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2025 届高三数学一轮复习
单元测试　基本初等函数
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．若幂函数 f(x)＝(2m2－3m－1)xm 在(0，＋∞)上单调递减，则 m＝(　　)
1 1
A．2 B． C．－ D．－2
2 2
2x
2．设函数 f(x)＝ 在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为 M，m，则 M＋m＝(　　)
x－2
A．4 B．6 C．10 D．24
3．若 a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则 a，b，c 的大小关系为(　　)
A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c
x， f（x1）－f（x2）
4 a x < 0．已知函数 f(x)＝{ a 2 x 3a x 0)满足对任意 x ≠x ，都有 <0（ － ） ＋ ， ≥ 1 2 x1－x2
成立，则 a 的取值范围是(　　)
1 3
A．(0，1) B．(2，＋∞) C．(0， ] D．[ ，2)
3 4
log0.5|x|
5．函数 f(x)＝
2x x
的图象大致为(　　)
＋2－
　　
6．已知某种食品的保鲜时间 y(单位：h)与储藏温度 x(单位：℃)之间满足函数关系 y＝
a·2bx.若该食品在 4 ℃时的保鲜时间为 192 h，在 12 ℃时保鲜时间为 48 h，则该食品在 28 ℃
时的保鲜时间为(　　)
A．2 h B．3 h C．4 h D．6 h
7．已知函数 f(x)的图象关于 x＝2 对称，且对任意 x1，x2∈(2，＋∞)，都有[f(x1)－f(x2)](x1
－x2)<0，设 a＝f(－1)，b＝f(π)，c＝f(e)，则(　　)
A．a8．已知不恒等于零的函数 f(x)的定义域为 R，满足 f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且 f(1)＝
1
，则下列说法正确的是(　　)
2
学 科
A．f(0)＝0 B．f(x)的图象关于原点对称
1
C．f(－2)＝ D．f(x)的最小正周期是 6
2
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
{2x2－9 f(x) 2x，x ≤ 2．若函数 ＝ log3（x2－2x），x > 2)，且 f(a)＝1，则实数 a 的值可能为(　　)
A．－1 B．0 C．2 D．3
10．设函数 f(x)＝ln (2－x2)，则(　　)
A．f(x)是偶函数 B．f(x)在(0，＋∞)上单调递减
C．f(x)的最大值为 ln 2 D．x＝ 2是 f(x)的一个零点
＋ ，
11 x 2 x ≤ 0．已知函数 f(x)＝ {|log2x| x > 0 )，若 f(x)＝a 有三个不等实根 x， 1，x2，x3，且
x1A．f(x)的单调递增区间为(－∞，0]∪[1，＋∞)
B．a 的取值范围是(0，2)
C．x1x2x3的取值范围是(－2，0]
D．函数 g(x)＝f(f(x))有 4 个零点
[答题区]
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
1
12．函数 y＝ log2x＋ 的定义域为____________．
x－2
13．[2021·新高考Ⅱ卷]写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f(x)：________．
①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；②当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数．
1
14．已知函数 f(x)＝x2＋m，g(x)＝ ( )x－m，若对 x1∈ [－1，3]， x2∈ [0，2]，2
f(x1)≥g(x2)，则实数 m 的取值范围是____________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
学 科
15.(13 分)已知幂函数 f(x)＝(m2－5m＋5)xm－2的图象关于点(0，0)对称．
(1)求该幂函数 f(x)的解析式；
(2)设函数 g(x)＝|f(x)|，在如图的坐标系中作出函数 g(x)的图象；
(3)直接写出函数 g(x)>1 的解集．
解：
16．(15 分)已知函数 f(x)是定义在[－3，3]上的奇函数，当 01
f(x)＝ x2＋x＋1.
2
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)若 f(a＋1)＋f(2a－1)>0，求实数 a 的取值范围．
解：
x
17．(15 分)已知定义域为 R 的单调函数 f(x)是奇函数，当 x>0 时，f(x)＝ －2x.
3
学 科
(1)求 f(x)的解析式；
(2)若对任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 恒成立，求实数 k 的取值范围．
解：
18．(17 分)已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，不等式 f(x)<0 的解集为(0，2)，
且 f(3)＝9.
