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广东雷州市英利中学2025-2026学年九年级第二学期第一次诊断数学试卷
1．的绝对值是（　　）
A．2025 B． C． D．不能确定
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值是，
故答案为：A．
【分析】利用绝对值定义及计算方法分析求解即可.
2．我国国土面积约为9600000平方千米，用科学记数法表示我国国土面积约为（　　）
A．平方千米 B．平方千米
C．平方千米 D．平方千米
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：9600000用科学记数法表示为．
故答案为：C．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．如图，在中，，，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求正弦值
【解析】【解答】解：在中，，，，
．
故答案为：C.
【分析】利用正弦的定义及计算方法（对边÷斜边）求解即可.
4．如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵在中，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】根据等边对等角，结合同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
5．不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
　 红 黄
红 (红，红) (红，黄)
黄 (黄，红) (黄，黄)
共有4种等可能的结果，其中两次摸出的都是红球的结果有1种，
∴两次摸出的都是红球的概率为．
故选：A．
【分析】用列表法表示出所有可能的结果数以及两次都是红球的可能数，再根据概率公式求解即可．
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点A，点C分别在直线a，b上，且a∥b．若∠1=60°，则∠2的度数为（　　）
A．75° B．105° C．135° D．155°
【答案】B
【知识点】角的运算；等腰直角三角形；补角；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠3=180° 60° 45°=75°，
∵a∥b，
∴∠2=180° ∠3=105°，
故选B.
【分析】根据等腰直角三角形性质可得∠B，再根据补角可得∠3，再根据直线平行性质即可求出答案.
7．已知点在反比例函数的图像上，且，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵y=-，
∴反比例函数的图象位于二、四象限.
∵x1<0∴点A（x1，y1）在第二象限，点B（x2，y2）在第四象限，
∴y1>0，y2<0，
∴y1-y2>0.
故答案为：D.
【分析】由反比例函数的解析式可得：其图象位于二、四象限，结合x1<00，y2<0，据此判断.
8．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（　　）
A．π cm B．2π cm C．3π cm D．4π cm
【答案】B
【知识点】切线的性质；弧长的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OC、OD，
分别与相切于点C，D，
∴，
，
∴，
的长，
故答案为：B.
【分析】连接OC、OD，先利用切线的性质可得，再利用角的运算求出，最后利用弧长公式求出的长即可.
9．观察如右图形所标记的数据，下列判断正确的是（　　）
A．甲、乙、丙都是轴对称图形 B．只有甲是轴对称图形
C．只有丙不是轴对称图形 D．只有甲、丙是轴对称图形
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：甲是等腰三角形，是轴对称图形；
如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴乙是平行四边形，不是轴对称图形；
如图，
，
∴丙不是轴对称图形；
故选：B
【分析】根据轴对称图象的定义，结合等腰三角形，平行四边形的判定与性质即可求出答案.
10．正方形，，对角线，相交于点，动点从点出发，以的速度沿、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．当时，点的位置如图所示．有下列结论：
①当时，的面积为；
②在运动过程中，的面积随值的增大而增大；
③在运动过程中，有两个不同的值满足的面积为．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；二次函数-动态几何问题；一元一次方程的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：①∵四边形是正方形，，
∴；
由题意知，当时，点的位置如图所示：
此时，，
∴，故此序号正确；
②由题意知，时，点到达终点，此时点在上距离处，并停止运动；
∴两动点的运动时间为；
当时，点的位置如图所示：
此时，，，
过点作交于点，则有为等腰直角三角形，
∴，
∴，
当时，的面积随值的增大而减小；故此序号错误；
③由②知，当时，令，
解得：；
当时，点的位置如图所示：
此时，，
∴，
令，
化简得：，
解得：（负值舍去）；
综上，有三个不同的值满足的面积为；故此序号错误；
∴正确的结论有一个．
故选：B．
【分析】①根据正方形性质可得，当时，作出图形，此时，，再根据三角形面积即可求出答案；②，时，点到达终点，此时点在上距离处，并停止运动，则两动点的运动时间为，当时，作出图形，此时，，，过点作交于点，则有为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可得PE，再根据三角形面积即可求出答案；由②知，当时，令，解得：，当时，作出图形，此时，，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
11．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是　 　．
【答案】x≥3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】因为二次根式的被开方数大于或等于0，所以 ，所以 ，故答案为： .
