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数学
本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若z(1-i)=1+i,则
A. - 1 B.1 C.-i D. i
2.已知集合A={x||x|≤a},B={x|x-2<0},若A B,则实数a的取值范围是
A.[0,2) B.(0,2] C.(-∞,2) D.(-∞,2]
3.抛物线 的焦点坐标为
A. B. C. D.
4.平面向量a,b满足|a+b|=|a-b|,若|a|=2,则(a+b)·a=
A.0 B.4 C.6 D.8
5.已知 则tanα=
A. B. C. D.
6.已知单调递增等比数列|an}的前9项积为1，且 若数列: log a 的前n项和为S ,则使 的最小正整数n为
A.5 B.9 C.10 D.12
7.已知点 P(x ,y )是曲线 上的动点，则 的最小值为
A.1 B. C.2 D.2
8.点 P 为棱长是 2 的正方体 ABCD-A B C D 的外接球上一动点，O为底面 ABCD 的中心，若 则x+y+z的最大值为
A.3 B.2 C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下面说法正确的是
A.若α⊥β,β⊥γ,则α∥γ B.若α⊥γ,β∥γ,则α⊥β
C.若m⊥α,n∥α,则m⊥n D.若m⊥n,n⊥α,则m∥α
10.将函数 图象向左平移π/12个单位长度后得到一偶函数图象，则当ω取最小值时，下列说法正确的是
A.函数f(x)的最小正周期为π B.函数f(x)为奇函数
C.函数f(x)在区间 单调递增 D.函数f(x)在图象x=0处的切线斜率为1
11.已知数列{an}满足 则下列选项不正确的是
A.{an}为单调递增数列 B.{an}为周期数列
C. D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
的展开式中x 的系数为 .
13.设椭圆 的左焦点为 F，上顶点为A，右顶点为 B，且 则C的离心率为 .
14.平面内有两组相交平行线，一组有 10条，一组有 5条，且每组中相邻两平行直线间距离均为1，则从这两组直线构成的平行四边形中任取一个，取到的平行四边形恰为菱形的概率为
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本题满分13分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足
(1)求角 C的取值范围；
(2)当角C取最大值时，边AB上存在一点D，满足CD=1，求△ABC周长的取值范围.
16.(本题满分15分)
中国航天“十五五”规划核心是从航天大国迈向航天强国、从大国重器转向万亿级支柱产业、从近地领先走向深空领跑.为实现发动机科研突破，我国某航天研究院对甲、乙、丙三款新型发动机关键部件进行可靠性测试，单次测试中，部件连续稳定工作时长达到1200小时及以上，即可判定为“一级可靠性部件”.为预测本次测试中获评“一级可靠性部件”的数量及最优部件型号，收集了三款部件过往的测试数据(单位：小时)，如下所示：
甲部件:1380,1350,1280,1250,1230,1210,1190,1170,1150,1120
乙部件:1360,1310,1260,1220,1180,1160
丙部件:1420,1330,1170,1140
(1)求收集到的甲部件测试数据的第80%分位数；
(2)假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三款部件的测试结果相互独立.设X 为甲、乙、丙三款部件中获评“一级可靠性部件”的总数量，求X的概率分布列和数学期望E(X).
17.(本题满分15分)
如图，三棱台ABC-A B C 的下底面ABC是边长为6的正三角形，上底面A B C 是边长为3的正三角形,AA ⊥平面ABC,AA =3.
(1)证明:△A BC 为直角三角形;
(2)已知E为棱CC 上一动点, 若DE∥平面ABB A ,求平面A DE 与平面ABC夹角的余弦值.
18.(本题满分17分)
已知双曲线 的右焦点 F(2，0)到渐近线的距离为1.
(1)求双曲线 E 的标准方程；
(2)点O为坐标原点，过点 F(2，0)的直线l与双曲线E交于M，N两点.
(i)若△OMN的面积为 求直线l的方程；
(ii)双曲线E的左右顶点分别为A,B,直线AM与直线BN交于点P,记直线AM,BN,PF 的斜率分别为k 、k 、k ,探究 是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值请说明理由.
19.(本题满分17分)
已知函数f(x)= alnx-sinx+1(a∈R).
(1)当a<0时,判断f(x)在区间 有无零点，并说明理由；
(2)若f(x)在区间(0，π)单调递增，求正整数a的最小值；
(3)当a取(2)中的最小值时，已知存在 且 使 证明：
数学参考答案与解析
1. A 2. C
3. B
【命题说明】改编人教A版选择性必修一第138页第1题.
4. B 【解析】【法一】 由|a+b|=|a-b|得: 即 解得a·b=0,则( 又|a|=2得 所以(a+b)·a=4.故选:B.
【法二】(特殊值)由题意可设b=0.可得答案.
【法三】(数形结合)利用平行四边形法则结合投影向量知识.
【命题说明】改编人教A版必修二第23页第7题，复习向量运算常用方法.
5. D 【解析】因为 所以 即 所以 故 故选:D.
【法一】由 得 可解得 故 故选:D.
【法二】由 可得 得 得 故 故选:D.
