资源简介

广西壮族自治区南宁市天桃中学2024-2025学年八年级下学期数学期末考试
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：
∴，，不是最简二次根式，故A，B，C不符合题意；
是最简二次根式，D符合题意，
故选D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A．：化简后为，是一元一次方程，不符合条件．
B．：只含有一个未知数，且的最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程的定义．
C．：含有两个未知数和，是二元一次方程，不符合条件．
D．：含有两个未知数和，且乘积项的次数为2，是二元二次方程，不符合条件．
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程的定义：（只含有一个未知数，且含未知数项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程）逐项分析求解即可.
3．如图，平行四边形中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的性质可得，再利用平行线的性质可得.
4．在关系式中，当自变量时，函数的值为（　　）
A．3 B．1 C． D．4
【答案】A
【知识点】函数值；一次函数的概念
【解析】【解答】解：将自变量代入函数关系式中：
因此，当时，函数的值为3，
故答案为：A.
【分析】将代入函数关系式中可得，从而得解.
5．学校附近小卖部老板在清点库存时发现，某种零食草莓味卖得最多，他考虑以后采购该种零食要多进草莓味的，他参考的是下列统计量中的（　　）
A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：方差反映数据的离散程度，与销量多少无关，排除A．
平均数代表整体平均水平，但可能受极端值影响，无法直接体现销量最多的口味，排除B．
中位数是数据中间位置的数值，反映中间水平，与销量最多无关，排除C．
众数是一组数据中出现次数最多的值．题干中“草莓味卖得最多”表明该口味销量出现次数最多，符合众数的定义．因此，老板参考的是众数，
故答案为：D．
【分析】利用方差、平均数、中位数和众数的定义及性质分析求解即可.
6．下列图象中，表示是的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：．对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故该选项符合题意；
．对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故该选项不符合题意；
．对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故该选项不符合题意；
．对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故该选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用函数的定义（ 在一个变化的过程中，函数中的每个变量x的值，变量y按照一定的法则有一个确定的值与之对应，在这个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量 ）分析求解即可.
7．将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线向左平移2个单位可得 ．再向上平移3个单位可得 ，
∴平移后的抛物线解析式为．
故答案为：A．
【分析】
直接利用抛物线平移规律：“上加下减，左加右减”，即可求解平移变换后的抛物线的解析式．
8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　
A． B．k＜1且k≠0
C．k≥﹣1且k≠0 D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：根据题意得且△，
解得且．
故选：D．
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式，结合二次方程的定义即可求出答案.
9．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．当时，随的增大而减小
C．是方程的一个根 D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：A．抛物线开口向下，故，则说法错误，不符合题意；
B．根据函数图象可知当时，随的增大而增大，原说法错误，不符合题意；
C．方程的一个根是，函数对称轴为：，则是方程的一个根，说法正确，故该选项符合题意；
D．抛物线交y轴正半轴，则，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.
10．已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图像大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：正比例函数的函数值随的增大而减小，
，
，
一次函数的图像经过第一、二、四象限，
故答案为：B．
【分析】由正比例函数的增减性可得出比例系数，由此可推得一次函数的图像必经过一，二，四象限，从而得出结论。
11．如图，矩形的顶点A，B在数轴上，点A表示，，．若以点A为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；矩形的性质；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点M表示点数为．
故答案为：D．
【分析】 先利用勾股定理求出AC的长，再结合OA的长利用线段的和差求出OM的长，从而可得点M表示的数.
12．在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于的一元二次方程（）的图解，若，则的值为（　　）
A．10 B．12 C．8 D．14
【答案】B
【知识点】勾股定理；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：∵，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B.
【分析】设，则，再结合“”求出，再结合，最后求出即可．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-3≥0，
解得： .
故答案为：
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列不等式，解不等式即可得出结果。
14．抛物线的顶点坐标为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为：，
∴顶点坐标为，
故答案为：．
【分析】利用抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可.
15．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，小时后两艘轮船相距海里，则乙轮船每小时航行　 　海里．
【答案】12
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】解：∵甲轮船沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，
∴，
∴
∵甲以9海里/时的速度沿西北方向匀速航行了1小时，
∴（海里），
∵海里，
在中，（海里），
∴乙轮船平均每小时航行（海里）．
故答案为：．
【分析】先利用“路程=速度×时间”求出OA的长，再利用勾股定理求出OB的长，最后求出速度即可.
