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阅读理解（几何）—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题
一、图形性质的阅读理解
1．阅读材料：图形的密铺在生活、生产中被广泛应用，其中最著名的是荷兰艺术大师埃舍尔的作品(图1)，给人一种奇妙的美感．平面图形的密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．而多边形的密铺就是共顶点的各多边形的内角之和等于360°(图2)．
问题解决：
（1）请说明图2中用两个正方形、三个等边三角形能够密铺的理由；
（2）若只用一种正n边形进行密铺，且n≥3，密铺的个数为k，且k为正整数，请推导n与k满足的关系式，并直接写出所有满足条件的正多边形．
【答案】（1）解：∵正方形的每个内角为90°，正三角形的每个内角为60°，
∴可以密铺．
（2）解：
正三角形、正方形、正六边形
【知识点】平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：（2）∵k，n为正整数，
∴n-2=1， 2， 4，
∴n=3， 4， 6，
∴正三角形、正方形、正六边形可以单独密铺．
故答案为：正三角形、正方形、正六边形.
【分析】（1）计算出正方形和等边三角形的内角，计算可得两块正方形和三块正三角形可以密铺解答即可；
（2）结合正多边形内角公式可得，整理可得，根据k，n为正整数求出n的值解答即可．
2．阅读与思考：
下面是小涵同学的数学错题本笔记，请仔细阅读他的解题思路并完成相应的任务．
题目：如图，在中，，，，求的面积． 方法1：如果的三边长分别为，设为周长的一半，那么利用海伦公式，就可求出的面积． 方法2：作辅助线，构造直角三角形，设未知数列方程，并求解，从而求出的面积．
（1）任务一：按“方法1”求的面积．
（2）任务二：写出“方法2”的解答过程．
【答案】（1）解：∵，，，
，
；
（2）解：过点作于点，
设，则，
，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
，
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；算术平方根的实际应用
【解析】【分析】（1）按照“方法1”的思路，先求出周长一般的值，然后再将数据海伦公式计算出△ABC的面积即可；
（2）按照“方法2”的思路，过点A作AD⊥BC于点D，设BD=xcm，则CD=(14-x)cm，在Rt△ABD与Rt△ACD中，分别根据勾股定理表示出AD2的值，从而建立方程求出x的值，进而求出AD的长，再利用三角形面积公式求出△ABC的面积即可．
（1）解：∵，，，
，
；
（2）解：过点作于点，
设，则，
，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
，
．
3．学分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题：已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线.
作法：（I）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（II）分别以点M，N为圆心，大于0.5MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（III）画射线OC，则射线OC即为所求.
（1）如图1，射线OC就是∠AOB的角平分线的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS.
（2）下面是小明同学给出的方法：
如图2，以点O为圆心，以任意长为半径画弧与OA，OB分别交于点C，D，再以任意长为半径画弧与OA，OB分别交于点E，F，连结CF，DE交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB.
你认为小明的这种作角平分线的方法（　　）
（3）在不限于尺规作图的条件下，小颖同学用三角板按下面方法画角平分线：
如图3，在已知∠AOB的边OA，OB上分别取OC=OD，再分别过点C，D作OA，OB的垂线，两垂线相交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB.
请你帮这位同学证明：OP平分∠AOB.
【答案】（1）C
（2）正确
（3）证明：∵OC=OD，OP=OP，
∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL)，
∴∠COP=∠DOP，
∴OP平分∠AOB。
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】（1）解：如图所示，
连接MC，NC，由作法得MC=NC，OM=ON，OC =OC，
∴△OMC≌△ONC(SSS)，
∴∠AOC=∠BOC；
（2）由作法得OC=OD，OE=OF，因此CE= DF.
在△OCF和△ODE中，OC =OD，∠COF =∠DOE，OF =OE
∴△OCF≌△ODE(SAS)，
∴∠CEP=∠OFP，
在△CEP和△DPF中，∠CEP=∠DFP，∠CPE=∠DPF，CE= DF，
∴△CEP≌△DFP(AAS)，
∴EP=FP
在△OEP与△OFP中，OE=OF，EP= PF，OP=OP
∴△OEP≌△OFP(SSS)
∴∠EOP=∠FOP
即OP平分∠AOB.
【分析】（1）利用SSS证明出△OMC≌△ONC，即可选出答案；（2）通过三次证明三角形全等，即可选出正确选项；（3）利用HL证明出Rt△OPC≌Rt△OPD，即可得出答案。
4．阅读下列材料：
平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离表示为，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为，变形可得：我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题.
（1）圆的标准方程则它的圆心是　 　，半径是 .
（2）圆心为C（-3，4），半径为2的圆的标准方程为： 　 　；
（3）若已知⊙C的标准方程为：圆心为C，请判断点A（3，-1）与⊙C的位置关系并说明理由.
【答案】（1）（1，2）；5
（2）
（3）解：由题意圆心为C(2，0)，
∴点A在⊙C内部.
【知识点】圆的相关概念；点与圆的位置关系；确定圆的条件；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1） 圆的标准方程则它的圆心是(1，2)，半径是5，
故答案为：（1，2）；5；
(2)圆心为C(3，4)，半径为2的圆的标准方程为：
故答案为： ；
【分析】(1)根据阅读材料知识解答即可；
(2)根据圆的标准方程的定义求解即可.
(3)得到圆心坐标和圆的半径，求出AC的长，可得结论.
5．阅读下列材料并解答问题：
在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“3倍角三角形”.
例如：一个三角形三个内角的度数分别是 ， ， ，这个三角形就是一个“3倍角三角形”.反之，若一个三角形是“3倍角三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.
（1）如图①，已知，在射线OM上取一点A，过点A作交ON于点B，判断△AOB是不是“3倍角三角形”，为什么
（2）在(1)的条件下，以A为端点画射线AC，交线段OB于点C(点C不与点O、点B重合)，若△AOC是“3倍角三角形"，求∠ACB的度数；
（3）如图②，点D在△ABC的边上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使得，，若△BCD是“3倍角三角形”，求∠B的度数.
【答案】（1）解：△AOB是“3倍角三角形”，
理由如下：
∵AB⊥OA，
∴∠OAB=90°，
∵∠MON=60°，
∴∠OBA=30°，
∴3×30°=90°，
∴∠OAB=3∠OBA，
∴△AOB是“3倍角三角形”
（2）解：当∠AOC=3∠OAC时，即3∠OAC=60°
∴∠OAC=20°
∴∠ACB=80°，
当∠AOC=3∠ACO时，即3∠ACO=60°
∴∠ACO=20°
∴∠ACB=160°(舍)
当∠ACO=3∠OAC时，4∠OAC=180°-60°
∴∠OAC=30°
∴∠ACO=90°
∴∠ACB=90°
综上所述：∠ACB的度数为80°或90°.
（3）解：∵∠EFC+∠BDC=180°，∠EFC+∠DFE=180°，
∴∠BDC=∠DFE，
∴BD//EF，
延长EF交BC于点G，
∵∠DEF+∠BDE=180°，∠DEF=∠B，
∴∠B+∠BDE=180°
∴DE//BC，
∴∠EDC=∠BCD，∠B=∠ADE
∵DE平分∠ADC
∴∠ADE=∠EDC
∴∠B=∠ECB，
∵△BCD是“3倍角三角形”，
当∠BDC=3∠B时，3∠B+2∠B=180°，
∴∠B=36°；
当∠B=3∠BDC时，
∴
综上所述：∠B的度数为36°或.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；分类讨论
【解析】【分析】(1)分别求出△ABC的三个内角，再由定义进行判断即可；
(2)分三种情况讨论：当∠AOC=3∠OAC时，∠ACB=80°；当∠AOC=3∠ACO时，∠ACB=160°(舍)；当∠ACO=3∠OAC时，∠ACB=90°；
(3)延长EF交BC于点G，可分别得到BD//EF，DE//BC，则有∠B=∠BCD，再分两种情况讨论：当∠BDC=3∠B时，∠B=36°；当∠B=3∠BDC时，.
6．阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务，
双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的央角中有一个角是60°，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段。 例如，下列各图中的线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是60°，若AB=CD，则下列各图中的线段CD都是相应线段AB的双关联线段。 【问题解决】 问题1：如图1，在矩形ABCD中，AB任务：
（1）问题1 中的∠ACB=　 　°，
问题2中的依据是　 　.
（2）补全问题2的证明过程；
（3）如图3，点C在线段AB上，请在图3中作线段AB的双关联线段CD
（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）.
【答案】（1）30；等角的补角相等
（2）解：∵∠AFB是△AEF的外角，
∴∠AFB= ∠EAF+∠E.
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB=∠CAD+∠D.
∵∠EAF=∠CAD， ∠E=∠D，
∴∠AFB=∠ACB=60°.
即线段AD与线段BE所在直线形成的夹角中有一个角是60°.
∵AD=BE，线段AD是线段BE的双关联线段。
（3）解：答案不唯一，例如：
作法一：
作法二：
如图，线段CD即为所求.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定；矩形的性质；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】
解：(1)设AC， BD的交点为O，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，∠ABC= 90°；
∵对角线AC与BD互为双关联线段，
∴∠AOB=60°，
∴AOB是等边三角形，
∴∠OAB= 60°，
∴∠ACB=90°-∠OAB=30°；
问题2中的依据是：等角的补角相等；
故答案为：30， 等角的补角相等；
【分析】
(1)设AC， BD的交点为O，利用矩形的性质，结合新定义概念可证明AOB是等边三角形，由等边三角形的性质利用角度的和差运算即可解答；2小问利用等角的补角相等即可完成问题2的依据，解答即可；
(2)利用三角形外角的性质可得∠AFB= ∠EAF+∠E，∠ACB=∠CAD+∠D，再用等边三角形的性质即可∠AFB=∠ACB = 60°，解答即可；
(3)作一个等边三角形解答即可.
