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阅读理解（代数）—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题
一、数与式的阅读理解
1．阅读理解：
我们解决某些数学题的时候，经常会遇到题目中的条件比较含糊，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被发现和运用，导致我们解题受阻，因此，挖掘题设中的隐含条件，应该成为我们必备的一种能力．请阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并依次解决所给的问题．
化简：
解：由题意可知隐含条件解得：，
∴，
∴．
启发应用：
（1）按照上面的解法，化简：；
类比迁移：
（2）已知的三边长分别为，，，请求出的周长．（用含有的代数式表示，结果要求化简）
拓展延伸：
（3）若，请直接写出的取值范围．
【答案】解：（1）根据题意可知，题设中的隐含条件为3-m≥0，解得：m≤3，
则m-5＜0，
∴，
∴
=-（3-m）
=2；
（2）根据题意可知，题设中的隐含条件为x≥0，y-x≥0，即：0≤x≤y，
∴x+y≥0，
∴C△ABC=，
答：的周长为（x+2y）；
（3）根据题意可知，题设中的隐含条件为x-4≥0，解得：x≥4，（x-7）2≥0，解得：x＞7或者x≤7，
当4≤x≤7时，x-7≤0，则成立，
当x＞7时，x-7＞0，则，解得x=7，不符合题意舍去，
综上所述，x的取值范围是4≤x≤7.
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求出m的取值范围，再化简即可得出答案；
（2）根据二次根式有意义的条件求出的范围，再化简即可得出答案；
（3）根据二次根式有意义的条件求出x的范围，再分当4≤x≤7时，x-7≤0，和当x＞7时，x-7＞0，两种情况讨论最后化简即可.
2．跟华罗庚学猜数：
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根.华罗庚脱口而出：39.
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：①∵，又∵1000＜59319＜1000000，
∴，∴能确定59319的立方根是个两位数.
②59319的个位数是9，又∵93=729，能确定59319的立方根的个位数是9.
③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39.
（1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是　 　位数；
②它的立方根的个位数字是　 　；
③19683的立方根是　 　.
（2）求110592的立方根.（过程可按题目中的步骤写）
【答案】（1）两；7；27
（2）解：∵，，
又∵1000<110529<1000000，
∴
∴能确定110592的立方根是个两位数
∵110592的个位数是2，
又∵83=512
∴能确定110592的立方根的个位数是8
若划去110592后面的三位592得到数110，
而
则，
可得，
由此确定110592的立方根的十位数是4，
因此110592的立方根是48.
【知识点】无理数的估值；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：(1)①∵，，
又∵1000<19683<1000000
∴，
∴能确定19683的立方根是个两位数
②∵19683的个位数是3，
又∵73=343
∴能确定19683的立方根的个位数是7，
③如果划去19683后面的三位683得到数19，
而，则，可得
由此能确定19683的立方根的十位数是2，
因此19683的立方根是27
故答案为：两，7，27.
【分析】(1)仿照例题，进行推理得结论；
(2)先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论.
3．阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务.
X年X月X日 星期日 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法. 这种方法如下： 若 n=ab(在各组乘积为 n 的正整数中，a，b 两数最接近)，则的最初近似值为 若m1是的最初近似值，则的二级近似值 的三级近似值 例如： ∵24=1×24=2×12=3×8=4×6， 4， 6最接近， 的最初近似值为 的二级近似值为 的三级近似值为．
任务：
（1）的最初近似值是　 　；
（2）的二级近似值是　 　；
（3）若 的最初近似值是 二级近似值是 求n的值.
【答案】（1）4
（2）
（3）解：设，
最初近似值，
得，
二级近似值，
解得，．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1），
与最接近，
的最初近似值为；
故答案为：4；
（2）解：，
和最接近，
最初近似值，
的二级近似值是，
故答案为：；
【分析】（1）仿照例题解答即可；
（2） 仿照例题解答即可 ；
（3）设，即可得到，根据题目公式计算即可．
4． 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为，这个数i叫做虚数单位
把形如 (a，b为实数)的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.
例如计算：，
，
， .
根据以上信息，完成下列问题.
（1） 填空：　 　.
（2） 计算：.
（3） 试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成的形式.
【答案】（1）-3i
（2）解：
=3+(-4+3)i+4+(-1)
=3-i+4+(-1)
=6-i；
（3）解：.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】
，
故答案为：-3i；
【分析】(1)根据虚数单位的定义可得答案；
(2)根据整式的加减运算法则，结合虚数单位进行求解即可；
(3)根据分母有理化结合虚数单位进行求解即可.
5．阅读理解：
定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”．
例如： 我们称 是 的“差分式”，
解答下列问题：
（1）分式 是分式 的“　 　差分式”．
（2）分式 是分式 的“差分式”．
① ▲ （含的代数式表示）；
②若 的值为正整数，为正整数，求的值．
（3）已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值．
【答案】（1）1
（2）解：①18+6x；
②，为正整数，
∴当时，，则；
当时，，则；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
∴的值为或；
（3）解：，
，且，
∴，
∵为正数，
∴，
∴的值为．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：(1)，
故答案为：1.
(2)①∵，，
∴
∴C-2x2-6x=18-2x2，
解得，C=18+6x，
故答案为：18+6x.
【分析】(1)根据材料提示进行计算即可求解；
(2)根据“2差分式”的计算方法可得A-B=2，结合分式的混合运算即可求解；
(3)根据“4差分式”的计算方法可得 ，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得 ，结合xy=1，由此即可求解.
6． 请同学们认真阅读下面求代数值的方法．
已知实数、满足，计算的值．
解：因为，
所以．
借鉴上面的方法，解决下列问题：
若实数a、b满足．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：由（1）得，，
，
．
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【分析】（1）仿照题目运算方法解答即可；
（2）利用题目中所给的方法，根据（1）中的数据，变形后整体代入解答即可．
7．阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．
例如，，，，那么，，其中．
例如，，，．
请你解决下列问题：
（1）__________，__________；
（2）如果，那么x的取值范围是__________；
（3）如果，那么x的值是__________；
（4）如果，其中，且，求x的值．
【答案】解：（1）4，-7；
（2）；
（3）；
（4）∵，其中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或或或，
当时，有，；
当时，有，；
当时，有，；
当时，有，；
∴或或或．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，，
故答案为：4，-7；
（2）∵，
∴的取值范围为：，
故答案为：；
（3）∵，
∴，
解得：，
∵是整数，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）根据的定义直接得到答案；
（2）根据的定义直接得到答案；
（3）根据的定义直接得到不等式组，解不等式组得的取值范围，再由为整数，即可计算出具体的值；
（4）由材料中的条件可得，由，可求得的范围，根据为整数，分情况讨论即可求得的值．
二、函数的阅读理解
8．【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
（1）①点的“纵横值”为 ；
②求出函数的“最优纵横值”；
（2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
（3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
【答案】（1）解：①.
②，∵，∴，∴函数的“最优纵横值”为2.
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵最优纵横值为5，
∴，
∴.
（3）解：，
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；反比例函数图象上点的坐标特征；配方法的应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为，故答案为：.
【分析】（1）①根据定义，求出y-x的值即可；
②根据定义， 先计算y-x的值，结合x的取值范围和反比例函数图象上点的坐标特征，即可求解；
（2）根据抛物线的对称轴求出b=3，故抛物线的解析式为y=-x2+3x+c，根据定义，求出y-x=-x2+3x+c-x=-（x-1）2+1+c，根据配方法可得x=1时，y-x的值最大为c+1，根据最优纵横值为5，即可得出1+c=5，解得c=4；
（3）根据定义，求出，结合故y-x与x的函数图象，关于直线x=b对称，且抛抛物线的开口向下，据此分为b＞0和b＜-1两种情况，分别计算求出b的值，即可求解.