16．如图，点D是y轴正半轴上的动点，点A在x轴正半轴上，，以为边在第一象限作正方形，连接，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，取的中点H，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点H是的中点，
∴，
∴，
在中，，
∴当点H在上时，有最大值，最大值为，
故答案为：．
【分析】取的中点H，连接，先求出，再利用勾股定理求出BH的长，最后利用三角形三边的关系可得，从而得解.
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】解：（1）
（2）解：，
，
或，
∴．
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可；
（2）利用十字相乘法（先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数）的计算方法及步骤分析求解即可.
18．已知y关于x的函数．
（1）若y是x的正比例函数，求a的值；
（2）若，求该函数图象与x轴的交点坐标．
【答案】（1）解：∵y是x的正比例函数，
∴，
解得：.
（2）解：当时，该函数的表达式为，
令，得，
解得，
∴当时，函数图象与x轴的交点坐标为．
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；正比例函数的概念
【解析】【分析】（1）利用正比例函数的定义可得，再求出a的值即可；
（2）先求出函数表达式，再将y=0代入解析式求出x的值即可.
（1）解：∵y是x的正比例函数，
∴，
解得：；
（2）解：当时，该函数的表达式为，
令，得，
解得，
∴当时，函数图象与x轴的交点坐标为．
19．老李是广西灵山的一名荔枝果农，想要通过快递将荔枝销往全国各地．经过初步了解，老李打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此老李收集了10户果农对两家快递公司的配送速度以及服务质量评分情况，信息如下：
信息一：配送速度得分（满分10分）：
甲
乙
信息二：服务质量得分统计图：
信息三：配送速度和服务质量得分统计表：
项目 配送速度得分 服务质量得分
快递公司 平均数 中位数 众数 平均数 方差
甲
乙
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的________，________，________．
（2）综合表中的统计量，你认为老李应选择哪家公司？请任选两个统计量说明理由．
（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息？（列出一条即可）
【答案】（1），，
（2）解：老李应选择甲公司.
理由如下：服务质量得分甲和乙的平均数相同，从折线统计图中可以看出，甲的数据波动更小，数据更稳定，即．老李应选择甲公司；（答案不唯一）
（3）解：还应收集甲、乙两家公司的收费情况（答案不唯一，言之有理即可）．
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：乙公司配送速度得分从小到大排列为：，，，，，，，，，，
一共个数据，其中第个与第个数据分别为，，
所以中位数，
甲公司配送速度得分出现的次数最多，所以众数；
乙公司服务质量的平均分为：
故答案为：，，.
【分析】（1）利用中位数、众数和平均数的定义及计算方法分析求解即可；
（2）根据表格中的数据分析求解即可；
（3）结合折线统计图和表格中的数据分析求解即可.
（1）解：乙公司配送速度得分从小到大排列为：，，，，，，，，，，
一共个数据，其中第个与第个数据分别为，，
所以中位数，
甲公司配送速度得分出现的次数最多，所以众数；
乙公司服务质量的平均分为：
故答案为：，，；
（2）老李应选择甲公司
理由如下：服务质量得分甲和乙的平均数相同，从折线统计图中可以看出，甲的数据波动更小，数据更稳定，即．老李应选择甲公司；（答案不唯一）
（3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况（答案不唯一，言之有理即可）．
20．如图，四边形中，若，，，．
（1）________；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）求的长和四边形的面积．
【答案】（1）5
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形.
（3）解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，且，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，
【分析】（1）利用勾股定理直接求出AO的长即可；
（2）先利用线段的和差求出OC的长可得AO=OC，再结合DO=OB，即可证出四边形为平行四边形；
（3）利用平行四边形的性质可得，再利用线段的和差求出BD的长，最后求出四边形的面积即可.
（1）解：∵，，，
∴，
（2）证明：∵，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（3）解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，且，
∴．
21．季节交替容易引发呼吸道疾病，越来越多的家庭选择购买空气净化器来预防呼吸道疾病，某商场的一款空气净化器（如图1）特别畅销．已知进价是每台20元，根据市场调查发现，每月的销售量y（台）与售价x（元/台）是一次函数关系，如图2所示：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）某月该商场出售这种空气净化器获得了24000元的利润，该空气净化器的售价是多少？
（3）若某月该商场这种空气净化器的销售量不少于300台，该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是多少？
【答案】（1）解：设与之间的函数关系式为，
将，代入可得：
，
解得，
即与之间的函数关系式为.
