资源简介

广东省（大湾区联考）初中2026年九年级数学学业水平质量监测卷
1．在标准大气压下，液态氧的沸点是-183℃，液态氮的沸点是-196℃，酒精的沸点是78℃，水的沸点是100℃.其中沸点最低的液体是（　　）
A．液态氧 B．液态氮 C．酒精 D．水
2．窗花是我国民间剪纸中分布最广、数量最多、最为普及的品类，也是源远流长的传统民间艺术瑰宝.下列窗花作品示意图为轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．维生素D是一种脂溶性维生素，主要存在于鱼类、蛋黄、动物肝脏等食物中，它可以促进钙的吸收，有助于骨骼健康.若一名成人每天摄入的维生素D量约为0.000016g，则将数据0.000016用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．若一组数据：-1，4，3，x，-4的平均数是1，则这组数据的众数是（　　）
A．-4 B．-1 C．3 D．4
5．计算的结果是（　　）
A． B．5 C． D．50
6．如题图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若∠ACB=120°，AC=BC，则∠BED的度数是（　　）
A．90° B．80° C．60° D．30°
7．观察题图中尺规作图的痕迹，下列结论一定正确的是（　　）
A．AD=CD B．BD⊥AC C．AD=BD D．∠ABD=∠CBD
8．绿水青山就是金山银山.为了创造良好的生态环境，某村计划在荒坡上植树1600棵，由于青年志愿者支援，实际每天植树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，求原计划每天植树多少棵.设原计划每天植树x棵，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．“漏壶”是我国古代的一种计时仪器.在综合实践活动中，某小组同学根据漏壶的原理制作了如题图所示的装置，它由一个圆锥容器和一个圆柱容器组成，中间连通，液体可以从圆锥容器匀速漏到圆柱容器中.实验开始时圆柱容器中已有部分液体，则根据表格中的数据可知，h与t之间的函数表达式为（　　）
时间t/h 1 2 3 4 5
圆柱容器中液面的高度h/cm 5 8 11 14 17
A．h=6-t B．h=7-2t C．h=2t+3 D．h=3t+2
10．如题图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，D是边AB上一点（不与点A，B重合），作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.若O是EF的中点，则OD的最小值是（　　）
A．5 B．12 C． D．
11．因式分解：　 　．
12．如题图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B.若∠C=60°，则∠P=　 　°.
13．“抖空竹”是一项历史悠久的民俗体育活动，它凭借其独特魅力，成为我国传统文化宝库中一颗璀璨的明珠.图1表示欢欢同学抖空竹的某一瞬间，欢欢同学将其抽象成如图2所示的数学问题：在同一平面内，AB∥CD，若∠D=75°，∠E=28°，则∠B=　 　°.
14．“赵爽弦图”是数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的，它被誉为我国古代数学的瑰宝.在如题图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两条直角边之比均为1：2，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是　 　.
15．如题图，曲线AB是抛物线的一部分，与y轴交于点A，点B是其顶点，曲线BC是双曲线的一部分，点C的横坐标为6.由点C开始不断重复“A—B—C”这一部分曲线，形成一组波浪线.点P（2024，p）与Q（2026，q）均在该波浪线上，则pq=　 　.
16．计算：
17．在正方形网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的三角形称为格点三角形.请按下列要求画出格点三角形.
（1）在图1中画一个格点三角形，使该三角形与格点三角形ABC全等；
（2）在图2中画一个格点三角形，使该三角形的一条边与格点三角形ABC的一条边重合，且面积与△ABC相等.
18．斜拉桥是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁.题图是一座斜拉桥的部分示意图，其中拉索AB与水平桥面BC的夹角拉索DE与水平桥面BC的夹角，两条拉索顶端之间的距离，AD=4m，底端之间的距离BE=20m，求桥塔AC的长.
（结果精确到0.1m，参考数据：）
19．如题图，在 ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接BD，DE，BF.
（1）求证：DE=BF；
（2）从条件“①DB=DA，②DA⊥DB”中任选一个作为已知条件，判断四边形BEDF的形状，并证明你的结论.
20．目前，AI技术在生活、学习、产业等领域的应用日益广泛.为了解学生对不同AI应用领域的关注偏好，某数学小组对本校部分学生进行了相关情况调查并统计了相关数据.
【收集数据】
该数学小组设计了如下调查问卷，随机抽取部分学生进行调查，收集得到“问题1”和“问题2”的数据.（被调查学生均对两个问题按要求作答并提交）
调查问卷
问题1：你最关注的A1应用领域是（　　）.（单选） A.智能机器人（如服务机器人、工业机器人） B. AI图像生成（如绘画、设计类AI工具） C.智能学习助手（如AI答疑、学情分析工具） D. AI语音交互（如智能音箱、语音翻译） 问题2：你每周使用AI的时间是____min.