7．阅读与思考
倍角三角形定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．
【探究对象】倍角三角形的性质
【探究思路】从特殊到一般
【性质发现】
在中，若，则是倍角三角形，其中，，分别是，，的对边．
如图1，当，时，，________
若，时，________，________．
【性质猜想】如图2，，，之间的数量关系是：________．
【证明猜想】如图3，延长到点，使，
……
任务1：请将“________”的内容补充完整；
任务2：结合图3，完成“证明猜想”；
【综合应用】
任务3：运用倍角三角形定义和性质，解决下面的问题：
如图4，在中，平分，且，若，，的长度恰好是三个连续的正整数，请求出的长．
【答案】解：任务1：性质探究：如图1，在中，若，则是“倍角三角形”，其中，，分别表示，，的对边．
当，时，，
则，此时，，
则，；
当，时，，
则，此时，，
则，．
性质猜想：，，之间的数量关系为．
故答案为：2；1；；
任务2：如图2，延长到点，使．
．
．
，
．
又，
．
，
即．
，
即；
任务3：∵
∴，
∵，
∴，
∴是“倍角三角形”，
，
∵，，的长度恰好是三个连续的正整数，设，
∴，，
，
解得，（不合题意，舍去），
，
的长为6．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】任务1：当，时，，则，根据含角的直角三角形特征计算即可；当，时，，则，根据等腰直角三角形的特征求解即可．
性质猜想：根据前面两个结论找出，，之间的数量关系求解即可．
任务2：根据题意先求出，再根据相似三角形的判定方法求出，最后根据相似三角形的性质求解即可.
任务3：根据等腰三角形的性质求出，再求出是“倍角三角形”，最后计算求解即可.
8．【阅读理解】在学习《解直角三角形》这一节时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务．
学习笔记：如图1，在锐角中，，，的对边分别记为a，b，c，锐角的面积记为，过点C作于点D，则，
∴，
∴．
同理可得，，
即．
由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边与其夹角正弦积的一半．
又∵，根据等式的基本性质，将，整理，得．
由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．
【理解应用】请学习上述阅读材料，并用上述材料的结论解答以下问题．
如图2，甲船以54海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西方向的B处，且乙船从B处沿北偏东方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到达甲船的南偏西方向的C处，此时两船相距18海里．
（1）求的面积；
（2）求乙船由B处到达C处航行的路程是多少海里．（结果保留根号）
【答案】（1）
（2）
【知识点】等边三角形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
9．阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分 求证：DA=DC.
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.
方法1：在 BC上截取，BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA 到点N，使得.BN=BC，连接 DN，得到全等三角形，进而解决问题.
（1）结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明；
（2）问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当 时，探究线段AB，BC，BD 之间的数量关系，并说明理由.
（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，. ，过点D作 垂足为点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系.
【答案】（1）证明（方法1）：∵BD平分
∴
在与中，
∴
∴DA=DM，
∵，
∴
∴DC=DM=DA
（2）解：BD=BA+BC。理由如下：
在BD上截取BE=BA，连接AE。
易证与为等边三角形
∵
∴
在与中，
∴
∴BC=EC
∵BD=BE+EC
∴BD=BA+BC
（3）解：BC-AB=2EC。理由如下：
过点D作的延长线于点F。
∵
∴
在与中，
∴
∴AF=EC，DF=DE
在与中，
∴
∴BF=BE
∴BA+AF=BC-EC
∵AF=EC
∴BC-AB=2EC
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用SAS判定易证，等量代换可证，故DC=DM=DA；
(2)截长补短，将BD分为BE，DE两段，其中BE=BA，然后利用SAS判定证明，从容得到BC=EC，故而可证明BD=BA+BC；
(3)首先等量代换得到，利用AAS判定证明，可知AF=EC，DF=DE，再利用HL判定证明，得到BF=BE，最后等量代换得出BC-AB=2EC。
10．阅读理解
半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质.
（1）【问题背景】
如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF=60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系.
【初步探索】
小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到线段BE、EF、FD之间的数量关系　 　.
（2）【探索延伸】如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF=BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由。
（3）【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（0处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角∠EOF为70°，则此时两舰艇之间的距离为　 　海里.
【答案】（1）
（2）解：仍成立，理由：
如图2，延长到点G，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）270
【知识点】三角形全等的判定-SAS；半角模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【证明】（1）解：如图1，延长到G，使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（3）解：连接，延长交于点C，如图，
∵，
∴，
∵，
∴四边形中：且，
∴四边形符合探索延伸中的条件，
∴结论成立，
即（海里），
答：此时两舰艇之间的距离是270海里．
【分析】（1）延长到G，使，连接，证明，即可得到，然后再得到，根据对应边相等即可得到结论；
（2）仿照（1）的方法证明即可；
（3）连接，延长交于点C，利用已知条件得到四边形中，且，符合探索延伸得到，解答即可．
11．【阅读】若P为∠ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则
点P叫做△ABC的费马点.如图，在△ABC中，如果三角形内部有一点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC的值最小.理由如下：
将△APC绕点A逆时针旋转60°至△APC'，连结PP'，∠APC=∠AP'C'=120°
∴AP=AP'，PC=P'C'，∠PAP'=60°
∴△APP'是等边三角形
∴AP=PP，∠APP'=∠AP'P=60°
∴PA+PB+PC=PB+PP'+P'C'
∴∠APB=∠APC=∠AP'C'=120°，∠APP=∠APP=60°
∴点B，P，P'，C'四点在同一条直线上。此时，PA+PB+PC的值最小。
（1）【应用】如图（一）所示，点P是△ABC内一点，且点P是△ABC的费马点，已知∠ABC=60°，PA=4，PC=3，求PB的长.
（2）如图（二）所示，分别以锐角△ABC的边AB，AC向三角形外部作等边△ABD，等边△ACE，连结BE，CD交于点P，求证：点P为△ABC的费马点.
（3）【拓展】如图（三），圆内接矩形ABCD内有一点于点，已知，且的最小值是，求的半径。
【答案】（1）解：点P是△ABC的费马点
，
，
，
，
，
，
，
，
.
（2）解：如图，作，连接，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点P为△ABC的费马点.
（3）解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接NP，BD，
，
，
当点M、N、P、E在同一直线上时，有最小值，
此时，
设，
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值是，
，
，
的半径为.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；费马点模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由费马点的定义可得，，进而证得，再利用相似三角形的性质得到，即可求得PB的长度.
(2)由等边三角形的性质可得，，进而通过SAS判定得到，再通过三角形的内角和定理得到，利用全等三角形的性质可得，由角平分线的性质可得，即可求得，故点P为△ABC的费马点.
(3)将绕点A逆时针旋转得到，易证是等边三角形，故当点M、N、P、E在同一直线上时，有最小值，此时，利用圆周角定理可得，设，，由直角三角形的性质可得，进而解得x的值，即可求得的半径.
12．材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．
（1）在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点、点，把河岸抽象为直线，把距离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程最短的是___________．
A． B． C． D．
（2）如图所示，牧童在处放牛，其家在处，米，米，米，牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米．
（3）已知，求的最小值．（可结合图形）
【答案】（1）D
（2）解： 如图，延长至点，使得，连接，则的长度为牧童需要走的最短路程．
过点作，与的延长线交于点，
则．
在中，米，米．
（米）．
（3）解：如图，设线段，作，取，，
的值可看作的值．
当三点共线时，的值最小，
即的最小值为的长．
作于点，
∴
则，
，
的最小值为10．
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】
（1）
解：选：D，
理由：如图，作点关于直线的对应点，连接交直线于点，则点就是所要求作点．在直线在任取另一点，连接，
由轴对称的性质可得：，
，，
在中，，
，
故选：D．
【分析】
（1）先利用轴对称的性质作点A关于直线L的对称点A`，则CA＝CA`，则CA+CB转化为CA`+CB，显然两点之间线段最短，即连接A`B，则线段A`B的长度即最短距离；
（2）利用将军饮马模型作点A关于直线L的对称点A`，再连接A`B，再过点A`作直线L的平行线A`P，再过点B作直线A`P的垂线交A`P于点P，再利用勾股定理求出A`B的长度即可；
（3）由于16和4分别是4和2的平方，a与br的和为定值，则可作线段DE＝8，再分别过D、E在线段两侧作DE的垂线段DA和BE，使AD＝2，BE＝4，再在DE任取一点M，则由勾股定理可得，显然当A、M、B三点共线时AM+BM最小，即AM+BM＝AB，再利用勾股定理求出AB的长即可．
（1）解：选：D，
理由：如图，作点关于直线的对应点，连接交直线于点，则点就是所要求作点．在直线在任取另一点，连接，
由轴对称的性质可得：，
，，
在中，，
，
故选：D．
（2）如图，延长至点，使得，连接，则的长度为牧童需要走的最短路程．
过点作，与的延长线交于点，
则．
在中，米，米．
（米）．
（3）如图，设线段，
作，取，，
的值可看作的值．
当三点共线时，的值最小，
即的最小值为的长．
作于点，
∴
则，
，
的最小值为10．
13． 【阅读材料】
问题 如图，AB，CD 相交于点O，O 是 AB 的中点，AC∥BD，求证：O是CD 的中点.
问题分析 由条件易证△AOC≌△BOD，从而得到OC=OD，即O是CD 的中点.
方法提取 构造“平行8字形”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法.
请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题.
【基础应用】
已知在△ABC中，. 点 E 在边 AB 上，点F 在边 BC的延长线上，连结EF交AC 于点 D.
（1）如图①，若AB=BC，AE=CF，求证：D是EF的中点；
（2）如图②，若AB=2BC，AE=2CF，探究CD 与 BE 之间的数量关系；
（3）【灵活应用】
如图③，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，E 是AB 上一点，点 F 在 BC 的延长线上， 当点C从点B运动到点A，点D运动的路径长为　 　，CF 扫过的面积为　 　.
【答案】（1）证明：∵AB=BC，∠B=90°，∴∠A=∠ACB=45°.
如图①，过点 E 作 EG∥BF，交 AC于点G，
则∠DGE=∠DCF，∠AEG=∠B=90°.
∴△AEG是等腰直角三角形，则AE=GE.
∵AE=CF，∴GE=CF.
又∵∠GDE=∠CDF，
∴△DGE≌△DCF.
∴DE=DF.∴D是EF 的中点
（2）解：如图②，过点 E 作EG∥BF，交AC于点G，则△AEG∽△ABC，
∴AE=2EG.
∵AE=2CF，∴EG=CF.
∵EG∥BF，
∴∠DGE=∠DCF，∠AEG=∠B=90°.
又∵∠GDE=∠CDF，
∴△DGE≌△DCF(AAS).
∴CD=DG.