9．在书本阅读材料中提到利用几何画板可以探索函数的系数，，与图像的关系．如图1，在几何画板软件中绘制一个二次函数的图象的具体步骤如下：
步骤一：在直角坐标系内的轴上取任意三个点（不在原点），，，度量三个点的横坐标，分别记为，，；
步骤二：绘制函数；
步骤三：任意移动，，三点的位置，发现抛物线的开口方向、大小、位置会发生变化．
问题：如图2，将点移动到点的位置．
（1）若点移动到点，请求出此时抛物线的对称轴；
（2）在点，移动的过程中，且满足，是否存在某一位置使得抛物线与轴只有一个交点，若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意知，，
∴对称轴为直线．
（2）解：∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴，
∵，
∴，
当点B与点C在点A同侧，即点B与点C重合时，
则，
∴
解得或，
∴B点坐标为或
②当点B与点C在点A异侧，即点A是的中点，
则，，
∴
解得或，
∴B点坐标为或．
综上， B或或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】(1)根据二次函数的对称轴是直线解题．
(2)先得到，然后根据抛物线与x轴只有一个交点，即可得到，然后分为点B、C在点A同侧和异侧两种情况解题．
（1）由题意知，，
∴对称轴为直线．
（2）∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴，
∵，
∴，
当点B与点C在点A同侧，即点B与点C重合时，
则，
∴
解得或，
∴B点坐标为或
②当点B与点C在点A异侧，即点A是的中点，
则，，
∴
解得或，
∴B点坐标为或．
综上， B或或或．
10．【阅读材料】解一元二次不等式：.
解：设，解得，，，则抛物线与x轴的交点坐标为和.画出二次函数的大致图象（如图所示），由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即，所以一元二次不等式.的解集为或.
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）【数学理解】请直接写出一元二次不等式.的解集；
（2）【拓展探索】用类似的方法解一元二次不等式：.
【答案】（1）
（2）解：设 ，
解得，，，
则抛物线与x轴的交点坐标为和 ，
画出二次函数 的大致图象，如图所示：
由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即 ，
∴一元二次不等式的解集为或.
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）一元二次方程的解为，，
由图象可知：当时函数图象位于x轴下方，此时，即 ，
∴一元二次不等式的解集为.
【分析】（1）当函数图象在x轴下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征可得抛物线与x轴的交点坐标为和 ，作出函数图象，当函数图象在x轴上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
11．【阅读理解】
点在平面直角坐标系中，记点到轴的距离为，到轴的距离为，给出以下定义：若则称为点的“微距值”；若则称2为点的“微距值”；特别地，若点在坐标轴上，则点的“微距值”为．例如，点到轴的距离为，到轴的距离为，因为，所以点的“微距值”为．
【知识应用】
（1）点的“微距值”为 ；
（2）若点的“微距值”为2， 求a的值；
（3）若点在直线上，且点的“微距值”为，求点的坐标．
【答案】（1）2
（2）解：点到轴的距离，
∵点的“微距值”为，且，
∴点到轴的距离．
∴或．
（3）解：设点的坐标为，
∵点在直线上，
∴．
情况一：当时 此时，即．
当时，代入，得，
移项可得，即，
解得，
此时，
∵，
∴不满足，舍去．
当时，代入，得，
移项可得，即，解得，
此时，∵，满足，
∴点坐标为．
情况二：当时 此时，即．
当时，代入，
得，此时，
∵，不满足，
∴舍去．
当时，代入，
得，此时，
∵，满足，
∴点坐标为．
综上，点的坐标为或．
【知识点】点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：点到轴的距离，到轴的距离．
∵，即，
∴点的“微距值”为
故答案为：2．
【分析】（1）根据“微距值”的定义，先求出点到轴和轴的距离，再比较大小确定“微距值”．点到轴的距离，到轴的距离，比较与大小．
（2）由点的“微距值”为，点到轴的距离，“微距值”为，根据定义可知且，进而求解的值．
（3）设点的坐标为，由点在直线上，得．点的“微距值”为，分两种情况讨论：一是当时，；二是当时，，分别求解和的值确定点坐标．
（1）解：点到轴的距离，到轴的距离．
∵，即，
∴点的“微距值”为
故答案为：2．
（2）解：点到轴的距离，
∵点的“微距值”为，且，
∴点到轴的距离．
∴或．
（3）解：设点的坐标为，
∵点在直线上，
∴．
情况一：当时 此时，即．
当时，代入，得，
移项可得，即，
解得，
此时，
∵，
∴不满足，舍去．
当时，代入，得，
移项可得，即，解得，
此时，∵，满足，
∴点坐标为．
情况二：当时 此时，即．
当时，代入，
得，此时，
∵，不满足，
∴舍去．
当时，代入，
得，此时，
∵，满足，
∴点坐标为．
综上，点的坐标为或．
12．阅读材料：二次函数的应用
小明在学习过程中遇到一个问题：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是，个位上的数的和等于），猜想其中哪个积最大，并说明理由．
，，，……，，，
小明结合已学知识做了如下尝试：
设两个乘数的积为，其中一个乘数的个位上的数为，则另一个乘数个位上的数为，
根据题意得：
……
（1）问题解决：请帮助小明判断以上问题中哪个积最大并求出这个最大的积；
（2）问题拓展：下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于），用以上方法猜想其中哪个积最大，并说明理由．
，，，……，，，
【答案】解：（1） =-（x-5）2+7225
抛物线的对称轴为：
而对称轴在自变量取值范围内（且为整数）
当时，，
所以：最大，最大积为7225．
（2）设两个乘数的积为，其中一个乘数十位上的数与个位上的数组成的数为，则另一个乘数十位上的数与个位上的数组成的数为，依题意，
得：=-（x-50）5+562500
抛物线的对称轴为：
而对称轴在自变量取值范围内（且为整数）
当时，的积最大．
【知识点】二次函数的最值；列二次函数关系式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）由得出=-（x-5）2+7225，根据顶点式即可得出函数的最大值；
（2）设两个乘数的积为，其中一个乘数十位上的数与个位上的数组成的数为，可得出，进而转化成
顶点式w=-（x-50）5+562500，即可得出答案。
13．阅读理解
材料1：观察数轴可知，当x>0时，随着x的不断增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着x的不断增大，的值也随之减小.
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：
根据上述材料完成下列问题：
（1）当x>0时，随着x的不断增大，的值　 　(增大或减小)；
当x<0时，随着x的不断增大，的值　 　(增大或减小)；
（2）当x>1时，随着x的不断增大.的值无限接近一个数，请求出这个数.
【答案】（1）减小；减小
（2）解：
当时，的值无限接近0，
的值无限接近5；
【知识点】分式的加减法；函数值
【解析】【解答】解：(1)当x>0时，随着x的增大，随之减小，故1+随之减小；
，x<0时，随着x的增大，不断减小，故随之减小；
【分析】(1)结合材料可知随x的增大而减少；化简成，当x增大时，随之减小；
(2)结将代数式化为数字和分式的和的形式，随着x的增大而减小，再求出这个接近的数.
14．【阅读理解】若抛物线 的顶点落在直线y=x上，称这样的抛物线为平衡抛物线.如 的顶点为（2，2)落在直线y=x上，是平衡抛物线.
备用图
【提出问题】
若抛物线 都是平衡抛物线，抛物线y1的对称轴为直线x=-3.抛物线y2的对称轴为直线x=n.点A （m，p)在抛物线y1上，点B（2n-m，q) 在抛物线y2上， 点C与点B关于直线x=n对称.设（
【解决问题】
（1）求抛物线y1的解析式；
（2） 若n=1.
①判断线段AC的中点M是否一定落在直线y=x上 请你作出判断并说明理由；
②当-4≤m≤4时， 求d的取值范围；
（3）【拓展思考】在点A的运动过程中，若d的最小值大于或等于6，求n的取值范围.