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，建立不等式求解即可。
12．若分式的值为0，则x的值等于　 　．
【答案】8
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：根据题意，得且，
解得：．
故答案为：8.
【分析】利用分式的值为0的条件可得且，再求出x的值即可.
13．已知半径为2的扇形圆心角为，则此弓形的面积是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图：过作，
，
，
，
，
，，
此弓形的面积是．
故答案为：．
【分析】过作，先求出，再求出，最后利用扇形面积公式及割补法求解即可.
14．有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6随机抽取1张后，放回并混合在一起，再随机抽取1张，则第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由题意得：画如下树状图，
共有种等可能的结果，其中第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的有种，
∴概率为，
故答案为：．
【分析】先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
15．如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转，得到．连接，交于点D，则的值为　 　．
【答案】5
【知识点】三角形的面积；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作于点F，
∵，，，
∴，
∵将绕点A逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，即，
∵，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：5．
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，首先利用勾股定理求得AB得长，根据旋转的性质德AB=AB'，∠BAB'=90°，则△ABB'是等腰直角三角形，进而可证△DFB也是等腰直角三角形，可得DF=BF，△ABD中由等面积法建立方程可用含DF的式子表示AD，由有两组角对应相等的两个三角形相似判断出△AFD∽△ACB，由相似三角形对应边成比例建立方程可得AF=3DF，再由AF=AB-BF建立方程求解得出DF，进而即可算出AD、CD，从而可得出两线段的比值.
16．（1）计算：；
（2）解方程组：
【答案】解：（1）
；
（2）原方程组整理得：，
得：，
解得：；
把代入①得：，
解得：；
所以原方程组的解为：．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；加减消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】（1）先利0指数幂、负整式指数幂、算术平方根和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用加减消元法的计算方法分析求解即可.
17．已知 ，求代数式 的值。
【答案】解：∵ ，∴ 。
∴
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】将代数式应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，将 整体代入求值。
18．某中学德育处利用班会课对全校学生进行了一次安全知识测试活动，现从八、九两个年级各随机抽取10名学生的测试成绩（得分用x表示），现将20名学生的成绩分为四组（A：，：，：，：）进行整理，部分信息如下：
九年级的测试成绩：76，100，87，100，92，94，91，100，94，86．
八年级的测试成绩在C组中的数据为：83，84，86，88．
年级 平均数 中位数 最高分 众数
八年级 83 a 98 76
九年级 b 93 100 c
根据以上信息，解答下列问题：．
（1）______，______，_____；
（2）若该中学八年级与九年级共有1400名学生，请估计此次测试成绩达到90分及以上的学生有多少人？
（3）从多个角度分析，八、九年级中哪个年级学生对安全知识掌握得更好？
【答案】（1），，
（2）解：人，
∴估计此次测试成绩达到90分及以上的学生有人；
（3）解：由表格中的可知，九年级的平均成绩，中位数，众数都比八年级的要高，
∴九年级学生对安全知识掌握得更好．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵八年级一共有10人，
∴八年级的中位数为第5名和第6名的成绩的平均成绩，
∴；
九年级的平均成绩为，
∴，
∵九年级成绩中100出现了3次，出现的次数最多，
∴，
故答案为：，，；
【分析】（1）根据中位数，平均数，众数的定义即可求出答案.
