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学科融合—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题
一、学科融合--光线中数学应用
1．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象(如图所示)，现将一个盛水的玻璃杯放置在水平桌面上，图中∠2=80°，∠3=30°，则∠1=(　　)
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵水面与玻璃杯的杯底平行，
又
故选： C.
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠4的度数，然后根据角的和差解答即可.
2．如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像CD．已知图片AB长为3dm，若点光源O到胶片的距离OE长为6dm，点光源O与屏幕的距离OF的长为18dm，则影像CD长为 (　　) dm
A．36 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据平行线可得，然后根据对应边上高的比等于相似比解答即可．
3．根据凸透镜的成像规律，当物体到凸透镜的距离大于两倍焦距时，会在凸透镜的另一侧形成倒立、缩小的实像。如图所示，物体AB 到凸透镜EF的距离OA=8，凸透镜的焦距 则实像与物体的比值 为(　　)
A．38 B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：从图中可知，CD⊥AC，OF⊥AC，FD∥CO且FD⊥OF，
∴四边形CDFO是矩形，
∴CD=OF，
从图中可知，AB∥EF，且AB、CD垂直于AC，∴△BAF1∽△FOF1，
∴，
∵OA=8，OF1=3，
∴AF1=OA-OF1=5，
∴。
故答案为：B.
【分析】本题根据凸透镜的成像规律可知，当光经过焦距F1后到达凸透镜EF时，此时光延直线传播，并且FD∥CO且FD⊥OF，这样就可以利用矩形的判定得出四边形CDFO是矩形，从而得出CD=OF；然后利用相似三角形判定和性质得出，最后计算出AF1=5，代入计算即可，
4． 已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）满足反比例函数，当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为0. 5m，则k= 　 　 .
【答案】100
【知识点】反比例函数的实际应用
5．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10厘米，像距为15厘米，蜡烛火焰倒立的像的高度是9厘米，则蜡烛火焰的高度是　 　厘米．
【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设蜡烛火焰的高度是厘米，
由相似三角形的性质得到：，
解得，
即蜡烛火焰的高度是厘米．
故答案为：．
【分析】利用相似三角形的对应边上高的比等于相似比解答即可．
6．在初中物理课程中，我们学过凸透镜的成像规律，如图 MN为凸透镜，其厚度忽略不计 O为凸透镜 MN的光心，E为凸透镜的焦点.在凸透镜MN左侧的主光轴上垂直放置一只蜡烛 AB，透过凸透镜后成的像为 CD.平行于主光轴的光线 AF，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线 AO汇聚于点 C.若物距 OB=6cm，像距 OD=12cm，则凸透镜 MN的焦距 OE的长为　 　cm.
【答案】4
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可得，四边形是矩形，
，
即，
解得：，
故答案为：4．
【分析】根据题意可得，然后根据对应边成比例解答即可．
7．如图，平行于主光轴 MN 的光线 AB 和 CD 经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF 的反向延长线交于主光轴MN上一点 P .若∠ABE=138°， ∠CDF=162°， 则∠EPF 的度数是 　 　 .
【答案】60°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据邻补角的定义得到和的度数，再根据两直线平行，内错角相等求出和的度数，然后根据角的和差解答即可．
二、学科融合--物理实验中数学应用
8．如图，小明和爸爸在玩跷跷板.已知小明的体重为50kg，距离跷跷板支点的距离为1.2m，设爸爸的体重为xkg，距离跷跷板支点的距离为ym.若要使跷跷板保持平衡，则x与y应满足的关系式为（　　）.
A．y=60x B． C． D．y=50x
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，得
∴
故答案为：C．
【分析】根据小明的体重与小明到跷跷板支点的距离之积、爸爸的体重与小明爸爸到跷跷板支点的距离之积相等解答即可．
9．综合与实践
素材：图1是杆秤构造示意图，秤纽A在秤纽B 的左侧。
图2是杆秤称重示意图，当秤杆水平平衡时，根据杠杆平衡条件可得x·y=m·n，其中x为秤砣质量，y为秤纽与秤砣之间的水平距离，m为秤盘和物体的总质量，n为秤纽与秤盘之间的水平距离。
根据以上素材解决如下问题：
（1）当m=60g， n=5cm时， 求y(单位： cm) 关于x(单位： g) 的函数解析式；
（2）当m为定值时，学习小组选取不同质量的秤砣称重。提起秤纽A，根据选用的x的大小，得到对应的y值，记录这些有序数对(x，y)，绘制y关于x的函数图象；提起秤纽B，重复上述操作。如图3，将两个函数图象绘制在同一平面直角坐标系中，则　 　(填序号)是提起秤纽B时得到的图象；
（3）甲、乙小组分别提起秤纽A，B，选取同一个磨损了的秤砣对同一物体称重。
当m=100g时，哪个小组得到的y值误差更大
甲组的误差计算如下：
记nA为秤纽A与秤盘之间的水平距离，x组为秤砣磨损后的质量， yp与y甲损为磨损前后秤纽与秤砣的水平距离，依题意可得：
所以甲组的误差为
请计算乙组的误差，并比较两组误差大小，得出结论。
【答案】（1）解：由题意x-y=m·n， 代入m=60， n=5得 xy=300，
所以 y关于 x的函数解析式为
（2）①
（3）解：记ng为秤纽 B与秤盘之间的水平距离， yz与y∠t为磨损前后平衡时秤纽 B与秤砣的水平距离.
依题意可得：
所以乙组的误差为
由反比例函数 在第一象限的增减性，
可得
即乙组的误差更大.
