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2026年高考数学复习专题 ★★题号猜押 11 全国卷高考数学第 17 题（解答题）
溯源
年份 卷别 原题号 考点 具体内容
2025 Ⅰ卷 T17 立体几何 四棱锥、面面垂直证明、球面上点共面、异面直线所成角
2025 Ⅱ卷 T17 立体几何 翻折问题、线面垂直证明、二面角正弦值
2024 Ⅰ卷 T17 立体几何 四棱锥、线面平行证明、二面角求参
2024 Ⅱ卷 T17 立体几何 翻折问题、线线垂直证明、二面角正弦值
2023 Ⅰ卷 T19 函数与导数 函数单调性讨论、不等式证明
2023 Ⅱ卷 T19 概率统计 频率分布直方图、分段函数最值
2022 Ⅰ卷 T19 立体几何 直三棱柱、点到平面距离、二面角正弦值
2022 Ⅱ卷 T19 概率统计 频率分布直方图、条件概率
2021 Ⅰ卷 T19 解三角形 正弦定理、边角互化、余弦定理求角
2021 Ⅱ卷 T19 立体几何 四棱锥、面面垂直证明、二面角余弦值
近 5 年解答题第三题（等价 T17）考点分布呈现明显特征。立体几何占据绝对主导地位，10 套试卷中出现 6 次（2025Ⅰ、Ⅱ卷，2024Ⅰ、Ⅱ卷，2022Ⅰ卷，2021Ⅱ卷），考查形式高度稳定：第（1）问证明线面平行、线面 垂直或面面垂直，第（2）问建立空间直角坐标系求二面角、线面角或点到平面距离。概率统计出现 2 次
（2023Ⅱ卷、2022Ⅱ卷），函数与导数出现 1 次（2023Ⅰ卷），解三角形出现 1 次（2021Ⅰ卷）。2024、2025 年连续四次（含Ⅰ、Ⅱ卷）该位置均为立体几何，表明立体几何已成为该位置的固定考点，其他模块偶有轮 换但概率较低。
预测
2026 年 T17 极大概率仍为立体几何，延续“证明+计算”的双问结构。第（1）问考查垂直关系的证明（线面 垂直或面面垂直）概率较高，平行证明作为备选；第（2）问以向量法求二面角的正弦值或余弦值为主，线 面角、点到平面距离作为备选。图形载体可能为棱锥（特别是四棱锥、三棱锥）或棱柱，底面可能涉及正 方形、菱形、等腰三角形等特殊图形。翻折问题（2024Ⅱ卷、2025Ⅱ卷）成为近年热点，需重点关注。 备考核心 主攻立体几何证明，熟练掌握线面垂直的判定（线与平面内两条相交直线垂直）、面面垂直的判定（一个
平面内的一条直线垂直于另一个平面），注意辅助线的添加技巧；强化向量法建系，能根据图形特征合理 建立空间直角坐标系（以垂直关系为轴），准确写出各点坐标，熟练计算平面法向量（待定系数法）；掌 握二面角的向量求法（注意锐角判断），理解线面角的向量公式；关注翻折问题，理解翻折前后几何元素 的位置关系变化，能找出翻折过程中的不变量与变量。规范书写，先证垂直关系再建系，法向量求解过程 可简写，结论明确。限时训练，每道题控制在 12~15 分钟。
考点 1 立体几何
1．（2026·浙江宁波·二模）如图，四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD ， AB BC ， AD / / 平面 PBC ，
PA 1 ， AC 2 ．
(1)证明： AD PB ；
(2)若点 B 到平面 ACP 的距离为 1，求平面 ACP 与平面 BCP 夹角的余弦值．
2．（2026·河南南阳·一模）已知三棱锥 P ABC 中，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，且 PB AC ，
PA = PB = 2 2 ， E ， F 分别为棱 PB ， PC 的中点．
(1)求证： PA BC ；
(2)求平面 AEF 与平面 ABC 的夹角的正弦值．
3．（2026·湖北黄冈·一模）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，AB 2 ， ABC 60 ，AC / /
平面 BGH ，点G ， H 分别在棱 PA ， PC 上，且 GH PD ．
(1)求证： PA PC ；
(2)若 PB PD ， PB 与平面 PAC 所成的角为 60°，点 A 关于平面 PCD 的对称点为 M ，求点 M 到平面 PAB 的 距离．
4．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在直三棱柱 ABC A1 B1C1 中 AB 2 ， AC BC
5 ， D ， E ， F 分别是
棱CC1 ， AB ， B1C1 的中点．
(1)求证： EF / / 平面 ACC1 A1 ；
(2)若平面 DEF 与平面 ACC1 A1 夹角的余弦值为
11 205
205
，求 AA1 的长．
5．（2026·山东济宁·一模）如图，在三棱柱 ABC A1 B1C1 中，平面 ABB1 A1 平面
ABC, AB AB1 , BAC 120 ， AB AB1 4, D 为 A1 B1 的中点， E 为CC1 的中点.