∵AE=2EG，
（3）；
【知识点】弧长的计算；等腰直角三角形；截长补短构造全等模型；A字型相似模型；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】（3）
∵AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，
∴∠ACB=90°，
过点E作EG∥BF，则△AEG∽△ABC，
∴
∵，
∴EG=CF，
∵EG∥BF，
∴∠AGE=∠ACB=90°，
∴∠DGE=∠DCF=90°，
又∵∠GDE=∠CDF，
∴△DGE≌△DCF（AAS），
∴CD=DG，
过点D作DM∥BF，则，∠ADM=90°，
∴EM=BM，
∵AB=8，AE=2，
∴BE=6，则EM=BM==3，
∴AM=AE+EM=5，
∴点D在以AM为直径的半圆上运动，
∴D运动的路径长为：
过点F作FH∥AC，则
∵
∴AE=AH=2，
∴BH=AH+AB=10，
∴点F在以BH为直径的半圆上运动，
则CF扫过的面积为以BH为直径的半圆与以AB为直径的半圆的面积之差，
即：CF扫过的面积为
【分析】(1) 过点E作EG∥BF，证△DGE≌△DCF，即可得点D是EF的中点.
(2) 过点E作EG∥BF，可证△AEG∽△ABC，得，再证△DGE≌△DCF，得CD=DG ，由平行线平分线段成比例，得 由AE=2EG，得AG=5EG ，AGAE=52，AGAE=2CDBE=52，从而可得CD=54BE.
（3）由题意可得∠ACB=90°，过点E作EG∥BF，则△AEG∽△ABC，可 进而可得EG=CF，易证△DGE≌△DCF，可知CD=DG，过点D作DM∥BF，则， ∠ADM=90°，易知点D在以AM为直径的半圆上运动，可求得D运动的路径长度，过点F作FH∥AC，则 易知点F在以BH为直径的半圆上运动，可知CF扫过的面积为以BH为直径的半圆与以AB为直径的半圆的面积之差，即可求得答案.
14．阅读理解：
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若，则四点共圆；或若，则四点共圆．
（1）如图1，已知，，则_____；
（2）如图2，若为等腰的边上一点，且，求的长；
（3）如图3，正方形的边长为4，等边内接于此正方形，且，，分别在边，，上，若，求的长．
【答案】（1）
（2）在线段取一点，使得，如图2所示：
，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
（），
，
，
是等腰直角三角形，
；
（3）作于，则是的中点，连接，，如图3所示：
，
、、、和、、、分别四点共圆，
，，
是等边三角形，
，
作，则为的中点，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形；三角形全等的判定-ASA；截长补短构造全等模型
【解析】【解答】
解：（1），
四点共圆，
．
故答案为：；
【分析】
本题考查了四点共圆的判定定理，四点共圆的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形、等边三角形的判定与性质，勾股定理、三角函数的应用，以及辅助线构造的几何思想.
（1）根据题目给出的等角条件，直接判定A，B，C，D四点共圆，再利用圆周角相等的性质，结合三角形内角和求出目标角；
（2）通过“截长补短”构造，创造出的等量条件，再通过角度计算证明、，用ASA证明，进而得到AD=DE，结合等腰直角三角形的边长关系求出AE；
（3）作于，利用等边三角形三线合一得到是的中点，再通过四个直角判定两组四点共圆，利用圆周角性质得到等角，证明是等边三角形，再作，用勾股定理求出，最后结合三角函数求出EF的长度.
（1）解：，
四点共圆，
．
故答案为：
（2）在线段取一点，使得，如图2所示：
，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
（），
，
，
是等腰直角三角形，
；
（3）作于，则是的中点，连接，，如图3所示：
，
、、、和、、、分别四点共圆，
，，
是等边三角形，
，
作，则为的中点，
，
，
，
．
二、图形变化的阅读理解
15．【综合与实践】
火车轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究：
阅读理解 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离．
发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点M与点N之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像．
建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，线段与直线交于点，．
解决问题 （1）作于点，设，请用含和的式子表示的长度；（）若，，，求的长度．（结果精确到个位，参考数据：，，）
【答案】解：过点N作NH⊥MM'于点H，
∴∠NHM=90°，∠CMH=α
∴∠NMH+∠MNH=90°
∵，
∴∠CMN=90°，
∴∠CMH+∠NMH=90°
∴∠MNH=∠MNH=α
∴在Rt△MHN中，
∴；
答：HN的长度为mcosα；
（2）作N'D∥MN交MM'于点D，
∵，
∴∠N'M'D=α，DN'⊥M'N'，
∴在Rt△DM'N'中，
∴，，
∴OD=OM'-DM'=27-8=19，
∵N'D∥MN，
∴△DON'∽△MON，
∴，
∴MN=7DN'=7×7=49.
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定；解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造直角三角形是解题关键；
（1） 过点N作NH⊥MM'于点H，根据对顶角相等可知：∠CMH=α，再根据垂直的定义可知：∠NHM=90°，∠CMN=90°，再根据角的和差运算可知：∠NMH+∠MNH=90°，∠CMH+∠NMH=90°，根据同角的余角相等可知：∠MNH=∠MNH=α，再根据锐角三角函数的定义可知：在Rt△MHN中，，化简得：；由此可得出答案；
（2） 作N'D∥MN交MM'于点D，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠N'M'D=α，再根据锐角三角函数的定义可知：在Rt△DM'N'中，，化简得：，，再根据线段的和差运算可知：OD=OM'-DM'=19，根据相似三角形的判定定理可得：△DON'∽△MON，最后根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例可知：，化简得：MN=7DN'=49，由此可得出答案．
16．【问题提出】
已知正方形和正方形共顶点A，把正方形绕点A顺时针旋转一定的度数，连接，探究的长．
【问题探究】
（1）如图（1），若正方形的边落在正方形的边上时，当时，_________；
（2）如图（2），当，正方形的边的中点刚好落在点D时，求的长．
（3）阅读材料并解决问题：
在中，设其中一个锐角度数为，
则，
，
，根据勾股定理：在中：，
请运用以上材料的结论，完成以下探究：
一般情形，如图（3），当旋转度数为，请你用含有a，b，m的式子直接表示出的长．
【拓展应用】
（4）如图（4），已知长方形和长方形全等，把长方形绕点A顺时针旋转，当所在的直线恰好过的中点O时，当时，请直接写出的长．
【答案】（1）13；
（2）解：如图，过点作于点，交于点，
在正方形中，，
，
在正方形中，，
四边形是平行四边形，
，
点是的中点，，
，
在中，，
，
，
，
，即，
，
，，
在中，，
；
（3）；
（4）
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的判定；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）在正方形和正方形中，，
，
故答案为：13；
（3）过点作于点，交于点，则，
在正方形中，，
在正方形中，，，
在中，，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
（4）过点作于，
四边形和四边形是全等的矩形，，
，
，
，
，
在中，，
，
过点作，交的延长每于点，则，
在中，，，
，
在中，
【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2） 过点作于点，交于点，根据正方形性质可得， 再根据平行四边形判定定理可得 四边形是平行四边形， 则， ，再根据线段中点可得， 再根据勾股定理可得，根据相似三角形判定定理可得， 则， 代值计算可得AI，IB，再根据勾股定理可得IH，根据边之间的关系可得GI，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）过点作于点，交于点，则，则 ，根据正方形性质可得，，， 根据正弦，余弦定义可得GK，FK，KI，AI，再根据边之间的关系可得GI，IB，再根据勾股定理即可求出答案.
（4）过点作于，根据全等四边形可得， ，再根据全等三角形判定定理可得， 则， 根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得， 再根据边之间的关系可得∠GAB， 过点作，交的延长每于点，则， 解直角三角形可得GN，AN，再根据边之间的关系可得BN，再根据勾股定理即可求出答案.
17．【综合与实践】
【阅读材料】在数学世界里，黄金分割宛如璀璨明珠，符合黄金分割比例的事物更具有比例性、艺术性与和谐性．
素材1：若一个点将线段分成两段，较短一段与较长一段的比等于较长一段与整个线段的比，则这个点叫做该线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割数，经计算黄金分割数为．例如在图1中，点为线段上一点，若，则点为线段的黄金分割点．从数据上可描述为：点为线段上一点，若或，则点为线段的黄金分割点．
素材2：宽与长之比为的矩形叫做黄金矩形，常被视为最美矩形．
【特例感知】
（1）母亲节到了，小军买了一双高跟鞋送给妈妈，希望妈妈穿上这双鞋后上半身与下半身的高度比或下半身与全身的高度比接近黄金分割数，呈现一种平衡、稳重的和谐美．如图2，小军妈妈的身高是，下半身长．试通过计算说明小军选择高跟鞋送给妈妈是否能够达到想要的效果（误差在范围内认为是可以的）；
（2）如图3，在黄金矩形中，长，则矩形的面积__________；
【操作探究】小军的动手能力很强，想通过折纸的方式得到黄金分割点和黄金矩形．以下是他的折叠步骤：
第一步，准备一张宽，长足够的矩形纸片，利用图4的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步，如图5，把正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平，得到，的中点，；
第三步，折出矩形的对角线，并把折到如图6中的处；
第四步，展平纸片，如图7，过点折出交于点，得到矩形．
小军得到两个结论：点为线段的黄金分割点，所得矩形是黄金矩形．
【问题解决】
（3）请你证明小军的上述结论是否正确；
（4）如图8，以为边折出正方形，延长交于点，如图9，得到矩形，请证明．
【答案】解：（1）（1）如图，
∵小军妈妈的身高是，下半身长．小军选择高跟鞋，
∴，，
∴，，
∵误差在范围内符合题意，
∴选择范围为：，
∴小军选择高跟鞋送给妈妈能够达到想要的效果；
（2）；
（3）小军的结论正确，理由如下：
∵由对折可得：四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
由对折可得：，，
∴，，
∴，
∴矩形为黄金矩形；
（4）∵正方形，，
∴正方形的面积为，
∵矩形，，
∴，
∴矩形的面积为，
∴．
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；黄金分割
【解析】【解答】解：（2）∵在黄金矩形中，长，
∴，
∴，
∴矩形的面积为；
故答案为：；
【分析】（1）如图，计算，，结合选择范围为：，则小军选择高跟鞋送给妈妈能够达到想要的效果；
（2）由对折可得：四边形是正方形，则，，，根据折叠的性质和勾股定理可得由，则矩形为黄金矩形；
（3）根据折叠的性质可证，可得，根据勾股定理可得，根据折叠性质可得，，则，即矩形为黄金矩形；
（4）正方形的边长，则其面积为，矩形，，，则其面积为，则．
18．阅读材料，并解决问题：
【思维指引】（1）如图1等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数.