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】（2）解：根据（1）可得
根据题意可得提起秤纽B时，变大，则变大，
则①是提起秤纽B时得到的图象，
故答案为：①；
【分析】本题考查反比例函数的应用及性质，结合杠杆平衡条件。
（1）根据杠杆平衡条件 ，将已知的 、 代入，整理可得 关于 的反比例函数解析式。
（2）由 可知，当 为定值时， 越大，函数图象离坐标轴越远；因秤纽 在秤纽 右侧，故 ，对应的图象应为①。
（3）参照甲组误差的计算方法，结合杠杆平衡条件得出乙组误差表达式，再根据 及反比例函数的增减性，比较两组误差的大小，得出乙组误差更大的结论。
10．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
（1）求绳子的总长度；
（2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？
【答案】（1）解：根据题意得．
，
，
答：绳子的总长度为；
（2）解：∵滑块B向左滑动了，
即，
，
在中，，
由（1）得绳子的总长度为，
，
∴物体C升高的高度
答：此时物体C升高了．
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】(1) 利用勾股定理计算初始状态下直角三角形的斜边长度，再与竖直段长度相加，得到绳子总长度；
(2) 先根据滑块滑动距离求出新的水平直角边长度，再用勾股定理计算新的斜边长度，结合绳子总长求出新的竖直段长度，通过前后竖直段长度的差，得到物体升高的高度。
（1）解：根据题意得．
，
，
答：绳子的总长度为；
（2）解：∵滑块B向左滑动了，
即，
，
在中，，
由（1）得绳子的总长度为，
，
∴物体C升高的高度
答：此时物体C升高了．
11．综合与实践．
实验操作：物理实验课上小明做一个实验，在一条笔直的滑道上有一个黑球以一定的速度在处开始向前滚动，并且均匀减速，测量黑球减速后的滚动速度，（单位：）随滚动时间（单位：s）变化的数据，整理得下表．
滚动时间 0 1 2 3 4
滚动速度 10 9.5 9 8.5 8
（一）解决问题：
（1）小明探究发现，黑球的滚动速度与滚动时间之间成一次函数关系，直接写出关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）：______；
（2）黑球在滑道上滚动用了多少秒？
（二）拓展提升：
（3）黑球在滑道上滚动多远距离后停下来？（提示：距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．）
【答案】（1）
（2）解：，；
，
，
，
解得，（舍去），
故黑球在滑道上滚动用了秒；
（3）解：对于，
当时，，
解得，
（），
故黑球在滑道上滚动后停下来．
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：设，则有
，
解得，
，
故答案为；
【分析】(1) 先根据表格数据用待定系数法求出速度 关于时间 的一次函数解析式；
(2) 再利用平均速度公式 得到距离 关于 的二次函数，代入 求解时间；
(3) 最后令 求出停止时间，代入距离公式得到总滚动距离。
12．综合与实践
一些物理实验可以用数学知识解决问题，如小孔成像涉及相似的知识，平抛运动涉及抛物线型的实际应用等，某兴趣小组为了探究平抛运动中的抛物线型的实际应用，制定了如下的实践活动，请完成下列方案设计中的任务.
知识背景 如图①，一小球从静止的斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力)，设小球滚出桌面的水平方向为x轴正方向，竖直向上方向为y轴正方向，以小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计)，得到小球的位置坐标（x，y)，根据平抛运动的原理可知x，y与时间t（s)的关系为
方案设计 用频闪照相机观测到小球在下落过程中的几个位置，如图②，并用平滑的曲线连接得到小球平抛运动的轨迹，如图③，已知桌面高度为100cm，观测记录三个时刻小球的位置坐标，测量数据如下表： t（s) 123x（cm) 102030y（cm) -5-20-45
解决问题：
（1）根据测试数据，可知小球在做平抛运动时，水平速度v=　 　cm/s，重力加速度
（2）写出运动轨迹所形成的抛物线的表达式，并求出当小球在竖直方向下落80cm时，它在水平方向上前进了多少 cm
（3）若小球水平抛出的正前方有一高度为20cm的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计)，要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离L （cm)的取值范围.
【答案】（1）10，10
（2）解：由（1）知：x=10t，y=-5t2，
∴t=，
∴y=-5×=；
∴当y=-80时，
解得x=±40 (舍负)，
∴当小球在竖直方向下落80cm时，它在水平方向上前进了40cm；
（3）解：∵桌面高度为100cm，正方体纸箱高度为20cm，小球要落入纸箱，则小球要在y=-(100-20)=-80时进入纸箱.
∵将y=-80代入 中，
解得x1=40， x2=-40 (不合题意，舍去).
∵正方体纸箱高度为20cm，则它的长与宽也是20cm，
∴纸箱左侧到桌子的最短的水平距离为40-20=20(cm).
∴L的取值范围为20【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-抛球问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）把（1，10）代入x=vt中，可得：10=v×1，
∴v=10；
把（1，-5）代入y=2中，可得出：-5=，
∴g=10
故答案为：10，10；
【分析】(1)根据表格中的数据，代入相应关系式，即可得出答案；
（2）首先得出y=-，进而求出当y=-80时x的值即可；
（3）桌面高度为100cm，正方体纸箱高度为20cm，小球要落入纸箱，则小球要在y=-(100-20)=-80时进入纸箱.根据关系是可得出x的值x=40，进而即可得出答案。
三、学科融合--电路中数学应用
13．物理学中的电路包含串联电路和并联电路，如图是一个并联电路，两电阻分别为R1，R2，并联电路的总电阻为R，三者之间的关系为，则用R1，R2表示R，结果正确的是（　　）．
A． B． C． D．R=R1+R2
【答案】B
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：B．
【分析】先根据分式的加减法则计算等式的右边，即可得出R1，R2与R之间的关系．
14．物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图①所示．经测试，发现电流（单位：）随着电阻（单位：）的变化而变化，并结合数据描点、连线，画成如图②所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（　　）
A．最大电流是 B．最大电流是
C．最小电流是 D．最小电流是
【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知，符合反比例函数，
设函数解析式为，
将点代入得，
解得：，
∴该函数解析式为．
若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的最大电流是．
故答案为：A．
【分析】由图象可知，符合反比例函数，从而根据图象提供的点的坐标，利用待定系数法求出I关于R的函数解析式，再代入代入求出对应的I的值即可得出答案.
15．已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（　　）
A．空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大
B．当时，甲醛检测仪会报警
C．当时，的阻值为
D．当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于
【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】A、 由图②可知，甲醛质量浓度越小，的阻值越大，因此空气中甲醛浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大，A说法正确，
B、 由图②可知，时对应，且随增大而减小，故时，但无法确定，此时检测仪不一定报警，B说法错误，
C、 由图②数据可知，与成反比例关系，，当时，，C说法正确，
D、 当时，，因随减小而增大，故时，，D说法正确，
故答案为：B。
【分析】先从图②提取随增大而减小的规律，再通过已知点计算反比例函数表达式，最后结合报警阈值逐一验证各选项。
16．在物理实验课上，同学们分小组进行探究电流 I (A)与电阻 R (Ω)关系的实验，实验要求每个小组需保持电阻两端电压恒定.依据实验所得数据，在给定的坐标系中，甲、乙、丙三个小组分别绘制出了相应的图象(如图).根据图象及物理学知识 U=IR，可判断甲、乙、丙三个小组所控制的电阻两端电压的大小关系为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，
∴，
当时，结合图象得，
则，
故选：A.