（2）解：由题意可得，，
解得，，
答：该空气净化器的售价是60元/台或80元/台.
（3）解：设所获利润为元，
，
∵某月该商场这种空气净化器的销售量不少于300台，
∴，
解得．
∴当时，有最大值，此时，
答：该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是25000元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）利用“总费用=每件的利润×数量”列出方程，再求解即可；
（3）设所获利润为元，利用“总费用=每件的利润×数量”列出函数解析式，最后利用一次函数的性质分析求解即可.
（1）解：设与之间的函数关系式为，
将，代入可得：
，解得，
即与之间的函数关系式为；
（2）解：由题意可得，
，
解得，，
答：该空气净化器的售价是60元/台或80元/台；
（3）解：设所获利润为元，
，
∵某月该商场这种空气净化器的销售量不少于300台，
∴，
解得．
∴当时，有最大值，此时，
答：该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是25000元．
22．综合与实践：
某数学小组为了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查阅资料获得以下信息：
材料一：由于司机的反应和惯性的作用，从发现情况到刹车停止前汽车还要继续向前行驶一段距离，这段距离称为制动非安全距离．从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离总共需要的反应时间为秒．从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离．
材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过）进行测试，测得数据如下表：
制动时车速
制动距离
探究任务：
（1）以车速为横坐标，制动距离为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点，已知与满足函数关系式，请根据上面提供的数据，求出的值；
（2）若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为，请通过计算估计该款汽车制动时车速；
（3）若某司机驾驶这种新型汽车以的速度在快速路上行驶，发现前方处有一障碍物，司机紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由．
【答案】（1）解：描点，连线如图所示：
将，代入，
∴，
解得，
这个函数的表达式为：.
（2）解：当时，，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：制动距离约为15m时该款汽车制动时车速约为50.
（3）解：有碰撞危险，理由如下：
当时，．
又∵反应距离为，
∴制动非安全距离为：，
∵，
∴有碰撞危险．
【知识点】描点法画函数图象；二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）利用描点法作出函数图象，再将点代入求出b的值，从而得解；
（2）将y=15代入解析式可得，再求出x的值即可；
（3）将点x=80代入解析式求出y的值，再求出制动非安全距离，最后比较大小即可.
（1）解：描点，连线如图所示：
将，代入，
∴，
解得，
这个函数的表达式为：；
（2）当时，，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：制动距离约为15m时该款汽车制动时车速约为50；
（3）有碰撞危险，
理由如下：当时，．
又∵反应距离为，
∴制动非安全距离为：，
∵，
∴有碰撞危险．
23．【问题情境】
数学课上，兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片沿折叠，折痕与边分别交于点E，F，点C的对应点记为，点D的对应点记为．
【特例探究】
（1）如图1，折叠使点C与点A重合，为判断四边形的形状，小明写出了以下证明过程，请帮忙补全：
证明：∵四边形是矩形，∴，∴， 由折叠的性质得：， ，∴，∴ ， ∴，∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是 ．
（2）如图2，若点F为的中点，延长交于点P．判断与的数量关系，并说明理由；
【深入探究】
（3）如图3，点F在上，且，若，，当点E为的三等分点时，直接写出的值．
【答案】（1），，菱形；
（2），
理由如下：如图2，连接，
∵为的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得：，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）分两种情况：
①如图3，若点E为的三等分点，且，
∵，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
过点E作于M，
则四边形为矩形，
∴，，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
由折叠的性质得：，，，
在中，由勾股定理得：，
∴；
②如图4，若点E为的三等分点，且，
则，，
过点E作于N，
则，
同理可得：，，
在中，，
由折叠的性质得：，，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
综上所述，的值为或．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；菱形的判定；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形．
故答案为：=，=，菱形.
【分析】（1）利用矩形的性质，等角对等边以及菱形的判定方法求解即可；
（2）连接，先利用“HL”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（3）分类讨论：①若点E为的三等分点，且，②若点E为的三等分点，且，先分别画出图形，再利用勾股定理和折叠的性质分析求解即可.