【答案】（1）解：∵抛物线y1的对称轴为直线x=-3，
∴，
∵抛物线y1是平衡抛物线，
∴
∴
∴抛物线y1的解析式
（2）解：①线段AC的中点M一定落在直线y=x上，
理由如下：
∵n=1，
∴2b2=1，
解得
∵抛物线y2是平衡抛物线
∴，
∴
∴抛物线y2的解析式
∵点C与点B关于直线x=n对称
∴C(m， q)
∴，
∴p+q=2m
∵AC的中点为，即(m，m)，
∴线段AC的中点M一定落在直线y=x上；
②
∵-4≤m≤4，
∴
（3）解：当 时，
∵d的最小值大于或等于6，
∴n≥9或n≤-7.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】(1)根据定义求解即可；
(2)①求出抛物线y2的解析式，分别求出，，可求AC的中点为(m，m)，即可判断；
②根据题意求出，结合m的取值范围即可求d的范围；
(3)根据题意求出，当时，d的最小值为，再由d的范围求出n的范围即可.
15．在平面直角坐标系中，点在第一象限，过点P作x轴和y轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点，点．令，，则称点为点P的“k双曲点”．例如：如图1，当，点P的坐标为时，可得到，，则，，所以点P的“1双曲点”为．
（1）若点的“k双曲点”为点，求k及n的值；
（2）若，
①点P的“1双曲点”为点，求点P的坐标；
②阅读理解：设点P在反比例函数的图象上，则可设，可求得点P的“1双曲点”为点，因为，所以点Q在反比例函数的图象上．
解决如下问题：如图2，设点P在一次函数的图象上，点Q为点P的“1双曲点”，设，，求的最大值．
【答案】（1）解：由题意可知：轴，轴，
设点，点．
点，
点，点，
，
，
，，
；
（2）解：①由题意可知：轴，轴，设，点，点．
点P的“1双曲点”为点，
点，点，
，
，
（负值已舍去），
；
②点P在一次函数的图象上，设，
由题意可知：轴，轴，
设点，点．
点，点，
点Q为点P的“1双曲点”，
，
，
所以点Q在一次函数的图象上，
作关于直线的对称点，
交直线于点D，
作轴于，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
关于直线对称，
，
，
当，，三点共线时，，
此时的值最大，
，
，
即的最大值为．
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的性质；解直角三角形；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）根据点的坐标与图形的性质可得点，点，由“k双曲点”定义得，求解得出点A的坐标，进而根据反比例函数图象上点的坐标特点求出k的值，及点B的坐标，进而即可求出n的值；
（2）①设，点，点．由点P的“1双曲点”为点，由点的坐标与图形性质得点，点，进而由“1双曲点”定义列出方程组，解之即可；
②根据点的坐标与图形性质，设，得点，点，进而得，根据一次函数图象上点的坐标特点可得点Q在一次函数的图象上；作关于直线的对称点，得，，当，，三点共线时，的值最大，根据两点间的距离公式即可求解．
（1）解：由题意可知：轴，轴，
设点，点．
点，
点，点，
，
，
，，
；
（2）解：①由题意可知：轴，轴，
设，点，点．
点P的“1双曲点”为点，
点，点，
，
，
（负值已舍去），
；
②点P在一次函数的图象上，设，
由题意可知：轴，轴，
设点，点．
点，点，
点Q为点P的“1双曲点”，
，
，
所以点Q在一次函数的图象上，
作关于直线的对称点，
交直线于点D，
作轴于，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
关于直线对称，
，
，
当，，三点共线时，，
此时的值最大，
，
，
即的最大值为．
三、统计概率的阅读理解
16．阅读下列材料：模拟试验是利用替代物模拟实际事物而进行的试验．例如我们在估计6个人中有2个人生肖相同的概率时，可以用12个编有号码、大小相同的球代替12种不同的生肖，这样每个人的生肖都对应着一个球，6个人中有2个人生肖相同，就意味着6个球中有2个球的号码相同．因此可在口袋中放入这样的12个球，从中摸出1个球，记下它的号码，放回去；再从中摸出1个球，记下它的号码，放回去，……，直至摸到第6个球，记下第6个号码，到此为一次模拟试验．重复多次这样的试验，即可估计6人中2人生肖相同的概率……；
小明所在的数学兴趣小组按照材料中所述的方法进行了模拟试验，他们重复了多次这样的模拟实验，根据实验结果制成的统计表如下：
实验总次数 50 100 200 300 500 1000 1500
“有2个小球号码相同”的次数 38 75 160 234 395 810 1185
“有2个小球号码相同”的频率 0 0.75 0.80 0.78 0.79 k 　
（1）表格中的值为_____．
（2）根据表格中的数据可估算6个人中有2个人生肖相同的概率大约是______．（精确到0.1）
（3）若要估计“5人中3人出生月份相同的概率”也利用上面的模拟试验方法，则需要准备__________个球，一次模拟试验需要记录__________个号码．
【答案】（1）
（2）
（3）12；5
【知识点】利用频率估计概率
17．二维码中的数学
【阅读材料】
生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图）来表示信息，即可通过在网格中，对每一个方格涂色或不涂色来表示不同的信息．
【问题探究】
（1）图①中1个方格可表示2个不同信息；图②中2个方格可表示4个不同信息；图③的网格图，它可表示不同信息的总个数为_____________；（图中标号1、2、3、4表示四个不同位置的方格）
（2）二维码的容量由网格图中方格数量、方格颜色（黑／白）等因素决定．现需扩大一个版本的二维码，在相邻的两边分别增加个方格和个方格，构成新的长方形（或正方形）二维码．已知扩展后满足以下条件：
．求扩展后的二维码共有多少个方格？
【实践应用】
（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用（行列）的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共510人，且要求和为正整数，则的最小值为_____________．
【答案】解：（1）16；
（2）根据题意，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
答：扩展后的二维码共有24个方格；
（3）47.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；求代数式的值-整体代入求值；列出事件所有的可能性
【解析】【解答】解：（1）根据题意，画树状图如下：
，
共有16种不同的信息，
故答案为：16．
（3）根据题意，得，
故，
故，
故的值为511，257，173，107，91，61，49，47，
故的最小值为47．
故答案为：47．
【分析】
本题以“二维码”为实际背景，综合考查统计、完全平方公式及整数运算，掌握公式变形与数的分解是解题核心.
（1）运用树状图法，依次分析每个方格的涂色/不涂色情况，统计所有不同的信息表示结果；
（2）结合已知条件，利用完全平方公式，求出，再由，求出，展开并整体代入计算；
（3）由，对510分解质因数，结合m、n为正整数的条件，找出使m+n最小的m、n的值.