【分析】根据，取相同的电阻时，比较通过电流的大小解答即可．
17．如图，电路图上有3个开关S1，S2，S3和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为　 　。
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设为①，为②，为③，画出树状图如下：
共有6种等可能结果，其中小灯泡发光的结果有①②，①③，②①，③①，共4种，
∴若任意闭合电路上2个开关，则小灯泡发光的概率为：，
故答案为：．
【分析】利用画树状图得到所有可能结果，从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
18．蓄电池的电压为定值。使用此电源时，用电器的电流I（A)是关于电阻R （Ω)的反比例函数，其图象如图所示，点P 是图象上一点。当用电器电阻R为9Ω时，电流是　 　A。
【答案】4
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）的函数关系式为I＝，
由图象可知，当R＝12时，I＝3，
∴k＝IR＝3×12＝36，
∴I＝，
当R＝9时，I＝＝4（A），
故答案为：4．
【分析】用待定系数法求出反比例函数解析式，再把R＝9代入解析式求出I的值．
四、学科融合--化学实验中数学应用
19．化学实验课上，化学老师在实验室组织了一场抽卡做实验活动，一共有四张卡片，每张卡片上面各有一个化学方程式。若学生抽到其中一张卡片，则要做相应实验，相关化学方程式如下：（反应条件已省略）
①
②
③
④
小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
④生成物带有沉淀
∴小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是
故答案为：D
【分析】根据概率公式即可求出答案.
20．如图，某物质的化学分子式含有两个六边形，其中一个六边形的内角和是（　　)
A．540° B．720° C．900° D．1080°
【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正六边形的内角和是；
故答案为：B.
【分析】根据多边形的内角和公式计算即可．
21．化学实验课上，化学老师在实验室组织了一场抽卡做实验的活动，一共有四张卡片，每张卡片上面各有一个化学方程式.若学生抽到其中一张卡片，则要做相应实验，相关化学方程式(反应条件已省略)如下：
小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵四个卡片中，只有卡片④的生成物带有沉淀，∴符合条件的结果数为1.
∴抽到生成物带有沉淀的实验的概率为
故答案为： .
【分析】先确定所有等可能结果总数，再找出符合要求的结果数，代入概率公式计算即可.
22．某中学化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气）
抽取规则如下：4张卡片背面朝上洗匀，小文先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小华再从中随机抽取一张．若他们抽到的金属均能置换出氢气，则由小文分享；其他的情况，则由小华分享．这个规则对小文和小华公平吗？请用列表或画树状图法说明理由．
【答案】解：不公平，理由如下：
由题意，列表如下：
　
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
共16种等可能的结果，其中抽到的金属均能置换出氢气的情况有9种，抽到的金属不能都置换出氢气的情况有7种，
∴小文分享的概率为：，小华分享的概率为：，
，
∴不公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】列出表格，求出所有等可能的结果，再求出抽到的金属均能置换出氢气的结果，抽到的金属不能都置换出氢气的结果，根据概率公式求出概率，再比较大小即可求出答案.
23．实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，按要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处，现将左侧的实验装置图抽象成侧面示意图.已知试管AB=24cm，，试管倾斜角∠ABG为12°，实验时，导管紧贴水面MN，延长BM交CN于点F，且MN⊥CF（点C，D，N，F在同一直线上），经测得DE=28cm，MN=8cm，MN=NF，求DN的长.（结果保留整数）（参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan12°≈0.21）
【答案】解：如图，延长、交于，
，，，
四边形为矩形，
，，
，，
，
在中，，，
则，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；矩形底座模型
【解析】【分析】延长、交于，即可得到四边形为矩形，求出EB长，利用正弦的定义求出和，即可求出的长，再根据等腰直角三角形的性质解答即可．
五、学科融合--文化课中数学应用
24．下列词语所描述的事件中属于不可能事件的是(　　)
A．守株待兔 B．画饼充饥 C．打草惊蛇 D．旭日东升
【答案】B
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、守株待免是可能发生也可能不发生的，是随机事件，不符合题意；
B、画饼充饥是不能实现的，是不可能事件，符合题意；
C、打草惊蛇是可能发生也可能不发生的，是随机事件，不符合题意；
D、旭日东升是必然事件，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据事件的定义，结合生活实际判断解答即可.
25．汉语是中华民族智慧的结晶，成语是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（　　）
A．旭日东升 B．望梅止渴 C．守株待兔 D．指鹿为马
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、旭日东升是一定会发生的事件，不是随机事件，不符合题意；
B、望梅止渴是条件反射现象，不具有随机性，不符合题意；
C、守株待兔是随机事件，符合题意；
D、指鹿为马是主观故意行为，不是随机事件，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
26．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AC＝9，则线段AB的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴，
即，
∴﹒
故答案为：D.
【分析】根据平行线等分线段定理知一组平行线再一条直线上截出若干等长线段时，这组平行线在其它任何直线上截出得对应线段长度也相等，据此建立方程，求解可得答案.
27．如图，AB和 CD是五线谱上的两条线段，点 E在 AB，CD之间的一条平行线上，若∠1=125°， ∠2=35°，则∠BEC的度数为（　　)
A．90° B．85° C．95° D．80°
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AB//ED//DC，
∴∠1+∠BED=180°，∠2=∠DEC，
∵∠1=125°， ∠2=35°，
∴∠BED=55°，∠DEC=35°，
∴∠BEC=∠BED+∠DEC=55°+35°=90°，
故答案为：A.
【分析】先利用平行线的性质可得∠BED=55°，∠DEC=35°，再利用角的运算求出∠BEC的度数即可.
28．综合与实践：数学与音乐
【问题背景】制作尤克里里
尤克里里是一种小巧的弹拨乐器，它的结构如图1所示，弹奏时，琴弦的振动频率与有效弦长密切相关，而有效弦长由品丝位置决定.
