】A,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：A：复数在复平面内对应的点为，实部，虚部，因此位于第四象限，A正确；
B：共轭复数，则，与选项中不符，B错误；
C：复数的模长，共轭复数的模长与原复数相等，故，C正确；
D：计算，有理化分母得：，D正确.
故答案为：ACD
【分析】逐一分析每个选项，结合复数的几何意义、共轭复数、模长及倒数运算来判断对错。
10．某电商平台决定对会员进行满意度调查.该平台共有2000名会员，其中女性会员1500人，男性会员500人，采用等比例分层随机抽样的方法抽取容量为80的样本.经计算得女性样本的满意度平均数为9，方差为2，男性样本的满意度平均数为8，方差为1，则（　　）
A．男性会员的样本容量为40
B．每位会员被抽到的概率为
C．估计该平台会员的满意度平均数为
D．估计该平台会员满意度的方差为
【答案】B,C,D
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；随机抽样和样本估计总体的实际应用
【解析】【解答】解：A：等比例分层抽样中，男性样本容量为，故A错误；
B：每位会员被抽到的概率为，故B正确；
C：总体满意度平均数估计为各层平均数按比例加权平均，女性占比，
男性占比，则总体平均数为，故C正确；
D：总体方差估计需计算各层方差与层间差异的加权和，
设总体平均数，女性层：比例，方差，平均数，
则，贡献为；
男性层：比例，方差，平均数，
则，贡献为，
总体方差为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】A：利用分层抽样的比例求男性会员的样本容量；
B：根据总样本数和总体会员数求每位会员被抽到的概率；
C：利用分层抽样的加权平均计算总体满意度平均数；
D：按分层随机抽样的方差公式，结合各层方差与层间差异计算总体方差。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
11．已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，则　 　．
【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：根据正弦定理可知，，
所以，解得.
故答案为：.
【分析】利用正弦定理直接求解c即可。
12．已知集合，A，B是U的子集，且，则的概率为　 　.
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：确定全集U的子集：，其子集有，，，，共4个.
满足的组合数；
当时，B必须为种；
当时，B需包含2，即或（种）；
当时，B需包含1，即或（2种）；
当时，B可为任意子集（种）；
总共有种符合条件的组合.
满足的组合数；
，（符合）；
，（符合）；
，（符合）；
，（符合）；共4种符合条件的组合.
所以的概率为
故答案为：.
【分析】先列出全集的所有子集，再统计满足的总组合数，最后找出其中满足的组合数，利用古典概型公式计算概率。
13．有一个半径为2的四分之一球形状的封闭储物盒，内有一个小球，则小球的最大半径为　 　．
【答案】
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】解：设四分之一球的球心为，小球的球心为，最大半径为，作出截面图形如下：
由题意得，，
因为，所以，解得.
故答案为：.
【分析】通过截面图分析几何关系，建立关于小球半径的方程求解。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
14．正四棱台的上下底面边长分别为和，侧棱长为.
（1）求它的表面积；
（2）求它的体积.
【答案】（1）解：正四棱台由四个全等的等腰梯形和两个正方形组成，
因为正四棱台的上下底面边长分别为和，侧棱长为，
可得等腰梯形的高为，则等腰梯形的面积为，
所以正四棱台表面积为.
（2）解：在正四棱台中，点，O分别为上、下底面的中心，
连接，，，则底面，且，，
过点作交AO于点，则底面，
可得四边形为矩形，且，所以，
因为，所以，即正四棱台的高为，
所以正四棱台的体积为.
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 正四棱台的表面积由上下底面正方形面积和四个全等的等腰梯形侧面积组成，需先求出梯形的高，再分别计算各部分面积；
(2) 先求出正四棱台的高，再利用棱台体积公式计算体积。
（1）解：正四棱台由四个全等的等腰梯形和两个正方形组成，
因为正四棱台的上下底面边长分别为和，侧棱长为，
可得等腰梯形的高为，则等腰梯形的面积为，
所以正四棱台表面积为.
（2）解：在正四棱台中，点，O分别为上、下底面的中心，
连接，，，则底面，且，，
过点作交AO于点，则底面，
可得四边形为矩形，且，所以，
因为，所以，即正四棱台的高为，
所以正四棱台的体积为.
15．在等边中，分别是和的中点，，设．
（1）用向量表示，并求；
（2）求向量与的夹角的余弦值．
【答案】（1）解：如图所示，
.
所以.
（2）解：如图，因为.
由（1）知，.
所以.
而，
所以.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】(1) 利用平面向量基本定理，将分解为，用表示后，再通过向量模长公式计算；
(2) 先求出的向量表达式，再利用向量数量积公式计算夹角余弦值。
（1）如图所示，
.