(1)求证： DE ∥平面 AB1C ；
(2)若三棱柱 ABC A1 B1C1 的体积为8 3 ，求 AE 与平面 BCC1 B1 所成角的正弦值.
6．（2026·江苏·一模）如图，已知VPAB 是圆锥 PO 的轴截面， PA 3 ， AB 2 .
(1)求圆锥 PO 的外接球的表面积；
(2)若C 为弧 AB 的中点，求二面角C PA B 的正切值.
7．（2026·广东深圳·一模）已知球O 的半径为 1，在球O 的内接八面体 PABCDQ 中，顶点 P ，Q 分别在平 面 ABCD 两侧，且四棱锥 P ABCD 与Q ABCD 都是正四棱锥.
(1)如图 1，若点O 在平面 ABCD 上，求证： PA// 平面 QBC ；
(2)如图 2，若二面角 P AB Q 的正切值为 3 ，求该内接八面体的体积.
8．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， E ， F 分别为 CD，PA
的中点.
(1)证明： EF / / 平面 PBC；
(2)若平面 PAB 平面 ABCD， PA PB ， AB 2 ， BAD 60 ，平面 PAE 与平面 PAB 夹角的余弦值为
4 31 ，求点 F 到平面 PBC 的距离.
31
9．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD ，AB 12 ，AD BC 5 ，CD 4 ，DE ^AB
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于点 E ，CF AB 于点 F ，将VADE 沿 DE 翻折，将VBCF 沿CF 翻折，使得点 A、B 重合为点 P .
(1)证明：平面 PEF 平面 DCFE ； (2)求四棱锥 P DCFE 外接球的表面积； (3)求平面 PDC 与平面 PFC 夹角的余弦值.
10．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在正四棱台 ABCD A1B1C1D1 中， E 为 BB1 的中点，
DD1 DA 2D1C1 .
(1)证明： AA1 BD ；
V1
(
V
)(2)平面 A1 EC1 把四棱台 ABCD A1B1C1D1 分成两部分，体积分别是V1 和V2 V1 V2 ，求 的值；
2
(3)求平面 A1 EC1 与平面 EAC 夹角的余弦值.
11．（2026·河南许昌·模拟预测）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，平面 PAB 平面
ABCD ，VPAB 是边长为 2 的等边三角形， E 为侧棱 PB 的中点， F 为线段 BC 上一点.
(1)证明：平面 AEF 平面 PBC ；
(2)若 EF // 平面 PCD ，求直线 PF 与平面 PAD 所成角的正弦值；
(3)设点G 为三棱锥 E ABF 的外接球的球心，试判断三棱锥G PAD 的体积是否为定值？若是，求出该定 值；若不是，请说明理由.
12．（2026·湖北宜昌·二模）如图 1，在边长为 2 的正方形 ABCD 中， E 、 F 分别为线段 BC 、 AD 的中点， 现将四边形CDFE 折起至 MNFE ，得到三棱柱 AFN BEM ，如图 2 所示，记二面角 M EF A 的平面角为q．
π
(1)若q 时，求三棱柱 AFN BEM 的体积；
2
(2)若 P 为线段 EF 上一点，满足 AP BP ，求直线 AP 与平面 NBE 所成角的正弦值的取值范围．
1．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图所示，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，E 为 BB1 的中点，AB BE 1 ．
(1)求点 B1 到平面 A1 EC1 的距离；
(2)求二面角 A EC1 A1 的正弦值．
2．（2026·河北唐山·一模）如图，在三棱锥 P ABC 中， BC PB PC 2 ， BC AP ，D 是 BC 的中点.