【建立模型】
小州设计了如下确定品丝（如图1的M1N1)位置的方法：如图2，设琴枕为点A，弦桥为点B，则完整琴弦为AB，以AB为直角边构造Rt△ABC， 在AB上截取AP1=AC， 在P1处确定第一根品丝， 则第一根品丝的对应有效弦长为P1B，过P1作P1Q1⊥AB交BC于点 Q1，在AB上截取 ，在P2处设计第二根品丝，则第二根品丝的对应有效弦长为P2B，以此类推确定后续品丝位置. 在制作过程中，为了让发音和谐，根据十二平均律，小州取AC长为20mm，P1Q1长为19mm.
【求解模型】
（1） 求
（2）求第一根品丝的有效弦长 P1B 及 tanB.
（3）【检验模型】
制作完成后，经实际测量第三根品丝的位置P3到弦桥B的长度约为342mm，若允许偏差是±2mm，请判断该品丝是否合格，并说明理由.
【答案】（1）解：∵以AB为直角边构造Rt△ABC，
∴∠CAB=90°，
∵ P1Q1⊥AB，
∴ ∠Q1P1B=∠CAB=90°，
又 ∠B=∠B，
∴ △ACB∽△P1Q1B，
∵AC=20mm，P1Q1=19mm，
.
（2）解：由(1)得，
∵ AP1=AC=20，
∴，
即 ，
解得P1B=380(mm)，
在Rt△P1Q1B中， .
答：第一根品丝的有效弦长 P1B为380mm，.
（3）解：合格.理由如下：
在 Rt△P2Q2B中，
∴ 342.95-342=0.95(mm).
∵ - 2<0.95<2，
∴ 该品丝合格.
【知识点】相似三角形的实际应用；求正切值；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）首先判断两个三角形△ACB与△P1Q1B相似，利用相似三角形的性质“对应边成比例”建立比例关系，结合已知条件代入数据即可；
（2）由第（1）问知：线段AB与P1B的比例关系，其中AB=AP1+P1B，且已知AP1=AC=20，代入比例式即可解出P1B；在Rt△P1Q1B中，∠B的对边为P1Q1=19mm，邻边为P1B=380mm，根据正切函数的定义“直角三角形中，一个锐角的正切等于它的对边与邻边的比”即可求解.
（3）本题可根据第（2）问的信息递推，根据已知条件计算第二根品丝到弦桥B的距离P2B，在Rt△P2Q2B中应用正弦函数tanB可求出P2Q2的长度，根据第三根品丝到第二根品丝的垂直距离等于第二根品丝的高度，即P2P3=P2Q2，即可计算P3B的长度，最后计算偏差判断是否合格.
29．实心球是越城区中考体育考试项目之一．某男生训练掷实心球时，实心球行进路线可以看成抛物线的一部分（如图），某次投掷时，实心球从y轴上的点A（0，2）处出手，实心球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系为y=a（x-4）2+4，那么该男生本次投掷可得　 　分．（参考数据：≈1.41）
越城区体育中考评分标准（实心球男）
掷实心（m） 10.0 9.60 9.20 8.80 8.40 8.00 7.60 7.20 7.00 6.80
分值（分） 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
注：掷实心球距离为a（m），当a≥10.0，得10分，当9.60≤a<10，得9分，当9.20≤a<9.60，得8分……依次类推，当a<6.8时，得0分．
【答案】9
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：把 A（0，2）代入 y=a（x-4）2+4可得16a+4=2，
解得a=，
∴抛物线的解析式为 y=（x-4）2+4，
当y=0时，（x-4）2+4=0，
解得（舍去），，
∴该同学的的得分为9分，
故答案为：9.
【分析】先把A点坐标代入求出解析式，然后求出抛物线与x轴的交点坐标，然后根据表格数据得到得分即可.
30．密码学是一门研究如何隐密地传递信息的学科，涉及加密和解密技术的科学，在密码学中，直接可以看到的内容称为明码，对明码进行某种处理后得到的内容称为密码．清溪中学数学兴趣小组开展综合与实践活动，将26个英文字母按顺序分别对应整数1到26．现有4个字母构成的密码单词，记4个字母对应的数字分别为，，，．已知整数，，，除以26的余数分别为1，19，6，15．则这个密码单词为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意得
，，，，
，当时，，，余数为，满足条件．故．
余数为，同理可求．
余数为，同理可求．
余数为，同理可求．
，，，，组合为“love”，
故选：C．
【分析】由于所给4个字母都在1和26之间，因此由题意可得，即x2可得，同理，， ，再分别确定出各字母所对应的字母即可．
31．现代密码学与数学有着密切关系.密码学爱好者小北制定了一种数字和字母相对应的密码规则，他将26个英文字母a，b，c....z依次对应正整数1~26，并摆放到如图所示的密码盘中，其中 1~12位于内圈，依次对应字母a~l；13~26位于外圈，依次对应字母m~z.内外圈的数字均绕中心点 O 顺时针转动，且每转动一个单位便对应其相邻数字.现定义一种密文a[m]，表示数字a顺时针转动m个单位后所对应的数字，而该数字所对应的字母即为明文.例如：接收的密文内容为“15[3]3[2]1[15]”，15[3]表示外圈数字15顺时针转动3个单位后对应的数字，即15[3]=18，对应英文字母“r”；同理：3[2]=5， 对应英文字母“e”；1[15]=4，对应英文字母“d”，所以密文破译后的明文为“red”.若小北向小仑传输的密文为"24[3]2[23]15[200]10[2026]"则小仑破译后的明文应为(　　)
A．“make” B．“mash” C．“milk” D．“math”
【答案】D
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：小北向小仑传输的密文为“24[3]2[23]15[200]10[2026]
∵24[3]=13，对应英文字母“m”；
2[23]=1，对应英文字母“a”；
15[200] =20，对应英文字母“t”；
10[2026]=8，对应英文字母“h”；
∴小仑破译后的明文应为：math
故答案为：D.