18．【材料阅读】国务院总理李强5月15日上午在北京人民大会堂会见英中贸易协会主席古沛勤率领的英中贸协访华团时指出，中英两国经济有较强互补优势和巨大合作潜力．中方愿同英方密切经贸往来，分享发展机遇，拓展金融、新能源、生物医药、数字经济等领域合作，在共建“一带一路”框架下开展更多第三方合作，让互利共赢始终成为两国关系的主旋律．
（1）根据材料，若中国和英国都在A．金融、B．新能源、C．生物医药、D．数字经济等四个领域中各自随机选择一个领域，请用列表法或画树状图法求出所有可能出现的结果；
（2）求两个国家选到同一个领域的概率．
【答案】（1）解：由题意列表如下：
A B C D
A (A， A) (A， B) (A， C) (A， D)
B (B， A) (B， B) (B， C) (B， D)
C (C， A) (C， B) (C， C) (C， D)
D (D， A) (D， B) (D， C) (D， D)
由表可知，共有16种等可能的选择结果．
（2）解：由(1) 可知， 两个国家选到同一个领域的情况为，，，，共4种情况，
∴概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据题意列表，进而得到共有16种等可能的选择结果；
（2）根据表格结合题意得到两个国家选到同一个领域的情况为，，，，共4种情况，再根据概率公式即可求解。
19．请阅读以下材料，并解决下列问题：
调查主题 某中学八年级学生的春游需求
调查人员 该中学数学兴趣小组
调查方法 抽样调查
背景介绍
某中学计划组织八年级学生前往5个杭州市景点中的1个开展春游活动，这5个景点为：．亚运公园；．少儿公园；．植物园；．动物园；．白塔公园 该中学数学兴趣小组针对八年级学生的意向目的地开展抽样调查并出具如下调查报告（注：每位被抽样调查的学生选择且只选择1个意向前往的景点）
报告内容（说明：以下仅展示部分内容）
（1）求本次被抽样调查的学生人数，并补全条形统计图．
（2）在扇形统计图中，求“．亚运公园”对应的圆心角度数．
（3）该校八年级学生人数为500人，请你估计八年级意向前往“．白塔公园”的学生人数．
【答案】（1）解：（人），
即本次被抽样调查的学生人数为100人；
则想去亚运公园的人数为：（人），
故可补全的条形统计图如下图所示：
（2）解：“．亚运公园”对应的圆心角度数：，答：“．亚运公园”对应的圆心角度数为
（3）解：（人），
答：八年级意向前往“．白塔公园”的学生人数为65人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）本次被抽样调查的学生人数=想去“．植物园”的学生人数其所在百分比，列式计算即可；再求出想去亚运公园的人数，然后补画条形统计图即可；
（2）利用想去“．亚运公园”的人数占比，即可求得答案；
（3）利用八年级学生人数意向前往“．白塔公园”的学生人数占比，即可求得答案．
20．豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣．为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程．
【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据．
【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用x表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中A类（0≤x＜2），B类（2≤x＜4），C类（4≤x＜6），D类（6≤x＜8），E类（8≤x＜10）．
【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查活动中随机抽取了 　 　 个豌豆荚，图中a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ；
（2）所调查豆子粒数的中位数落在 　 　 类中；（只填写字母）
（3）如果甲同学调查了20个豌豆荚，其中B类有7个，乙同学调查了10个豌豆荚，其中D类有3个．能否得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律？请说明理由．
【答案】（1）100；40；35
（2）C
（3）解：不能得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律，
由于甲、乙抽取的数量不多，不足以判断B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；中位数
【解析】【解答】
解：（1）由题意可得，1414%=100 (个)
a= 100x40%=40，b=100-5-14-40-6=35，
故答案为： 100，40，35
（2）由题意可得中位数是从小到大排列后，第50和51个数据的平均数： 5+14+40= 59 ，
所调查豆子粒数的中位数落在C类中；
故答案为： C
【分析】
(1)根据B类的数14除以对应的白分比14%即可求出总数，再根据对应的白分比和总量减部分即可求出答案；
(2)根据中位数的定义：偶数个数据的中位数是将数据从小到大排列后，第50和51个数据的平均数进行计算即可解答；
(3)根据选取样本的特点进行分析即可解答.
21．阅读材料：
延庆区某校七年级共10个班，综合实践小组的同学对本校七年级学生课外阅读最喜爱的图书种类进行了调查．围绕着“你最喜欢的是哪一类课外书？（只写一项）”的问题，对该校七年级学生进行了随机抽样调查．
收集数据
A．文学类 B．艺体类 C．科普类
D．其他
通过调查得到的一组数据如下：
A C C
A D A B A
C B B
A D C
A A B
C C A
A C B
D A A B D
A A B
B C C
A C A
C D A
B D B
C A D A D
C A A
C B D
A A D
C A A
B B C
C D C
A A B
A A C
C A D
A B A
A B
整理、描述数据
综合实践小组的同学对抽样调查的数据进行整理，绘制了如下统计图表（不完整）：
类别 频数
A．文学类 32
B．艺体类 a
C．科普类 20
D．其他 b
总计 80
根据以上信息，回答下列问题：
①表1中的a =　 　 ，b =　 　 ；
②请将图1补充完整　 　；
③图2中，　 　 ，“文学类”部分扇形的圆心角是　 　 ；
④若该校七年级共有学生360人，根据调查结果估计七年级最喜欢“科普类”图书的学生约有　 　 人．
【答案】16；12；；20；144；90
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】①由调查得到的数据可得，
艺体类即B的频数是16，则a=16，
其他即D的频数是12，则b=12，
故答案为：16，12；
③ ，即 ，
“文学类”部分扇形的圆心角是360° ，
故答案为：20，144；
④估计七年级最喜欢“科普类”图书的学生约有360 （人），
答：计七年级最喜欢“科普类”图书的学生约有90人．
【分析】（1）从两个统计图中可以得到喜欢文学类的人数，占调查人数的40%，可求出调查人数，由图1可知b，用调查人数减去文学类、科普类、其他的人数即可求出a；
（2）由（1）知艺体类的人数为16，据此补全图1；
（3）用艺体类的人数为16人出一调查人数80人即求出m，用360° 成一文学类的占比即可求解文学类部分扇形的圆心角度数；
（4）样本估计总体，在360人中约有25%的喜欢科普类图书。
22．科技创新综合指数由科技创新总量指数和科技创新效率指数组成（以下简称：综合指数、总量指数和效率指数）.某研究中心对2021年中国城市综合指数得分排名前40的城市有关数据进行收集、整理、描述和分析。下面给出了部分信息：
信息一.综合指数得分的频数直方图（数据分成6组：，，，，，）：
（数据来源于网络《2021年中国城市科技创合指数报告》）
信息二.综合指数得分在这一组的是：，，，，，，，，，，，，，，，.
信息三.40个城市的总量指数与效率指数得分情况统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）综合指数得分在的城市个数为　 　个；
（2）40个城市综合指数得分的中位数为　 　；
（3）以下说法正确的是　 　.
①某城市创新效率指数得分排名第1，该城市的总量指数得分大约是86.2分；
②大多数城市效率指数高于总量指数，可以通过提升这些城市的总量指数来提升城市的综合指数.
【答案】（1）5
（2）73.9
（3）②
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数
【解析】【解答】解：（1）综合指数得分在的城市个数为：，
故答案为：．
（2）个城市综合指数得分从小到大排列，排在第和位的两个数分别为：，，
∴中位数为，
故答案为：．
（3）由题意得某城市创新效率指数得分排名第一，该城市的总量指数得分大约是，故错误；
大多数城市效率指数高于总量指数，可以通过提升这些城市的总量指数来提升城市的综合指数，故说法正确．
故答案为：
【分析】（1）根据题意用总数减去其余部分即可得到综合指数得分在的城市个数；
（2）根据中位数的定义结合题意即可求解；
（3）根据散点图和直方图的数据结合题意即可求解。
23．阅读材料，回答问题：
材料
题1：经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性的大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，至少要两辆车向左转的概率
题2：有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁（一把钥匙只能开一把锁），第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？
我们可以用“袋中摸球”的试验来模拟题1：在口袋中放三个不同颜色的小球，红球表示直行，绿球表示向左转，黑球表示向右转，三辆汽车经过路口，相当于从三个这样的口袋中各随机摸出一球
问题：
（1）事件“至少有两辆车向左转”相当于“袋中摸球”的试验中的什么事件？
（2）设计一个“袋中摸球”的试验模拟题2，请简要说明你的方案
（3）请直接写出题2的结果．
【答案】（1）解：画树状图得：
∴一共有27种等可能的情况；
至少有两辆车向左转的有7种：直左左，右左左，左直左，左右左，左左直，左左右，左左左，
则至少有两辆车向左转的概率为：
（2）解：列表得：
锁1 锁2
钥匙1 （锁1，钥匙1） （锁2，钥匙1）
钥匙2 （锁1，钥匙2） （锁2，钥匙2）
钥匙3 （锁1，钥匙3） （锁2，钥匙3）
所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种，
则P= ．
问题：
①至少摸出两个绿球；
②一口袋中放红色和黑色的小球各一个，分别表示不同的锁；另一口袋中放红色、黑色和绿色的小球各一个，分别表示不同的钥匙；其中同颜色的球表示一套锁和钥匙．“随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率”，相当于，“从两个口袋中各随机摸出一个球，两球颜色一样的概率”
（3）解：
【知识点】事件的分类
【解析】【分析】题1：因为此题需要三步完成，所以画出树状图求解即可，注意要做到不重不漏；题2：根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的情况数，即可求出所求的概率；
问题：（1）绿球代表左转，所以为：至少摸出两个绿球；（2）写出方案；（3）直接写结果即可．
1 / 1阅读理解（代数）—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题
一、数与式的阅读理解
1．阅读理解：
我们解决某些数学题的时候，经常会遇到题目中的条件比较含糊，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被发现和运用，导致我们解题受阻，因此，挖掘题设中的隐含条件，应该成为我们必备的一种能力．请阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并依次解决所给的问题．
化简：
解：由题意可知隐含条件解得：，
∴，
∴．
启发应用：
（1）按照上面的解法，化简：；
类比迁移：
（2）已知的三边长分别为，，，请求出的周长．（用含有的代数式表示，结果要求化简）
拓展延伸：
（3）若，请直接写出的取值范围．
2．跟华罗庚学猜数：
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根.华罗庚脱口而出：39.