解决此题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段 转化到一个三角形中，从而求出______；
【知识迁移】（2）如图2，在中，，，E、F为上的点且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论.
【方法推广】（3）如图3，在中，，，，点P为内一点，连接，直接写出的最小值.
【答案】（1）等边；150；
（2），理由如下：
如图2，把绕点A逆时针旋转得到，
由旋转的性质得，，，，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
由勾股定理得，，
即；
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1），
，，，
依题意得旋转角，
为等边三角形，
，，
，
为直角三角形，且，
；
故答案为：等边；150；
（3）如图，在内部任取一点P，连接，，，
将绕点B顺时针旋转得到，
由旋转的性质得：，
，
，
，
当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长，
如图，过点A作垂线交延长线于点D，
，
，
，，
又，
，
．
【分析】（1）根据全等三角形性质可得，，，根据旋转性质可得，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转性质可得，，，，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定可得，则，根据等腰直角三角形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案；
（3）在内部任取一点P，连接，，，将绕点B顺时针旋转得到，由旋转的性质得：，根据等腰直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得，当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长，过点A作垂线交延长线于点D，根据含30°角的直角三角形性质可得BD，根据勾股定理可得AD，再根据边之间的关系可得C'D，再根据勾股定理即可求出答案.
19．请阅读材料，并完成相应的任务．战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．
定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中即为弦切角．
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．
下面是弦切角定理的证明过程：
①如图1．已知：为圆上任意一点，当弦经过圆心，且切于点时，易证：弦切角．
②如图．当点是优弧上任意一点，切于点．求证：弦切角．
证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示．
与相切于点，
▲ ，
，
是直径，
▲ （直径所对的圆周角是直角），
，
，
又 ▲ （同弧所对的圆周角相等），
．
完成下列任务：
（1）将上述证明过程补充完整；
（2）运用材料中的弦切角定理解决下列问题：
①如图3，的顶点在上，和相交于点，且是的切线，切点为，连接．若，求的长；
②如图4，，以为直径的交于点，过点作的切线，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）；；
（2）解：①如图，
是的切线，切点为，
，
又，
，
，
∵AD=2，CD=6，
∴AC=8，
，
∴；
②，理由如下：
连接，如图所示，
是直径，
，，
又，
是的角平分线，
∴∠BAC=2∠BAE，
又是的切线，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1） 证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示：
是的半径，与相切于点，
，
，
是直径，
（直径所对的圆周角是直角），
，
，
又（同弧所对的圆周角相等），
．
故答案为：；；，
【分析】（1）根据切线的性质可证得， 再由圆周角定理的推论可证得， 最后由圆周角定理的推论得，即可得结论.
（2）①由弦切角定理，可得，进而可证明，由相似三角形的对应边成比例，即可求的长，
②连接，由是直径，可得，由等腰三角形三线合一的性质，可得是的角平分线，再结合弦切角定理，即可求解.
（1）解：如图2
是的半径，与相切于点，
，
（直径所对的圆周角是直角），
，
，
又（同弧所对的圆周角相等），
．
故答案为：；；，
（2）解：①如图，
是的切线，切点为，
，
又，
，
，即：，
，解得：；
②如图，连接，
是直径，
，，
又，
是的角平分线，即：，
又是的切线，
，
．
20．阅读理解：
（1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点定长”：
如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．
解：由题意，若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点、必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到________．
②类型二，“定角定弦”：
如图2，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值．
请将以下解题过程补充完整．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴_______，（定角）
∴点在以（定弦）为直径的上，
如图2，连接交于点，此时最小．
请完成后面的解题过程．
（2）【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为________（直接写结果）．
（3）【能力拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点的运动路径长．
【答案】解：（1）①28；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，（定角）
∴点在以（定弦）为直径的上，
如图2，连接交于点，此时最小．
∵的直径，
∴，
在中，，
∴线段长的最小值为．
（2）4；
（3）如图4，连接，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在点的运动过程中，始终有，
又∵点从点开始运动到点时，点也随之运动，
∴点的运动路径是在以为直径的圆的上，
如图4，取的中点，连接，
∴，，
∴点的运动路径长为．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；圆周角定理；弧长的计算；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）①∵，，
∴如图1，以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点、必在上，
∵是所对的圆心角，而是所对的圆周角，且，
∴，
故答案为：28．
（2）如图3，连接，
∵在矩形中，，，
∴，
∵点与点关于直线的对称，
∴，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点在线段上时，的值最小，最小值为，
故答案为：4．
【分析】）（1）①以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点、必在上，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
②根据角之间的关系可得，则点在以（定弦）为直径的上，连接交于点，此时最小，再根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）连接，根据勾股定理可得AC，再根据对称性质可得，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点在线段上时，的值最小，最小值为，即可求出答案.
（3）连接，交于点，根据正方形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，则在点的运动过程中，始终有，点的运动路径是在以为直径的圆的上，取的中点，连接，根据弧长公式即可求出答案.
21．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是．
（1）在图2中，的度数是 （直接写答案）．
参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度．
（3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值．
【答案】（1）；
解：如下图所示，过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，
，，，，
直角梯形中，（），，，
，
四边形是正方形，，，
点与重合，、、三点共线，
，
由可知，
在和中，，
（），
，
，
，
，，
，
在中，，
，
解得：；
（3）当时，线段有最大值，最大值为．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：将绕点顺时针旋转得到，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
；
故答案为：；
当时，线段有最大值，
如下图所示，将绕点逆时针旋转得线段，连接、，
是等腰直角三角形，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，即，
在和中，，
，
，
当有最大值时，有最大值，
，，
当、、三点共线时，有最大值，
最大值为，
，
此时，
当时，线段有最大值，最大值为．
【分析】（1）根据旋转性质可得，，再根据正方形性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，根据旋转性质可得，，，，根据正方形判定定理可得四边形是正方形，，，则点与重合，、、三点共线， 再根据全等三角形判定定理可得（），则，根据边之间的关系可得CE，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）将绕点逆时针旋转得线段，连接、，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，，根据勾股定理可得CF，再根据正方形性质可得，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，当有最大值时，有最大值，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、图形坐标的阅读理解
22．【阅读理解】
点在平面直角坐标系中，记点到轴的距离为，到轴的距离为，给出以下定义：若则称为点的“微距值”；若则称2为点的“微距值”；特别地，若点在坐标轴上，则点的“微距值”为．例如，点到轴的距离为，到轴的距离为，因为，所以点的“微距值”为．
【知识应用】
（1）点的“微距值”为 ；
（2）若点的“微距值”为2， 求a的值；
（3）若点在直线上，且点的“微距值”为，求点的坐标．
【答案】（1）2
（2）解：点到轴的距离，
∵点的“微距值”为，且，
∴点到轴的距离．
∴或．
（3）解：设点的坐标为，
∵点在直线上，
∴．
情况一：当时 此时，即．
当时，代入，得，
移项可得，即，
解得，
此时，
∵，
∴不满足，舍去．
当时，代入，得，
移项可得，即，解得，
此时，∵，满足，
∴点坐标为．
情况二：当时 此时，即．
当时，代入，
得，此时，
∵，不满足，
∴舍去．
当时，代入，
得，此时，
∵，满足，
∴点坐标为．
综上，点的坐标为或．
【知识点】点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：点到轴的距离，到轴的距离．
∵，即，
∴点的“微距值”为
故答案为：2．
【分析】（1）根据“微距值”的定义，先求出点到轴和轴的距离，再比较大小确定“微距值”．点到轴的距离，到轴的距离，比较与大小．
（2）由点的“微距值”为，点到轴的距离，“微距值”为，根据定义可知且，进而求解的值．
（3）设点的坐标为，由点在直线上，得．点的“微距值”为，分两种情况讨论：一是当时，；二是当时，，分别求解和的值确定点坐标．
（1）解：点到轴的距离，到轴的距离．
∵，即，
∴点的“微距值”为
故答案为：2．
（2）解：点到轴的距离，
∵点的“微距值”为，且，
∴点到轴的距离．
∴或．
（3）解：设点的坐标为，
∵点在直线上，
∴．
情况一：当时 此时，即．
当时，代入，得，
移项可得，即，
解得，
此时，
∵，
∴不满足，舍去．
当时，代入，得，
移项可得，即，解得，
此时，∵，满足，
∴点坐标为．
情况二：当时 此时，即．
当时，代入，
得，此时，
∵，不满足，
∴舍去．
当时，代入，
得，此时，
∵，满足，
∴点坐标为．
综上，点的坐标为或．
23．阅读下列材料：
平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离表示为，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为，变形可得：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程.例如：由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25可得它的圆心为（1，2），半径为5.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题.
（1）圆心为C（3，4），半径为2的圆的标准方程为：_　 　；
（2）若已知⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，圆心为C，请判断点A（3，﹣1）与⊙C的位置关系.
【答案】（1）
（2）解：∵⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，
∴圆心坐标为C（2，0），
∵点A（3，﹣1），AC=
∴点A在⊙C的内部.
【知识点】点与圆的位置关系；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）设圆上任意一点的坐标为（x，y），
∴，
故答案为：；
【分析】（1）设圆上任意一点的坐标为（x，y），然后根据题意可得标准方程；
（2）根据⊙C的标准方程可得圆心坐标为C（2，0），利用两点间距离公式求出AC，据此判断.
24．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点、的对称中心的坐标为．
观察应用：
（1）如图，若点、的对称中心是点A，则点A的坐标为：　 　．
（2）在（1）的基础上另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则、的坐标为：　 　、　 　．
【答案】（1）
（2）；
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：点A的坐标为：，
∴A（1，1），
故答案为：（1，1）；
（2）由题可得：P1（0，-1）→P2（2，3）→P3（-4，1）→P4（2，-1）→P5（0，3）→P6（-2，1）→P7（0，-1）→P8（2，3），
故答案为：P4（2，-1）；P8（2，3）.