【整理和描述数据】
第一步：将“问题1”的数据进行整理后，得到如下统计表；
第二步：将“问题2”中学生每周使用AI的时间t（单位：min）整理分成4组：①0≤t<30，②30≤t<60，③60≤t<90，④90≤t<120，并绘制成不完整的频数分布直方图如题图所示.
学生最关注的AI应用领域人数统计表
应用领域 划记 人数
A 正正正正正正 30
B 正正T 12
C 正正正 15
D F 3
（1）补全频数分布直方图；
（2）【分析数据，解答问题】
该校共有2800名学生，请你估计最关注应用领域A的人数；
（3）请根据上述统计图表，给该校学生提出一个合理的建议.
21．综合与实践
【问题背景】
在数学课上，同学们利用含有30°角的直角三角尺和量角器进行实践操作.
（1）【动手操作一】
如图1，小明将三角尺ABC放置在量角器上，顶点C与圆心O重合，此时顶点B刚好在量角器的外弧上，三角尺的斜边AB与量角器的外弧交于点D，其中∠ACB=90°，∠A=30°.若点B对应的刻度是161°，则点D对应的刻度是多少
（2）【动手操作二】
如图2，小华将三角尺EFG放置在量角器上，点E，F均在量角器的外弧上，三角尺的直角边EG与量角器的外弧交于点H，其中∠EGF=90°，∠GEF=30°，GF=6.若点E对应的刻度是130°，点F对应的刻度是10°，则FH的长是多少
22．阅读与思考
【概念理解】
我们将实数a“四舍五入”到个位的值记为[a]，其规则定义如下：当n为整数时，若n-0.5≤a【问题解决】
（1）计算：
（2）若[x-3]=2，求x的取值范围；
（3）若关于x的分式方程有正整数解，求关于y的方程的解.
23．综合与探究
【问题情景】
如图1，抛物线与y轴交于点A.
（1）【猜想证明】
请你判断抛物线l1与x轴有几个交点，并说明理由；
（2）【深入探究】
点（-4，n），（2，n）在抛物线l1上，当t≤x≤0时，记函数2的最大值和最小值分别为y大和y小，且.求t的取值范围；
（3）【拓展延伸】
在（2）的条件下，如图2，抛物线l2由抛物线l1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得，且l2与x轴分别交于点B，C，与y轴交于点D，直线l为l2的对称轴.点P为l2上一点，且点P在直线l的右侧的第一象限内，过点P作PM⊥l于点M，作PN∥l交直线CD于点N，过点N作NQ⊥l于点Q.当直线CD将四边形PMQN的面积分成1：2的两个部分时，求此时点P的坐标
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法；有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：液态氧的沸点是 183℃，液态氮的沸点是 196℃，酒精的沸点是78℃，水的沸点是100℃．
∵| 183|＝183，| 196|＝196，196＞183，
∴ 196＜ 183＜78＜100，
因此沸点最低的液体是液态氮．
故答案为：B．
【分析】根据有理数的性质进行比较即可．
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数据0.000016用科学记数法表示为：1.6×10 5．
故答案为：D．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤a＜10，n为整数，确定a和n的值即可求解．
4．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：∵一组数据： 1，4，3，x， 4的平均数是1，
∴＝1，
解得：x＝3，
则这组数据为 1，4，3，3， 4，
∵3出现次数最多，
∴这组数据的众数是3．
故答案为：C．
【分析】先根据平均数的定义求出x的值，再根据众数的定义确定这组数据的众数即可．
5．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：原式＝＝．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的乘除法的运算法则进行计算．
6．【答案】A
【知识点】角的运算；等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝120°，
∴∠CBA＋∠CAB＝180° ∠ACB＝180° 120°＝60°，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴∠CBA＝30°，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴△ABC≌△AED，
∴∠BAE＝60°，AB＝AE，∠AED＝∠ABC＝30°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴∠BED＝∠AEB＋∠AED＝60°＋30°＝90°，
故答案为：A．
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，根据旋转的性质得出△ABE是等边三角形以及∠AED＝∠ABC，最后利用∠BED＝∠AEB＋∠AED求解即可．
7．【答案】B
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图痕迹可知，BD⊥AC，所以B是正确的，符合题意，
故答案为：B．
【分析】由垂线的作图方法即可作出判断．
8．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据结果提前5天完成任务可得：.
