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浙江省台州市海山教育联盟2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试卷
一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分，请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分)
1．2025年全运会，浙江代表团创佳绩.如图所示的体育项目图案，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D.
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.
2．若一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则第三边长可能是（　　）
A．2cm B．3cm C．6cm D．11cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：7-3解得：4∴第三边长可能是6cm，
故选：C.
【分析】在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可得第三边长度的范围.
3．不等式r+1≤2的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：移项得，r≤1，
故此不等式的解集为：r≤1，
在数轴上表示为：
故答案为：B.
【分析】先求出不等式的解集，在数轴上表示出来即可.
4．已知aA．a+2>b+2 B．-7a>-7b C．4a>4b D．1-2a<1-2b
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a∴a+2故A错误，不符合题意；
∵a∴-7a>-7b
故B正确，符合题意；
∵a∴4a<4b
故C错误，不符合题意；
∵a∴1-2a>1-2b，
故D错误，不符合题意；
故选：B.
【分析】根据不等式的性质，逐一验证即可.
5．下列选项中，能说明命题“对于任何实数a，都有 是假命题的a的值是（　　）
A．a=-3 B．a=-1 C．a=0 D．a=2
【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、a=-3时，a2>0，不能说明命题"对于任何实数a，都有a2>0"是假命题，不符合题意；
B、a=-1时，a2>0，不能说明命题"对于任何实数a，都有a2>0"是假命题，不符合题意；
C、a=0时，a2=0，能说明命题"对于任何实数a，都有a2>0"是假命题，符合题意；
D、a=2时，a2>0，不能说明命题"对于任何实数a，都有a2>0"是假命题，不符合题意；
故选：C.
【分析】根据实数的平方、假命题的概念判断即可.
6．下列关于一次函数y=-x+2的说法中，错误的是（　　）
A．y随x的增大而减小
B．图象经过第一、二、四象限
C．图象经过点 (-1，1)
D．图象可由直线y=-x向上平移2个单位得到
【答案】C
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A、由于一次函数y=-x+2中的k=-1<0，所以y随x的增大而减小，故不符合题意；
B、由于一次函数y=-x+2中的k=-1<0，b=2>0，所以图象过第一、二、四象限，故不符合题意；
C、令x=-1，则y=1+2=3，即一次函数y=-x+2图象经过点(-1，3)，故符合题意；
D、直线y=-x向上平移2个单位得到y=-x+2，故不符合题意；
故选：C.
【分析】根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与直线的交点以及一次函数图象与几何变换进行分析判断.
7．如图， 在△ABC中， ∠ACB =90°，AC＜AB，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF.以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H， 连接AH.若BC=3， 则△AFH的周长为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：由作图可得DF垂直平分线段AB，
∴AF=BF，
∵以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，
∴AF=AH，
∴AF=AH=BF，
∵AC⊥BH，
∴CF=CH，
∴△AFH的周长=AF+AH+FH=2(AF+CF)=2(BF+CF)=2BC=6
故答案为：A.
【分析】根据作图可得DF垂直平分线段AB，利用线段垂直平分线的性质可得AF=BF，再根据等腰三角形的三线合一可得△AFH的周长=AF+AH+FH=2(AF+CF)=2(BF+CF)=2BC，即可求解.
8． 如图， AD=AB=BC， 那么∠1和/2之间的关系是(　　)
A．∠1=∠2 B．2∠1+∠2 = 180°
C．∠1+3∠2 = 180° D．3∠1 -∠2= 180°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB=BC，
∴∠1=∠BCA，
∵AB=AD，
∴∠B=∠2，
∵∠1+∠B+∠ACB=180°，
∴2∠1+∠2=180°
故选：B.
【分析】由已知条件可得到∠2=∠B，∠1=∠BCA，在是△ABC中，由∠1+∠ACB+∠B=180°，可推出结论.