（2）根据1400乘以90分及以上的学生人数占比即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
（1）解：∵八年级一共有10人，
∴八年级的中位数为第5名和第6名的成绩的平均成绩，
∴；
九年级的平均成绩为，
∴，
∵九年级成绩中100出现了3次，出现的次数最多，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：人，
∴估计此次测试成绩达到90分及以上的学生有人；
（3）解：由表格中的可知，九年级的平均成绩，中位数，众数都比八年级的要高，
∴九年级学生对安全知识掌握得更好．
19．如图，在和中，，平分．
（1）证明：；
（2）若，，求和的长．
【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵在中，，，，
∴，
由（1）已证：∵，
∴，即，
解得．
【知识点】相似三角形的判定；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.，
（2）根据勾股定理可得BC，再根据相似三角形性质可得，代值计算即可求出答案.
（1）∵平分，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）∵在中，，，，
∴，
由（1）已证：∵，
∴，即，
解得．
20．张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），开启前与水平线平行，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上．洗手盆及水龙头示意图如图②，其相关数据为，，，．
（1）水龙头从闭合到完全开启，求点上升的高度．
（2）求的长（结果精确到．参考数据：，，，）．
【答案】（1）解：过点作垂足为，
在中，
（），
答：点上升的高度；
（2）解：解：如图所示，延长交于点，交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
在中，，
，
在中，，
∴
答：的长为．
【知识点】平行线的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作垂足为，根据正弦定义即可求出答案.
（2）延长交于点，交于点，根据直线平行性质可得，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，根据余弦定义可得CG，根据边之间的关系可得AG，再根据正切定义可得CG，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）过点作垂足为，
在中，
（），
答：点上升的高度；
（2）解：如图所示，延长交于点，交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
在中，，
，
在中，，
∴
答：的长为．
21．加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/．
（1）当___________时，元/；
（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
（3）学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为元？
【答案】（1）500
（2）解：当时，，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，有最小值，最小值为，
当时，，
∵，
∴随着x的增大而减小，
∴当时，有最小值，最小值为，
综上可知，当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小；
（3）解：由题意可得，
解得（不合题意，舍去），
∴当a为时，2025年的总种植成本为元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-百分率问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）当时，
设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系式为，
把点代入得，，
解得，
∴当时，，
当时，，
∴当时，，解得，
即当时，元/；
故答案为：；
【分析】（1）当时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系式为，根据待定系数法将点代入可得，当时，，将x=35代入解析式即可求出答案.
（2）分情况讨论：当时，当时，列出函数关系式，结合二次函数，一次函数的性质即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
22．如图1，△ABC中，点O为边上一点，以点O为圆心，为半径作圆与相切于点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，，求；
（3）在（2）的条件下，如图2，点E在上，若，求的度数．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵为半径作圆与相切于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线.
（2）解：如图，连接，
∵为半径作圆与相切于点，
∴，
∴，
∵的半径为，，
∴，，
∴，
由（）得：，
∴，
∴，
∴.
（3）解：如图，在优弧上取一点，连接，
由（）得，
∴，
∴，
∵四边形是内接四边形，
∴，
∴．

【知识点】圆周角定理；切线的性质；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，先利用角的运算和等量代换求出，即，再结合为的半径，即可证出是的切线；
（2）连接OD，先求出，再利用正切的定义可得，最后将数据代入求出BC的长即可；
（3）在优弧上取一点，连接，先利用圆周角的性质求出，再利用圆内接四边形的性质求出的度数即可.