(1)证明：平面 ABC 平面 APD ；
(2)若 AD 1 ，三棱锥 P ABC 的体积为 3 ，求直线 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值.
3
3．（2026·山东青岛·一模）如图，在菱形 ABCD 中， A 60 ， AB 2 ， E 为 AB 的中点，将VADE 沿 DE
翻折至V A DE ，得到四棱锥 A BCDE .
(1)证明：平面 A BE 平面 BCDE ；
(2)当二面角 A DE C 为 120°时，求CA 和平面 A DE 所成角的正弦值.
4．（2026·河北邯郸·一模）如图，在三棱台 ABC DEF 中， AD 平面 DEF ， DE DF ， AB 2 ， AD 4 ，
DE DF 8 ，G 是棱CF 上一点（不含端点）．
(1)若G 为CF 的中点，求直线 EG 与平面 BCD 所成角的正弦值．
CG
(2)是否存在点G ，使得 BD ⊥ EG ？若存在，求出
GF
的值；若不存在，说明理由．
5．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）如图，在三棱锥 P ABC 中，平面 PBC 平面 ABC ，
CP CA CB 2, PB 2 2 ．
(1)证明：平面 PAC 平面 ABC ；
(2)已知平行于 AC, PB 的平面将三棱锥 P ABC 截为两部分，求截面面积的最大值；
(3)若二面角 B AP C 的大小为 45 ，求 ACB 的余弦值．
6．（2026·河北张家口·一模）如图，已知斜三棱柱 ABC A1 B1C1 中， AB BC ， AB BC ，
BB1 A1 BB1C1 60 ，点 D 为 A1C1 的中点．
(1)证明：平面 BB1 D 平面 AA1C1C ；
(2)若 BD B1 D
2 ，点 M 为CC1 的中点，求点 A 到平面 A1 BM 的距离．
7．（2026·陕西榆林·一模）如图，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 内接于圆柱OO1 ，且底面为矩形，B 是圆柱OO1
底面圆 O 的圆周上一动点，AC 是圆 O 的直径，且 AC AA1 ，E 是 AB 的中点，Q 是 BB1 的中点．
(1)证明：O1 E / / 平面 ADD1 A1 ；
(2)设 COB q，求平面 AQC1 与平面 ABC 的夹角的正弦值.（用q表示）
8．（2026·江苏·一模）把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中 AB AC 3， BAC BCD 90o ，
CBD 30o ．将VABC 沿 BC 翻折至△PBC ，使得二面角 P BC D 为直二面角．
(1)证明： PB 平面 PCD ；
(2)若 P, B, C, D 在同一个球面上，求该球的半径；
(3)求平面 PBD 与平面 BCD 所成角的余弦值．
9．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是梯形， AD//BC ， 侧面 ABB1 A1 为菱形， DAB DAA1 ．
(1)求证： A1 B A D ；
(2)若 AD AB 2BC ， A1 AB 60 ，点 D 在平面 ABB1 A1 上的射影恰为线段 A1 B 的中点，求 AB1 与平面
DCC1 D1 所成角的正弦值．
10．（2026·贵州黔东南·模拟预测）如图，在三棱柱 ABC A1 B1C1 中，平面 ACC1 A1 平面 ABC ，四边形 ACC1 A1
是矩形， AB AC 2 ， BC AA1 2 2 .
(1)证明： AA1 平面 ABC .
(2)求平面 ABC 与平面 A1 BC1 夹角的余弦值.
(
2
2
)(3)在线段 BC1 上是否存在点 D，使得直线 AD 与平面 A1 BC1 所成角的正弦值为
3
若不存在，请说明理由.
？若存在，求出
BD C1 D
的值；
11．（2026·山西朔州·一模）如图，线段 BC, DE 的中点都是O, AO BC, AO DE .
(
O
C

O
E

O
E
)(1)若 uuur uuur uuur2 ，证明：平面 ABD 平面 ADE ；
(2)若 BC 14, DE 10, AO 7, BD BO ，且点 B 到平面 ADE 的距离为 21 ，求直线 AE 与平面 ABD 所成角的
5
正弦值.