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：①∵，又∵1000＜59319＜1000000，
∴，∴能确定59319的立方根是个两位数.
②59319的个位数是9，又∵93=729，能确定59319的立方根的个位数是9.
③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39.
（1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是　 　位数；
②它的立方根的个位数字是　 　；
③19683的立方根是　 　.
（2）求110592的立方根.（过程可按题目中的步骤写）
3．阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务.
X年X月X日 星期日 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法. 这种方法如下： 若 n=ab(在各组乘积为 n 的正整数中，a，b 两数最接近)，则的最初近似值为 若m1是的最初近似值，则的二级近似值 的三级近似值 例如： ∵24=1×24=2×12=3×8=4×6， 4， 6最接近， 的最初近似值为 的二级近似值为 的三级近似值为．
任务：
（1）的最初近似值是　 　；
（2）的二级近似值是　 　；
（3）若 的最初近似值是 二级近似值是 求n的值.
4． 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为，这个数i叫做虚数单位
把形如 (a，b为实数)的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.
例如计算：，
，
， .
根据以上信息，完成下列问题.
（1） 填空：　 　.
（2） 计算：.
（3） 试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成的形式.
5．阅读理解：
定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”．
例如： 我们称 是 的“差分式”，
解答下列问题：
（1）分式 是分式 的“　 　差分式”．
（2）分式 是分式 的“差分式”．
① ▲ （含的代数式表示）；
②若 的值为正整数，为正整数，求的值．
（3）已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值．
6． 请同学们认真阅读下面求代数值的方法．
已知实数、满足，计算的值．
解：因为，
所以．
借鉴上面的方法，解决下列问题：
若实数a、b满足．
（1）求的值；
（2）求的值．
7．阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．
例如，，，，那么，，其中．
例如，，，．
请你解决下列问题：
（1）__________，__________；
（2）如果，那么x的取值范围是__________；
（3）如果，那么x的值是__________；
（4）如果，其中，且，求x的值．
二、函数的阅读理解
8．【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
（1）①点的“纵横值”为 ；
②求出函数的“最优纵横值”；
（2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
（3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
9．在书本阅读材料中提到利用几何画板可以探索函数的系数，，与图像的关系．如图1，在几何画板软件中绘制一个二次函数的图象的具体步骤如下：
步骤一：在直角坐标系内的轴上取任意三个点（不在原点），，，度量三个点的横坐标，分别记为，，；
步骤二：绘制函数；
步骤三：任意移动，，三点的位置，发现抛物线的开口方向、大小、位置会发生变化．
问题：如图2，将点移动到点的位置．
（1）若点移动到点，请求出此时抛物线的对称轴；
（2）在点，移动的过程中，且满足，是否存在某一位置使得抛物线与轴只有一个交点，若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由．
10．【阅读材料】解一元二次不等式：.
解：设，解得，，，则抛物线与x轴的交点坐标为和.画出二次函数的大致图象（如图所示），由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即，所以一元二次不等式.的解集为或.
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）【数学理解】请直接写出一元二次不等式.的解集；
（2）【拓展探索】用类似的方法解一元二次不等式：.
11．【阅读理解】
点在平面直角坐标系中，记点到轴的距离为，到轴的距离为，给出以下定义：若则称为点的“微距值”；若则称2为点的“微距值”；特别地，若点在坐标轴上，则点的“微距值”为．例如，点到轴的距离为，到轴的距离为，因为，所以点的“微距值”为．
【知识应用】
（1）点的“微距值”为 ；
（2）若点的“微距值”为2， 求a的值；
（3）若点在直线上，且点的“微距值”为，求点的坐标．
12．阅读材料：二次函数的应用
小明在学习过程中遇到一个问题：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是，个位上的数的和等于），猜想其中哪个积最大，并说明理由．
，，，……，，，
小明结合已学知识做了如下尝试：
设两个乘数的积为，其中一个乘数的个位上的数为，则另一个乘数个位上的数为，
根据题意得：
……
（1）问题解决：请帮助小明判断以上问题中哪个积最大并求出这个最大的积；
（2）问题拓展：下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于），用以上方法猜想其中哪个积最大，并说明理由．
，，，……，，，
13．阅读理解
材料1：观察数轴可知，当x>0时，随着x的不断增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着x的不断增大，的值也随之减小.
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：
根据上述材料完成下列问题：
（1）当x>0时，随着x的不断增大，的值　 　(增大或减小)；
当x<0时，随着x的不断增大，的值　 　(增大或减小)；
（2）当x>1时，随着x的不断增大.的值无限接近一个数，请求出这个数.
14．【阅读理解】若抛物线 的顶点落在直线y=x上，称这样的抛物线为平衡抛物线.如 的顶点为（2，2)落在直线y=x上，是平衡抛物线.
备用图
【提出问题】
若抛物线 都是平衡抛物线，抛物线y1的对称轴为直线x=-3.抛物线y2的对称轴为直线x=n.点A （m，p)在抛物线y1上，点B（2n-m，q) 在抛物线y2上， 点C与点B关于直线x=n对称.设（
【解决问题】
（1）求抛物线y1的解析式；
（2） 若n=1.
①判断线段AC的中点M是否一定落在直线y=x上 请你作出判断并说明理由；
②当-4≤m≤4时， 求d的取值范围；
（3）【拓展思考】在点A的运动过程中，若d的最小值大于或等于6，求n的取值范围.