1 / 1广西壮族自治区南宁市天桃中学2024-2025学年八年级下学期数学期末考试
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，平行四边形中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．在关系式中，当自变量时，函数的值为（　　）
A．3 B．1 C． D．4
5．学校附近小卖部老板在清点库存时发现，某种零食草莓味卖得最多，他考虑以后采购该种零食要多进草莓味的，他参考的是下列统计量中的（　　）
A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数
6．下列图象中，表示是的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
7．将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到（　　）
A． B． C． D．
8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　
A． B．k＜1且k≠0
C．k≥﹣1且k≠0 D．且
9．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．当时，随的增大而减小
C．是方程的一个根 D．
10．已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图像大致是（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，矩形的顶点A，B在数轴上，点A表示，，．若以点A为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
12．在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于的一元二次方程（）的图解，若，则的值为（　　）
A．10 B．12 C．8 D．14
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
14．抛物线的顶点坐标为　 　．
15．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，小时后两艘轮船相距海里，则乙轮船每小时航行　 　海里．
16．如图，点D是y轴正半轴上的动点，点A在x轴正半轴上，，以为边在第一象限作正方形，连接，则的最大值为　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（1）计算：；
（2）解方程：．
18．已知y关于x的函数．
（1）若y是x的正比例函数，求a的值；
（2）若，求该函数图象与x轴的交点坐标．
19．老李是广西灵山的一名荔枝果农，想要通过快递将荔枝销往全国各地．经过初步了解，老李打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此老李收集了10户果农对两家快递公司的配送速度以及服务质量评分情况，信息如下：
信息一：配送速度得分（满分10分）：
甲
乙
信息二：服务质量得分统计图：
信息三：配送速度和服务质量得分统计表：
项目 配送速度得分 服务质量得分
快递公司 平均数 中位数 众数 平均数 方差
甲
乙
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的________，________，________．
（2）综合表中的统计量，你认为老李应选择哪家公司？请任选两个统计量说明理由．
（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息？（列出一条即可）
20．如图，四边形中，若，，，．
（1）________；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）求的长和四边形的面积．
21．季节交替容易引发呼吸道疾病，越来越多的家庭选择购买空气净化器来预防呼吸道疾病，某商场的一款空气净化器（如图1）特别畅销．已知进价是每台20元，根据市场调查发现，每月的销售量y（台）与售价x（元/台）是一次函数关系，如图2所示：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）某月该商场出售这种空气净化器获得了24000元的利润，该空气净化器的售价是多少？
（3）若某月该商场这种空气净化器的销售量不少于300台，该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是多少？
22．综合与实践：
某数学小组为了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查阅资料获得以下信息：
材料一：由于司机的反应和惯性的作用，从发现情况到刹车停止前汽车还要继续向前行驶一段距离，这段距离称为制动非安全距离．从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离总共需要的反应时间为秒．从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离．
材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过）进行测试，测得数据如下表：
制动时车速
制动距离
探究任务：
（1）以车速为横坐标，制动距离为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点，已知与满足函数关系式，请根据上面提供的数据，求出的值；
（2）若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为，请通过计算估计该款汽车制动时车速；
（3）若某司机驾驶这种新型汽车以的速度在快速路上行驶，发现前方处有一障碍物，司机紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由．
23．【问题情境】
数学课上，兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片沿折叠，折痕与边分别交于点E，F，点C的对应点记为，点D的对应点记为．
【特例探究】
（1）如图1，折叠使点C与点A重合，为判断四边形的形状，小明写出了以下证明过程，请帮忙补全：
证明：∵四边形是矩形，∴，∴， 由折叠的性质得：， ，∴，∴ ， ∴，∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是 ．
（2）如图2，若点F为的中点，延长交于点P．判断与的数量关系，并说明理由；
【深入探究】
（3）如图3，点F在上，且，若，，当点E为的三等分点时，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：
∴，，不是最简二次根式，故A，B，C不符合题意；
是最简二次根式，D符合题意，
故选D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A．：化简后为，是一元一次方程，不符合条件．
B．：只含有一个未知数，且的最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程的定义．
C．：含有两个未知数和，是二元一次方程，不符合条件．
D．：含有两个未知数和，且乘积项的次数为2，是二元二次方程，不符合条件．
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程的定义：（只含有一个未知数，且含未知数项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程）逐项分析求解即可.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的性质可得，再利用平行线的性质可得.
4．【答案】A
【知识点】函数值；一次函数的概念
【解析】【解答】解：将自变量代入函数关系式中：
因此，当时，函数的值为3，
故答案为：A.