【法三】因为 得 解得 又 得 故选:D.
【命题说明】改编人教A版必修一第256页第24题，考查三角求值计算公式的多种变形灵活应用.
6. C【解析】设等比数列{an}的公比为q,q≠0,若q=1,与题意矛盾,所以q≠1,等比数列{an}的前 9项积为1,则 得 解得 或q=2.又数列{an}递增,所以q=2,故 则 故 得n>9,则使 的正整数n最小值为10.故选:C.
7. A 【解析】【法一】点 P(x ,y )在曲线 上,且点 P(x ,y )到直线y=x的距离 可先求点P(x ,y )到y=x距离的最小值.函数 在P(x ,y )处的切线斜率为1时,点P(x ,y )到y=x的距离最小.由 得 令 解得x=1,又点(1,0)到直线y=x的距离 则 的最小值为 故选:A.
【法二】点. 是曲线 上的动点，得 设 设 故 在区间(0,+∞)单调递增,又h(1)=0.所以 在区间(0，1)的值小于0，在区间 的值大于0.则 在区间(0，1)单调递减，在区间(1，+∞)单调递增.g(1)=1,所以 则 的最小值为1.故选：A.
【命题意图】高考中注意数形结合是常考技巧，特别是直线与曲线，使用最忌讳图不精准，要留心定义域，关键点，奇偶对称周期性，渐近线等.
8. C【解析】【法一】因为为
所以当点P位于平面ABC 内时,x+y+z=1,
设与平面ABC 平行的平面为α，
正方体ABCD-A B C D 的外接球球心为O'.
则当点P是平面α和球O'相切时的切点时，x+γ+z的值最大.
记棱A B 的中点为E,则O'E⊥面ABC ,
故图中射线O'E与球O'的交点即为点 P.
设棱AB,D C 的中点分别为F,G,取过O,O',E的截面,(如右图)
连接OP交直线FG于点M,过点O作OH⊥FG垂足为H,则
则x+y+z的最大值为
【法二】建立如图的坐标系,得O(1,1,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C (0,2,2),设正方体ABCD-A B C D 的外接球球心为O'，
则得
又 得
又点 P 为棱长是2 的正方体 的外接球上一动点，则
得
得
求 的最大值.因为
故当b=0,且 时， 取最大值为
所以a+c+1的最大值为 即x+y+x的最大值为、
【命题意图】提醒最后阶段再次回归教材，再梳理教材中重要例题及结论.此题法一论依据必修二第26 页例1，并推广到空间向量选择性必修一第27页，空间一点 P位于平面ABC 内充要条件是存在x，y使 再扩展 .即空间一点 P位于平面ABC 内充要条件是( 用基底 表示， 的系数和为1.
9. BC
10. ACD 【解析】由题意将函数 向左平移 个单位得到的函数解析式为 y= 若其为偶函数，则 解得 k∈Z,又因为ω>0,所以ω最小值为2.得 经计算选 ACD.
11. ABC 【解析】令 由 得数列 为1,2,0,3,1,6,0,7,1,10…,故AB不正确.
由 得 每相邻两式相加或相减得
上式中可得 故 所以 C 不正确.
上式中也可得 得 故 D正确.
【复习建议】讲解可让学生取 分奇偶求数列通项公式.
12.20
【解析】【法一】因为 所以△AFB为直角三角形.
又
得
【法二】因为 所以FA⊥AB.由射影定理得
即
【命题意图】高考解析几何的核心，是用代数方法研究几何问题，其平面几何特征主要体现在直线、圆、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的固有几何性质，以及三角形、四边形、圆等基础图形的经典定理在坐标系中的应用.解题的关键在于先挖掘几何特征，再进行代数运算.
14. 【解析
【命题说明】改编人教A版选择性必修三第83页第7题
【变式练习】空间有三组平行平面，第一组有10个，第二组有8个，第三组有5个，同一组平面中每相邻两平面间距离均为1.不同两组的平面都相交，且交线不都平行，若从这三组平面构成的平行六面体中任取一个，则取到的平行六面体的所有棱长都相等的概率为
15.解：(1)根据正弦定理和余弦定理， 可得
即 得
(2分)
又
当且仅当a=b时，等号成立. (4分)
所以 又因为0(2)当角C最大时， 且a=b，所以此△ABC是等边三角形，设其边长为x，
点D在边AB上，则 又CD=1,所以
则△ABC周长的取值范围为[ (13分)
16.解：(1)将甲部件测试数据从小到大排列，得
1120,1150,1170,1190,1210,1230,1250,1280,1350,1380, (2分)
又10×80%=8为整数，所以数据的第80%分位数为第 8个数据和第 9个数据的平均数， (5分)
(2)甲部件:数据共10个,≥1200小时的是1210,1230,1250,1280,1350,1380,共6个,频率为
乙部件:数据共6个,≥1200小时的是1360,1310,1260,1220,共4个,频率为
丙部件:数据共4个,≥1200小时的是1420,1330,共2个,频率为 (8分)
由频率估计概率得，甲部件获得优秀的概率为 ，乙部件获得优秀的概率为 ，丙部件获得优秀的概率为 设甲部件获得优秀为事件A ，乙部件获得优秀为事件A ，丙部件获得优秀为事件A .