【分析】根据给定的密码规则，对密文中的每个数字按照顺时针转动相应单位数，求出对应的数字，再根据数字与字母的对应关系得到明文。
1 / 1学科融合—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题
一、学科融合--光线中数学应用
1．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象(如图所示)，现将一个盛水的玻璃杯放置在水平桌面上，图中∠2=80°，∠3=30°，则∠1=(　　)
A．30° B．40° C．50° D．60°
2．如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像CD．已知图片AB长为3dm，若点光源O到胶片的距离OE长为6dm，点光源O与屏幕的距离OF的长为18dm，则影像CD长为 (　　) dm
A．36 B．12 C．9 D．6
3．根据凸透镜的成像规律，当物体到凸透镜的距离大于两倍焦距时，会在凸透镜的另一侧形成倒立、缩小的实像。如图所示，物体AB 到凸透镜EF的距离OA=8，凸透镜的焦距 则实像与物体的比值 为(　　)
A．38 B． C． D．
4． 已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）满足反比例函数，当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为0. 5m，则k= 　 　 .
5．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10厘米，像距为15厘米，蜡烛火焰倒立的像的高度是9厘米，则蜡烛火焰的高度是　 　厘米．
6．在初中物理课程中，我们学过凸透镜的成像规律，如图 MN为凸透镜，其厚度忽略不计 O为凸透镜 MN的光心，E为凸透镜的焦点.在凸透镜MN左侧的主光轴上垂直放置一只蜡烛 AB，透过凸透镜后成的像为 CD.平行于主光轴的光线 AF，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线 AO汇聚于点 C.若物距 OB=6cm，像距 OD=12cm，则凸透镜 MN的焦距 OE的长为　 　cm.
7．如图，平行于主光轴 MN 的光线 AB 和 CD 经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF 的反向延长线交于主光轴MN上一点 P .若∠ABE=138°， ∠CDF=162°， 则∠EPF 的度数是 　 　 .
二、学科融合--物理实验中数学应用
8．如图，小明和爸爸在玩跷跷板.已知小明的体重为50kg，距离跷跷板支点的距离为1.2m，设爸爸的体重为xkg，距离跷跷板支点的距离为ym.若要使跷跷板保持平衡，则x与y应满足的关系式为（　　）.
A．y=60x B． C． D．y=50x
9．综合与实践
素材：图1是杆秤构造示意图，秤纽A在秤纽B 的左侧。
图2是杆秤称重示意图，当秤杆水平平衡时，根据杠杆平衡条件可得x·y=m·n，其中x为秤砣质量，y为秤纽与秤砣之间的水平距离，m为秤盘和物体的总质量，n为秤纽与秤盘之间的水平距离。
根据以上素材解决如下问题：
（1）当m=60g， n=5cm时， 求y(单位： cm) 关于x(单位： g) 的函数解析式；
（2）当m为定值时，学习小组选取不同质量的秤砣称重。提起秤纽A，根据选用的x的大小，得到对应的y值，记录这些有序数对(x，y)，绘制y关于x的函数图象；提起秤纽B，重复上述操作。如图3，将两个函数图象绘制在同一平面直角坐标系中，则　 　(填序号)是提起秤纽B时得到的图象；
（3）甲、乙小组分别提起秤纽A，B，选取同一个磨损了的秤砣对同一物体称重。
当m=100g时，哪个小组得到的y值误差更大
甲组的误差计算如下：
记nA为秤纽A与秤盘之间的水平距离，x组为秤砣磨损后的质量， yp与y甲损为磨损前后秤纽与秤砣的水平距离，依题意可得：
所以甲组的误差为
请计算乙组的误差，并比较两组误差大小，得出结论。
10．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
（1）求绳子的总长度；
（2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？
11．综合与实践．
实验操作：物理实验课上小明做一个实验，在一条笔直的滑道上有一个黑球以一定的速度在处开始向前滚动，并且均匀减速，测量黑球减速后的滚动速度，（单位：）随滚动时间（单位：s）变化的数据，整理得下表．
滚动时间 0 1 2 3 4
滚动速度 10 9.5 9 8.5 8
（一）解决问题：
（1）小明探究发现，黑球的滚动速度与滚动时间之间成一次函数关系，直接写出关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）：______；
（2）黑球在滑道上滚动用了多少秒？
（二）拓展提升：
（3）黑球在滑道上滚动多远距离后停下来？（提示：距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．）
12．综合与实践
一些物理实验可以用数学知识解决问题，如小孔成像涉及相似的知识，平抛运动涉及抛物线型的实际应用等，某兴趣小组为了探究平抛运动中的抛物线型的实际应用，制定了如下的实践活动，请完成下列方案设计中的任务.
知识背景 如图①，一小球从静止的斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力)，设小球滚出桌面的水平方向为x轴正方向，竖直向上方向为y轴正方向，以小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计)，得到小球的位置坐标（x，y)，根据平抛运动的原理可知x，y与时间t（s)的关系为
方案设计 用频闪照相机观测到小球在下落过程中的几个位置，如图②，并用平滑的曲线连接得到小球平抛运动的轨迹，如图③，已知桌面高度为100cm，观测记录三个时刻小球的位置坐标，测量数据如下表： t（s) 123x（cm) 102030y（cm) -5-20-45
解决问题：
（1）根据测试数据，可知小球在做平抛运动时，水平速度v=　 　cm/s，重力加速度
（2）写出运动轨迹所形成的抛物线的表达式，并求出当小球在竖直方向下落80cm时，它在水平方向上前进了多少 cm
（3）若小球水平抛出的正前方有一高度为20cm的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计)，要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离L （cm)的取值范围.