9．在平面直角坐标系中，若干个边长为2个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放。点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边 的路线运动，则第2026秒后点P的坐标是 （　　）
A．(1013，-） B．(1013，3) C．(1010，-） D．(1013，0)
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图，作A1H⊥x轴于点H，
∵△OA1A2是边长为2个单位长度的等边三角形，
∴∠A1OH=60°，A1O=2，
∵A1H⊥x轴，
∴∠OA1H=30°，
∴，，
∴A1(1，3)，
由点P的运动速度及运动路径可得，点Pn的横坐标为，纵坐标按照，，，0，，，0，，，，0的变化规件，每12秒循环一次，
∵2026÷12=168...10，
∴点P2026的坐标是
故答案为：A.
【分析】作A1H⊥x轴于点H，利用等边三角形的特点求出，由点P的运动速度及运动路径可得点Pn的横坐标及纵坐标的变化规律，利用规律求解即可.
10． 在平面直角坐标系中， 两个一次函数的表达式分别为y1= kx-k(k>0)和y2=-2x+4， 则下列说法正确的是（　　）
A．若x>1， 则 y1y2 >0 B．若x<2， 则y1y2<0
C．若 则x>2 D．若y1y2 >0， 则1【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：由题知，函数y1=kx-k(k>0)的图象过定点(1，0)，
如图所示，
当x>1时，y1y2可能大于零，等于零，小于零；故A选项不符合题意；
当x<2时，y1y2可能大于零，等于零，小于零；故B选项不符合题意；
当x<1时，y1<0，y2>0；
当10，y2>0；
当x>2时，y1>0，y2<0；
所以当y1y2<0时，x<1或x>2；故C选项不符合题意；
当y1y2>0时，1故选：D.
【分析】根据所给函数解析式，得出函数y=kx-k(k>0)的图象过定点(1，0)，据此画出函数图象的大致示意图，再利用分类讨论的数学思想即可解决问题.
二、填空题 (本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
11．在函数 中，自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x≠3
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】∵在函数 中，x-3≠0，
∴x≠3．
故答案是：x≠3．
【分析】根据分式有意义的条件，即可求解．
12．已知点A的坐标是 (1，2)，则点A向右平移2个单位后的坐标是　 　。
【答案】(3，2)
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点(1，2)向右平移2个单位长度，可得点的坐标(1+2，2)，即(3，2)，
故答案为：(3，2).
【分析】根据点的平移规律"右加左减，上加下减"解题即可.
13．已知关于x的方程4x+m+1=2x 的解是正数，则m的取值范围是　 　
【答案】m<-1
【知识点】解一元一次不等式；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵4x+m+1=2x，
∴，
∵x的值是正数，
∴，
解得m<-1.
故答案为：m<-1.
【分析】先把m当作已知条件表示出x的值，再根据x是正数得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可.
14． 如图， 在四边形)ABCD中， ∠ABC =∠ADC=90°，∠BAD =45°， M，N分别是对角线AC，BD的中点， BD=10， 则MN=　 　。
【答案】5
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接MB，MD，
∵∠ABC=90°，M是AC中点，
∴，
∴MB=AM，
∴∠MAE=∠MBA
∴∠CMB=∠MAB+∠MBA=2∠MAB，
同理：，∠CMD=2∠MAD，
∴MB=MD，∠CMB+∠CMD=2(∠MAB+∠MAD)，
∴∠BMD=2∠BAD=2×45°=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形，
∵N是BD中点，
∴.
故答案为：5.
【分析】连接MB，MD，由直角三角形斜边中线的性质推出，得到MB=AM，因此∠MAB=∠MBA，由三角形外角的性质推出∠CMB=2∠MAB，同理∠CMD=2∠MAD，得到∠BMD=2∠BAD=90°，由直角三角形斜边中线的性质即可求解.