（1）证明：如图，连接，
∵为半径作圆与相切于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接，
∵为半径作圆与相切于点，
∴，
∴，
∵的半径为，，
∴，，
∴，
由（）得：，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，在优弧上取一点，连接，
由（）得，
∴，
∴，
∵四边形是内接四边形，
∴，
∴．
23．在平面直角坐标系中，存在一个图形W，P为图形m上任意一点，线段（点P与O不重合）绕点P逆时针旋转得到线段，延长至点Q，使得．若点M在线段上（点M可与线段端点重合），则称点M为图形W的“二倍点”．
已知点，点．
（1）中，是线段的“二倍点”的是__________；
（2）直线存在线段AB的“二倍点”，求k的取值范围；
（3）的半径为1，M是的“二倍点”，直线，与x轴，y轴分别交于C，D两点，点N在线段上（N可与线段端点重合），当点N在线段上运动时，直接写出线段的最大值和最小值．
【答案】（1），；
（2）解：如图：
、，
线段的“二倍点”是以、，，为顶点的四边形及内部，
直线过定点，
当直线过时，
，
解得，
当过时，
，
，
观察图形可知，直线存在线段的“二倍点”，则或；
（3）线段的最小值为，线段的最大值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；圆的相关概念；解直角三角形；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）如图：
、，
线段的“二倍点”是以、，，为顶点的四边形及内部，
在，，，中，，是线段的“二倍点”，
故答案为：，；
（3）设为上一点，连接，将绕逆时针旋转，并延长到，使，取，连接，，，，过作轴于，如图：
，，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
的运动轨迹是以为圆心，为半径的，则的“二倍点”是及其内部和及其内部，
过作于，交于，如图：
此时最小，
由得，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
线段的最小值为；
连接并延长交于，此时若与重合，则最大，如图：
在中，
，
；
线段的最大值为．
综上所述，线段的最小值为，线段的最大值为．
【分析】（1）根据二倍点定义即可求出答案.
（2）根据二倍点定义可得线段的“二倍点”是以、，，为顶点的四边形及内部，直线过定点，根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（3）设为上一点，连接，将绕逆时针旋转，并延长到，使，取，连接，，，，过作轴于，根据正切定义可得，，，，则，，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得MK，则M的运动轨迹是以为圆心，为半径的，则的“二倍点”是及其内部和及其内部，过作于，交于，此时最小，根据坐标轴上点的坐标特征可得，，则，，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，根据边之间的关系可得MN；连接并延长交于，此时若与重合，则最大，根据勾股定理可得NK，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1广东雷州市英利中学2025-2026学年九年级第二学期第一次诊断数学试卷
1．的绝对值是（　　）
A．2025 B． C． D．不能确定
2．我国国土面积约为9600000平方千米，用科学记数法表示我国国土面积约为（　　）
A．平方千米 B．平方千米
C．平方千米 D．平方千米
3．如图，在中，，，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点A，点C分别在直线a，b上，且a∥b．若∠1=60°，则∠2的度数为（　　）
A．75° B．105° C．135° D．155°
7．已知点在反比例函数的图像上，且，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（　　）
A．π cm B．2π cm C．3π cm D．4π cm
9．观察如右图形所标记的数据，下列判断正确的是（　　）
A．甲、乙、丙都是轴对称图形 B．只有甲是轴对称图形
C．只有丙不是轴对称图形 D．只有甲、丙是轴对称图形
10．正方形，，对角线，相交于点，动点从点出发，以的速度沿、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．当时，点的位置如图所示．有下列结论：
①当时，的面积为；
②在运动过程中，的面积随值的增大而增大；
③在运动过程中，有两个不同的值满足的面积为．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是　 　．
12．若分式的值为0，则x的值等于　 　．
13．已知半径为2的扇形圆心角为，则此弓形的面积是　 　．
14．有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6随机抽取1张后，放回并混合在一起，再随机抽取1张，则第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的概率是　 　．