三、学科融合--电路中数学应用
13．物理学中的电路包含串联电路和并联电路，如图是一个并联电路，两电阻分别为R1，R2，并联电路的总电阻为R，三者之间的关系为，则用R1，R2表示R，结果正确的是（　　）．
A． B． C． D．R=R1+R2
14．物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图①所示．经测试，发现电流（单位：）随着电阻（单位：）的变化而变化，并结合数据描点、连线，画成如图②所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（　　）
A．最大电流是 B．最大电流是
C．最小电流是 D．最小电流是
15．已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（　　）
A．空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大
B．当时，甲醛检测仪会报警
C．当时，的阻值为
D．当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于
16．在物理实验课上，同学们分小组进行探究电流 I (A)与电阻 R (Ω)关系的实验，实验要求每个小组需保持电阻两端电压恒定.依据实验所得数据，在给定的坐标系中，甲、乙、丙三个小组分别绘制出了相应的图象(如图).根据图象及物理学知识 U=IR，可判断甲、乙、丙三个小组所控制的电阻两端电压的大小关系为(　　)
A． B．
C． D．
17．如图，电路图上有3个开关S1，S2，S3和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为　 　。
18．蓄电池的电压为定值。使用此电源时，用电器的电流I（A)是关于电阻R （Ω)的反比例函数，其图象如图所示，点P 是图象上一点。当用电器电阻R为9Ω时，电流是　 　A。
四、学科融合--化学实验中数学应用
19．化学实验课上，化学老师在实验室组织了一场抽卡做实验活动，一共有四张卡片，每张卡片上面各有一个化学方程式。若学生抽到其中一张卡片，则要做相应实验，相关化学方程式如下：（反应条件已省略）
①
②
③
④
小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是（　　）
A． B． C． D．
20．如图，某物质的化学分子式含有两个六边形，其中一个六边形的内角和是（　　)
A．540° B．720° C．900° D．1080°
21．化学实验课上，化学老师在实验室组织了一场抽卡做实验的活动，一共有四张卡片，每张卡片上面各有一个化学方程式.若学生抽到其中一张卡片，则要做相应实验，相关化学方程式(反应条件已省略)如下：
小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是　 　.
22．某中学化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气）
抽取规则如下：4张卡片背面朝上洗匀，小文先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小华再从中随机抽取一张．若他们抽到的金属均能置换出氢气，则由小文分享；其他的情况，则由小华分享．这个规则对小文和小华公平吗？请用列表或画树状图法说明理由．
23．实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，按要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处，现将左侧的实验装置图抽象成侧面示意图.已知试管AB=24cm，，试管倾斜角∠ABG为12°，实验时，导管紧贴水面MN，延长BM交CN于点F，且MN⊥CF（点C，D，N，F在同一直线上），经测得DE=28cm，MN=8cm，MN=NF，求DN的长.（结果保留整数）（参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan12°≈0.21）
五、学科融合--文化课中数学应用
24．下列词语所描述的事件中属于不可能事件的是(　　)
A．守株待兔 B．画饼充饥 C．打草惊蛇 D．旭日东升
25．汉语是中华民族智慧的结晶，成语是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（　　）
A．旭日东升 B．望梅止渴 C．守株待兔 D．指鹿为马
26．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AC＝9，则线段AB的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
27．如图，AB和 CD是五线谱上的两条线段，点 E在 AB，CD之间的一条平行线上，若∠1=125°， ∠2=35°，则∠BEC的度数为（　　)
A．90° B．85° C．95° D．80°
28．综合与实践：数学与音乐
【问题背景】制作尤克里里
尤克里里是一种小巧的弹拨乐器，它的结构如图1所示，弹奏时，琴弦的振动频率与有效弦长密切相关，而有效弦长由品丝位置决定.
【建立模型】
小州设计了如下确定品丝（如图1的M1N1)位置的方法：如图2，设琴枕为点A，弦桥为点B，则完整琴弦为AB，以AB为直角边构造Rt△ABC， 在AB上截取AP1=AC， 在P1处确定第一根品丝， 则第一根品丝的对应有效弦长为P1B，过P1作P1Q1⊥AB交BC于点 Q1，在AB上截取 ，在P2处设计第二根品丝，则第二根品丝的对应有效弦长为P2B，以此类推确定后续品丝位置. 在制作过程中，为了让发音和谐，根据十二平均律，小州取AC长为20mm，P1Q1长为19mm.
【求解模型】
（1） 求
（2）求第一根品丝的有效弦长 P1B 及 tanB.
（3）【检验模型】
制作完成后，经实际测量第三根品丝的位置P3到弦桥B的长度约为342mm，若允许偏差是±2mm，请判断该品丝是否合格，并说明理由.
29．实心球是越城区中考体育考试项目之一．某男生训练掷实心球时，实心球行进路线可以看成抛物线的一部分（如图），某次投掷时，实心球从y轴上的点A（0，2）处出手，实心球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系为y=a（x-4）2+4，那么该男生本次投掷可得　 　分．（参考数据：≈1.41）
越城区体育中考评分标准（实心球男）
掷实心（m） 10.0 9.60 9.20 8.80 8.40 8.00 7.60 7.20 7.00 6.80
分值（分） 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
注：掷实心球距离为a（m），当a≥10.0，得10分，当9.60≤a<10，得9分，当9.20≤a<9.60，得8分……依次类推，当a<6.8时，得0分．
30．密码学是一门研究如何隐密地传递信息的学科，涉及加密和解密技术的科学，在密码学中，直接可以看到的内容称为明码，对明码进行某种处理后得到的内容称为密码．清溪中学数学兴趣小组开展综合与实践活动，将26个英文字母按顺序分别对应整数1到26．现有4个字母构成的密码单词，记4个字母对应的数字分别为，，，．已知整数，，，除以26的余数分别为1，19，6，15．则这个密码单词为（　　）
A． B． C． D．
31．现代密码学与数学有着密切关系.密码学爱好者小北制定了一种数字和字母相对应的密码规则，他将26个英文字母a，b，c....z依次对应正整数1~26，并摆放到如图所示的密码盘中，其中 1~12位于内圈，依次对应字母a~l；13~26位于外圈，依次对应字母m~z.内外圈的数字均绕中心点 O 顺时针转动，且每转动一个单位便对应其相邻数字.现定义一种密文a[m]，表示数字a顺时针转动m个单位后所对应的数字，而该数字所对应的字母即为明文.例如：接收的密文内容为“15[3]3[2]1[15]”，15[3]表示外圈数字15顺时针转动3个单位后对应的数字，即15[3]=18，对应英文字母“r”；同理：3[2]=5， 对应英文字母“e”；1[15]=4，对应英文字母“d”，所以密文破译后的明文为“red”.若小北向小仑传输的密文为"24[3]2[23]15[200]10[2026]"则小仑破译后的明文应为(　　)
A．“make” B．“mash” C．“milk” D．“math”
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵水面与玻璃杯的杯底平行，
又
故选： C.
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠4的度数，然后根据角的和差解答即可.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据平行线可得，然后根据对应边上高的比等于相似比解答即可．
3．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：从图中可知，CD⊥AC，OF⊥AC，FD∥CO且FD⊥OF，
∴四边形CDFO是矩形，
∴CD=OF，
从图中可知，AB∥EF，且AB、CD垂直于AC，∴△BAF1∽△FOF1，
∴，
∵OA=8，OF1=3，
∴AF1=OA-OF1=5，
∴。
故答案为：B.
