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河南省商丘市2026届九年级下学期期中考试
数学试卷
一、单选题
1．下列实数为无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，点在直线上，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ）
A． B．4 C．7 D．14
8．马年的吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马，某兴趣小组制作了背面完全相同的4张卡片，正面分别印有这四个吉祥物的图片．现将卡片洗匀后背面朝上放置，随机抽取1张记下图片内容后放回，再随机抽取1张，两次抽到的吉祥物图片都是“骋骋”的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（ ）

A． B． C． D．
10．硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．当温度为时，硫酸钠在水中溶解度为0
B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大
C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同
D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在
二、填空题
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______．
12．甲、乙两名运动员进行跳远测试，每人测试10次，他们各自测试成绩（单位：）的平均数和方差如下表：
运动员 平均数 方差
甲 601
乙 601
则这两名运动员测试成绩更稳定的是___________（填“甲”或“乙”）．
13．不等式组的解集是______．
14．如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为________．
15．如图，在边长为6的等边三角形中，点D在边上，且，点E为边上一动点，将线段绕点E顺时针旋转得线段，连接，当与的某条边平行时，则线段的长为_______．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
17．为角逐市校园“音乐达人”大赛，小红和小丽参加了校内选拔赛，10位评委的评分情况如下（单位：分）．
表1评委评分数据
评委 评委评分
小红 7 8 7 8 7 7 7 8 7 9
小丽 7 7 6 8 8 8 8 8 7 8
表2评委评分数据分析
选手 平均数 中位数 众数
小红 7
小丽 8
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表2中______，______，______；
(2)你认为小红和小丽谁的成绩较好？请说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E．
(1)求点D的坐标和k的值；
(2)延长 交x轴于点F，求的面积．
19．如图，在中，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规，作的平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下．若，求的长．
20．某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包，购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元．
(1)问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？
(2)该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买A款材料包多少份？
21．随着传统能源的日益紧缺，太阳能的应用将会越来越广泛．如图1，是一款太阳能路灯实物图；如图2，是某校兴趣小组测量太阳能路灯高度及灯臂长度的实践活动示意图，其中测倾仪的高度为米，点、、在水平地面的同一直线上，在测点处安置测倾仪，测得电池板顶端点C的仰角，在与点相距米的测点处安置测倾仪，测得灯罩顶端点的仰角，点为灯臂与路灯立柱的连接点（点、与在一条直线上），，测得米．（参考数据：，，结果精确到）
(1)求电池板顶端点C离地面的高度；
(2)求灯臂的长度．
22．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
23．综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“等对角四边形”进行研究．定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”
(1)操作判断
用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“等对角四边形”的有 （填序号）．
(2)探究证明
如图2，在中，，为斜边上的中线，过点D作交于点E，判断四边形是否“等对角四边形”，并说明理由．
(3)拓展延伸
如图3，在中，，，，作角平分线，在边上取点E，使四边形是“等对角四边形”，请直接写出的长．
参考答案及解析
1．B
解析：解：A、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；
B、是无理数，故此选项符合题意；
C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；
D、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．B
解析：解：现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线应该是：
，
故选：B．
3．B
解析：解：点在直线上，，
，
，
，
．
故选B．
4．A
解析：解：8160亿用科学记数法表示为，
故选：A．
5．D
解析：解：对于方程 ，其判别式为
，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
即，
解得．
故选：D．
6．A
解析：解：A、，则此项正确，符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项错误，不符合题意；
故选：A．
7．A
解析：解：∵四边形为菱形，且周长为28，
∴，
∵H为边的中点，
∴．
8．A
解析：解：将“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”分别编号为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，两次抽到的吉祥物名称中含有“骋”字的结果有1种，
则两次抽到的吉祥物名称中含有“骋”字的概率为．
9．A
解析：解：如图所示，连接，