【分析】将代入函数关系式中可得，从而得解.
5．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：方差反映数据的离散程度，与销量多少无关，排除A．
平均数代表整体平均水平，但可能受极端值影响，无法直接体现销量最多的口味，排除B．
中位数是数据中间位置的数值，反映中间水平，与销量最多无关，排除C．
众数是一组数据中出现次数最多的值．题干中“草莓味卖得最多”表明该口味销量出现次数最多，符合众数的定义．因此，老板参考的是众数，
故答案为：D．
【分析】利用方差、平均数、中位数和众数的定义及性质分析求解即可.
6．【答案】A
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：．对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故该选项符合题意；
．对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故该选项不符合题意；
．对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故该选项不符合题意；
．对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故该选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用函数的定义（ 在一个变化的过程中，函数中的每个变量x的值，变量y按照一定的法则有一个确定的值与之对应，在这个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量 ）分析求解即可.
7．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线向左平移2个单位可得 ．再向上平移3个单位可得 ，
∴平移后的抛物线解析式为．
故答案为：A．
【分析】
直接利用抛物线平移规律：“上加下减，左加右减”，即可求解平移变换后的抛物线的解析式．
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：根据题意得且△，
解得且．
故选：D．
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式，结合二次方程的定义即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：A．抛物线开口向下，故，则说法错误，不符合题意；
B．根据函数图象可知当时，随的增大而增大，原说法错误，不符合题意；
C．方程的一个根是，函数对称轴为：，则是方程的一个根，说法正确，故该选项符合题意；
D．抛物线交y轴正半轴，则，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.
10．【答案】B
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：正比例函数的函数值随的增大而减小，
，
，
一次函数的图像经过第一、二、四象限，
故答案为：B．
【分析】由正比例函数的增减性可得出比例系数，由此可推得一次函数的图像必经过一，二，四象限，从而得出结论。
11．【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；矩形的性质；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点M表示点数为．
故答案为：D．
【分析】 先利用勾股定理求出AC的长，再结合OA的长利用线段的和差求出OM的长，从而可得点M表示的数.
12．【答案】B
【知识点】勾股定理；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：∵，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B.
【分析】设，则，再结合“”求出，再结合，最后求出即可．
13．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-3≥0，
解得： .
故答案为：
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列不等式，解不等式即可得出结果。
14．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为：，
∴顶点坐标为，
故答案为：．
【分析】利用抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可.
15．【答案】12
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】解：∵甲轮船沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，
∴，
∴
∵甲以9海里/时的速度沿西北方向匀速航行了1小时，
∴（海里），
∵海里，
在中，（海里），
∴乙轮船平均每小时航行（海里）．
故答案为：．
【分析】先利用“路程=速度×时间”求出OA的长，再利用勾股定理求出OB的长，最后求出速度即可.
16．【答案】
【知识点】三角形三边关系；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，取的中点H，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点H是的中点，
∴，
∴，
在中，，
∴当点H在上时，有最大值，最大值为，
故答案为：．
【分析】取的中点H，连接，先求出，再利用勾股定理求出BH的长，最后利用三角形三边的关系可得，从而得解.
17．【答案】解：（1）
（2）解：，
，
或，
∴．
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可；
（2）利用十字相乘法（先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数）的计算方法及步骤分析求解即可.
18．【答案】（1）解：∵y是x的正比例函数，
∴，
解得：.
（2）解：当时，该函数的表达式为，
令，得，
解得，
∴当时，函数图象与x轴的交点坐标为．
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；正比例函数的概念
【解析】【分析】（1）利用正比例函数的定义可得，再求出a的值即可；
（2）先求出函数表达式，再将y=0代入解析式求出x的值即可.
（1）解：∵y是x的正比例函数，
∴，
解得：；
（2）解：当时，该函数的表达式为，
令，得，
解得，
∴当时，函数图象与x轴的交点坐标为．
19．【答案】（1），，
（2）解：老李应选择甲公司.
理由如下：服务质量得分甲和乙的平均数相同，从折线统计图中可以看出，甲的数据波动更小，数据更稳定，即．老李应选择甲公司；（答案不唯一）
（3）解：还应收集甲、乙两家公司的收费情况（答案不唯一，言之有理即可）．
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：乙公司配送速度得分从小到大排列为：，，，，，，，，，，
一共个数据，其中第个与第个数据分别为，，
所以中位数，
甲公司配送速度得分出现的次数最多，所以众数；
乙公司服务质量的平均分为：
故答案为：，，.