故答案为：A．
【分析】设原计划每天植树x棵，可得实际每天植树2x棵，根据“提前5天完成任务”的时间等量关系列方程即可．
9．【答案】D
【知识点】列一次函数关系式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由表格数据可知，时间 t 每增加 1 小时，圆柱容器中液面的高度 h增加 3cm，
设h 与t 之间的函数表达式为h＝kt＋b，
将t＝1、h＝5和t＝2、h＝8代入h＝kt＋b得：
解得
因此，h与t之间的函数表达式为h＝3 t＋2，
故答案为：D．
【分析】观察表格数据可知，h 随 t的变化是均匀的，每增加 1 小时，h增加 3cm，故设h 与t 满足一次函数关系h＝kt＋b，利用待定系数法求解即可．
10．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：∵DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，
∴∠DEC＝∠DFC＝90°，
∴∠ACB＝∠DEC＝∠DFC＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴∠EDF＝90°，
连接CD，
∵O是EF的中点，
∴点O在CD上，
∴OD＝CD，
∴当CD取最小值时，OD最小，
当CD⊥AB时CD最小，
在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝=13，
∵S△ABC＝AC BC＝AB CD，
∴CD＝，
∴OD的最小值是，
故答案为：C．
【分析】根据矩形的判定和性质定理，以及勾股定理，三角形的面积公式即可得到结论．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．．
【分析】提公因式进行饮食分解即可求出答案.
12．【答案】60
【知识点】切线的性质；切线长定理；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
∵∠C＝60°，
∴∠AOB＝2∠C＝120°，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA、OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
在四边形OAPB中，∠P＋∠AOB＋∠OAP＋∠OBP＝360°，
∴∠P＝360° 90° 90° 120°＝60°，
故答案为：60．
【分析】根据圆周角定理求出圆心角∠AOB的度数，再根据切线的性质得出∠OAP和∠OBP为直角，最后利用四边形内角和定理即可求出∠P的度数．
13．【答案】103
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，设CD与BE相交于点F，
∵∠D＝75°，∠E＝28°，∠CFE是△DEF的外角，
∴∠CFE＝∠D＋∠E＝75°＋28°＝103°，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠CFE＝103°．
故答案为：103．
【分析】由三角形的外角性质得到∠CFE＝103°，再根据平行线的性质即可求解．
14．【答案】
【知识点】几何概率；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设两直角边分别是x，2x，则斜边即大正方形的边长为x，小正方形边长为x，
所以S大正方形＝5x2，S小正方形＝x2，S阴影＝4x2，
则针尖落在阴影区域的概率为＝．
故答案为：．
【分析】针尖落在阴影区域的概率就是阴影部分的面积和与大正方形面积的比．
15．【答案】18
【知识点】探索数与式的规律；反比例函数图象上点的坐标特征；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ x2＋4x＋2＝ （x 2）2＋6，
∴其顶点坐标为B（2，6），
∵曲线BC是双曲线的一部分，可得k＝12，
∴y＝．
由图可得，A，C之间的水平距离为6，A，B之间的水平距离为2，
且2024÷6＝337……2，
∴点P、点B离x轴的距离相同，都为6，即点P的纵坐标p＝6，
∵2026 2024＝2，
∴点Q与点P的水平距离为2，
∴点Q的纵坐标与横坐标为2＋2＝4的点的纵坐标一样，
把x＝4代入y＝中得，y＝3，
∴点Q的纵坐标为q＝3，
∴pq＝6×3＝18．
故答案为：18．
【分析】依题意先求出抛物线的解析式和双曲线的解析式，然后根据A，C之间的水平距离为6，A，B之间的水平距离为2，点Q与点P的水平距离为2，即可求解．
16．【答案】解：原式
=4-2-1
=1.
【知识点】零指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据实数的运算法则进行计算即可．
17．【答案】（1）解：如图1，△DEF即为所求.
（2）如图2，∵AB＝，BC＝，AC＝，
∴AB2＋BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝××2＝5，
∵BG＝CG＝
∴BG2＋CG2＝BC2，
∴△BCG是直角三角形，
∴S△BCG＝BG2＝5，
∴△BCG的面积与△ABC的面积相等，△BCG即为所求．
△GBC即为所求.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；尺规作图-作三角形；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据题意，作△ABC关于大正方形对称轴的轴对称图形，即可求解；
（2）先计算△ABC的面积，根据题意，取格点G，连接BG，CG，即可求解．
18．【答案】解：设AC=hm，则DC=（h-4）m.
在Rt△ABC中，∠ABC=45°，∴BC=AC=hm.
∴CE=（h-20）m.
在Rt△CDE中，
解得h≈34.0.
答：桥塔AC的长约是34.0m.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】根据等腰直角三角形的判定和性质，以及三角函数的定义即可得到结论．
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=CB，∠A=∠C.
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴AE=CF.
∴△AED≌△CFB.
∴DE=BF.
（2）解：选条件①，四边形BEDF为矩形.
证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD.
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴BE=DF.
∴四边形BEDF为平行四边形.
∵DB=DA，E为AB的中点，
∴DE⊥AB，即∠BED=90°.
∴四边形BEDF为矩形.
（或选条件②，四边形BEDF为菱形.
证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD.
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴BE=DF.
∴四边形BEDF为平行四边形.
∵DA⊥DB，E是AB的中点，
∴DE=BE.
∴四边形BEDF为菱形.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先利用中点的性质和平行线的性质可得再证出△AED≌△CFB，最后利用全等三角形的性质可得DE=BF；
（2）先选择条件，再证出四边形BEDF为平行四边形，最后结合BED=90°或DE=BE证出其是矩形或菱形即可。
20．【答案】（1）解：30++15+3=60（人），60--20-=16（人）.