15．如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转，得到．连接，交于点D，则的值为　 　．
16．（1）计算：；
（2）解方程组：
17．已知 ，求代数式 的值。
18．某中学德育处利用班会课对全校学生进行了一次安全知识测试活动，现从八、九两个年级各随机抽取10名学生的测试成绩（得分用x表示），现将20名学生的成绩分为四组（A：，：，：，：）进行整理，部分信息如下：
九年级的测试成绩：76，100，87，100，92，94，91，100，94，86．
八年级的测试成绩在C组中的数据为：83，84，86，88．
年级 平均数 中位数 最高分 众数
八年级 83 a 98 76
九年级 b 93 100 c
根据以上信息，解答下列问题：．
（1）______，______，_____；
（2）若该中学八年级与九年级共有1400名学生，请估计此次测试成绩达到90分及以上的学生有多少人？
（3）从多个角度分析，八、九年级中哪个年级学生对安全知识掌握得更好？
19．如图，在和中，，平分．
（1）证明：；
（2）若，，求和的长．
20．张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），开启前与水平线平行，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上．洗手盆及水龙头示意图如图②，其相关数据为，，，．
（1）水龙头从闭合到完全开启，求点上升的高度．
（2）求的长（结果精确到．参考数据：，，，）．
21．加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/．
（1）当___________时，元/；
（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
（3）学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为元？
22．如图1，△ABC中，点O为边上一点，以点O为圆心，为半径作圆与相切于点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，，求；
（3）在（2）的条件下，如图2，点E在上，若，求的度数．
23．在平面直角坐标系中，存在一个图形W，P为图形m上任意一点，线段（点P与O不重合）绕点P逆时针旋转得到线段，延长至点Q，使得．若点M在线段上（点M可与线段端点重合），则称点M为图形W的“二倍点”．
已知点，点．
（1）中，是线段的“二倍点”的是__________；
（2）直线存在线段AB的“二倍点”，求k的取值范围；
（3）的半径为1，M是的“二倍点”，直线，与x轴，y轴分别交于C，D两点，点N在线段上（N可与线段端点重合），当点N在线段上运动时，直接写出线段的最大值和最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值是，
故答案为：A．
【分析】利用绝对值定义及计算方法分析求解即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：9600000用科学记数法表示为．
故答案为：C．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．【答案】C
【知识点】求正弦值
【解析】【解答】解：在中，，，，
．
故答案为：C.
【分析】利用正弦的定义及计算方法（对边÷斜边）求解即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵在中，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】根据等边对等角，结合同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
　 红 黄
红 (红，红) (红，黄)
黄 (黄，红) (黄，黄)
共有4种等可能的结果，其中两次摸出的都是红球的结果有1种，
∴两次摸出的都是红球的概率为．
故选：A．
【分析】用列表法表示出所有可能的结果数以及两次都是红球的可能数，再根据概率公式求解即可．
6．【答案】B
【知识点】角的运算；等腰直角三角形；补角；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠3=180° 60° 45°=75°，
∵a∥b，
∴∠2=180° ∠3=105°，
故选B.
【分析】根据等腰直角三角形性质可得∠B，再根据补角可得∠3，再根据直线平行性质即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵y=-，
∴反比例函数的图象位于二、四象限.
∵x1<0∴点A（x1，y1）在第二象限，点B（x2，y2）在第四象限，
∴y1>0，y2<0，
∴y1-y2>0.
故答案为：D.
【分析】由反比例函数的解析式可得：其图象位于二、四象限，结合x1<00，y2<0，据此判断.
8．【答案】B
【知识点】切线的性质；弧长的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OC、OD，
分别与相切于点C，D，
∴，
，
∴，
的长，
故答案为：B.
【分析】连接OC、OD，先利用切线的性质可得，再利用角的运算求出，最后利用弧长公式求出的长即可.