15．小明根据课本第84页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中的内容改编出如下问题：如图，分别以直角三角形的三条边为边，向外分别作正三角形，已知 则ΔABC的面积是　 　。
【答案】11
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设△ABC的面积为S，图中2个白色图形的面积分别为a、b，
∵S1+S2=S3，
∴S甲+a+S乙+b=SW+a+b+S，
∴S甲+S乙=SW+S，
∴S=S甲+S乙-SW=8+7-4=11
故答案为：11.
【分析】设△ABC的面积为S，图2中2个白色图形的面积分别为a、b，则S甲+a+S乙+b=SW+a+b+S，化简代入数值求解即可.
16． 如图， 在ΔABC中， AB=AC， 点D在△ABC内， AD平分∠BAC， 连结CD， 把△ADC沿CD折叠， AC落在CE处， 交AB于F， 恰有CA⊥AB.若BC=16，AD=7则∠ADC=　 　，EF=　 　.
【答案】135°；
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由折叠的性质得到：∠CAD=∠E，∠ACD=∠ECD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠E=∠OAD，
∵CE⊥AB，
∴∠EFO=90°，
∵∠AOD=∠EOF
∴∠ADO=∠EFO=90°
∴∠ADC+∠EDC+∠ADO=360°，
∴2∠ADC=360°-90°
∴∠ADC=135°
延长AD交BC于H，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，，
∵∠CDH=180°-∠ADC=45°
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴DH=HC=5，
∴AH=AD+DH=7+5=12，
∴，
由折叠的性质得到CE=AC=AB=13，
∵△ABC的面积
∴13CF=10×12，
∴
∴
故答案为：135°；.
【分析】由折叠的性质得到：∠CAD=∠E，∠ACD=∠ECD，由垂直的定义得到∠EFO=90°，由三角形内角和定理得到∠ADO=∠EFO=90°，由∠ADC+∠EDC+∠ADO=360°，即可求出∠ADC的度数；
延长AD交BC于H，由等腰三角形的性质推出AH⊥BC，，求出∠CDH=45，得到△CDH是等腰直角三角形，因此DH=HC=5，得到AH=AD+DH=7+5=12，由勾股定理求出，由折叠的性质得到CE=AC=AB=13，由三角形面积公式得到△ABC的面积，即可求出EF的长.
三、解答题 (本大题有8个小题，第17-21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分。)
17．解下列不等式 (组)：
（1）4x+6≥x-3；
（2）
【答案】（1）解：4x-x≥3-6
3x≥-9
x≥-3
（2）解：
解不等式①，得
解不等式②，得：
∴不等式组的解集为
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解不等式；
(2)分别求解不等式组中的两个不等式，再取它们的公共部分得到不等式组的解集.
18． 如图， 在△ABC中， AD是△ABC的高线， AE是△ABC的角平分线。已知 ∠C = 40°， 求∠DAE的大小。
【答案】解：∵∠BAC=80°，∠C=40°.
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=60°.
∵AE是△ABC的角平分线，
∴，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°
∴∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】先根据三角形内角和定理，计算出∠B，再利用角平分线的定义，得到，由AD是△ABC的高，得到∠BAD=90°-∠B，然后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD求解.
19． 如图， 在平面直角坐标系中， A(-1，4)，B(-3，3)，C(-2，1)。
（1） 求出△ABC的面积。
（2） 作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1。
（3）在y轴上找一点P，使得ΔPAC的周长最小，请在图中作出点P，并直接写出点P的坐标。
【答案】（1）解：△ABC的面积为
（2）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（3）解：如图，连接AC1，交y轴于点P，连接CP，
此时△PAC的周长为PA+PC+AC=PA+PC1+AC=AC1+AC为最小值，
则点P即为所求.
由图可得，P(0，3).
故答案为：P(0，3).
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】(1)利用割补法求三角形的面积即可；
(2)根据轴对称的性质作图即可；
(3)连接AC1，交y轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案.