补全频数分布直方图如图3所示.
（2）由题意得（人）.
答：估计最关注应用领域A的人数为1400.
（3）从学生关注的AI应用领域可知，最关注应用领域D的人数较少，可建议该校学生适当地关注AI语音交互中的语音翻译功能，辅助学习.
【知识点】频数（率）分布直方图；收集数据的过程与方法；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先求出调查的总人数，再用总人数减去其余三组的人数求出使用智能软件的时间在30≤t＜60这一组的人数，即可补全频数分布直方图；
（2）用样本估计总体的方法解答即可；
（3）根据每周使用AI的目的和使用时间的分布情况合理提建议即可．
21．【答案】（1）解：如图4，连接OD.
又OD=OB，
∴△OBD是等边三角形.
∴∠BOD=60°.
∴点D对应的刻度是101°.
（2）如图5，连接OE，OF，OH，FH.
由∠EOF=0°-°=0°，OE=OF，得∠OFE=∠OEF=30°.
∴∠OEH=∠OEF+∠GEF=60°.
又OE=OH，
∴△OHE是等边三角形.
∴∠HOE=∠EHO=60°.
∴∠HOF=∠EOF-∠HOE=60°.
又OF=OH，
∴△FOH是等边三角形.
∴∠FHO=60°，OF=FH.
∴∠GHF=180°-∠EHO-∠FHO=60°.
在Rt△FGH中，GF=6，
的长是
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，易得△OBD是等边三角形．据此求解即可；
（2）连接OE，OF，OH，FH，先证△OHE 是等边三角形，再证△FOH 是等边三角形，再求FH，可得OF，最后利用弧长公式求解即可．
22．【答案】（1）
（2）∵[x-3]=2，
∴2-0.5≤x-3<2+0.5.
∴4.5≤x<5.5.
（3）解关于x的分式方程得
∵该分式方程有正整数解，
∴[m]=0，即-0.5≤m<0.5.
∴-0.5-1≤m-1<0.5-1，即-1.5≤m-1<-0.5.
∴[m-1]=-1.
可化为
又[y]-0.5≤y<[y]+0.5，
解得-5<[y]≤-1，即[y]=-4或-3或-2或-1.
当[y]=-4时，当[y]=-3时，y=-3；
当[y]=-2时，当[y]=-1时，
综上所述，或-3或或
【知识点】无理数的估值；分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】（1）根据新定义，仿照示例可得到结果；
（2）由[x 3]＝2，根据新定义，可得4.5≤x＜5.5即可；
（3）由题意，易得到[m]＝0，化简原方程，可得[y] 1＝y，根据新定义，可得方程的解．
23．【答案】（1）解：抛物线l1与x轴有两个交点.理由如下：
由题意可知
∴抛物线l1与x轴有两个交点.
（2）
易知点A（0，2），抛物线l1的顶点坐标为（-1，3）.
分以下三种情况讨论：
①当t<-2时，∵t≤x≤0，y大=3，y小=-（t+1）2+3，
不合题意；
②当-2≤t≤-1时，∵t≤x≤0，y大=3，y小=2，
符合题意；
③当-12+3，y小=2，
不合题意.
综上所述，-2≤t≤-1.
（3）由题意可得抛物线则可得对称轴l：x=1.
令x=0得y=3，令y=0得x=3或x=-1（舍去），
∴D（0，3），C（3，0）.
求得直线CD的表达式为y=-x+3.
当x=1时，y=2，
∴直线CD与直线l的交点为（1，2），记为点R.
设点则Q（1，-m+3）.
分以下两种情况讨论：
①如图6，当点M在点R的上方时，
由题意得即解得（不合题意，舍去）.
此时点P的坐标为1
②如图7，当点R在点M的上方时，设MP与CD相交于点H，则点2m+3）.
由题意得即解得（不合题意，舍去）.