15．在平面直角坐标系中，点在第一象限，过点P作x轴和y轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点，点．令，，则称点为点P的“k双曲点”．例如：如图1，当，点P的坐标为时，可得到，，则，，所以点P的“1双曲点”为．
（1）若点的“k双曲点”为点，求k及n的值；
（2）若，
①点P的“1双曲点”为点，求点P的坐标；
②阅读理解：设点P在反比例函数的图象上，则可设，可求得点P的“1双曲点”为点，因为，所以点Q在反比例函数的图象上．
解决如下问题：如图2，设点P在一次函数的图象上，点Q为点P的“1双曲点”，设，，求的最大值．
三、统计概率的阅读理解
16．阅读下列材料：模拟试验是利用替代物模拟实际事物而进行的试验．例如我们在估计6个人中有2个人生肖相同的概率时，可以用12个编有号码、大小相同的球代替12种不同的生肖，这样每个人的生肖都对应着一个球，6个人中有2个人生肖相同，就意味着6个球中有2个球的号码相同．因此可在口袋中放入这样的12个球，从中摸出1个球，记下它的号码，放回去；再从中摸出1个球，记下它的号码，放回去，……，直至摸到第6个球，记下第6个号码，到此为一次模拟试验．重复多次这样的试验，即可估计6人中2人生肖相同的概率……；
小明所在的数学兴趣小组按照材料中所述的方法进行了模拟试验，他们重复了多次这样的模拟实验，根据实验结果制成的统计表如下：
实验总次数 50 100 200 300 500 1000 1500
“有2个小球号码相同”的次数 38 75 160 234 395 810 1185
“有2个小球号码相同”的频率 0 0.75 0.80 0.78 0.79 k 　
（1）表格中的值为_____．
（2）根据表格中的数据可估算6个人中有2个人生肖相同的概率大约是______．（精确到0.1）
（3）若要估计“5人中3人出生月份相同的概率”也利用上面的模拟试验方法，则需要准备__________个球，一次模拟试验需要记录__________个号码．
17．二维码中的数学
【阅读材料】
生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图）来表示信息，即可通过在网格中，对每一个方格涂色或不涂色来表示不同的信息．
【问题探究】
（1）图①中1个方格可表示2个不同信息；图②中2个方格可表示4个不同信息；图③的网格图，它可表示不同信息的总个数为_____________；（图中标号1、2、3、4表示四个不同位置的方格）
（2）二维码的容量由网格图中方格数量、方格颜色（黑／白）等因素决定．现需扩大一个版本的二维码，在相邻的两边分别增加个方格和个方格，构成新的长方形（或正方形）二维码．已知扩展后满足以下条件：
．求扩展后的二维码共有多少个方格？
【实践应用】
（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用（行列）的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共510人，且要求和为正整数，则的最小值为_____________．
18．【材料阅读】国务院总理李强5月15日上午在北京人民大会堂会见英中贸易协会主席古沛勤率领的英中贸协访华团时指出，中英两国经济有较强互补优势和巨大合作潜力．中方愿同英方密切经贸往来，分享发展机遇，拓展金融、新能源、生物医药、数字经济等领域合作，在共建“一带一路”框架下开展更多第三方合作，让互利共赢始终成为两国关系的主旋律．
（1）根据材料，若中国和英国都在A．金融、B．新能源、C．生物医药、D．数字经济等四个领域中各自随机选择一个领域，请用列表法或画树状图法求出所有可能出现的结果；
（2）求两个国家选到同一个领域的概率．
19．请阅读以下材料，并解决下列问题：
调查主题 某中学八年级学生的春游需求
调查人员 该中学数学兴趣小组
调查方法 抽样调查
背景介绍
某中学计划组织八年级学生前往5个杭州市景点中的1个开展春游活动，这5个景点为：．亚运公园；．少儿公园；．植物园；．动物园；．白塔公园 该中学数学兴趣小组针对八年级学生的意向目的地开展抽样调查并出具如下调查报告（注：每位被抽样调查的学生选择且只选择1个意向前往的景点）
报告内容（说明：以下仅展示部分内容）
（1）求本次被抽样调查的学生人数，并补全条形统计图．
（2）在扇形统计图中，求“．亚运公园”对应的圆心角度数．
（3）该校八年级学生人数为500人，请你估计八年级意向前往“．白塔公园”的学生人数．
20．豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣．为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程．
【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据．
【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用x表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中A类（0≤x＜2），B类（2≤x＜4），C类（4≤x＜6），D类（6≤x＜8），E类（8≤x＜10）．
【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查活动中随机抽取了 　 　 个豌豆荚，图中a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ；
（2）所调查豆子粒数的中位数落在 　 　 类中；（只填写字母）
（3）如果甲同学调查了20个豌豆荚，其中B类有7个，乙同学调查了10个豌豆荚，其中D类有3个．能否得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律？请说明理由．
21．阅读材料：
延庆区某校七年级共10个班，综合实践小组的同学对本校七年级学生课外阅读最喜爱的图书种类进行了调查．围绕着“你最喜欢的是哪一类课外书？（只写一项）”的问题，对该校七年级学生进行了随机抽样调查．
收集数据
A．文学类 B．艺体类 C．科普类
D．其他
通过调查得到的一组数据如下：
A C C
A D A B A
C B B
A D C
A A B
C C A
A C B
D A A B D
A A B
B C C
A C A
C D A
B D B
C A D A D
C A A
C B D
A A D
C A A
B B C
C D C
A A B
A A C
C A D
A B A
A B
整理、描述数据
综合实践小组的同学对抽样调查的数据进行整理，绘制了如下统计图表（不完整）：
类别 频数
A．文学类 32
B．艺体类 a
C．科普类 20
D．其他 b
总计 80
根据以上信息，回答下列问题：
①表1中的a =　 　 ，b =　 　 ；
②请将图1补充完整　 　；
③图2中，　 　 ，“文学类”部分扇形的圆心角是　 　 ；
④若该校七年级共有学生360人，根据调查结果估计七年级最喜欢“科普类”图书的学生约有　 　 人．
22．科技创新综合指数由科技创新总量指数和科技创新效率指数组成（以下简称：综合指数、总量指数和效率指数）.某研究中心对2021年中国城市综合指数得分排名前40的城市有关数据进行收集、整理、描述和分析。下面给出了部分信息：
信息一.综合指数得分的频数直方图（数据分成6组：，，，，，）：
（数据来源于网络《2021年中国城市科技创合指数报告》）
信息二.综合指数得分在这一组的是：，，，，，，，，，，，，，，，.
信息三.40个城市的总量指数与效率指数得分情况统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）综合指数得分在的城市个数为　 　个；
（2）40个城市综合指数得分的中位数为　 　；
（3）以下说法正确的是　 　.
①某城市创新效率指数得分排名第1，该城市的总量指数得分大约是86.2分；
②大多数城市效率指数高于总量指数，可以通过提升这些城市的总量指数来提升城市的综合指数.
23．阅读材料，回答问题：
材料
题1：经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性的大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，至少要两辆车向左转的概率
题2：有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁（一把钥匙只能开一把锁），第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？
我们可以用“袋中摸球”的试验来模拟题1：在口袋中放三个不同颜色的小球，红球表示直行，绿球表示向左转，黑球表示向右转，三辆汽车经过路口，相当于从三个这样的口袋中各随机摸出一球
问题：
（1）事件“至少有两辆车向左转”相当于“袋中摸球”的试验中的什么事件？
（2）设计一个“袋中摸球”的试验模拟题2，请简要说明你的方案
（3）请直接写出题2的结果．
答案解析部分
1．【答案】解：（1）根据题意可知，题设中的隐含条件为3-m≥0，解得：m≤3，
则m-5＜0，
∴，
∴
=-（3-m）
=2；
（2）根据题意可知，题设中的隐含条件为x≥0，y-x≥0，即：0≤x≤y，
∴x+y≥0，
∴C△ABC=，
答：的周长为（x+2y）；
（3）根据题意可知，题设中的隐含条件为x-4≥0，解得：x≥4，（x-7）2≥0，解得：x＞7或者x≤7，
当4≤x≤7时，x-7≤0，则成立，
当x＞7时，x-7＞0，则，解得x=7，不符合题意舍去，
综上所述，x的取值范围是4≤x≤7.
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求出m的取值范围，再化简即可得出答案；
（2）根据二次根式有意义的条件求出的范围，再化简即可得出答案；
（3）根据二次根式有意义的条件求出x的范围，再分当4≤x≤7时，x-7≤0，和当x＞7时，x-7＞0，两种情况讨论最后化简即可.
2．【答案】（1）两；7；27
（2）解：∵，，
又∵1000<110529<1000000，
∴
∴能确定110592的立方根是个两位数
∵110592的个位数是2，
又∵83=512
∴能确定110592的立方根的个位数是8
若划去110592后面的三位592得到数110，
而
则，
可得，
由此确定110592的立方根的十位数是4，
因此110592的立方根是48.
【知识点】无理数的估值；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：(1)①∵，，
又∵1000<19683<1000000
∴，
∴能确定19683的立方根是个两位数
②∵19683的个位数是3，
又∵73=343
∴能确定19683的立方根的个位数是7，
③如果划去19683后面的三位683得到数19，
而，则，可得
由此能确定19683的立方根的十位数是2，
因此19683的立方根是27
故答案为：两，7，27.
【分析】(1)仿照例题，进行推理得结论；
(2)先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论.
3．【答案】（1）4
（2）
（3）解：设，
最初近似值，
得，
二级近似值，
解得，．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1），
与最接近，
的最初近似值为；
故答案为：4；
（2）解：，
和最接近，
最初近似值，
的二级近似值是，
故答案为：；
【分析】（1）仿照例题解答即可；
（2） 仿照例题解答即可 ；
（3）设，即可得到，根据题目公式计算即可．
4．【答案】（1）-3i
（2）解：
=3+(-4+3)i+4+(-1)
=3-i+4+(-1)
=6-i；
（3）解：.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】
，
故答案为：-3i；
【分析】(1)根据虚数单位的定义可得答案；
(2)根据整式的加减运算法则，结合虚数单位进行求解即可；
(3)根据分母有理化结合虚数单位进行求解即可.