(12分)
X 的分布列为
X 0 1 2 3
P
(13分)
所以 X 的数学期望 (15分)
17.解:(1)由题意,AA ⊥平面ABC,则可过点( 作 交後AC 于点O,
则C O⊥平面ABC,
又AC 平面ABC,得( (2分)
∴O 为棱AC的中点,
【法一】又因为 为等边三角形，所以.
又C O∩BO=O,∴AC⊥平面C BO,
又 BC 平面 CBO,∴AC⊥BC ,
又∵AC∥A C ,则. 所以 为直角三角形； (5分)
【法二】△ABC 是边长为6的等边三角形，所以 又
又∵AA ⊥平面ABC,
又
又 得 (5分)
所以△A BC 为直角三角形；
(2)以点O为原点，分别以OB，OC，OC 所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0),A(0,-3,0),A (0,-3,3),B(3 ,0,0),C(0,3,0),C (0,0,3), (7分)
又 所以
因为 E 为棱 CC 上一动点，可设
则
设平面ABB A 的法向量为n=(x,y,z),
则 則
可取
因为 DE∥平面ABB A ,所以 即
解得 得E(0,1,2), (10分)
又
设平面 A DE的法向量为
则 即
可取 … ( 12 分)
又平面ABC的法向量可取k=(0,0,1).
则
所以平面A DE 与平面ABC 夹角的余弦值为 (15分)
18.解:(1)由已知得渐近线方程为bx±ay=0,右焦点F(2,0),知c=2.
且 又∵ 解得b=1,
解得
∴双曲线的标准方程为 (3分)
(2)【法一】当直线l的斜率不存在时，直线l方程为x=2，代入双曲线方程 求得 不妨设
故 又F(2,0),
故△OMN的面积
直线x=2符合题意. (4分)
当直线l的斜率存在时，设其方程为
与双曲线方程联立得
直线l与双曲线E交于M，N两点， 设M(x ,y ),N(x ,y ),
则 (6分)
故
点O到直线y=k(x-2)的距离
故△OMN的面积
整理得
解得 (8分)
所以直线l方程为
综上当 时，直线l的方程为x=2或 (10分)
【法二】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=2,，代入双曲线方程 求得 不妨设
故 又F(2,0),
故△OMN的面积
直线x=2符合题意. (4分)
当直线l的斜率存在时，设其方程为
与双曲线方程联立得：
直线l与双曲线E交于M，N两点，
设
则 (6分)
故△OMN的面积
即
整理得
解得 (8分)
所以直线l方程为
综上当 时，直线l的方程为x=2或 (10分)
【法三】由题意设直线l的方程为
直线l与双曲线E交于M，N两点，所以 另设
则 … (6分)
故
点 O 到直线x=my+2的距离
故△OMN的面积
即 (8分)
解得m=0或
所以当 时，直线l的方程为x=2或 (10分)
【法四】由题意设直线l的方程为.
直线l与双曲线E交于M，N两点，所以 另设
则 … (6分)
故△OMN的面积
即
解得m=0或 (8分)
所以当 时，直线l的方程为x=2或 (10分)
(3)由题意知 故可设l:x= my+2,直线与双曲线联立得，
又因为直线l与双曲线交于两点，则
设
则 (12分)
所以直线AM，BN的方程分别为
联立
得 (14分)
则可设点 故可得
所以 (16分)
所以 为定值2. (17分)
19.解:(1)【法一】当a<0时,由f(x)= alnx= sinx+1(a∈R)得
又当x→0时,f(x)→+∞,
又因为函数f(x)在 连续，所以f(x)在区间 定存在零点. (3分)
【法二】当a<0时,由f(x)= alnx-sinx+1(a∈R)可知.
取 得
因为
故 又函数f(x)在 连续，所以f(x)在区间 定存在零点. (3分)
(2)因为
又f(x)在区间(0,π)单调递增,故 在区间(0，π)恒成立.
即a≥xcosx恒成立. (4分)
设g(x)= xcosx,x∈(0,π),则
当 时,cosx≤0,xsinx>0,所以
则g(x)= xcosx在区间 单调递减. (6分)
当 时， 又2sinx>0, xcosx>0,
所以 可知 在区间 单调递减.
又
故定存在 使 (8分)
所以x∈(0,x )时,g'(x)>0,函数g(x)= xcosx在区间(0,x )单调递增,
x∈(x ,π)时, g'(x)<0,函数g(x)= xcosx在区间(0,x )单调递减,
所以 的最大值为
又因为 所以 (10分)
因为 的导函数 在区间 大于0，
所以 在区间 单调递增，
又 所以
故大于g(x )的最小正整数为1，所以正整数a的最小值为1. (12分)
(3)由(2)知此时
由题意知 即
即 (13分)
因为 不妨设
得
所以 (14分)
整理得
则 (15分)
又 则
得 (17分)

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