此时点P的坐标为
综上所述，点P的坐标为或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）令y＝0得到一元二次方程 x2＋bx＋2＝0计算判别式来判断与x轴的交点个数即可；
（2）根据抛物线对称轴的性质求出抛物线l1的表达式为y＝ （x＋1）2＋3，分情况讨论：当t≤ 1或t＞ 1时，利用抛物线的图象性质分析最大值与最小值的情况，据此解答即可；
（3）根据题意得到平移后抛物线l2的表达式为y＝ x2＋2x＋3进而求出点C、D坐标，利用待定系数法求出直线CD的表达式，设P（m， m2＋2m＋3），则M（1， m2＋2m＋3）、N（m， m＋3）、Q（1， m＋3），进而求出PM、MQ、GQ长，分情况讨论：当点M在点G的上方或点G在点M的上方时，设直线CD交直线l于点G，MP与CD交于点H时，根据题意列方程求出m值，结合点P在直线/的右侧的第一象限内，求解点P坐标即可．
1 / 1广东省（大湾区联考）初中2026年九年级数学学业水平质量监测卷
1．在标准大气压下，液态氧的沸点是-183℃，液态氮的沸点是-196℃，酒精的沸点是78℃，水的沸点是100℃.其中沸点最低的液体是（　　）
A．液态氧 B．液态氮 C．酒精 D．水
【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法；有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：液态氧的沸点是 183℃，液态氮的沸点是 196℃，酒精的沸点是78℃，水的沸点是100℃．
∵| 183|＝183，| 196|＝196，196＞183，
∴ 196＜ 183＜78＜100，
因此沸点最低的液体是液态氮．
故答案为：B．
【分析】根据有理数的性质进行比较即可．
2．窗花是我国民间剪纸中分布最广、数量最多、最为普及的品类，也是源远流长的传统民间艺术瑰宝.下列窗花作品示意图为轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．
3．维生素D是一种脂溶性维生素，主要存在于鱼类、蛋黄、动物肝脏等食物中，它可以促进钙的吸收，有助于骨骼健康.若一名成人每天摄入的维生素D量约为0.000016g，则将数据0.000016用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数据0.000016用科学记数法表示为：1.6×10 5．
故答案为：D．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤a＜10，n为整数，确定a和n的值即可求解．
4．若一组数据：-1，4，3，x，-4的平均数是1，则这组数据的众数是（　　）
A．-4 B．-1 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：∵一组数据： 1，4，3，x， 4的平均数是1，
∴＝1，
解得：x＝3，
则这组数据为 1，4，3，3， 4，
∵3出现次数最多，
∴这组数据的众数是3．
故答案为：C．
【分析】先根据平均数的定义求出x的值，再根据众数的定义确定这组数据的众数即可．
5．计算的结果是（　　）
A． B．5 C． D．50
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：原式＝＝．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的乘除法的运算法则进行计算．
6．如题图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若∠ACB=120°，AC=BC，则∠BED的度数是（　　）
A．90° B．80° C．60° D．30°
【答案】A
【知识点】角的运算；等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝120°，
∴∠CBA＋∠CAB＝180° ∠ACB＝180° 120°＝60°，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴∠CBA＝30°，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴△ABC≌△AED，
∴∠BAE＝60°，AB＝AE，∠AED＝∠ABC＝30°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴∠BED＝∠AEB＋∠AED＝60°＋30°＝90°，
故答案为：A．
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，根据旋转的性质得出△ABE是等边三角形以及∠AED＝∠ABC，最后利用∠BED＝∠AEB＋∠AED求解即可．
7．观察题图中尺规作图的痕迹，下列结论一定正确的是（　　）
A．AD=CD B．BD⊥AC C．AD=BD D．∠ABD=∠CBD
【答案】B
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图痕迹可知，BD⊥AC，所以B是正确的，符合题意，
故答案为：B．
【分析】由垂线的作图方法即可作出判断．
8．绿水青山就是金山银山.为了创造良好的生态环境，某村计划在荒坡上植树1600棵，由于青年志愿者支援，实际每天植树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，求原计划每天植树多少棵.设原计划每天植树x棵，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据结果提前5天完成任务可得：.
故答案为：A．
【分析】设原计划每天植树x棵，可得实际每天植树2x棵，根据“提前5天完成任务”的时间等量关系列方程即可．
9．“漏壶”是我国古代的一种计时仪器.在综合实践活动中，某小组同学根据漏壶的原理制作了如题图所示的装置，它由一个圆锥容器和一个圆柱容器组成，中间连通，液体可以从圆锥容器匀速漏到圆柱容器中.实验开始时圆柱容器中已有部分液体，则根据表格中的数据可知，h与t之间的函数表达式为（　　）
时间t/h 1 2 3 4 5
圆柱容器中液面的高度h/cm 5 8 11 14 17
A．h=6-t B．h=7-2t C．h=2t+3 D．h=3t+2
【答案】D
【知识点】列一次函数关系式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由表格数据可知，时间 t 每增加 1 小时，圆柱容器中液面的高度 h增加 3cm，
设h 与t 之间的函数表达式为h＝kt＋b，
将t＝1、h＝5和t＝2、h＝8代入h＝kt＋b得：
解得
因此，h与t之间的函数表达式为h＝3 t＋2，
故答案为：D．
【分析】观察表格数据可知，h 随 t的变化是均匀的，每增加 1 小时，h增加 3cm，故设h 与t 满足一次函数关系h＝kt＋b，利用待定系数法求解即可．
10．如题图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，D是边AB上一点（不与点A，B重合），作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.若O是EF的中点，则OD的最小值是（　　）
A．5 B．12 C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：∵DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，
∴∠DEC＝∠DFC＝90°，
∴∠ACB＝∠DEC＝∠DFC＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴∠EDF＝90°，
连接CD，
∵O是EF的中点，
∴点O在CD上，
∴OD＝CD，
∴当CD取最小值时，OD最小，
当CD⊥AB时CD最小，
在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝=13，
∵S△ABC＝AC BC＝AB CD，
∴CD＝，
∴OD的最小值是，
故答案为：C．
【分析】根据矩形的判定和性质定理，以及勾股定理，三角形的面积公式即可得到结论．
11．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．．
【分析】提公因式进行饮食分解即可求出答案.