【分析】本题根据凸透镜的成像规律可知，当光经过焦距F1后到达凸透镜EF时，此时光延直线传播，并且FD∥CO且FD⊥OF，这样就可以利用矩形的判定得出四边形CDFO是矩形，从而得出CD=OF；然后利用相似三角形判定和性质得出，最后计算出AF1=5，代入计算即可，
4．【答案】100
【知识点】反比例函数的实际应用
5．【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设蜡烛火焰的高度是厘米，
由相似三角形的性质得到：，
解得，
即蜡烛火焰的高度是厘米．
故答案为：．
【分析】利用相似三角形的对应边上高的比等于相似比解答即可．
6．【答案】4
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可得，四边形是矩形，
，
即，
解得：，
故答案为：4．
【分析】根据题意可得，然后根据对应边成比例解答即可．
7．【答案】60°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据邻补角的定义得到和的度数，再根据两直线平行，内错角相等求出和的度数，然后根据角的和差解答即可．
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，得
∴
故答案为：C．
【分析】根据小明的体重与小明到跷跷板支点的距离之积、爸爸的体重与小明爸爸到跷跷板支点的距离之积相等解答即可．
9．【答案】（1）解：由题意x-y=m·n， 代入m=60， n=5得 xy=300，
所以 y关于 x的函数解析式为
（2）①
（3）解：记ng为秤纽 B与秤盘之间的水平距离， yz与y∠t为磨损前后平衡时秤纽 B与秤砣的水平距离.
依题意可得：
所以乙组的误差为
由反比例函数 在第一象限的增减性，
可得
即乙组的误差更大.
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】（2）解：根据（1）可得
根据题意可得提起秤纽B时，变大，则变大，
则①是提起秤纽B时得到的图象，
故答案为：①；
【分析】本题考查反比例函数的应用及性质，结合杠杆平衡条件。
（1）根据杠杆平衡条件 ，将已知的 、 代入，整理可得 关于 的反比例函数解析式。
（2）由 可知，当 为定值时， 越大，函数图象离坐标轴越远；因秤纽 在秤纽 右侧，故 ，对应的图象应为①。
（3）参照甲组误差的计算方法，结合杠杆平衡条件得出乙组误差表达式，再根据 及反比例函数的增减性，比较两组误差的大小，得出乙组误差更大的结论。
10．【答案】（1）解：根据题意得．
，
，
答：绳子的总长度为；
（2）解：∵滑块B向左滑动了，
即，
，
在中，，
由（1）得绳子的总长度为，
，
∴物体C升高的高度
答：此时物体C升高了．
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】(1) 利用勾股定理计算初始状态下直角三角形的斜边长度，再与竖直段长度相加，得到绳子总长度；
(2) 先根据滑块滑动距离求出新的水平直角边长度，再用勾股定理计算新的斜边长度，结合绳子总长求出新的竖直段长度，通过前后竖直段长度的差，得到物体升高的高度。
（1）解：根据题意得．
，
，
答：绳子的总长度为；
（2）解：∵滑块B向左滑动了，
即，
，
在中，，
由（1）得绳子的总长度为，
，
∴物体C升高的高度
答：此时物体C升高了．
11．【答案】（1）
（2）解：，；
，
，
，
解得，（舍去），
故黑球在滑道上滚动用了秒；
（3）解：对于，
当时，，
解得，
（），
故黑球在滑道上滚动后停下来．
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：设，则有
，
解得，
，
故答案为；
【分析】(1) 先根据表格数据用待定系数法求出速度 关于时间 的一次函数解析式；
(2) 再利用平均速度公式 得到距离 关于 的二次函数，代入 求解时间；
(3) 最后令 求出停止时间，代入距离公式得到总滚动距离。
12．【答案】（1）10，10
（2）解：由（1）知：x=10t，y=-5t2，
∴t=，
∴y=-5×=；
∴当y=-80时，
解得x=±40 (舍负)，
∴当小球在竖直方向下落80cm时，它在水平方向上前进了40cm；
（3）解：∵桌面高度为100cm，正方体纸箱高度为20cm，小球要落入纸箱，则小球要在y=-(100-20)=-80时进入纸箱.
∵将y=-80代入 中，
解得x1=40， x2=-40 (不合题意，舍去).
∵正方体纸箱高度为20cm，则它的长与宽也是20cm，
∴纸箱左侧到桌子的最短的水平距离为40-20=20(cm).
∴L的取值范围为20【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-抛球问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）把（1，10）代入x=vt中，可得：10=v×1，
∴v=10；
把（1，-5）代入y=2中，可得出：-5=，
∴g=10
故答案为：10，10；
【分析】(1)根据表格中的数据，代入相应关系式，即可得出答案；
（2）首先得出y=-，进而求出当y=-80时x的值即可；
（3）桌面高度为100cm，正方体纸箱高度为20cm，小球要落入纸箱，则小球要在y=-(100-20)=-80时进入纸箱.根据关系是可得出x的值x=40，进而即可得出答案。
13．【答案】B
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：B．
【分析】先根据分式的加减法则计算等式的右边，即可得出R1，R2与R之间的关系．
14．【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知，符合反比例函数，
设函数解析式为，
将点代入得，
解得：，
∴该函数解析式为．
若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的最大电流是．
故答案为：A．
【分析】由图象可知，符合反比例函数，从而根据图象提供的点的坐标，利用待定系数法求出I关于R的函数解析式，再代入代入求出对应的I的值即可得出答案.
15．【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】A、 由图②可知，甲醛质量浓度越小，的阻值越大，因此空气中甲醛浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大，A说法正确，
B、 由图②可知，时对应，且随增大而减小，故时，但无法确定，此时检测仪不一定报警，B说法错误，
C、 由图②数据可知，与成反比例关系，，当时，，C说法正确，
D、 当时，，因随减小而增大，故时，，D说法正确，
故答案为：B。
【分析】先从图②提取随增大而减小的规律，再通过已知点计算反比例函数表达式，最后结合报警阈值逐一验证各选项。
16．【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，
∴，
当时，结合图象得，
则，
故选：A.