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)设函数 f(x)在 x∈[t，t＋1]上的最小值为 g(t)，求 g(t)的表达式．
解：
x＋1
19．(17 分)已知函数 f(x)＝loga (a>0 且 a≠1). x－1
(1)求函数 f(x)的定义域；
(2)若 a＝2，求函数 y＝f(2x)的值域；
3
(3)是否存在实数 a，b，使得函数 f(x)在区间(b， a)上的值域为(1，2)，若存在，求 a，b
2
的值；若不存在，请说明理由．
学 科
解：
学 科
答案
1．解析：由幂函数的定义可知，2m2－3m－1＝1，即 2m2－3m－2＝0，解得 m＝2 或
1 1
m＝－ .当 m＝2 时，f(x)＝x2，在(0，＋∞)上单调递增，不合题意；当 m＝－ 时，f(x)＝x－
2 2
1 1
2，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故 m＝－ .故选 C. 2
答案：C
2（x－2）＋4 4
2．解析：因为 f(x)＝ ＝2＋ ，所以 f(x)在[3，4]上是减函数．所以 m＝
x－2 x－2
f(4)＝4，M＝f(3)＝6.所以 M＋m＝6＋4＝10.故选 C.
答案：C
3．解析：由 y＝1.01x在 R 上单调递增，则 a＝1.010.5上单调递增，则 a＝1.010.5>c＝0.60.5.所以 b>a>c.故选 D.
答案：D
f（x1）－f（x2）
4．解析：∵f(x)满足对任意 x1≠x2，都有 1 2 <0 成立，∴f(x)在 R 上是减函x －x
{0 < a < 1， 1 1数，∴ a－2 < 0， 解得 0答案：C
log0.5|x| log0.5|－x|
5．解析：由 f(x)＝ x x＝f(－x)＝ ，x≠0 可知 y＝f(x)是偶函数，即其图象关2 ＋2－ 2－x＋2x
于 y 轴对称，排除 C、D 选项；又当 x→0＋时，log x0.5|x|>0，2 ＋2－x>0 f(x)>0，排除 B 项．故
选 A.
答案：A
1
6．解析：由题意有：a·24b＝192　①，a·212b＝48　②，②式除以①式得 28b＝ ，则 a·228b
4
1
＝a·212b＋16b＝a·212b·(28b)2＝48× ＝3.故选 B.
16
答案：B
7．解析：函数 f(x)的图象关于 x＝2 对称，且对任意 x1，x2∈(2，＋∞)，都有[f(x1)－f(x2)](x1
－x2)<0，则函数在(2，＋∞)上单调递减，在(－∞，2)上单调递增．所以 f(－1)＝f(5)，因为
e＜π＜5，所以 f(－1)＝f(5)答案：B
8．解析：由 f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，令 x＝1，y＝0，有 f(1)＋f(1)＝2f(1)f(0)，可得 f(0)
＝1，故 A 错；因为 f(0)＝1，令 x＝0，则 f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)，则 f(y)＝f(－y)，函数 f(x)
学 科
1 1
是偶函数，故 B 错误；令 x＝y＝－1，则 f(－2)＋f(0)＝2f2(－1)＝2f2(1)＝ f(－2)＝ －f(0)＝－
2 2
1
，故 C 错误；令 y＝1，则 f(x＋1)＋f(x－1)＝2f(x)f(1)＝f(x)，所以 f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，
2
则 f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，f(x＋1)＝[f(x－1)－f(x－2)]－f(x－1)＝－f(x－2)，所以 f(x)＝－f(x－3)
＝f(x－6)，则 f(x)周期为 6，D 正确．故选 D.
答案：D
9．解析：当 a≤2 时，由 f(a)＝1，得 2a2－2a＝1，得 a2－2a＝0，解得 a＝0 或 a＝2，
当 a>2 时，由 f(a)＝1，得 log3(a2－2a)＝1，得 a2－2a＝3，解得 a＝－1(舍去)或 a＝3，综上，
a＝0，或 a＝2，或 a＝3，故选 BCD.