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：甲是等腰三角形，是轴对称图形；
如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴乙是平行四边形，不是轴对称图形；
如图，
，
∴丙不是轴对称图形；
故选：B
【分析】根据轴对称图象的定义，结合等腰三角形，平行四边形的判定与性质即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；二次函数-动态几何问题；一元一次方程的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：①∵四边形是正方形，，
∴；
由题意知，当时，点的位置如图所示：
此时，，
∴，故此序号正确；
②由题意知，时，点到达终点，此时点在上距离处，并停止运动；
∴两动点的运动时间为；
当时，点的位置如图所示：
此时，，，
过点作交于点，则有为等腰直角三角形，
∴，
∴，
当时，的面积随值的增大而减小；故此序号错误；
③由②知，当时，令，
解得：；
当时，点的位置如图所示：
此时，，
∴，
令，
化简得：，
解得：（负值舍去）；
综上，有三个不同的值满足的面积为；故此序号错误；
∴正确的结论有一个．
故选：B．
【分析】①根据正方形性质可得，当时，作出图形，此时，，再根据三角形面积即可求出答案；②，时，点到达终点，此时点在上距离处，并停止运动，则两动点的运动时间为，当时，作出图形，此时，，，过点作交于点，则有为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可得PE，再根据三角形面积即可求出答案；由②知，当时，令，解得：，当时，作出图形，此时，，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
11．【答案】x≥3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】因为二次根式的被开方数大于或等于0，所以 ，所以 ，故答案为： .
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，建立不等式求解即可。
12．【答案】8
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：根据题意，得且，
解得：．
故答案为：8.
【分析】利用分式的值为0的条件可得且，再求出x的值即可.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图：过作，
，
，
，
，
，，
此弓形的面积是．
故答案为：．
【分析】过作，先求出，再求出，最后利用扇形面积公式及割补法求解即可.
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由题意得：画如下树状图，
共有种等可能的结果，其中第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的有种，
∴概率为，
故答案为：．
【分析】先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
15．【答案】5
【知识点】三角形的面积；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作于点F，
∵，，，
∴，
∵将绕点A逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，即，
∵，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：5．
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，首先利用勾股定理求得AB得长，根据旋转的性质德AB=AB'，∠BAB'=90°，则△ABB'是等腰直角三角形，进而可证△DFB也是等腰直角三角形，可得DF=BF，△ABD中由等面积法建立方程可用含DF的式子表示AD，由有两组角对应相等的两个三角形相似判断出△AFD∽△ACB，由相似三角形对应边成比例建立方程可得AF=3DF，再由AF=AB-BF建立方程求解得出DF，进而即可算出AD、CD，从而可得出两线段的比值.
16．【答案】解：（1）
；
（2）原方程组整理得：，
得：，
解得：；
把代入①得：，
解得：；
所以原方程组的解为：．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；加减消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】（1）先利0指数幂、负整式指数幂、算术平方根和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用加减消元法的计算方法分析求解即可.
17．【答案】解：∵ ，∴ 。
∴
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】将代数式应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，将 整体代入求值。
18．【答案】（1），，
（2）解：人，
∴估计此次测试成绩达到90分及以上的学生有人；
（3）解：由表格中的可知，九年级的平均成绩，中位数，众数都比八年级的要高，
∴九年级学生对安全知识掌握得更好．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵八年级一共有10人，
∴八年级的中位数为第5名和第6名的成绩的平均成绩，
∴；
九年级的平均成绩为，
∴，
∵九年级成绩中100出现了3次，出现的次数最多，
∴，
故答案为：，，；
【分析】（1）根据中位数，平均数，众数的定义即可求出答案.
（2）根据1400乘以90分及以上的学生人数占比即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
（1）解：∵八年级一共有10人，
∴八年级的中位数为第5名和第6名的成绩的平均成绩，
∴；
九年级的平均成绩为，
∴，
∵九年级成绩中100出现了3次，出现的次数最多，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：人，
∴估计此次测试成绩达到90分及以上的学生有人；
（3）解：由表格中的可知，九年级的平均成绩，中位数，众数都比八年级的要高，
∴九年级学生对安全知识掌握得更好．
19．【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵在中，，，，
∴，
由（1）已证：∵，
∴，即，
解得．
【知识点】相似三角形的判定；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.，
（2）根据勾股定理可得BC，再根据相似三角形性质可得，代值计算即可求出答案.
（1）∵平分，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）∵在中，，，，
∴，
由（1）已证：∵，
∴，即，
解得．
20．【答案】（1）解：过点作垂足为，
在中，
（），
答：点上升的高度；
（2）解：解：如图所示，延长交于点，交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
在中，，
，
在中，，
∴
答：的长为．
【知识点】平行线的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作垂足为，根据正弦定义即可求出答案.