5．【答案】（1）1
（2）解：①18+6x；
②，为正整数，
∴当时，，则；
当时，，则；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
∴的值为或；
（3）解：，
，且，
∴，
∵为正数，
∴，
∴的值为．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：(1)，
故答案为：1.
(2)①∵，，
∴
∴C-2x2-6x=18-2x2，
解得，C=18+6x，
故答案为：18+6x.
【分析】(1)根据材料提示进行计算即可求解；
(2)根据“2差分式”的计算方法可得A-B=2，结合分式的混合运算即可求解；
(3)根据“4差分式”的计算方法可得 ，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得 ，结合xy=1，由此即可求解.
6．【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：由（1）得，，
，
．
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【分析】（1）仿照题目运算方法解答即可；
（2）利用题目中所给的方法，根据（1）中的数据，变形后整体代入解答即可．
7．【答案】解：（1）4，-7；
（2）；
（3）；
（4）∵，其中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或或或，
当时，有，；
当时，有，；
当时，有，；
当时，有，；
∴或或或．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，，
故答案为：4，-7；
（2）∵，
∴的取值范围为：，
故答案为：；
（3）∵，
∴，
解得：，
∵是整数，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）根据的定义直接得到答案；
（2）根据的定义直接得到答案；
（3）根据的定义直接得到不等式组，解不等式组得的取值范围，再由为整数，即可计算出具体的值；
（4）由材料中的条件可得，由，可求得的范围，根据为整数，分情况讨论即可求得的值．
8．【答案】（1）解：①.
②，∵，∴，∴函数的“最优纵横值”为2.
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵最优纵横值为5，
∴，
∴.
（3）解：，
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；反比例函数图象上点的坐标特征；配方法的应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为，故答案为：.
【分析】（1）①根据定义，求出y-x的值即可；
②根据定义， 先计算y-x的值，结合x的取值范围和反比例函数图象上点的坐标特征，即可求解；
（2）根据抛物线的对称轴求出b=3，故抛物线的解析式为y=-x2+3x+c，根据定义，求出y-x=-x2+3x+c-x=-（x-1）2+1+c，根据配方法可得x=1时，y-x的值最大为c+1，根据最优纵横值为5，即可得出1+c=5，解得c=4；
（3）根据定义，求出，结合故y-x与x的函数图象，关于直线x=b对称，且抛抛物线的开口向下，据此分为b＞0和b＜-1两种情况，分别计算求出b的值，即可求解.
9．【答案】（1）解：由题意知，，
∴对称轴为直线．
（2）解：∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴，
∵，
∴，
当点B与点C在点A同侧，即点B与点C重合时，
则，
∴
解得或，
∴B点坐标为或
②当点B与点C在点A异侧，即点A是的中点，
则，，
∴
解得或，
∴B点坐标为或．
综上， B或或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】(1)根据二次函数的对称轴是直线解题．
(2)先得到，然后根据抛物线与x轴只有一个交点，即可得到，然后分为点B、C在点A同侧和异侧两种情况解题．
（1）由题意知，，
∴对称轴为直线．
（2）∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴，
∵，
∴，
当点B与点C在点A同侧，即点B与点C重合时，
则，
∴
解得或，
∴B点坐标为或
②当点B与点C在点A异侧，即点A是的中点，
则，，
∴
解得或，
∴B点坐标为或．
综上， B或或或．
10．【答案】（1）
（2）解：设 ，
解得，，，
则抛物线与x轴的交点坐标为和 ，
画出二次函数 的大致图象，如图所示：
由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即 ，
∴一元二次不等式的解集为或.
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）一元二次方程的解为，，
由图象可知：当时函数图象位于x轴下方，此时，即 ，
∴一元二次不等式的解集为.
【分析】（1）当函数图象在x轴下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征可得抛物线与x轴的交点坐标为和 ，作出函数图象，当函数图象在x轴上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
11．【答案】（1）2
（2）解：点到轴的距离，
∵点的“微距值”为，且，
∴点到轴的距离．
∴或．
（3）解：设点的坐标为，
∵点在直线上，
∴．
情况一：当时 此时，即．
当时，代入，得，
移项可得，即，
解得，
此时，
∵，
∴不满足，舍去．
当时，代入，得，
移项可得，即，解得，
此时，∵，满足，
∴点坐标为．
情况二：当时 此时，即．
当时，代入，
得，此时，
∵，不满足，
∴舍去．
当时，代入，
得，此时，
∵，满足，
∴点坐标为．
综上，点的坐标为或．
【知识点】点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：点到轴的距离，到轴的距离．
∵，即，
∴点的“微距值”为
故答案为：2．
【分析】（1）根据“微距值”的定义，先求出点到轴和轴的距离，再比较大小确定“微距值”．点到轴的距离，到轴的距离，比较与大小．
（2）由点的“微距值”为，点到轴的距离，“微距值”为，根据定义可知且，进而求解的值．
（3）设点的坐标为，由点在直线上，得．点的“微距值”为，分两种情况讨论：一是当时，；二是当时，，分别求解和的值确定点坐标．
（1）解：点到轴的距离，到轴的距离．
∵，即，
∴点的“微距值”为
故答案为：2．
（2）解：点到轴的距离，
∵点的“微距值”为，且，
∴点到轴的距离．
∴或．
（3）解：设点的坐标为，
∵点在直线上，
∴．
情况一：当时 此时，即．
当时，代入，得，
移项可得，即，
解得，
此时，
∵，
∴不满足，舍去．
当时，代入，得，
移项可得，即，解得，
此时，∵，满足，
∴点坐标为．
情况二：当时 此时，即．
当时，代入，
得，此时，
∵，不满足，
∴舍去．
当时，代入，
得，此时，
∵，满足，
∴点坐标为．
综上，点的坐标为或．
12．【答案】解：（1） =-（x-5）2+7225
抛物线的对称轴为：
而对称轴在自变量取值范围内（且为整数）
当时，，
所以：最大，最大积为7225．
（2）设两个乘数的积为，其中一个乘数十位上的数与个位上的数组成的数为，则另一个乘数十位上的数与个位上的数组成的数为，依题意，
得：=-（x-50）5+562500
抛物线的对称轴为：
而对称轴在自变量取值范围内（且为整数）
当时，的积最大．
【知识点】二次函数的最值；列二次函数关系式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）由得出=-（x-5）2+7225，根据顶点式即可得出函数的最大值；
（2）设两个乘数的积为，其中一个乘数十位上的数与个位上的数组成的数为，可得出，进而转化成
顶点式w=-（x-50）5+562500，即可得出答案。
13．【答案】（1）减小；减小
（2）解：
当时，的值无限接近0，
的值无限接近5；
【知识点】分式的加减法；函数值
【解析】【解答】解：(1)当x>0时，随着x的增大，随之减小，故1+随之减小；
，x<0时，随着x的增大，不断减小，故随之减小；
【分析】(1)结合材料可知随x的增大而减少；化简成，当x增大时，随之减小；
(2)结将代数式化为数字和分式的和的形式，随着x的增大而减小，再求出这个接近的数.
14．【答案】（1）解：∵抛物线y1的对称轴为直线x=-3，
∴，
∵抛物线y1是平衡抛物线，
∴
∴
∴抛物线y1的解析式
（2）解：①线段AC的中点M一定落在直线y=x上，
理由如下：
∵n=1，
∴2b2=1，
解得
∵抛物线y2是平衡抛物线
∴，
∴
∴抛物线y2的解析式
∵点C与点B关于直线x=n对称
∴C(m， q)
∴，
∴p+q=2m
∵AC的中点为，即(m，m)，
∴线段AC的中点M一定落在直线y=x上；
②
∵-4≤m≤4，
∴
（3）解：当 时，
∵d的最小值大于或等于6，
∴n≥9或n≤-7.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】(1)根据定义求解即可；
(2)①求出抛物线y2的解析式，分别求出，，可求AC的中点为(m，m)，即可判断；
②根据题意求出，结合m的取值范围即可求d的范围；
(3)根据题意求出，当时，d的最小值为，再由d的范围求出n的范围即可.