【分析】（1）利用中位数、众数和平均数的定义及计算方法分析求解即可；
（2）根据表格中的数据分析求解即可；
（3）结合折线统计图和表格中的数据分析求解即可.
（1）解：乙公司配送速度得分从小到大排列为：，，，，，，，，，，
一共个数据，其中第个与第个数据分别为，，
所以中位数，
甲公司配送速度得分出现的次数最多，所以众数；
乙公司服务质量的平均分为：
故答案为：，，；
（2）老李应选择甲公司
理由如下：服务质量得分甲和乙的平均数相同，从折线统计图中可以看出，甲的数据波动更小，数据更稳定，即．老李应选择甲公司；（答案不唯一）
（3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况（答案不唯一，言之有理即可）．
20．【答案】（1）5
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形.
（3）解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，且，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，
【分析】（1）利用勾股定理直接求出AO的长即可；
（2）先利用线段的和差求出OC的长可得AO=OC，再结合DO=OB，即可证出四边形为平行四边形；
（3）利用平行四边形的性质可得，再利用线段的和差求出BD的长，最后求出四边形的面积即可.
（1）解：∵，，，
∴，
（2）证明：∵，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（3）解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，且，
∴．
21．【答案】（1）解：设与之间的函数关系式为，
将，代入可得：
，
解得，
即与之间的函数关系式为.
（2）解：由题意可得，，
解得，，
答：该空气净化器的售价是60元/台或80元/台.
（3）解：设所获利润为元，
，
∵某月该商场这种空气净化器的销售量不少于300台，
∴，
解得．
∴当时，有最大值，此时，
答：该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是25000元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）利用“总费用=每件的利润×数量”列出方程，再求解即可；
（3）设所获利润为元，利用“总费用=每件的利润×数量”列出函数解析式，最后利用一次函数的性质分析求解即可.
（1）解：设与之间的函数关系式为，
将，代入可得：
，解得，
即与之间的函数关系式为；
（2）解：由题意可得，
，
解得，，
答：该空气净化器的售价是60元/台或80元/台；
（3）解：设所获利润为元，
，
∵某月该商场这种空气净化器的销售量不少于300台，
∴，
解得．
∴当时，有最大值，此时，
答：该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是25000元．
22．【答案】（1）解：描点，连线如图所示：
将，代入，
∴，
解得，
这个函数的表达式为：.
（2）解：当时，，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：制动距离约为15m时该款汽车制动时车速约为50.
（3）解：有碰撞危险，理由如下：
当时，．
又∵反应距离为，
∴制动非安全距离为：，
∵，
∴有碰撞危险．
【知识点】描点法画函数图象；二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）利用描点法作出函数图象，再将点代入求出b的值，从而得解；
（2）将y=15代入解析式可得，再求出x的值即可；
（3）将点x=80代入解析式求出y的值，再求出制动非安全距离，最后比较大小即可.
（1）解：描点，连线如图所示：
将，代入，
∴，
解得，
这个函数的表达式为：；
（2）当时，，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：制动距离约为15m时该款汽车制动时车速约为50；
（3）有碰撞危险，
理由如下：当时，．
又∵反应距离为，
∴制动非安全距离为：，
∵，
∴有碰撞危险．
23．【答案】（1），，菱形；
（2），
理由如下：如图2，连接，
∵为的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得：，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）分两种情况：
①如图3，若点E为的三等分点，且，
∵，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
过点E作于M，
则四边形为矩形，
∴，，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
由折叠的性质得：，，，
在中，由勾股定理得：，
∴；
②如图4，若点E为的三等分点，且，
则，，
过点E作于N，
则，
同理可得：，，
在中，，
由折叠的性质得：，，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
综上所述，的值为或．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；菱形的判定；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形．
故答案为：=，=，菱形.
【分析】（1）利用矩形的性质，等角对等边以及菱形的判定方法求解即可；
（2）连接，先利用“HL”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（3）分类讨论：①若点E为的三等分点，且，②若点E为的三等分点，且，先分别画出图形，再利用勾股定理和折叠的性质分析求解即可.
1 / 1

展开更多......

收起↑