∵，
∴
∵为直径
∴
∴，
故选：A．
10．C
解析：解：A、题目未给出时硫酸钠的溶解度数据，且固体物质的溶解度一般不为，此选项不符合题意；
B、由数据可知，时溶解度为，时溶解度为，说明温度升高到一定程度后，硫酸钠的溶解度反而减小，并非随温度升高而增大，此选项不符合题意；
C、时，溶解度曲线为非线性变化（多数固体溶解度曲线并非直线），因此温度每升高，溶解度的增加量不相同，此选项符合题意；
D、时溶解度为，时溶解度为，但无法确定之后溶解度是否仍不低于，且题目未明确“仅满足”，此选项不符合题意；
故选：C．
11．
解析：解：若在实数范围内有意义，则，
解得.
故答案为：.
12．甲
解析：解：∵，
∴甲的方差小于乙的方差，
∴这两名运动员测试成绩更稳定的是甲，
故答案为：甲．
13．
解析：解：
解不等式①，移项得即解得．
解不等式②，去分母得，移项得，即．
则不等式组的解集为与的公共部分，即
故答案为：
14．
解析：解：连接，交于点，则：，
∵四边形为平行四边形，，
∴四边形为菱形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积；
故答案为：．
15．2或
解析：解：在边长为6的等边三角形中，点D在边上，且，
，则，
①如图：当时：
∵将线段绕点E顺时针旋转得线段，
是等边三角形，且边长为4，
．
②如图：当时，
∵将线段绕点E顺时针旋转得线段，
是等边三角形，且边长为4，
∵，
，
∴，
为等边三角形，且边长为4，
如图：连接，
，
是等边三角形，则，，
，
，即，
∴
∴，即，，
，
在中，，，则；
如图所示：当E与C重合时，
∴的情况不存在；
综上所述，线段的长为2或．
16．(1)2
(2)
解析：（1）解：
；
（2）解：
.
17．(1)；7；8
(2)小丽的成绩较好，理由见解析
解析：（1）解：由题意得，；
把小红的10位评委的评分按照从低到高排列为：7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，
∴小红的10位评委的评分的中位数为分，即；
∵小丽的10位评委的评分中，评分为8分的人数最多，
∴小丽的10位评委的评分的众数为8，即；
（2）解：小丽的成绩较好，理由如下：
从平均数来看，两人的平均成绩相同，从中位数和众数来看，小丽的中位数和众数均大于小红的中位数和众数，故小丽的成绩较好．
18．(1)，
(2)
解析：（1）解：∵四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，
∴点，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∵反比例函数的图象过点D，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵反比例函数的图象交于点E，
∴设，
∴，∴
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
令，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
19．(1)见解析
(2)
解析：（1）解：如图所示．
（2）解：如图，过点E作．
∵平分，，
∴．
∵，
∴．
∵，
即，
∴，
解得．
20．(1)购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元
(2)至少购买A款材料包份
解析：（1）解：设购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元，
则，解得，
答：购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元．
（2）解：设购买A款材料包份，
，
解得，
∵a为整数，
∴a最小为，
答：至少购买A款材料包份．
21．(1)米
(2)米
解析：（1）解：延长交于点，则四边形，为矩形，
∴米，，
∵，
∴，
∴米，米，
∴．
答：电池板顶端点离地面的高度为米．
（2）解：∵四边形为矩形，
∴米，
在中，∵，
∴米，
∵，
∴米，
∴米，
∵，，
∴，
∴，即：，
∴米，
答：灯臂长为米．
22．(1)
(2)
(3)
解析：（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得，
解得，
∴；
（2）解：点B平移后的点的坐标为，
则，解得或（舍），
∴m的值为；
（3）解：当时，
∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去；
当时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意；
综上所述，n的取值范围为．
23．(1)②④
(2)是，理由见详解
(3)或
解析：（1）解：图①中，两组对角分别为和，不符合“有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形”，则不是“等对角四边形”；
图②中，有一组对角为，另一组对角为和不相等，符合“有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形”，则是“等对角四边形”；
图③中，有一组对角为和，另一组对角为和，不符合“有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形”，则不是“等对角四边形”；
图④中，有一组对角为，另一组对角为和不相等，符合“有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形”，则是“等对角四边形”；
故答案为：②④；
（2）解：∵，为斜边上的中线，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，，
则，且，
故四边形为“等对角四边形”，
（3）解：①当，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于点N，如图，
则，
∵平分，
∴，
设，则，，
∵，
∴，解得，
则；
②当，则，，
取的中点M，连接，如图，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
此时，点M与上图点E重合，即，
∴，
故或

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