所以.
（2）如图，因为.
由（1）知，.
所以.
而，
所以.
16．为了实现绿色发展，避免能源浪费，某市政府拟推行居民阶梯电价制度，使75%的用户缴费在第一档（最低一档），的用户缴费在第二档，的用户缴费在第三档（最高一档）．为此，相关部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），并将数据整理后画出如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中的值；
（2）请估计月均用电量第一档的范围；
（3）用频率估计概率，在该市中任选3户居民，不同居民的月均用电量相互独立，求恰有1户居民的月均用电量在的概率．
【答案】（1）解：根据频率分布直方图可得：，
解得.
（2）解：因为75%的居民缴费在第一档，需要确定月均用电量的75%分位数.
，.
设第一档的上限为，则列方程为：
，解得.
所以月均用电量第一档的范围是.
（3）解：用户的月均用电量在的概率为：
所以恰有1户居民的月均用电量在的概率为：
.
【知识点】频率分布直方图；相互独立事件的概率乘法公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1) 根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为1（即频率和为 1），列方程求解a的值；
(2) 先计算前两组的累计频率，再根据75%分位数的定义列方程，求出第一档的上限；
(3) 先求出月均用电量在[200，300]的概率，再用重复试验的概率公式计算 “恰有1户在该区间” 的概率。
（1）根据频率分布直方图可得：
，
解得.
（2）因为75%的居民缴费在第一档，需要确定月均用电量的75%分位数.
，.
设第一档的上限为，则列方程为：
，解得.
所以月均用电量第一档的范围是.
（3）用户的月均用电量在的概率为：
所以恰有1户居民的月均用电量在的概率为：
.
17．如图，在正方体中，，点为棱AB上的动点（不含端点），点为上一点，直线DH交平面于点.
（1）求证平面；
（2）若，
（i）求证平面；
（ii）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为.
【答案】（1）证明：四点共面，
平面平面ABCD，平面平面，平面平面，
平面平面平面
（2）（i）证明：如图所示，
连接平面平面，，
又平面平面平面，
又平面平面.
（ii）如图所示，在平面内作直线垂足为，
连接，设.
平面，
平面即为直线与平面所成角.
平面，
平面平面，
，
当时，直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1) 利用面面平行的性质定理，由上下底面平行推出交线平行，进而证明线面平行；
(2) (i) 先证明 ，再结合已知 ，利用线面垂直判定定理证明 平面 ；
(ii) 构造线面角，结合点到平面距离公式与三角函数定义，列方程求解 的长度。
（1）证明：四点共面，
平面平面ABCD，平面平面，平面平面，
平面平面平面.
（2）（i）证明：如图所示，
连接平面平面，，
又平面平面平面，
又平面平面.
（ii）如图所示，在平面内作直线垂足为，
连接，设.
平面，
平面即为直线与平面所成角.
平面，
平面平面，
，
当时，直线与平面所成角的正弦值为.
18．已知内角的对边为，点是的内心，若．
（1）求角；
（2）延长交于点，若，求的周长；
（3）求的取值范围．
【答案】（1）解：因为，所以根据正弦定理得，
化简得.
因为，所以.
所以，因为，所以.
（2）解：如图，，
所以，
化简得：①.
根据余弦定理得②，
①②联立方程组解得：.
解得，又，所以.
所以的周长为.
（3）解：令三角形内切圆半径为.
因为.
.
所以，解得.
因为，所以.
根据余弦定理得：，
即，故‘
又，解得，
故，
综上，的取值范围为.
【知识点】解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 利用正弦定理化简已知等式，求出角的值；
(2) 通过面积相等建立的关系式，结合余弦定理求解，进而得到三角形周长；
(3) 利用内切圆半径公式与余弦定理，结合基本不等式确定的范围，从而求出的取值范围。
（1）因为，所以根据正弦定理得，
化简得.
因为，所以.
所以，因为，所以.
（2）如图，，
所以，
化简得：①.
根据余弦定理得②，
①②联立方程组解得：.
解得，又，所以.
所以的周长为.
（3）令三角形内切圆半径为.
因为.
.
所以，解得.
因为，所以.
根据余弦定理得：，
即，故‘
又，解得，
故，
综上，的取值范围为.