12．如题图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B.若∠C=60°，则∠P=　 　°.
【答案】60
【知识点】切线的性质；切线长定理；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
∵∠C＝60°，
∴∠AOB＝2∠C＝120°，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA、OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
在四边形OAPB中，∠P＋∠AOB＋∠OAP＋∠OBP＝360°，
∴∠P＝360° 90° 90° 120°＝60°，
故答案为：60．
【分析】根据圆周角定理求出圆心角∠AOB的度数，再根据切线的性质得出∠OAP和∠OBP为直角，最后利用四边形内角和定理即可求出∠P的度数．
13．“抖空竹”是一项历史悠久的民俗体育活动，它凭借其独特魅力，成为我国传统文化宝库中一颗璀璨的明珠.图1表示欢欢同学抖空竹的某一瞬间，欢欢同学将其抽象成如图2所示的数学问题：在同一平面内，AB∥CD，若∠D=75°，∠E=28°，则∠B=　 　°.
【答案】103
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，设CD与BE相交于点F，
∵∠D＝75°，∠E＝28°，∠CFE是△DEF的外角，
∴∠CFE＝∠D＋∠E＝75°＋28°＝103°，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠CFE＝103°．
故答案为：103．
【分析】由三角形的外角性质得到∠CFE＝103°，再根据平行线的性质即可求解．
14．“赵爽弦图”是数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的，它被誉为我国古代数学的瑰宝.在如题图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两条直角边之比均为1：2，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是　 　.
【答案】
【知识点】几何概率；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设两直角边分别是x，2x，则斜边即大正方形的边长为x，小正方形边长为x，
所以S大正方形＝5x2，S小正方形＝x2，S阴影＝4x2，
则针尖落在阴影区域的概率为＝．
故答案为：．
【分析】针尖落在阴影区域的概率就是阴影部分的面积和与大正方形面积的比．
15．如题图，曲线AB是抛物线的一部分，与y轴交于点A，点B是其顶点，曲线BC是双曲线的一部分，点C的横坐标为6.由点C开始不断重复“A—B—C”这一部分曲线，形成一组波浪线.点P（2024，p）与Q（2026，q）均在该波浪线上，则pq=　 　.
【答案】18
【知识点】探索数与式的规律；反比例函数图象上点的坐标特征；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ x2＋4x＋2＝ （x 2）2＋6，
∴其顶点坐标为B（2，6），
∵曲线BC是双曲线的一部分，可得k＝12，
∴y＝．
由图可得，A，C之间的水平距离为6，A，B之间的水平距离为2，
且2024÷6＝337……2，
∴点P、点B离x轴的距离相同，都为6，即点P的纵坐标p＝6，
∵2026 2024＝2，
∴点Q与点P的水平距离为2，
∴点Q的纵坐标与横坐标为2＋2＝4的点的纵坐标一样，
把x＝4代入y＝中得，y＝3，
∴点Q的纵坐标为q＝3，
∴pq＝6×3＝18．
故答案为：18．
【分析】依题意先求出抛物线的解析式和双曲线的解析式，然后根据A，C之间的水平距离为6，A，B之间的水平距离为2，点Q与点P的水平距离为2，即可求解．
16．计算：
【答案】解：原式
=4-2-1
=1.
【知识点】零指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据实数的运算法则进行计算即可．
17．在正方形网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的三角形称为格点三角形.请按下列要求画出格点三角形.
（1）在图1中画一个格点三角形，使该三角形与格点三角形ABC全等；
（2）在图2中画一个格点三角形，使该三角形的一条边与格点三角形ABC的一条边重合，且面积与△ABC相等.
【答案】（1）解：如图1，△DEF即为所求.
（2）如图2，∵AB＝，BC＝，AC＝，
∴AB2＋BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝××2＝5，
∵BG＝CG＝
∴BG2＋CG2＝BC2，
∴△BCG是直角三角形，
∴S△BCG＝BG2＝5，
∴△BCG的面积与△ABC的面积相等，△BCG即为所求．
△GBC即为所求.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；尺规作图-作三角形；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据题意，作△ABC关于大正方形对称轴的轴对称图形，即可求解；
（2）先计算△ABC的面积，根据题意，取格点G，连接BG，CG，即可求解．
18．斜拉桥是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁.题图是一座斜拉桥的部分示意图，其中拉索AB与水平桥面BC的夹角拉索DE与水平桥面BC的夹角，两条拉索顶端之间的距离，AD=4m，底端之间的距离BE=20m，求桥塔AC的长.