【分析】（1）根据任意两点、的对称中心的坐标为，计算求解即可；
（2）结合题意，利用点的坐标和公式计算求解即可。
1 / 1阅读理解（几何）—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题
一、图形性质的阅读理解
1．阅读材料：图形的密铺在生活、生产中被广泛应用，其中最著名的是荷兰艺术大师埃舍尔的作品(图1)，给人一种奇妙的美感．平面图形的密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．而多边形的密铺就是共顶点的各多边形的内角之和等于360°(图2)．
问题解决：
（1）请说明图2中用两个正方形、三个等边三角形能够密铺的理由；
（2）若只用一种正n边形进行密铺，且n≥3，密铺的个数为k，且k为正整数，请推导n与k满足的关系式，并直接写出所有满足条件的正多边形．
2．阅读与思考：
下面是小涵同学的数学错题本笔记，请仔细阅读他的解题思路并完成相应的任务．
题目：如图，在中，，，，求的面积． 方法1：如果的三边长分别为，设为周长的一半，那么利用海伦公式，就可求出的面积． 方法2：作辅助线，构造直角三角形，设未知数列方程，并求解，从而求出的面积．
（1）任务一：按“方法1”求的面积．
（2）任务二：写出“方法2”的解答过程．
3．学分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题：已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线.
作法：（I）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（II）分别以点M，N为圆心，大于0.5MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（III）画射线OC，则射线OC即为所求.
（1）如图1，射线OC就是∠AOB的角平分线的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS.
（2）下面是小明同学给出的方法：
如图2，以点O为圆心，以任意长为半径画弧与OA，OB分别交于点C，D，再以任意长为半径画弧与OA，OB分别交于点E，F，连结CF，DE交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB.
你认为小明的这种作角平分线的方法（　　）
（3）在不限于尺规作图的条件下，小颖同学用三角板按下面方法画角平分线：
如图3，在已知∠AOB的边OA，OB上分别取OC=OD，再分别过点C，D作OA，OB的垂线，两垂线相交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB.
请你帮这位同学证明：OP平分∠AOB.
4．阅读下列材料：
平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离表示为，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为，变形可得：我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题.
（1）圆的标准方程则它的圆心是　 　，半径是 .
（2）圆心为C（-3，4），半径为2的圆的标准方程为： 　 　；
（3）若已知⊙C的标准方程为：圆心为C，请判断点A（3，-1）与⊙C的位置关系并说明理由.
5．阅读下列材料并解答问题：
在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“3倍角三角形”.
例如：一个三角形三个内角的度数分别是 ， ， ，这个三角形就是一个“3倍角三角形”.反之，若一个三角形是“3倍角三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.
（1）如图①，已知，在射线OM上取一点A，过点A作交ON于点B，判断△AOB是不是“3倍角三角形”，为什么
（2）在(1)的条件下，以A为端点画射线AC，交线段OB于点C(点C不与点O、点B重合)，若△AOC是“3倍角三角形"，求∠ACB的度数；
（3）如图②，点D在△ABC的边上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使得，，若△BCD是“3倍角三角形”，求∠B的度数.
6．阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务，
双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的央角中有一个角是60°，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段。 例如，下列各图中的线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是60°，若AB=CD，则下列各图中的线段CD都是相应线段AB的双关联线段。 【问题解决】 问题1：如图1，在矩形ABCD中，AB任务：
（1）问题1 中的∠ACB=　 　°，
问题2中的依据是　 　.
（2）补全问题2的证明过程；
（3）如图3，点C在线段AB上，请在图3中作线段AB的双关联线段CD
（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）.
7．阅读与思考
倍角三角形定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．
【探究对象】倍角三角形的性质
【探究思路】从特殊到一般
【性质发现】
在中，若，则是倍角三角形，其中，，分别是，，的对边．
如图1，当，时，，________
若，时，________，________．
【性质猜想】如图2，，，之间的数量关系是：________．
【证明猜想】如图3，延长到点，使，
……
任务1：请将“________”的内容补充完整；
任务2：结合图3，完成“证明猜想”；
【综合应用】
任务3：运用倍角三角形定义和性质，解决下面的问题：
如图4，在中，平分，且，若，，的长度恰好是三个连续的正整数，请求出的长．
8．【阅读理解】在学习《解直角三角形》这一节时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务．
学习笔记：如图1，在锐角中，，，的对边分别记为a，b，c，锐角的面积记为，过点C作于点D，则，
∴，
∴．
同理可得，，
即．
由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边与其夹角正弦积的一半．
又∵，根据等式的基本性质，将，整理，得．
由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．
【理解应用】请学习上述阅读材料，并用上述材料的结论解答以下问题．
如图2，甲船以54海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西方向的B处，且乙船从B处沿北偏东方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到达甲船的南偏西方向的C处，此时两船相距18海里．
（1）求的面积；
（2）求乙船由B处到达C处航行的路程是多少海里．（结果保留根号）
9．阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分 求证：DA=DC.
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.
方法1：在 BC上截取，BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA 到点N，使得.BN=BC，连接 DN，得到全等三角形，进而解决问题.
（1）结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明；
（2）问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当 时，探究线段AB，BC，BD 之间的数量关系，并说明理由.
（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，. ，过点D作 垂足为点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系.
10．阅读理解
半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质.
（1）【问题背景】
如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF=60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系.
【初步探索】
小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到线段BE、EF、FD之间的数量关系　 　.
（2）【探索延伸】如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF=BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由。
（3）【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（0处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角∠EOF为70°，则此时两舰艇之间的距离为　 　海里.
11．【阅读】若P为∠ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则
点P叫做△ABC的费马点.如图，在△ABC中，如果三角形内部有一点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC的值最小.理由如下：
将△APC绕点A逆时针旋转60°至△APC'，连结PP'，∠APC=∠AP'C'=120°
∴AP=AP'，PC=P'C'，∠PAP'=60°
∴△APP'是等边三角形
∴AP=PP，∠APP'=∠AP'P=60°
∴PA+PB+PC=PB+PP'+P'C'
∴∠APB=∠APC=∠AP'C'=120°，∠APP=∠APP=60°
∴点B，P，P'，C'四点在同一条直线上。此时，PA+PB+PC的值最小。
（1）【应用】如图（一）所示，点P是△ABC内一点，且点P是△ABC的费马点，已知∠ABC=60°，PA=4，PC=3，求PB的长.
（2）如图（二）所示，分别以锐角△ABC的边AB，AC向三角形外部作等边△ABD，等边△ACE，连结BE，CD交于点P，求证：点P为△ABC的费马点.
（3）【拓展】如图（三），圆内接矩形ABCD内有一点于点，已知，且的最小值是，求的半径。
12．材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．
（1）在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点、点，把河岸抽象为直线，把距离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程最短的是___________．
A． B． C． D．
（2）如图所示，牧童在处放牛，其家在处，米，米，米，牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米．
（3）已知，求的最小值．（可结合图形）
13． 【阅读材料】
问题 如图，AB，CD 相交于点O，O 是 AB 的中点，AC∥BD，求证：O是CD 的中点.
问题分析 由条件易证△AOC≌△BOD，从而得到OC=OD，即O是CD 的中点.
方法提取 构造“平行8字形”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法.
请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题.
【基础应用】
已知在△ABC中，. 点 E 在边 AB 上，点F 在边 BC的延长线上，连结EF交AC 于点 D.
（1）如图①，若AB=BC，AE=CF，求证：D是EF的中点；
（2）如图②，若AB=2BC，AE=2CF，探究CD 与 BE 之间的数量关系；
（3）【灵活应用】
如图③，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，E 是AB 上一点，点 F 在 BC 的延长线上， 当点C从点B运动到点A，点D运动的路径长为　 　，CF 扫过的面积为　 　.
14．阅读理解：
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若，则四点共圆；或若，则四点共圆．
（1）如图1，已知，，则_____；
（2）如图2，若为等腰的边上一点，且，求的长；
（3）如图3，正方形的边长为4，等边内接于此正方形，且，，分别在边，，上，若，求的长．
二、图形变化的阅读理解
15．【综合与实践】
火车轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究：
阅读理解 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离．
发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点M与点N之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像．
建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，线段与直线交于点，．
解决问题 （1）作于点，设，请用含和的式子表示的长度；（）若，，，求的长度．（结果精确到个位，参考数据：，，）
16．【问题提出】
已知正方形和正方形共顶点A，把正方形绕点A顺时针旋转一定的度数，连接，探究的长．
【问题探究】
（1）如图（1），若正方形的边落在正方形的边上时，当时，_________；
（2）如图（2），当，正方形的边的中点刚好落在点D时，求的长．
（3）阅读材料并解决问题：
在中，设其中一个锐角度数为，
则，
，
，根据勾股定理：在中：，
请运用以上材料的结论，完成以下探究：
一般情形，如图（3），当旋转度数为，请你用含有a，b，m的式子直接表示出的长．
【拓展应用】
（4）如图（4），已知长方形和长方形全等，把长方形绕点A顺时针旋转，当所在的直线恰好过的中点O时，当时，请直接写出的长．
17．【综合与实践】
【阅读材料】在数学世界里，黄金分割宛如璀璨明珠，符合黄金分割比例的事物更具有比例性、艺术性与和谐性．
素材1：若一个点将线段分成两段，较短一段与较长一段的比等于较长一段与整个线段的比，则这个点叫做该线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割数，经计算黄金分割数为．例如在图1中，点为线段上一点，若，则点为线段的黄金分割点．从数据上可描述为：点为线段上一点，若或，则点为线段的黄金分割点．
素材2：宽与长之比为的矩形叫做黄金矩形，常被视为最美矩形．
【特例感知】
（1）母亲节到了，小军买了一双高跟鞋送给妈妈，希望妈妈穿上这双鞋后上半身与下半身的高度比或下半身与全身的高度比接近黄金分割数，呈现一种平衡、稳重的和谐美．如图2，小军妈妈的身高是，下半身长．试通过计算说明小军选择高跟鞋送给妈妈是否能够达到想要的效果（误差在范围内认为是可以的）；
（2）如图3，在黄金矩形中，长，则矩形的面积__________；
【操作探究】小军的动手能力很强，想通过折纸的方式得到黄金分割点和黄金矩形．以下是他的折叠步骤：
第一步，准备一张宽，长足够的矩形纸片，利用图4的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步，如图5，把正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平，得到，的中点，；
第三步，折出矩形的对角线，并把折到如图6中的处；
第四步，展平纸片，如图7，过点折出交于点，得到矩形．
小军得到两个结论：点为线段的黄金分割点，所得矩形是黄金矩形．
【问题解决】
（3）请你证明小军的上述结论是否正确；
（4）如图8，以为边折出正方形，延长交于点，如图9，得到矩形，请证明．
18．阅读材料，并解决问题：
【思维指引】（1）如图1等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数.