1 / 1浙江省温州市2024-2025学年高一下学期期末教学质量统一检测数学试题(B卷)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数，则的虚部是（　　）
A．1 B．2 C．-i D．2i
2．已知向量，若与垂直，则实数的值是（　　）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
3．已知a，b为空间中不重合的直线，为空间中不重合的平面，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．下列各组数据中方差最大的一组是（　　）
A．5，5，5，5，5 B．4，4，5，6，6
C．3，4，5，6，7 D．2，2，5，8，8
5．已知正六边形ABCDEF的边长为1，则（　　）
A． B．1 C． D．
6．如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E为SC中点，，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
7．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察朝上面的点数．设事件甲=“第一次点数小于3”，事件乙=“第一次点数为偶数”，事件丙=“两次点数之和为8”，事件丁=“两次点数之和是奇数”，则（　　）
A．事件乙和事件丙互斥 B．事件丙和事件丁互为对立
C．事件甲与事件丙相互独立 D．事件乙与事件丁相互独立
8．已知正三棱柱的棱长均为1，E，F，G，H分别为棱的中点，点为线段EF上的动点，直线AM与平面交于点，则点的轨迹长度是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知复数，则下列说法正确的是（　　）
A．在复平面内z对应的点位于第四象限
B．
C．
D．
10．某电商平台决定对会员进行满意度调查.该平台共有2000名会员，其中女性会员1500人，男性会员500人，采用等比例分层随机抽样的方法抽取容量为80的样本.经计算得女性样本的满意度平均数为9，方差为2，男性样本的满意度平均数为8，方差为1，则（　　）
A．男性会员的样本容量为40
B．每位会员被抽到的概率为
C．估计该平台会员的满意度平均数为
D．估计该平台会员满意度的方差为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
11．已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，则　 　．
12．已知集合，A，B是U的子集，且，则的概率为　 　.
13．有一个半径为2的四分之一球形状的封闭储物盒，内有一个小球，则小球的最大半径为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
14．正四棱台的上下底面边长分别为和，侧棱长为.
（1）求它的表面积；
（2）求它的体积.
15．在等边中，分别是和的中点，，设．
（1）用向量表示，并求；
（2）求向量与的夹角的余弦值．
16．为了实现绿色发展，避免能源浪费，某市政府拟推行居民阶梯电价制度，使75%的用户缴费在第一档（最低一档），的用户缴费在第二档，的用户缴费在第三档（最高一档）．为此，相关部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），并将数据整理后画出如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中的值；
（2）请估计月均用电量第一档的范围；
（3）用频率估计概率，在该市中任选3户居民，不同居民的月均用电量相互独立，求恰有1户居民的月均用电量在的概率．
17．如图，在正方体中，，点为棱AB上的动点（不含端点），点为上一点，直线DH交平面于点.
（1）求证平面；
（2）若，
（i）求证平面；
（ii）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为.
18．已知内角的对边为，点是的内心，若．
（1）求角；
（2）延长交于点，若，求的周长；
（3）求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，所以的虚部是2.
故答案为：.
【分析】先通过复数乘法运算化简 z，再根据复数虚部的定义判断结果。
2．【答案】C
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：，且，
所以，解得.
故答案为：.
【分析】根据向量垂直的坐标运算，两向量垂直时其数量积为 0，据此列方程求解 λ 的值。
3．【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：A：若，则直线可能与平面相交、平行或，故A错误；
B：若，则直线可能平行平面、也可能，故B错误；
C：若，则平面与可能平行，也可能相交，故C错误；
D：若，根据线面垂直的性质定理，所以，故D正确.
故答案为：D.
【分析】A：线面垂直的判定要求直线垂直于平面内两条相交直线，仅垂直于一条直线无法判定。
B：线面平行的判定要求直线不在平面内，若直线在平面内则不成立。
C：垂直于同一平面的两个平面可能平行，也可能相交（如墙角的三个平面）。
D：根据线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两条直线互相平行。
4．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；离散型随机变量的方差
【解析】【解答】解：A：数据全部为5，相等，没有波动，所以方差为0，A错误；
B：平均数为，方差为，B错误；
C：平均数为，方差为，C错误；
D：平均数为，方差为，通过比较可知方差最大，D正确。
故答案为：D.
【分析】A：计算该组数据的平均数与方差；
B：计算该组数据的平均数与方差；
C：计算该组数据的平均数与方差；
D：计算该组数据的平均数与方差，对比四组方差大小。
5．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：
在边长为1的正六边形ABCDEF中，是边长为的正三角形，
所以
故答案为：C.
【分析】先利用正六边形的几何性质，确定△ACE 为正三角形，再用向量数量积的定义式计算。
6．【答案】A
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：因为平面，底面是正方形，
故以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
因为点E为SC中点，所以，
所以，，
设异面直线EB与AC所成角为，
则.
故答案为：A.