答案：BCD
10．解析：函数 f(x)＝ln (2－x2)，由 2－x2>0 得 f(x)的定义域为(－ 2， 2)，关于坐标原
点对称，又 f(－x)＝f(x)，所以 f(x)为定义域上的偶函数，A 选项正确；令 t＝2－x2，则 y＝ln
t，由二次函数的性质，当 x∈(－ 2，0)时，t＝2－x2 为增函数；当 x∈(0， 2)时，t＝2－x2
为减函数；y＝ln t 在定义域内为增函数，由复合函数的单调性可知，f(x)在(－ 2，0)上单调
递增，在(0， 2)上单调递减，B 选项错误；由函数单调性可知，f(x)最大值为 f(0)＝ln 2，C
选项正确；ln (2－x2)＝0，解得 x＝±1，则 f(x)的零点为±1，D 选项错误．故选 AC.
答案：AC
11 f(x) {x＋2，x ≤ 0．解析：作出函数 ＝ |log2x| x > 0 )的图象，如图所示， ，
对于 A，由图象可得 y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，0]，[1，＋∞)，故 A 不正确；对
于 B，因为 f(x)＝a 有三个不等实根，即 y＝f(x)与 y＝a 有三个不同交点，所以 a∈(0，2]，
故 B 不正确；对于 C，由题意可知：－2＝x1∈(－2，0]，故 C 正确；对于 D，令 f(x)＝t，则有 y＝f(t)，令 y＝0，则有 t＝－2 或 t＝
1，当 t＝－2 时，即 f(x)＝－2，即 x＋2＝－2，解得 x＝－4；当 t＝1 时，即 f(x)＝1，所以 x
1
＋2＝1 或|log2x|＝1，解得 x＝－1，或 x＝ 或 x＝2，所以 y＝f(t)共有 4 个零点，即 g(x)＝f(f(x))2
有 4 个零点，故 D 正确．故选 CD.
答案：CD
x > 0 x > 0
12．解析：由解析式可得{log2x ≥ 0 ，解得 x ≥ 1 ，可得 x∈[1，2)∪(2，＋∞). x－2 ≠ 0 ) {x ≠ 2)
学 科
答案：[1，2)∪(2，＋∞)
13．解析：取 f(x)＝x4，则 f(x1x2)＝(x1x )42 ＝x41x42＝f(x1)f(x2)，满足①，
f′(x)＝4x3，x>0 时有 f′(x)>0，满足②，
f′(x)＝4x3的定义域为 R，
又 f′(－x)＝－4x3＝－f′(x)，
故 f′(x)是奇函数，满足③.
答案：f(x)＝x4(答案不唯一，f(x)＝x2n(n∈N*)均满足)
14．解析：由题意，在各对应区间上有 f(x)min≥g(x)min，而 f(x)在[－1，3]的最小值为
1 1 1
m，g(x)在[0，2]上的最小值为 －m，所以 m≥ －m m≥ .
4 4 8
1
答案：m≥
8
15．解析：(1)因为 f(x)＝(m2－5m＋5)xm－2是幂函数，
所以 m2－5m＋5＝1，解得 m＝1 或 m＝4，
1
当 m＝1 时，函数 f(x)＝x－1＝ 定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，
x
易得 f(x)是奇函数，图象关于原点对称，则 m＝1 满足题意；
当 m＝4 时，函数 f(x)＝x2，
易知 f(x)是 R 上的偶函数，其图象关于 y 轴对称，不关于原点对称；
1
综上幂函数 f(x)的解析式是 f(x)＝x－1＝ .
x
1
(2)因为函数 g(x)＝|f(x)|＝ ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
|x|
1 1
且 g(－x)＝ ＝ ＝g(x)，
|－x| |x|
所以 g(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，
1 1
当 x>0 时，g(x)＝ 在(0，＋∞)上单调递减，其图象是反比例函数 y＝ 在第一象限的图
x x
象，
作出函数 g(x)在第一象限的图象，再将其关于 y 轴翻折即可得 g(x)在定义域上的图象，
如图，
学 科
(3)观察(2)中图象可得，g(x)>1 的解集为(－1，0)∪(0，1).
16．解析：(1)因为 f(x)为奇函数，f(0)＝0，
设－3≤x<0，则 0<－x≤3，
1 1
则 f(－x)＝ (－x)2＋(－x)＋1＝ x2－x＋1，
2 2
1
因为 f(x)为奇函数，则 f(x)＝－f(－x)＝－ x2＋x－1，
2
1
{ x
2＋x＋1，0 < x ≤ 3
2
则 f(x)＝ 0，x＝0 .