解决此题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段 转化到一个三角形中，从而求出______；
【知识迁移】（2）如图2，在中，，，E、F为上的点且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论.
【方法推广】（3）如图3，在中，，，，点P为内一点，连接，直接写出的最小值.
19．请阅读材料，并完成相应的任务．战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．
定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中即为弦切角．
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．
下面是弦切角定理的证明过程：
①如图1．已知：为圆上任意一点，当弦经过圆心，且切于点时，易证：弦切角．
②如图．当点是优弧上任意一点，切于点．求证：弦切角．
证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示．
与相切于点，
▲ ，
，
是直径，
▲ （直径所对的圆周角是直角），
，
，
又 ▲ （同弧所对的圆周角相等），
．
完成下列任务：
（1）将上述证明过程补充完整；
（2）运用材料中的弦切角定理解决下列问题：
①如图3，的顶点在上，和相交于点，且是的切线，切点为，连接．若，求的长；
②如图4，，以为直径的交于点，过点作的切线，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
20．阅读理解：
（1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点定长”：
如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．
解：由题意，若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点、必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到________．
②类型二，“定角定弦”：
如图2，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值．
请将以下解题过程补充完整．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴_______，（定角）
∴点在以（定弦）为直径的上，
如图2，连接交于点，此时最小．
请完成后面的解题过程．
（2）【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为________（直接写结果）．
（3）【能力拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点的运动路径长．
21．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是．
（1）在图2中，的度数是 （直接写答案）．
参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度．
（3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值．
三、图形坐标的阅读理解
22．【阅读理解】
点在平面直角坐标系中，记点到轴的距离为，到轴的距离为，给出以下定义：若则称为点的“微距值”；若则称2为点的“微距值”；特别地，若点在坐标轴上，则点的“微距值”为．例如，点到轴的距离为，到轴的距离为，因为，所以点的“微距值”为．
【知识应用】
（1）点的“微距值”为 ；
（2）若点的“微距值”为2， 求a的值；
（3）若点在直线上，且点的“微距值”为，求点的坐标．
23．阅读下列材料：
平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离表示为，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为，变形可得：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程.例如：由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25可得它的圆心为（1，2），半径为5.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题.
（1）圆心为C（3，4），半径为2的圆的标准方程为：_　 　；
（2）若已知⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，圆心为C，请判断点A（3，﹣1）与⊙C的位置关系.
24．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点、的对称中心的坐标为．
观察应用：
（1）如图，若点、的对称中心是点A，则点A的坐标为：　 　．
（2）在（1）的基础上另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则、的坐标为：　 　、　 　．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵正方形的每个内角为90°，正三角形的每个内角为60°，
∴可以密铺．
（2）解：
正三角形、正方形、正六边形
【知识点】平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：（2）∵k，n为正整数，
∴n-2=1， 2， 4，
∴n=3， 4， 6，
∴正三角形、正方形、正六边形可以单独密铺．
故答案为：正三角形、正方形、正六边形.
【分析】（1）计算出正方形和等边三角形的内角，计算可得两块正方形和三块正三角形可以密铺解答即可；
（2）结合正多边形内角公式可得，整理可得，根据k，n为正整数求出n的值解答即可．
2．【答案】（1）解：∵，，，
，
；
（2）解：过点作于点，
设，则，
，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
，
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；算术平方根的实际应用
【解析】【分析】（1）按照“方法1”的思路，先求出周长一般的值，然后再将数据海伦公式计算出△ABC的面积即可；
（2）按照“方法2”的思路，过点A作AD⊥BC于点D，设BD=xcm，则CD=(14-x)cm，在Rt△ABD与Rt△ACD中，分别根据勾股定理表示出AD2的值，从而建立方程求出x的值，进而求出AD的长，再利用三角形面积公式求出△ABC的面积即可．
（1）解：∵，，，
，
；
（2）解：过点作于点，
设，则，
，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
，
．
3．【答案】（1）C
（2）正确
（3）证明：∵OC=OD，OP=OP，
∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL)，
∴∠COP=∠DOP，
∴OP平分∠AOB。
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】（1）解：如图所示，
连接MC，NC，由作法得MC=NC，OM=ON，OC =OC，
∴△OMC≌△ONC(SSS)，
∴∠AOC=∠BOC；
（2）由作法得OC=OD，OE=OF，因此CE= DF.
在△OCF和△ODE中，OC =OD，∠COF =∠DOE，OF =OE
∴△OCF≌△ODE(SAS)，
∴∠CEP=∠OFP，
在△CEP和△DPF中，∠CEP=∠DFP，∠CPE=∠DPF，CE= DF，
∴△CEP≌△DFP(AAS)，
∴EP=FP
在△OEP与△OFP中，OE=OF，EP= PF，OP=OP
∴△OEP≌△OFP(SSS)
∴∠EOP=∠FOP
即OP平分∠AOB.
【分析】（1）利用SSS证明出△OMC≌△ONC，即可选出答案；（2）通过三次证明三角形全等，即可选出正确选项；（3）利用HL证明出Rt△OPC≌Rt△OPD，即可得出答案。
4．【答案】（1）（1，2）；5
（2）
（3）解：由题意圆心为C(2，0)，
∴点A在⊙C内部.
【知识点】圆的相关概念；点与圆的位置关系；确定圆的条件；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1） 圆的标准方程则它的圆心是(1，2)，半径是5，
故答案为：（1，2）；5；
(2)圆心为C(3，4)，半径为2的圆的标准方程为：
故答案为： ；
【分析】(1)根据阅读材料知识解答即可；
(2)根据圆的标准方程的定义求解即可.
(3)得到圆心坐标和圆的半径，求出AC的长，可得结论.
5．【答案】（1）解：△AOB是“3倍角三角形”，
理由如下：
∵AB⊥OA，
∴∠OAB=90°，
∵∠MON=60°，
∴∠OBA=30°，
∴3×30°=90°，
∴∠OAB=3∠OBA，
∴△AOB是“3倍角三角形”
（2）解：当∠AOC=3∠OAC时，即3∠OAC=60°
∴∠OAC=20°
∴∠ACB=80°，
当∠AOC=3∠ACO时，即3∠ACO=60°
∴∠ACO=20°
∴∠ACB=160°(舍)
当∠ACO=3∠OAC时，4∠OAC=180°-60°
∴∠OAC=30°
∴∠ACO=90°
∴∠ACB=90°
综上所述：∠ACB的度数为80°或90°.
（3）解：∵∠EFC+∠BDC=180°，∠EFC+∠DFE=180°，
∴∠BDC=∠DFE，
∴BD//EF，
延长EF交BC于点G，
∵∠DEF+∠BDE=180°，∠DEF=∠B，
∴∠B+∠BDE=180°
∴DE//BC，
∴∠EDC=∠BCD，∠B=∠ADE
∵DE平分∠ADC
∴∠ADE=∠EDC
∴∠B=∠ECB，
∵△BCD是“3倍角三角形”，
当∠BDC=3∠B时，3∠B+2∠B=180°，
∴∠B=36°；
当∠B=3∠BDC时，
∴
综上所述：∠B的度数为36°或.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；分类讨论
【解析】【分析】(1)分别求出△ABC的三个内角，再由定义进行判断即可；
(2)分三种情况讨论：当∠AOC=3∠OAC时，∠ACB=80°；当∠AOC=3∠ACO时，∠ACB=160°(舍)；当∠ACO=3∠OAC时，∠ACB=90°；
(3)延长EF交BC于点G，可分别得到BD//EF，DE//BC，则有∠B=∠BCD，再分两种情况讨论：当∠BDC=3∠B时，∠B=36°；当∠B=3∠BDC时，.
6．【答案】（1）30；等角的补角相等
（2）解：∵∠AFB是△AEF的外角，
∴∠AFB= ∠EAF+∠E.
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB=∠CAD+∠D.
∵∠EAF=∠CAD， ∠E=∠D，
∴∠AFB=∠ACB=60°.
即线段AD与线段BE所在直线形成的夹角中有一个角是60°.
∵AD=BE，线段AD是线段BE的双关联线段。
（3）解：答案不唯一，例如：
作法一：
作法二：
如图，线段CD即为所求.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定；矩形的性质；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】
解：(1)设AC， BD的交点为O，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，∠ABC= 90°；
∵对角线AC与BD互为双关联线段，
∴∠AOB=60°，
∴AOB是等边三角形，
∴∠OAB= 60°，
∴∠ACB=90°-∠OAB=30°；
问题2中的依据是：等角的补角相等；
故答案为：30， 等角的补角相等；
【分析】
(1)设AC， BD的交点为O，利用矩形的性质，结合新定义概念可证明AOB是等边三角形，由等边三角形的性质利用角度的和差运算即可解答；2小问利用等角的补角相等即可完成问题2的依据，解答即可；
(2)利用三角形外角的性质可得∠AFB= ∠EAF+∠E，∠ACB=∠CAD+∠D，再用等边三角形的性质即可∠AFB=∠ACB = 60°，解答即可；
(3)作一个等边三角形解答即可.
7．【答案】解：任务1：性质探究：如图1，在中，若，则是“倍角三角形”，其中，，分别表示，，的对边．
当，时，，
则，此时，，
则，；
当，时，，
则，此时，，
则，．
性质猜想：，，之间的数量关系为．
故答案为：2；1；；
任务2：如图2，延长到点，使．
．
．
，
．
又，
．
，
即．
，
即；
任务3：∵
∴，
∵，
∴，
∴是“倍角三角形”，
，
∵，，的长度恰好是三个连续的正整数，设，
∴，，
，
解得，（不合题意，舍去），
，
的长为6．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】任务1：当，时，，则，根据含角的直角三角形特征计算即可；当，时，，则，根据等腰直角三角形的特征求解即可．
性质猜想：根据前面两个结论找出，，之间的数量关系求解即可．
任务2：根据题意先求出，再根据相似三角形的判定方法求出，最后根据相似三角形的性质求解即可.
任务3：根据等腰三角形的性质求出，再求出是“倍角三角形”，最后计算求解即可.