（结果精确到0.1m，参考数据：）
【答案】解：设AC=hm，则DC=（h-4）m.
在Rt△ABC中，∠ABC=45°，∴BC=AC=hm.
∴CE=（h-20）m.
在Rt△CDE中，
解得h≈34.0.
答：桥塔AC的长约是34.0m.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】根据等腰直角三角形的判定和性质，以及三角函数的定义即可得到结论．
19．如题图，在 ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接BD，DE，BF.
（1）求证：DE=BF；
（2）从条件“①DB=DA，②DA⊥DB”中任选一个作为已知条件，判断四边形BEDF的形状，并证明你的结论.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=CB，∠A=∠C.
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴AE=CF.
∴△AED≌△CFB.
∴DE=BF.
（2）解：选条件①，四边形BEDF为矩形.
证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD.
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴BE=DF.
∴四边形BEDF为平行四边形.
∵DB=DA，E为AB的中点，
∴DE⊥AB，即∠BED=90°.
∴四边形BEDF为矩形.
（或选条件②，四边形BEDF为菱形.
证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD.
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴BE=DF.
∴四边形BEDF为平行四边形.
∵DA⊥DB，E是AB的中点，
∴DE=BE.
∴四边形BEDF为菱形.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先利用中点的性质和平行线的性质可得再证出△AED≌△CFB，最后利用全等三角形的性质可得DE=BF；
（2）先选择条件，再证出四边形BEDF为平行四边形，最后结合BED=90°或DE=BE证出其是矩形或菱形即可。
20．目前，AI技术在生活、学习、产业等领域的应用日益广泛.为了解学生对不同AI应用领域的关注偏好，某数学小组对本校部分学生进行了相关情况调查并统计了相关数据.
【收集数据】
该数学小组设计了如下调查问卷，随机抽取部分学生进行调查，收集得到“问题1”和“问题2”的数据.（被调查学生均对两个问题按要求作答并提交）
调查问卷
问题1：你最关注的A1应用领域是（　　）.（单选） A.智能机器人（如服务机器人、工业机器人） B. AI图像生成（如绘画、设计类AI工具） C.智能学习助手（如AI答疑、学情分析工具） D. AI语音交互（如智能音箱、语音翻译） 问题2：你每周使用AI的时间是____min.
【整理和描述数据】
第一步：将“问题1”的数据进行整理后，得到如下统计表；
第二步：将“问题2”中学生每周使用AI的时间t（单位：min）整理分成4组：①0≤t<30，②30≤t<60，③60≤t<90，④90≤t<120，并绘制成不完整的频数分布直方图如题图所示.
学生最关注的AI应用领域人数统计表
应用领域 划记 人数
A 正正正正正正 30
B 正正T 12
C 正正正 15
D F 3
（1）补全频数分布直方图；
（2）【分析数据，解答问题】
该校共有2800名学生，请你估计最关注应用领域A的人数；
（3）请根据上述统计图表，给该校学生提出一个合理的建议.
【答案】（1）解：30++15+3=60（人），60--20-=16（人）.
补全频数分布直方图如图3所示.
（2）由题意得（人）.
答：估计最关注应用领域A的人数为1400.
（3）从学生关注的AI应用领域可知，最关注应用领域D的人数较少，可建议该校学生适当地关注AI语音交互中的语音翻译功能，辅助学习.
【知识点】频数（率）分布直方图；收集数据的过程与方法；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先求出调查的总人数，再用总人数减去其余三组的人数求出使用智能软件的时间在30≤t＜60这一组的人数，即可补全频数分布直方图；
（2）用样本估计总体的方法解答即可；
（3）根据每周使用AI的目的和使用时间的分布情况合理提建议即可．
21．综合与实践
【问题背景】
在数学课上，同学们利用含有30°角的直角三角尺和量角器进行实践操作.
（1）【动手操作一】
如图1，小明将三角尺ABC放置在量角器上，顶点C与圆心O重合，此时顶点B刚好在量角器的外弧上，三角尺的斜边AB与量角器的外弧交于点D，其中∠ACB=90°，∠A=30°.若点B对应的刻度是161°，则点D对应的刻度是多少
（2）【动手操作二】
如图2，小华将三角尺EFG放置在量角器上，点E，F均在量角器的外弧上，三角尺的直角边EG与量角器的外弧交于点H，其中∠EGF=90°，∠GEF=30°，GF=6.若点E对应的刻度是130°，点F对应的刻度是10°，则FH的长是多少
【答案】（1）解：如图4，连接OD.
又OD=OB，
∴△OBD是等边三角形.
∴∠BOD=60°.
∴点D对应的刻度是101°.
（2）如图5，连接OE，OF，OH，FH.
由∠EOF=0°-°=0°，OE=OF，得∠OFE=∠OEF=30°.
∴∠OEH=∠OEF+∠GEF=60°.