12．（2026·浙江·模拟预测）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PA 底面 ABCD ，
PA AB ， E 为线段 PB 中点， F 为线段 BC 上的动点．
(1)证明：平面 AEF 平面 PBC ；
(2)设直线 AF 与平面 PBC 所成角为q，求sinq的取值范围．
13．（2026·山东东营·一模）如图，在三棱锥 P ABC 中，平面 PAB ⊥平面 ABC ，AB AC AP 2，BP 2 2 ，
BAC 2p
3
E, F , G 分别为棱 PA, PB, PC 上的点.
(1)若 EF ∥ AB ， FG ∥ BC ，证明: EG ∥ AC ；
(2)若 E, F 分别为棱 PA, PB 的中点，在棱 PC 上是否存在点 G，使得平面 EFG 与平面 ABC 所成角为 π 若存
6
在，求 PG 的值；若不存在，请说明理由.
PC
14．（2026·浙江·模拟预测）如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 EFDC 为正方形，AD 平面 EFDC ，AB / /CD ， 且 AB AD 2 ，CD 4 ， P 为棱 BC 上的点.
(1)证明：平面 FDB 平面 BCE ；
(2)若平面 FAP 与平面 FBD 的夹角的余弦值为 42 ，求线段 BP 的长.
14
15．（2026·湖南·模拟预测）如图，在三棱锥 A BCD 中， AB BC BD, CBA CBD ．
(1)证明： BC AD ；
(2)若VABC 和△DBC 所在平面垂直，且平面 ABD 与平面 BCD 所成角的余弦值为 5 ，求 CBA ．
5
16．（25-26 高三下·河南驻马店·开学考试）如图，在圆台O1O2 中，下底面圆O2 的直径 AB 2 2 ，点 C 在 圆O2 上，且 AC BC ，上底面圆O1 的半径O1 P 1 ，且平面 ACP 平面 ABC ．
(1)证明： PO1 ∥ BC ．
(2)若圆台O1O2 的高为 2，求平面 APO1 与平面 PBC 所成二面角的正弦值．
17．（2026·江西·一模）如图，在四棱锥 E ABCD 中，底面是直角梯形 ABCD, AB ∥ DC ，
ADC 90o , AB 2, CD 1, AD
(1)求证： BC AE ；
3, AE
6,VBCE 为正三角形，且平面 BCE 平面 ABCD ．
(2)求直线 AB 和平面 ADE 所成角的正弦值；
(3)设点 P 是三棱锥 E ABC 外接球上一点，求点 P 到平面 ADE 距离的最大值．
18．（2026·广东广州·模拟预测）如图，四棱锥 P ABCD 中， PD 平面 ABCD, AB //CD ，
BC CD, PD BC CD 2, AB 4, M 为棱 PC 上一点， N 为 PA 中点．
(1)若 DM PC ，证明： MN / / 平面 ABCD ；
(2)证明： AD 平面 PBD ；
(3)若直线 BN 与平面 MAD 所成角的正弦值为 5 33 ，求 PM ．
33 PC
19．（2026·江苏镇江·一模）如图，在多面体 ABCDPQ 中，底面 ABCD 是平行四边形， DAB 60 ，
BC 2PQ 4 ， AB 1， M 为 BC 的中点， PQ / / BC ， PD DC ，QB MD .
(1)证明：CD 平面 PDM ；
(2)若 PM 3 3 ，求平面 PCD 与平面QAB 夹角的余弦值.
20．（25-26 高三下·河南·开学考试）如图，在VABC 中， AB
5 ， AC 2
2 ， D 为线段 AC 上一点，
AD 2 ，BD
5 ，过点 D 作 DE ^AC ，交 BC 于点 E ，将VCDE 沿 DE 翻折至△ PDE 的位置，使得 AP 2 ．
(1)证明： AP ^平面 PDE ；
(2)在线段 DE 上是否存在点 M ，使得平面 PBD 与平面 PBM 的夹角的余弦值为 7 6 ？若存在，求出 DM 的
值；若不存在，请说明理由．
18 DE

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