8．【答案】（1）
（2）
【知识点】等边三角形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
9．【答案】（1）证明（方法1）：∵BD平分
∴
在与中，
∴
∴DA=DM，
∵，
∴
∴DC=DM=DA
（2）解：BD=BA+BC。理由如下：
在BD上截取BE=BA，连接AE。
易证与为等边三角形
∵
∴
在与中，
∴
∴BC=EC
∵BD=BE+EC
∴BD=BA+BC
（3）解：BC-AB=2EC。理由如下：
过点D作的延长线于点F。
∵
∴
在与中，
∴
∴AF=EC，DF=DE
在与中，
∴
∴BF=BE
∴BA+AF=BC-EC
∵AF=EC
∴BC-AB=2EC
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用SAS判定易证，等量代换可证，故DC=DM=DA；
(2)截长补短，将BD分为BE，DE两段，其中BE=BA，然后利用SAS判定证明，从容得到BC=EC，故而可证明BD=BA+BC；
(3)首先等量代换得到，利用AAS判定证明，可知AF=EC，DF=DE，再利用HL判定证明，得到BF=BE，最后等量代换得出BC-AB=2EC。
10．【答案】（1）
（2）解：仍成立，理由：
如图2，延长到点G，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）270
【知识点】三角形全等的判定-SAS；半角模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【证明】（1）解：如图1，延长到G，使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（3）解：连接，延长交于点C，如图，
∵，
∴，
∵，
∴四边形中：且，
∴四边形符合探索延伸中的条件，
∴结论成立，
即（海里），
答：此时两舰艇之间的距离是270海里．
【分析】（1）延长到G，使，连接，证明，即可得到，然后再得到，根据对应边相等即可得到结论；
（2）仿照（1）的方法证明即可；
（3）连接，延长交于点C，利用已知条件得到四边形中，且，符合探索延伸得到，解答即可．
11．【答案】（1）解：点P是△ABC的费马点
，
，
，
，
，
，
，
，
.
（2）解：如图，作，连接，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点P为△ABC的费马点.
（3）解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接NP，BD，
，
，
当点M、N、P、E在同一直线上时，有最小值，
此时，
设，
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值是，
，
，
的半径为.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；费马点模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由费马点的定义可得，，进而证得，再利用相似三角形的性质得到，即可求得PB的长度.
(2)由等边三角形的性质可得，，进而通过SAS判定得到，再通过三角形的内角和定理得到，利用全等三角形的性质可得，由角平分线的性质可得，即可求得，故点P为△ABC的费马点.
(3)将绕点A逆时针旋转得到，易证是等边三角形，故当点M、N、P、E在同一直线上时，有最小值，此时，利用圆周角定理可得，设，，由直角三角形的性质可得，进而解得x的值，即可求得的半径.
12．【答案】（1）D
（2）解： 如图，延长至点，使得，连接，则的长度为牧童需要走的最短路程．
过点作，与的延长线交于点，
则．
在中，米，米．
（米）．
（3）解：如图，设线段，作，取，，
的值可看作的值．
当三点共线时，的值最小，
即的最小值为的长．
作于点，
∴
则，
，
的最小值为10．
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】
（1）
解：选：D，
理由：如图，作点关于直线的对应点，连接交直线于点，则点就是所要求作点．在直线在任取另一点，连接，
由轴对称的性质可得：，
，，
在中，，
，
故选：D．
【分析】
（1）先利用轴对称的性质作点A关于直线L的对称点A`，则CA＝CA`，则CA+CB转化为CA`+CB，显然两点之间线段最短，即连接A`B，则线段A`B的长度即最短距离；
（2）利用将军饮马模型作点A关于直线L的对称点A`，再连接A`B，再过点A`作直线L的平行线A`P，再过点B作直线A`P的垂线交A`P于点P，再利用勾股定理求出A`B的长度即可；
（3）由于16和4分别是4和2的平方，a与br的和为定值，则可作线段DE＝8，再分别过D、E在线段两侧作DE的垂线段DA和BE，使AD＝2，BE＝4，再在DE任取一点M，则由勾股定理可得，显然当A、M、B三点共线时AM+BM最小，即AM+BM＝AB，再利用勾股定理求出AB的长即可．
（1）解：选：D，
理由：如图，作点关于直线的对应点，连接交直线于点，则点就是所要求作点．在直线在任取另一点，连接，
由轴对称的性质可得：，
，，
在中，，
，
故选：D．
（2）如图，延长至点，使得，连接，则的长度为牧童需要走的最短路程．
过点作，与的延长线交于点，
则．
在中，米，米．
（米）．
（3）如图，设线段，
作，取，，
的值可看作的值．
当三点共线时，的值最小，
即的最小值为的长．
作于点，
∴
则，
，
的最小值为10．
13．【答案】（1）证明：∵AB=BC，∠B=90°，∴∠A=∠ACB=45°.
如图①，过点 E 作 EG∥BF，交 AC于点G，
则∠DGE=∠DCF，∠AEG=∠B=90°.
∴△AEG是等腰直角三角形，则AE=GE.
∵AE=CF，∴GE=CF.
又∵∠GDE=∠CDF，
∴△DGE≌△DCF.
∴DE=DF.∴D是EF 的中点
（2）解：如图②，过点 E 作EG∥BF，交AC于点G，则△AEG∽△ABC，
∴AE=2EG.
∵AE=2CF，∴EG=CF.
∵EG∥BF，
∴∠DGE=∠DCF，∠AEG=∠B=90°.
又∵∠GDE=∠CDF，
∴△DGE≌△DCF(AAS).
∴CD=DG.
∵AE=2EG，
（3）；
【知识点】弧长的计算；等腰直角三角形；截长补短构造全等模型；A字型相似模型；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】（3）
∵AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，
∴∠ACB=90°，
过点E作EG∥BF，则△AEG∽△ABC，
∴
∵，
∴EG=CF，
∵EG∥BF，
∴∠AGE=∠ACB=90°，
∴∠DGE=∠DCF=90°，
又∵∠GDE=∠CDF，
∴△DGE≌△DCF（AAS），
∴CD=DG，
过点D作DM∥BF，则，∠ADM=90°，
∴EM=BM，
∵AB=8，AE=2，
∴BE=6，则EM=BM==3，
∴AM=AE+EM=5，
∴点D在以AM为直径的半圆上运动，
∴D运动的路径长为：
过点F作FH∥AC，则
∵
∴AE=AH=2，
∴BH=AH+AB=10，
∴点F在以BH为直径的半圆上运动，
则CF扫过的面积为以BH为直径的半圆与以AB为直径的半圆的面积之差，
即：CF扫过的面积为
【分析】(1) 过点E作EG∥BF，证△DGE≌△DCF，即可得点D是EF的中点.
(2) 过点E作EG∥BF，可证△AEG∽△ABC，得，再证△DGE≌△DCF，得CD=DG ，由平行线平分线段成比例，得 由AE=2EG，得AG=5EG ，AGAE=52，AGAE=2CDBE=52，从而可得CD=54BE.
（3）由题意可得∠ACB=90°，过点E作EG∥BF，则△AEG∽△ABC，可 进而可得EG=CF，易证△DGE≌△DCF，可知CD=DG，过点D作DM∥BF，则， ∠ADM=90°，易知点D在以AM为直径的半圆上运动，可求得D运动的路径长度，过点F作FH∥AC，则 易知点F在以BH为直径的半圆上运动，可知CF扫过的面积为以BH为直径的半圆与以AB为直径的半圆的面积之差，即可求得答案.
14．【答案】（1）
（2）在线段取一点，使得，如图2所示：
，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
（），
，
，
是等腰直角三角形，
；
（3）作于，则是的中点，连接，，如图3所示：
，
、、、和、、、分别四点共圆，
，，
是等边三角形，
，
作，则为的中点，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形；三角形全等的判定-ASA；截长补短构造全等模型
【解析】【解答】
解：（1），
四点共圆，
．
故答案为：；
【分析】
本题考查了四点共圆的判定定理，四点共圆的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形、等边三角形的判定与性质，勾股定理、三角函数的应用，以及辅助线构造的几何思想.
（1）根据题目给出的等角条件，直接判定A，B，C，D四点共圆，再利用圆周角相等的性质，结合三角形内角和求出目标角；
（2）通过“截长补短”构造，创造出的等量条件，再通过角度计算证明、，用ASA证明，进而得到AD=DE，结合等腰直角三角形的边长关系求出AE；
（3）作于，利用等边三角形三线合一得到是的中点，再通过四个直角判定两组四点共圆，利用圆周角性质得到等角，证明是等边三角形，再作，用勾股定理求出，最后结合三角函数求出EF的长度.
（1）解：，
四点共圆，
．
故答案为：
（2）在线段取一点，使得，如图2所示：
，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
（），
，
，
是等腰直角三角形，
；
（3）作于，则是的中点，连接，，如图3所示：
，
、、、和、、、分别四点共圆，
，，
是等边三角形，
，
作，则为的中点，
，
，
，
．
15．【答案】解：过点N作NH⊥MM'于点H，
∴∠NHM=90°，∠CMH=α
∴∠NMH+∠MNH=90°
∵，
∴∠CMN=90°，
∴∠CMH+∠NMH=90°
∴∠MNH=∠MNH=α
∴在Rt△MHN中，
∴；
答：HN的长度为mcosα；
（2）作N'D∥MN交MM'于点D，
∵，
∴∠N'M'D=α，DN'⊥M'N'，
∴在Rt△DM'N'中，
∴，，
∴OD=OM'-DM'=27-8=19，
∵N'D∥MN，
∴△DON'∽△MON，
∴，
∴MN=7DN'=7×7=49.