【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，通过向量夹角公式计算异面直线EB与AC所成角的余弦值。
7．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：用表示第一枚骰子向上的点数，表示第二枚骰子向上的点数，
则两枚骰子的情况用数对表示，
则所有可能的情况有：，
，
，
，
，
，共36种情况，
对于：事件乙可以和事件丙同时发生，如出现，
所以事件乙和事件丙不互斥，故错误；
对于：事件丙和事件丁的所有情况不是总的样本空间，
如事件丙和事件丁不包括，所以事件丙和事件丁不互为对立，故错误；
对于：第一次点数小于3的情况有，
，共12种情况，
所以，
两次点数之和为8 的情况有，
共5种情况，所以，
第一次点数小于3且两次点数之和为8 的情况有，
所以，，
所以事件甲与事件丙不相互独立，故错误；
对于：第一次点数为偶数的情况有18种，所以，
两次点数之和为奇数的情况共有18种，所以，
第一次点数为偶数且两次点数之和为奇数的情况共有9种，所以，
，所以事件乙与事件丁相互独立，故正确.
故答案为：.
【分析】互斥事件：不能同时发生的事件；对立事件：不能同时发生，且必有一个发生的事件（并集为样本空间）；独立事件：事件 A 的发生不影响事件 B 的发生，满足 P(AB)=P(A)P(B)。
8．【答案】B
【知识点】平面的基本性质及推论；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：连接AE，AF，分别交，于点P，Q，连接.
因为点M在线段EF上运动，故AM在平面AEF内，
又因为线AM与平面交于点N，
故点N的轨迹为平面AEF与平面的交线，即线段PQ，
在，，中，可得，
，F分别为棱AC，的中点，故≌，，
，，即，
，，，
同理，，故，且，
故答案为：B.
【分析】点N的轨迹为平面AEF与平面A1GH的交线PQ，先通过几何关系确定PQ与EF平行，再计算PQ的长度。
9．【答案】A,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：A：复数在复平面内对应的点为，实部，虚部，因此位于第四象限，A正确；
B：共轭复数，则，与选项中不符，B错误；
C：复数的模长，共轭复数的模长与原复数相等，故，C正确；
D：计算，有理化分母得：，D正确.
故答案为：ACD
【分析】逐一分析每个选项，结合复数的几何意义、共轭复数、模长及倒数运算来判断对错。
10．【答案】B,C,D
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；随机抽样和样本估计总体的实际应用
【解析】【解答】解：A：等比例分层抽样中，男性样本容量为，故A错误；
B：每位会员被抽到的概率为，故B正确；
C：总体满意度平均数估计为各层平均数按比例加权平均，女性占比，
男性占比，则总体平均数为，故C正确；
D：总体方差估计需计算各层方差与层间差异的加权和，
设总体平均数，女性层：比例，方差，平均数，
则，贡献为；
男性层：比例，方差，平均数，
则，贡献为，
总体方差为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】A：利用分层抽样的比例求男性会员的样本容量；
B：根据总样本数和总体会员数求每位会员被抽到的概率；
C：利用分层抽样的加权平均计算总体满意度平均数；
D：按分层随机抽样的方差公式，结合各层方差与层间差异计算总体方差。
11．【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：根据正弦定理可知，，
所以，解得.
故答案为：.
【分析】利用正弦定理直接求解c即可。
12．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：确定全集U的子集：，其子集有，，，，共4个.
满足的组合数；
当时，B必须为种；
当时，B需包含2，即或（种）；
当时，B需包含1，即或（2种）；
当时，B可为任意子集（种）；
总共有种符合条件的组合.
满足的组合数；
，（符合）；
，（符合）；
，（符合）；
，（符合）；共4种符合条件的组合.
所以的概率为
故答案为：.
【分析】先列出全集的所有子集，再统计满足的总组合数，最后找出其中满足的组合数，利用古典概型公式计算概率。
13．【答案】
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】解：设四分之一球的球心为，小球的球心为，最大半径为，作出截面图形如下：
由题意得，，
因为，所以，解得.
故答案为：.
【分析】通过截面图分析几何关系，建立关于小球半径的方程求解。
14．【答案】（1）解：正四棱台由四个全等的等腰梯形和两个正方形组成，
因为正四棱台的上下底面边长分别为和，侧棱长为，
可得等腰梯形的高为，则等腰梯形的面积为，
所以正四棱台表面积为.
（2）解：在正四棱台中，点，O分别为上、下底面的中心，
连接，，，则底面，且，，
过点作交AO于点，则底面，
可得四边形为矩形，且，所以，
因为，所以，即正四棱台的高为，
所以正四棱台的体积为.