【分析】根据，取相同的电阻时，比较通过电流的大小解答即可．
17．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设为①，为②，为③，画出树状图如下：
共有6种等可能结果，其中小灯泡发光的结果有①②，①③，②①，③①，共4种，
∴若任意闭合电路上2个开关，则小灯泡发光的概率为：，
故答案为：．
【分析】利用画树状图得到所有可能结果，从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
18．【答案】4
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）的函数关系式为I＝，
由图象可知，当R＝12时，I＝3，
∴k＝IR＝3×12＝36，
∴I＝，
当R＝9时，I＝＝4（A），
故答案为：4．
【分析】用待定系数法求出反比例函数解析式，再把R＝9代入解析式求出I的值．
19．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
④生成物带有沉淀
∴小聪抽到生成物带有沉淀的实验的概率是
故答案为：D
【分析】根据概率公式即可求出答案.
20．【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正六边形的内角和是；
故答案为：B.
【分析】根据多边形的内角和公式计算即可．
21．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵四个卡片中，只有卡片④的生成物带有沉淀，∴符合条件的结果数为1.
∴抽到生成物带有沉淀的实验的概率为
故答案为： .
【分析】先确定所有等可能结果总数，再找出符合要求的结果数，代入概率公式计算即可.
22．【答案】解：不公平，理由如下：
由题意，列表如下：
　
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
共16种等可能的结果，其中抽到的金属均能置换出氢气的情况有9种，抽到的金属不能都置换出氢气的情况有7种，
∴小文分享的概率为：，小华分享的概率为：，
，
∴不公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】列出表格，求出所有等可能的结果，再求出抽到的金属均能置换出氢气的结果，抽到的金属不能都置换出氢气的结果，根据概率公式求出概率，再比较大小即可求出答案.
23．【答案】解：如图，延长、交于，
，，，
四边形为矩形，
，，
，，
，
在中，，，
则，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；矩形底座模型
【解析】【分析】延长、交于，即可得到四边形为矩形，求出EB长，利用正弦的定义求出和，即可求出的长，再根据等腰直角三角形的性质解答即可．
24．【答案】B
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、守株待免是可能发生也可能不发生的，是随机事件，不符合题意；
B、画饼充饥是不能实现的，是不可能事件，符合题意；
C、打草惊蛇是可能发生也可能不发生的，是随机事件，不符合题意；
D、旭日东升是必然事件，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据事件的定义，结合生活实际判断解答即可.
25．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、旭日东升是一定会发生的事件，不是随机事件，不符合题意；
B、望梅止渴是条件反射现象，不具有随机性，不符合题意；
C、守株待兔是随机事件，符合题意；
D、指鹿为马是主观故意行为，不是随机事件，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
26．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴，
即，
∴﹒
故答案为：D.
【分析】根据平行线等分线段定理知一组平行线再一条直线上截出若干等长线段时，这组平行线在其它任何直线上截出得对应线段长度也相等，据此建立方程，求解可得答案.
27．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AB//ED//DC，
∴∠1+∠BED=180°，∠2=∠DEC，
∵∠1=125°， ∠2=35°，
∴∠BED=55°，∠DEC=35°，
∴∠BEC=∠BED+∠DEC=55°+35°=90°，
故答案为：A.
【分析】先利用平行线的性质可得∠BED=55°，∠DEC=35°，再利用角的运算求出∠BEC的度数即可.
28．【答案】（1）解：∵以AB为直角边构造Rt△ABC，
∴∠CAB=90°，
∵ P1Q1⊥AB，
∴ ∠Q1P1B=∠CAB=90°，
又 ∠B=∠B，
∴ △ACB∽△P1Q1B，
∵AC=20mm，P1Q1=19mm，
.
（2）解：由(1)得，
∵ AP1=AC=20，
∴，
即 ，
解得P1B=380(mm)，
在Rt△P1Q1B中， .
答：第一根品丝的有效弦长 P1B为380mm，.
（3）解：合格.理由如下：
在 Rt△P2Q2B中，
∴ 342.95-342=0.95(mm).
∵ - 2<0.95<2，
∴ 该品丝合格.
【知识点】相似三角形的实际应用；求正切值；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）首先判断两个三角形△ACB与△P1Q1B相似，利用相似三角形的性质“对应边成比例”建立比例关系，结合已知条件代入数据即可；
（2）由第（1）问知：线段AB与P1B的比例关系，其中AB=AP1+P1B，且已知AP1=AC=20，代入比例式即可解出P1B；在Rt△P1Q1B中，∠B的对边为P1Q1=19mm，邻边为P1B=380mm，根据正切函数的定义“直角三角形中，一个锐角的正切等于它的对边与邻边的比”即可求解.
（3）本题可根据第（2）问的信息递推，根据已知条件计算第二根品丝到弦桥B的距离P2B，在Rt△P2Q2B中应用正弦函数tanB可求出P2Q2的长度，根据第三根品丝到第二根品丝的垂直距离等于第二根品丝的高度，即P2P3=P2Q2，即可计算P3B的长度，最后计算偏差判断是否合格.
29．【答案】9
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：把 A（0，2）代入 y=a（x-4）2+4可得16a+4=2，
解得a=，
∴抛物线的解析式为 y=（x-4）2+4，
当y=0时，（x-4）2+4=0，
解得（舍去），，
∴该同学的的得分为9分，
故答案为：9.
【分析】先把A点坐标代入求出解析式，然后求出抛物线与x轴的交点坐标，然后根据表格数据得到得分即可.
30．【答案】C
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意得
，，，，
，当时，，，余数为，满足条件．故．
余数为，同理可求．
余数为，同理可求．
余数为，同理可求．
，，，，组合为“love”，
故选：C．
【分析】由于所给4个字母都在1和26之间，因此由题意可得，即x2可得，同理，， ，再分别确定出各字母所对应的字母即可．
31．【答案】D
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：小北向小仑传输的密文为“24[3]2[23]15[200]10[2026]
∵24[3]=13，对应英文字母“m”；
2[23]=1，对应英文字母“a”；
15[200] =20，对应英文字母“t”；
10[2026]=8，对应英文字母“h”；
∴小仑破译后的明文应为：math
故答案为：D.
【分析】根据给定的密码规则，对密文中的每个数字按照顺时针转动相应单位数，求出对应的数字，再根据数字与字母的对应关系得到明文。
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