1
－ x2＋x－1，－3 ≤ x < 0
2 )
1 1 1
(2)当 02 2 2
由奇函数可知 f(x)是定义在[－3，3]上的增函数，
又∵f(a＋1)＋f(2a－1)>0，
∴f(a＋1)>－f(2a－1)＝f(1－2a)，
{－3 ≤ a＋1 ≤ 3 ) {－4 ≤ a ≤ 2故有 －3 ≤ 2a－1 ≤ 3 ，则有 －1 ≤ a ≤ 2)，解得 0 1－2a a > 0
所以实数 a 取值范围是(0，2].
－x
17．解析：(1)当 x<0 时，－x>0，∴f(－x)＝ －2－x，
3
又函数 f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
x
∴f(x)＝ ＋2－x.又 f(0)＝0，
3
x
－2x，x > 0，
3
∴综上所述，f(x)＝{0，x＝0，x＋2－x，x < 0.3 )
5
(2)∵f(x)为 R 上的单调函数，且 f(－1)＝ >f(0)＝0，
3
∴函数 f(x)在 R 上单调递减．
∵f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，∴f(t2－2t)<－f(2t2－k).
∵函数 f(x)是奇函数，∴f(t2－2t)又 f(x)在 R 上单调递减，
∴t2－2t>k－2t2对任意的 t∈R 恒成立，
∴3t2－2t－k>0 对任意的 t∈R 恒成立，
学 科
1
∴Δ＝4＋12k<0，解得 k<－ .
3
1
∴实数 k 的取值范围为(－∞，－ ).
3
18．解析：(1)因为函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
不等式 f(x)<0 的解集为(0，2)，
所以 a>0 且 0 和 2 为方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根，
b
{0＋2＝－ ，a则有 c 解得 b＝－2a，c＝0， 0 × 2＝ ，a )
又因为 f(3)＝9，则 9a＋3b＝9，可得 a＝3，b＝－6，
所以 f(x)＝3x2－6x.
(2)因为 f(x)＝3x2－6x＝3(x－1)2－3，图象开口向上，对称轴为 x＝1，
①当 t≥1 时，函数 f(x)在[t，t＋1]上单调递增，所以 g(t)＝f(x)min＝f(t)＝3t2－6t；
②当 t<1＝－3；
③当 t＋1≤1，即 t≤0 时，函数 f(x)在[t，t＋1]上单调递减，所以 g(t)＝f(x)min＝f(t＋1)＝
3t2－3；
3t2－6t，t ≥ 1
综上所述 g(t)＝{－3，0 < t < 1 . 3t2－3，t ≤ 0 )
x＋1
19．解析：(1)由 >0，解得 f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
x－1
x＋1
(2)当 a＝2 时，f(x)＝log2 ， x－1
2x＋1 2
y＝f(2x)＝log2 x ＝log2(1＋2 －1 2x
).
－1
因为 f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以 2x>1，
2 2
所以 x ∈(0，＋∞)，1＋ x ∈(1，＋∞)， 2 －1 2 －1
2
所以 log2(1＋ x )∈(0，＋∞)， 2 －1
所以 y＝f(2x)的值域是(0，＋∞).
3
(3)因为函数 f(x)在(b， a)上的值域为(1，2)，又 a>0，且 a≠1，
2
3 3
由 f(x)的定义域得(b， a) (1，＋∞)，所以 a>b>1.
2 2
学 科
2 2
①当 03
在(b， a)上单调递增，
2
2
1＋ ＝a，
{f（b）＝1， b－1所以 3 2f（ a）＝2，)即{1 a2 ＋ ＝ ，2 3a－12 )
2 2
因为 b>1，所以 1＋ >1，所以 1＋ ＝a 无解．
b－1 b－1
3 2 2
(或者因为 a>1，所以 1＋ >1，所以 1＋ ＝a2无解)，
2 3 3
a－1 a－1
2 2
故此时不存在实数 a，b 满足题意．
2 2
②当 a>1 时，因为 y＝1＋ 在(1，＋∞)上单调递减，所以函数 f(x)＝log (1＋ )在
x 1 a－ x－1
3
(b， a)上单调递减，
2
2
1＋ ＝a2，
{ 3 b－1f（ a）＝1，所以 2 即 21 ＋ ＝a，f（b）＝2， ) { 3a－12 )
1 5
解得 a＝2 或 a＝－ (舍)，b＝ .
3 3
5
综上存在实数 a＝2，b＝ .
3
学 科

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