又OE=OH，
∴△OHE是等边三角形.
∴∠HOE=∠EHO=60°.
∴∠HOF=∠EOF-∠HOE=60°.
又OF=OH，
∴△FOH是等边三角形.
∴∠FHO=60°，OF=FH.
∴∠GHF=180°-∠EHO-∠FHO=60°.
在Rt△FGH中，GF=6，
的长是
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，易得△OBD是等边三角形．据此求解即可；
（2）连接OE，OF，OH，FH，先证△OHE 是等边三角形，再证△FOH 是等边三角形，再求FH，可得OF，最后利用弧长公式求解即可．
22．阅读与思考
【概念理解】
我们将实数a“四舍五入”到个位的值记为[a]，其规则定义如下：当n为整数时，若n-0.5≤a【问题解决】
（1）计算：
（2）若[x-3]=2，求x的取值范围；
（3）若关于x的分式方程有正整数解，求关于y的方程的解.
【答案】（1）
（2）∵[x-3]=2，
∴2-0.5≤x-3<2+0.5.
∴4.5≤x<5.5.
（3）解关于x的分式方程得
∵该分式方程有正整数解，
∴[m]=0，即-0.5≤m<0.5.
∴-0.5-1≤m-1<0.5-1，即-1.5≤m-1<-0.5.
∴[m-1]=-1.
可化为
又[y]-0.5≤y<[y]+0.5，
解得-5<[y]≤-1，即[y]=-4或-3或-2或-1.
当[y]=-4时，当[y]=-3时，y=-3；
当[y]=-2时，当[y]=-1时，
综上所述，或-3或或
【知识点】无理数的估值；分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】（1）根据新定义，仿照示例可得到结果；
（2）由[x 3]＝2，根据新定义，可得4.5≤x＜5.5即可；
（3）由题意，易得到[m]＝0，化简原方程，可得[y] 1＝y，根据新定义，可得方程的解．
23．综合与探究
【问题情景】
如图1，抛物线与y轴交于点A.
（1）【猜想证明】
请你判断抛物线l1与x轴有几个交点，并说明理由；
（2）【深入探究】
点（-4，n），（2，n）在抛物线l1上，当t≤x≤0时，记函数2的最大值和最小值分别为y大和y小，且.求t的取值范围；
（3）【拓展延伸】
在（2）的条件下，如图2，抛物线l2由抛物线l1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得，且l2与x轴分别交于点B，C，与y轴交于点D，直线l为l2的对称轴.点P为l2上一点，且点P在直线l的右侧的第一象限内，过点P作PM⊥l于点M，作PN∥l交直线CD于点N，过点N作NQ⊥l于点Q.当直线CD将四边形PMQN的面积分成1：2的两个部分时，求此时点P的坐标
【答案】（1）解：抛物线l1与x轴有两个交点.理由如下：
由题意可知
∴抛物线l1与x轴有两个交点.
（2）
易知点A（0，2），抛物线l1的顶点坐标为（-1，3）.
分以下三种情况讨论：
①当t<-2时，∵t≤x≤0，y大=3，y小=-（t+1）2+3，
不合题意；
②当-2≤t≤-1时，∵t≤x≤0，y大=3，y小=2，
符合题意；
③当-12+3，y小=2，
不合题意.
综上所述，-2≤t≤-1.
（3）由题意可得抛物线则可得对称轴l：x=1.
令x=0得y=3，令y=0得x=3或x=-1（舍去），
∴D（0，3），C（3，0）.
求得直线CD的表达式为y=-x+3.
当x=1时，y=2，
∴直线CD与直线l的交点为（1，2），记为点R.
设点则Q（1，-m+3）.
分以下两种情况讨论：
①如图6，当点M在点R的上方时，
由题意得即解得（不合题意，舍去）.
此时点P的坐标为1
②如图7，当点R在点M的上方时，设MP与CD相交于点H，则点2m+3）.
由题意得即解得（不合题意，舍去）.
此时点P的坐标为
综上所述，点P的坐标为或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）令y＝0得到一元二次方程 x2＋bx＋2＝0计算判别式来判断与x轴的交点个数即可；
（2）根据抛物线对称轴的性质求出抛物线l1的表达式为y＝ （x＋1）2＋3，分情况讨论：当t≤ 1或t＞ 1时，利用抛物线的图象性质分析最大值与最小值的情况，据此解答即可；
（3）根据题意得到平移后抛物线l2的表达式为y＝ x2＋2x＋3进而求出点C、D坐标，利用待定系数法求出直线CD的表达式，设P（m， m2＋2m＋3），则M（1， m2＋2m＋3）、N（m， m＋3）、Q（1， m＋3），进而求出PM、MQ、GQ长，分情况讨论：当点M在点G的上方或点G在点M的上方时，设直线CD交直线l于点G，MP与CD交于点H时，根据题意列方程求出m值，结合点P在直线/的右侧的第一象限内，求解点P坐标即可．
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