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定；解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造直角三角形是解题关键；
（1） 过点N作NH⊥MM'于点H，根据对顶角相等可知：∠CMH=α，再根据垂直的定义可知：∠NHM=90°，∠CMN=90°，再根据角的和差运算可知：∠NMH+∠MNH=90°，∠CMH+∠NMH=90°，根据同角的余角相等可知：∠MNH=∠MNH=α，再根据锐角三角函数的定义可知：在Rt△MHN中，，化简得：；由此可得出答案；
（2） 作N'D∥MN交MM'于点D，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠N'M'D=α，再根据锐角三角函数的定义可知：在Rt△DM'N'中，，化简得：，，再根据线段的和差运算可知：OD=OM'-DM'=19，根据相似三角形的判定定理可得：△DON'∽△MON，最后根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例可知：，化简得：MN=7DN'=49，由此可得出答案．
16．【答案】（1）13；
（2）解：如图，过点作于点，交于点，
在正方形中，，
，
在正方形中，，
四边形是平行四边形，
，
点是的中点，，
，
在中，，
，
，
，
，即，
，
，，
在中，，
；
（3）；
（4）
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的判定；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）在正方形和正方形中，，
，
故答案为：13；
（3）过点作于点，交于点，则，
在正方形中，，
在正方形中，，，
在中，，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
（4）过点作于，
四边形和四边形是全等的矩形，，
，
，
，
，
在中，，
，
过点作，交的延长每于点，则，
在中，，，
，
在中，
【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2） 过点作于点，交于点，根据正方形性质可得， 再根据平行四边形判定定理可得 四边形是平行四边形， 则， ，再根据线段中点可得， 再根据勾股定理可得，根据相似三角形判定定理可得， 则， 代值计算可得AI，IB，再根据勾股定理可得IH，根据边之间的关系可得GI，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）过点作于点，交于点，则，则 ，根据正方形性质可得，，， 根据正弦，余弦定义可得GK，FK，KI，AI，再根据边之间的关系可得GI，IB，再根据勾股定理即可求出答案.
（4）过点作于，根据全等四边形可得， ，再根据全等三角形判定定理可得， 则， 根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得， 再根据边之间的关系可得∠GAB， 过点作，交的延长每于点，则， 解直角三角形可得GN，AN，再根据边之间的关系可得BN，再根据勾股定理即可求出答案.
17．【答案】解：（1）（1）如图，
∵小军妈妈的身高是，下半身长．小军选择高跟鞋，
∴，，
∴，，
∵误差在范围内符合题意，
∴选择范围为：，
∴小军选择高跟鞋送给妈妈能够达到想要的效果；
（2）；
（3）小军的结论正确，理由如下：
∵由对折可得：四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
由对折可得：，，
∴，，
∴，
∴矩形为黄金矩形；
（4）∵正方形，，
∴正方形的面积为，
∵矩形，，
∴，
∴矩形的面积为，
∴．
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；黄金分割
【解析】【解答】解：（2）∵在黄金矩形中，长，
∴，
∴，
∴矩形的面积为；
故答案为：；
【分析】（1）如图，计算，，结合选择范围为：，则小军选择高跟鞋送给妈妈能够达到想要的效果；
（2）由对折可得：四边形是正方形，则，，，根据折叠的性质和勾股定理可得由，则矩形为黄金矩形；
（3）根据折叠的性质可证，可得，根据勾股定理可得，根据折叠性质可得，，则，即矩形为黄金矩形；
（4）正方形的边长，则其面积为，矩形，，，则其面积为，则．
18．【答案】（1）等边；150；
（2），理由如下：
如图2，把绕点A逆时针旋转得到，
由旋转的性质得，，，，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
由勾股定理得，，
即；
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1），
，，，
依题意得旋转角，
为等边三角形，
，，
，
为直角三角形，且，
；
故答案为：等边；150；
（3）如图，在内部任取一点P，连接，，，
将绕点B顺时针旋转得到，
由旋转的性质得：，
，
，
，
当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长，
如图，过点A作垂线交延长线于点D，
，
，
，，
又，
，
．
【分析】（1）根据全等三角形性质可得，，，根据旋转性质可得，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转性质可得，，，，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定可得，则，根据等腰直角三角形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案；
（3）在内部任取一点P，连接，，，将绕点B顺时针旋转得到，由旋转的性质得：，根据等腰直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得，当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长，过点A作垂线交延长线于点D，根据含30°角的直角三角形性质可得BD，根据勾股定理可得AD，再根据边之间的关系可得C'D，再根据勾股定理即可求出答案.
19．【答案】（1）；；
（2）解：①如图，
是的切线，切点为，
，
又，
，
，
∵AD=2，CD=6，
∴AC=8，
，
∴；
②，理由如下：
连接，如图所示，
是直径，
，，
又，
是的角平分线，
∴∠BAC=2∠BAE，
又是的切线，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1） 证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示：
是的半径，与相切于点，
，
，
是直径，
（直径所对的圆周角是直角），
，
，
又（同弧所对的圆周角相等），
．
故答案为：；；，
【分析】（1）根据切线的性质可证得， 再由圆周角定理的推论可证得， 最后由圆周角定理的推论得，即可得结论.
（2）①由弦切角定理，可得，进而可证明，由相似三角形的对应边成比例，即可求的长，
②连接，由是直径，可得，由等腰三角形三线合一的性质，可得是的角平分线，再结合弦切角定理，即可求解.
（1）解：如图2
是的半径，与相切于点，
，
（直径所对的圆周角是直角），
，
，
又（同弧所对的圆周角相等），
．
故答案为：；；，
（2）解：①如图，
是的切线，切点为，
，
又，
，
，即：，
，解得：；
②如图，连接，
是直径，
，，
又，
是的角平分线，即：，
又是的切线，
，
．
20．【答案】解：（1）①28；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，（定角）
∴点在以（定弦）为直径的上，
如图2，连接交于点，此时最小．
∵的直径，
∴，
在中，，
∴线段长的最小值为．
（2）4；
（3）如图4，连接，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在点的运动过程中，始终有，
又∵点从点开始运动到点时，点也随之运动，
∴点的运动路径是在以为直径的圆的上，
如图4，取的中点，连接，
∴，，
∴点的运动路径长为．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；圆周角定理；弧长的计算；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）①∵，，
∴如图1，以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点、必在上，
∵是所对的圆心角，而是所对的圆周角，且，
∴，
故答案为：28．
（2）如图3，连接，
∵在矩形中，，，
∴，
∵点与点关于直线的对称，
∴，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点在线段上时，的值最小，最小值为，
故答案为：4．
【分析】）（1）①以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点、必在上，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
②根据角之间的关系可得，则点在以（定弦）为直径的上，连接交于点，此时最小，再根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）连接，根据勾股定理可得AC，再根据对称性质可得，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点在线段上时，的值最小，最小值为，即可求出答案.
（3）连接，交于点，根据正方形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，则在点的运动过程中，始终有，点的运动路径是在以为直径的圆的上，取的中点，连接，根据弧长公式即可求出答案.
21．【答案】（1）；
解：如下图所示，过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，
，，，，
直角梯形中，（），，，
，
四边形是正方形，，，
点与重合，、、三点共线，
，
由可知，
在和中，，
（），
，
，
，
，，
，
在中，，
，
解得：；
（3）当时，线段有最大值，最大值为．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：将绕点顺时针旋转得到，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
；
故答案为：；
当时，线段有最大值，
如下图所示，将绕点逆时针旋转得线段，连接、，
是等腰直角三角形，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，即，
在和中，，
，
，
当有最大值时，有最大值，
，，
当、、三点共线时，有最大值，
最大值为，
，
此时，
当时，线段有最大值，最大值为．
【分析】（1）根据旋转性质可得，，再根据正方形性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，根据旋转性质可得，，，，根据正方形判定定理可得四边形是正方形，，，则点与重合，、、三点共线， 再根据全等三角形判定定理可得（），则，根据边之间的关系可得CE，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）将绕点逆时针旋转得线段，连接、，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，，根据勾股定理可得CF，再根据正方形性质可得，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，当有最大值时，有最大值，再根据边之间的关系即可求出答案.
22．【答案】（1）2
（2）解：点到轴的距离，
∵点的“微距值”为，且，
∴点到轴的距离．
∴或．
（3）解：设点的坐标为，
∵点在直线上，
∴．
情况一：当时 此时，即．
当时，代入，得，
移项可得，即，
解得，
此时，
∵，
∴不满足，舍去．
当时，代入，得，
移项可得，即，解得，
此时，∵，满足，
∴点坐标为．
情况二：当时 此时，即．
当时，代入，
得，此时，
∵，不满足，
∴舍去．
当时，代入，
得，此时，
∵，满足，
∴点坐标为．
综上，点的坐标为或．
【知识点】点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：点到轴的距离，到轴的距离．
∵，即，
∴点的“微距值”为
故答案为：2．
【分析】（1）根据“微距值”的定义，先求出点到轴和轴的距离，再比较大小确定“微距值”．点到轴的距离，到轴的距离，比较与大小．
（2）由点的“微距值”为，点到轴的距离，“微距值”为，根据定义可知且，进而求解的值．
（3）设点的坐标为，由点在直线上，得．点的“微距值”为，分两种情况讨论：一是当时，；二是当时，，分别求解和的值确定点坐标．
（1）解：点到轴的距离，到轴的距离．
∵，即，
∴点的“微距值”为
故答案为：2．
（2）解：点到轴的距离，
∵点的“微距值”为，且，
∴点到轴的距离．
∴或．
（3）解：设点的坐标为，
∵点在直线上，
∴．
情况一：当时 此时，即．
当时，代入，得，
移项可得，即，
解得，
此时，
∵，
∴不满足，舍去．
当时，代入，得，
移项可得，即，解得，
此时，∵，满足，
∴点坐标为．
情况二：当时 此时，即．
当时，代入，
得，此时，
∵，不满足，
∴舍去．
当时，代入，
得，此时，
∵，满足，
∴点坐标为．
综上，点的坐标为或．
23．【答案】（1）
（2）解：∵⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，
∴圆心坐标为C（2，0），
∵点A（3，﹣1），AC=
∴点A在⊙C的内部.
【知识点】点与圆的位置关系；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）设圆上任意一点的坐标为（x，y），
∴，
故答案为：；
【分析】（1）设圆上任意一点的坐标为（x，y），然后根据题意可得标准方程；
（2）根据⊙C的标准方程可得圆心坐标为C（2，0），利用两点间距离公式求出AC，据此判断.
24．【答案】（1）
（2）；
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：点A的坐标为：，
∴A（1，1），
故答案为：（1，1）；
（2）由题可得：P1（0，-1）→P2（2，3）→P3（-4，1）→P4（2，-1）→P5（0，3）→P6（-2，1）→P7（0，-1）→P8（2，3），
故答案为：P4（2，-1）；P8（2，3）.
【分析】（1）根据任意两点、的对称中心的坐标为，计算求解即可；
（2）结合题意，利用点的坐标和公式计算求解即可。
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