资源简介

广西玉林市九校2025-2026学年高一下学期期中质量监测数学试卷
一、单选题
1．复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
2．若直线在平面内，则符号表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列关于平面向量的说法正确的是（ ）
A．若是共线的单位向量，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．已知某平面图形的直观图是如图所示的梯形，且，则原图形OABC的面积为（ ）

A． B． C．12 D．10
5．已知直线，与平面，其中，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知向量，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ）
A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
8．已知的内角，，所对的边分别为，，，，，，若，（），若与相交于点，则当取最小值时，（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知为虚数单位，复数，，则（ ）
A．的共轭复数为 B．
C．为实数 D．的虚部为-5
10．已知向量，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或3 D．若，则与的夹角为
11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（ ）
A． B．外接圆的面积为
C．面积的最大值为 D．周长的最大值为
三、填空题
12．已知向量，则__________.
13．圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小为原来的，则其体积是原来的____倍.
14．已知菱形ABCD的边长为1，，将沿AC翻折，当三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为______.
四、解答题
15．平面内给定两个向量，.
(1)求的坐标；
(2)若，且、、三点共线，求的值.
16．如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等．
(1)求圆柱的底面半径；
(2)求三棱柱的体积．
17．某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得大楼楼顶的仰角为75°.
(1)求两点间的距离；
(2)求大楼的高度.
18．在中，内角的对边分别为，且，.
(1)求的大小；
(2)若，求的面积；
(3)求的最大值.
19．三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当内一点P满足条件时，则称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为．
(1)求证：；
(2)若，是否存在常数，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
(3)若，试判断的形状．
参考答案
1．C
【详解】复数的虚部为.
故选：C.
2．A
【详解】对于A：直线在平面内是两个集合间的包含关系，符号表示为，A正确；
对于B：表示直线与平面平行，不符合题意，B错误；
对于C：是元素与集合的"属于"符号，仅用来表示点在直线/平面内，不能表示直线与平面的位置关系，C错误；
对于D：表示直线与平面相交于点，不符合题意，D错误.
3．B
【详解】选项A：共线单位向量可同向也可反向，反向时，A错误；
选项B：相等向量的定义是方向相同、模长相等，因此若，必有，B正确；
选项C：时，两向量夹角为或，夹角为时，C错误；
选项D：若是零向量，零向量与任意向量平行，此时与可以不平行，D错误.
4．D
【详解】梯形中，，而，
则梯形的高，
因此梯形的面积，
而在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的，
所以原图形OABC的面积为.
故选：D
5．B
【详解】
如图，正方体中，，，平面为平面，
其中，平面，显然与平面不垂直，故“”不是“”的充分条件；
若，且，根据线面垂直的性质定理，可知成立，所以“”是“”的必要条件.
所以，“”是“”的必要不充分条件.
6．C
【详解】向量在上的投影向量为.
7．B
【详解】由几何意义知，对应向量在的角平分线上，
由，即的角平分线与边垂直，
所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形.
故选：B
8．C
【详解】因为，，，
由余弦定理得：，所以.
因为，所以，
又因为，所以为正三角形.
则当为线段的中点时，，即取最小值，
此时；
又因为，，三点共线，所以，
由平面向量基本定理，得，解得.
9．BD
【详解】因为的共轭复数为，所以A错误；
因为，，所以B正确；
因为，所以C错误；
因为，
所以虚部为，所以D正确.
10．BCD
【详解】A：若，则，解得，故A错误；
B：若，则，解得，故B正确；
C：，令，解得或，故C正确；
D：若，，，
则，
因为，所以，故D正确.
11．BC
【详解】因为，由正弦定理得，
因为，所以，则，即，故A错误；
由正弦定理得外接圆的半径为，即，
所以外接圆的面积为，故B正确；
由余弦定理得，即，则，
当且仅当时，等号成立，所以三角形的面积为：，故C正确；
由，得，
则，当且仅当时，等号成立，
所以三角形的周长为，故D错误，
故选：BC
12．
【详解】因为，
则.
故答案为：.
13．2
【详解】设圆锥的底面半径以及高分别为，则变化之后的半径和高分别为，
则原来的体积为，变化后的体积为,
故,
故答案为：2
14．
【详解】

因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直
三棱锥中，面与面的面积是确定的，所以要使三棱锥表面积最大，则需要面与面最大即可，而且；
，当时，取得最大值.
过点向平面作垂线，设的中点为垂足为，

因为，，所以由余弦定理知，
所以，易得.
所以.
因为，
设内切球的半径为，则根据等体积法，有：
，
即，解之得，
所以其内切球的表面积为
故答案为：
15．(1)，
(2)
【详解】（1）因为，，
所以，
.
（2）由题意可得，，
，
又、、三点共线，则可得，
即，解得.
16．(1)2；
(2)
【详解】（1）设圆柱的底面圆直径为，则该圆柱的高为，其体积，解得，
所以圆柱的底面半径为2.
（2）由（1）知，正外接圆半径为2，则边长，
所以三棱柱的体积.
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
在中，由正弦定理得，
即，所以m，
即AC两点的距离为m；
（2）在中，因为，，
所以，
又，
所以m，
即大楼的高度为m.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由正弦定理得：，又，
，
即，又，，，
又，.
（2）由余弦定理得：，解得：，
.
（3）由余弦定理得：，
（当且仅当时取等号），，
又，；
，
令，，则在上单调递增，
，即，的最大值为.
19．(1)证明见解析；
(2)存在，；
(3)正三角形.
【详解】（1）依题意，，
所以.
（2）存在实数使等式成立．理由如下：
由（1）得，在中，由余弦定理得：
，，
三式相加整理得
，所以时，存在实数使.
（3）当时，由（1）得，
由（2）得，，
在中，由余弦定理得，
于是
，当且仅当且时取等号，
由，得，则，，
即当且仅当且时取等号，亦即当且仅当为等边三角形时取等号，
因此，当且仅当为等边三角形时取等号，
而，所以为等边三角形.

展开更多......

收起↑