15．【答案】（1）解：由题意可知：轴，轴，
设点，点．
点，
点，点，
，
，
，，
；
（2）解：①由题意可知：轴，轴，设，点，点．
点P的“1双曲点”为点，
点，点，
，
，
（负值已舍去），
；
②点P在一次函数的图象上，设，
由题意可知：轴，轴，
设点，点．
点，点，
点Q为点P的“1双曲点”，
，
，
所以点Q在一次函数的图象上，
作关于直线的对称点，
交直线于点D，
作轴于，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
关于直线对称，
，
，
当，，三点共线时，，
此时的值最大，
，
，
即的最大值为．
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的性质；解直角三角形；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）根据点的坐标与图形的性质可得点，点，由“k双曲点”定义得，求解得出点A的坐标，进而根据反比例函数图象上点的坐标特点求出k的值，及点B的坐标，进而即可求出n的值；
（2）①设，点，点．由点P的“1双曲点”为点，由点的坐标与图形性质得点，点，进而由“1双曲点”定义列出方程组，解之即可；
②根据点的坐标与图形性质，设，得点，点，进而得，根据一次函数图象上点的坐标特点可得点Q在一次函数的图象上；作关于直线的对称点，得，，当，，三点共线时，的值最大，根据两点间的距离公式即可求解．
（1）解：由题意可知：轴，轴，
设点，点．
点，
点，点，
，
，
，，
；
（2）解：①由题意可知：轴，轴，
设，点，点．
点P的“1双曲点”为点，
点，点，
，
，
（负值已舍去），
；
②点P在一次函数的图象上，设，
由题意可知：轴，轴，
设点，点．
点，点，
点Q为点P的“1双曲点”，
，
，
所以点Q在一次函数的图象上，
作关于直线的对称点，
交直线于点D，
作轴于，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
关于直线对称，
，
，
当，，三点共线时，，
此时的值最大，
，
，
即的最大值为．
16．【答案】（1）
（2）
（3）12；5
【知识点】利用频率估计概率
17．【答案】解：（1）16；
（2）根据题意，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
答：扩展后的二维码共有24个方格；
（3）47.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；求代数式的值-整体代入求值；列出事件所有的可能性
【解析】【解答】解：（1）根据题意，画树状图如下：
，
共有16种不同的信息，
故答案为：16．
（3）根据题意，得，
故，
故，
故的值为511，257，173，107，91，61，49，47，
故的最小值为47．
故答案为：47．
【分析】
本题以“二维码”为实际背景，综合考查统计、完全平方公式及整数运算，掌握公式变形与数的分解是解题核心.
（1）运用树状图法，依次分析每个方格的涂色/不涂色情况，统计所有不同的信息表示结果；
（2）结合已知条件，利用完全平方公式，求出，再由，求出，展开并整体代入计算；
（3）由，对510分解质因数，结合m、n为正整数的条件，找出使m+n最小的m、n的值.
18．【答案】（1）解：由题意列表如下：
A B C D
A (A， A) (A， B) (A， C) (A， D)
B (B， A) (B， B) (B， C) (B， D)
C (C， A) (C， B) (C， C) (C， D)
D (D， A) (D， B) (D， C) (D， D)
由表可知，共有16种等可能的选择结果．
（2）解：由(1) 可知， 两个国家选到同一个领域的情况为，，，，共4种情况，
∴概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据题意列表，进而得到共有16种等可能的选择结果；
（2）根据表格结合题意得到两个国家选到同一个领域的情况为，，，，共4种情况，再根据概率公式即可求解。
19．【答案】（1）解：（人），
即本次被抽样调查的学生人数为100人；
则想去亚运公园的人数为：（人），
故可补全的条形统计图如下图所示：
（2）解：“．亚运公园”对应的圆心角度数：，答：“．亚运公园”对应的圆心角度数为
（3）解：（人），
答：八年级意向前往“．白塔公园”的学生人数为65人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）本次被抽样调查的学生人数=想去“．植物园”的学生人数其所在百分比，列式计算即可；再求出想去亚运公园的人数，然后补画条形统计图即可；
（2）利用想去“．亚运公园”的人数占比，即可求得答案；
（3）利用八年级学生人数意向前往“．白塔公园”的学生人数占比，即可求得答案．
20．【答案】（1）100；40；35
（2）C
（3）解：不能得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律，
由于甲、乙抽取的数量不多，不足以判断B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；中位数
【解析】【解答】
解：（1）由题意可得，1414%=100 (个)
a= 100x40%=40，b=100-5-14-40-6=35，
故答案为： 100，40，35
（2）由题意可得中位数是从小到大排列后，第50和51个数据的平均数： 5+14+40= 59 ，
所调查豆子粒数的中位数落在C类中；
故答案为： C
【分析】
(1)根据B类的数14除以对应的白分比14%即可求出总数，再根据对应的白分比和总量减部分即可求出答案；
(2)根据中位数的定义：偶数个数据的中位数是将数据从小到大排列后，第50和51个数据的平均数进行计算即可解答；
(3)根据选取样本的特点进行分析即可解答.
21．【答案】16；12；；20；144；90
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】①由调查得到的数据可得，
艺体类即B的频数是16，则a=16，
其他即D的频数是12，则b=12，
故答案为：16，12；
③ ，即 ，
“文学类”部分扇形的圆心角是360° ，
故答案为：20，144；
④估计七年级最喜欢“科普类”图书的学生约有360 （人），
答：计七年级最喜欢“科普类”图书的学生约有90人．
【分析】（1）从两个统计图中可以得到喜欢文学类的人数，占调查人数的40%，可求出调查人数，由图1可知b，用调查人数减去文学类、科普类、其他的人数即可求出a；
（2）由（1）知艺体类的人数为16，据此补全图1；
（3）用艺体类的人数为16人出一调查人数80人即求出m，用360° 成一文学类的占比即可求解文学类部分扇形的圆心角度数；
（4）样本估计总体，在360人中约有25%的喜欢科普类图书。
22．【答案】（1）5
（2）73.9
（3）②
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数
【解析】【解答】解：（1）综合指数得分在的城市个数为：，
故答案为：．
（2）个城市综合指数得分从小到大排列，排在第和位的两个数分别为：，，
∴中位数为，
故答案为：．
（3）由题意得某城市创新效率指数得分排名第一，该城市的总量指数得分大约是，故错误；
大多数城市效率指数高于总量指数，可以通过提升这些城市的总量指数来提升城市的综合指数，故说法正确．
故答案为：
【分析】（1）根据题意用总数减去其余部分即可得到综合指数得分在的城市个数；
（2）根据中位数的定义结合题意即可求解；
（3）根据散点图和直方图的数据结合题意即可求解。
23．【答案】（1）解：画树状图得：
∴一共有27种等可能的情况；
至少有两辆车向左转的有7种：直左左，右左左，左直左，左右左，左左直，左左右，左左左，
则至少有两辆车向左转的概率为：
（2）解：列表得：
锁1 锁2
钥匙1 （锁1，钥匙1） （锁2，钥匙1）
钥匙2 （锁1，钥匙2） （锁2，钥匙2）
钥匙3 （锁1，钥匙3） （锁2，钥匙3）
所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种，
则P= ．
问题：
①至少摸出两个绿球；
②一口袋中放红色和黑色的小球各一个，分别表示不同的锁；另一口袋中放红色、黑色和绿色的小球各一个，分别表示不同的钥匙；其中同颜色的球表示一套锁和钥匙．“随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率”，相当于，“从两个口袋中各随机摸出一个球，两球颜色一样的概率”
（3）解：
【知识点】事件的分类
【解析】【分析】题1：因为此题需要三步完成，所以画出树状图求解即可，注意要做到不重不漏；题2：根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的情况数，即可求出所求的概率；
问题：（1）绿球代表左转，所以为：至少摸出两个绿球；（2）写出方案；（3）直接写结果即可．
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