（2）延长交于点，交于点，根据直线平行性质可得，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，根据余弦定义可得CG，根据边之间的关系可得AG，再根据正切定义可得CG，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）过点作垂足为，
在中，
（），
答：点上升的高度；
（2）解：如图所示，延长交于点，交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
在中，，
，
在中，，
∴
答：的长为．
21．【答案】（1）500
（2）解：当时，，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，有最小值，最小值为，
当时，，
∵，
∴随着x的增大而减小，
∴当时，有最小值，最小值为，
综上可知，当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小；
（3）解：由题意可得，
解得（不合题意，舍去），
∴当a为时，2025年的总种植成本为元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-百分率问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）当时，
设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系式为，
把点代入得，，
解得，
∴当时，，
当时，，
∴当时，，解得，
即当时，元/；
故答案为：；
【分析】（1）当时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系式为，根据待定系数法将点代入可得，当时，，将x=35代入解析式即可求出答案.
（2）分情况讨论：当时，当时，列出函数关系式，结合二次函数，一次函数的性质即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
22．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵为半径作圆与相切于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线.
（2）解：如图，连接，
∵为半径作圆与相切于点，
∴，
∴，
∵的半径为，，
∴，，
∴，
由（）得：，
∴，
∴，
∴.
（3）解：如图，在优弧上取一点，连接，
由（）得，
∴，
∴，
∵四边形是内接四边形，
∴，
∴．

【知识点】圆周角定理；切线的性质；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，先利用角的运算和等量代换求出，即，再结合为的半径，即可证出是的切线；
（2）连接OD，先求出，再利用正切的定义可得，最后将数据代入求出BC的长即可；
（3）在优弧上取一点，连接，先利用圆周角的性质求出，再利用圆内接四边形的性质求出的度数即可.
（1）证明：如图，连接，
∵为半径作圆与相切于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接，
∵为半径作圆与相切于点，
∴，
∴，
∵的半径为，，
∴，，
∴，
由（）得：，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，在优弧上取一点，连接，
由（）得，
∴，
∴，
∵四边形是内接四边形，
∴，
∴．
23．【答案】（1），；
（2）解：如图：
、，
线段的“二倍点”是以、，，为顶点的四边形及内部，
直线过定点，
当直线过时，
，
解得，
当过时，
，
，
观察图形可知，直线存在线段的“二倍点”，则或；
（3）线段的最小值为，线段的最大值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；圆的相关概念；解直角三角形；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）如图：
、，
线段的“二倍点”是以、，，为顶点的四边形及内部，
在，，，中，，是线段的“二倍点”，
故答案为：，；
（3）设为上一点，连接，将绕逆时针旋转，并延长到，使，取，连接，，，，过作轴于，如图：
，，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
的运动轨迹是以为圆心，为半径的，则的“二倍点”是及其内部和及其内部，
过作于，交于，如图：
此时最小，
由得，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
线段的最小值为；
连接并延长交于，此时若与重合，则最大，如图：
在中，
，
；
线段的最大值为．
综上所述，线段的最小值为，线段的最大值为．
【分析】（1）根据二倍点定义即可求出答案.
（2）根据二倍点定义可得线段的“二倍点”是以、，，为顶点的四边形及内部，直线过定点，根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（3）设为上一点，连接，将绕逆时针旋转，并延长到，使，取，连接，，，，过作轴于，根据正切定义可得，，，，则，，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得MK，则M的运动轨迹是以为圆心，为半径的，则的“二倍点”是及其内部和及其内部，过作于，交于，此时最小，根据坐标轴上点的坐标特征可得，，则，，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，根据边之间的关系可得MN；连接并延长交于，此时若与重合，则最大，根据勾股定理可得NK，再根据边之间的关系即可求出答案.
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