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 正四棱台的表面积由上下底面正方形面积和四个全等的等腰梯形侧面积组成，需先求出梯形的高，再分别计算各部分面积；
(2) 先求出正四棱台的高，再利用棱台体积公式计算体积。
（1）解：正四棱台由四个全等的等腰梯形和两个正方形组成，
因为正四棱台的上下底面边长分别为和，侧棱长为，
可得等腰梯形的高为，则等腰梯形的面积为，
所以正四棱台表面积为.
（2）解：在正四棱台中，点，O分别为上、下底面的中心，
连接，，，则底面，且，，
过点作交AO于点，则底面，
可得四边形为矩形，且，所以，
因为，所以，即正四棱台的高为，
所以正四棱台的体积为.
15．【答案】（1）解：如图所示，
.
所以.
（2）解：如图，因为.
由（1）知，.
所以.
而，
所以.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】(1) 利用平面向量基本定理，将分解为，用表示后，再通过向量模长公式计算；
(2) 先求出的向量表达式，再利用向量数量积公式计算夹角余弦值。
（1）如图所示，
.
所以.
（2）如图，因为.
由（1）知，.
所以.
而，
所以.
16．【答案】（1）解：根据频率分布直方图可得：，
解得.
（2）解：因为75%的居民缴费在第一档，需要确定月均用电量的75%分位数.
，.
设第一档的上限为，则列方程为：
，解得.
所以月均用电量第一档的范围是.
（3）解：用户的月均用电量在的概率为：
所以恰有1户居民的月均用电量在的概率为：
.
【知识点】频率分布直方图；相互独立事件的概率乘法公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1) 根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为1（即频率和为 1），列方程求解a的值；
(2) 先计算前两组的累计频率，再根据75%分位数的定义列方程，求出第一档的上限；
(3) 先求出月均用电量在[200，300]的概率，再用重复试验的概率公式计算 “恰有1户在该区间” 的概率。
（1）根据频率分布直方图可得：
，
解得.
（2）因为75%的居民缴费在第一档，需要确定月均用电量的75%分位数.
，.
设第一档的上限为，则列方程为：
，解得.
所以月均用电量第一档的范围是.
（3）用户的月均用电量在的概率为：
所以恰有1户居民的月均用电量在的概率为：
.
17．【答案】（1）证明：四点共面，
平面平面ABCD，平面平面，平面平面，
平面平面平面
（2）（i）证明：如图所示，
连接平面平面，，
又平面平面平面，
又平面平面.
（ii）如图所示，在平面内作直线垂足为，
连接，设.
平面，
平面即为直线与平面所成角.
平面，
平面平面，
，
当时，直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1) 利用面面平行的性质定理，由上下底面平行推出交线平行，进而证明线面平行；
(2) (i) 先证明 ，再结合已知 ，利用线面垂直判定定理证明 平面 ；
(ii) 构造线面角，结合点到平面距离公式与三角函数定义，列方程求解 的长度。
（1）证明：四点共面，
平面平面ABCD，平面平面，平面平面，
平面平面平面.
（2）（i）证明：如图所示，
连接平面平面，，
又平面平面平面，
又平面平面.
（ii）如图所示，在平面内作直线垂足为，
连接，设.
平面，
平面即为直线与平面所成角.
平面，
平面平面，
，
当时，直线与平面所成角的正弦值为.
18．【答案】（1）解：因为，所以根据正弦定理得，
化简得.
因为，所以.
所以，因为，所以.
（2）解：如图，，
所以，
化简得：①.
根据余弦定理得②，
①②联立方程组解得：.
解得，又，所以.
所以的周长为.
（3）解：令三角形内切圆半径为.
因为.
.
所以，解得.
因为，所以.
根据余弦定理得：，
即，故‘
又，解得，
故，
综上，的取值范围为.
【知识点】解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 利用正弦定理化简已知等式，求出角的值；
(2) 通过面积相等建立的关系式，结合余弦定理求解，进而得到三角形周长；
(3) 利用内切圆半径公式与余弦定理，结合基本不等式确定的范围，从而求出的取值范围。
（1）因为，所以根据正弦定理得，
化简得.
因为，所以.
所以，因为，所以.
（2）如图，，
所以，
化简得：①.
根据余弦定理得②，
①②联立方程组解得：.
解得，又，所以.
所以的周长为.
（3）令三角形内切圆半径为.
因为.
.
所以，解得.
因为，所以.
根据余弦定理得：，
即，故‘
又，解得，
故，
综上，的取值范围为.
1 / 1

展开更多......

收起↑