20． 如图， 在ΔABC中， ADLBC于点D，E为AC上一点， 连结BE交AD于点F， 且BF=AC，DF=DC。
（1） 求证：AD=BD
（2） 若AD=12，BF=13， 求AF的长。
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠BDA=∠ADC=90°，
∵BF=AC，DF=DC，
∴△BFD≌△ACD(HL)，
∴BD=AD
（2）解：∵△BFD≌△ACD，AD=12，BF=13，
∴AC=BF=13
∵∠ADC=90°，
∴
∴DF=CD=5，
∴AF=AD-DF=7
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据AD⊥BC，得出∠BDA=∠ADC=90°，再根据SAS证明△BFD≌△ACD，即可推出结论；
(2)根据△BFD≌△ACD，得出AC=BF=13，由∠ADC=90°，利用勾股定理即可求出CD=5，进而得到DF=5，由AF=AD-DF即可得到结果.
21． 如图， 直线l1：y=2x+1与直线 相交于点P(1，b) 。
（1） 求b，m的值。
（2）垂直于x轴的直线x=a与直线l1，l2分别交于点C，D，若CD长为3，求a的值。
【答案】（1）解：∵点P(1，b)在直线l1：y=2x+1上，
∴b=2×1+1=3；
∵点P(1，3)在直线l2：y=mx+4上，
∴3=m+4，
∴m=-1.
（2）解：当x=a时， yc=2a+1；
当x=a时，yD=4-a.
∵CD=3，
∴|2a+1-(4-a)|=3，
解得：a=0或a=2
∴a的值为0或2.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)由点P(1，b)在直线l1上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值，再将点P的坐标代入直线l2中，即可求出m值；
(2)由点C、D的横坐标，即可得出点C、D的纵坐标，结合CD=3即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论.
22．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用 (单位：万元)
1 3 220
3 2 310
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件。
（1）求A，B两种型号智能机器人的单价。
（2）现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过620万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种
【答案】（1）解：设A型机器人单价为x万元，B型机器人单价为y万元，
解得
答：A型机器人单价为70万元，B型机器人单价为50万元.
（2）解：解：设购买A型机器人a台，则购买B型机器人(10-a)台，
解得
∴a的取值为5或6，
当a=5时，购买A型5台，B型5台；
当a=6时，购买A型6台，B型4台；
答：该企业有两种购买方案，分别为购买A型5台B型5台、购买A型6台B型4台.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)根据表格中两种购买组合的总费用，建立二元一次方程组，通过加减消元法求解A、B的单价；
(2)设购买A型机器人数量为a，表示出B型机器人数量，根据总价不超过620万元和每天分拣量不少于200万件建立不等式组，求解a的取值范围，得到整数解对应的购买方案.
23． 已知一次函数y= kx-k+2 (k为常数， 且k≠0)
（1） 若点 (3，-2) 在一次函数y= kx-k+2的图象上，
①求k的值。
②设P=y+x， 则当-2≤x≤5时求P的最大值。
（2）若当m-3≤x≤m时，函数有最大值M，最小值N，且M-N=9，求此时一次函数y的表达式。
【答案】（1）解：①由条件可得：3k-k+2=-2
解得k=-2；
②当k=-2时，y=-2x+4，
∴P=x+y=x-2x+4=-x+4
∴y随x的增大而减小
∴当-2≤x≤5时，x=-2时，P的值最大
当x=-2时，P-2+4=6
即P的最大值为6.
（2）解：当k>0时，M=km-k+2，N=k(m-3)-k+2
由条件可知km-k+2-[k(m-3)-k+2]=9
解得k=3.
此时一次函数解析式为y=3x-1；
当k<0时，N=km-k+2，M=k(m-3)-k+2
由条件可知k(m-3)-k+2-(km-k+2)=9.
解得k=-3
此时一次函数解析式为y=-3x+5；
综上所述，一次函数解析式为y=3x-1或y=-3x+5
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)①把已知点的坐标代入y=kx-k+2中即可得到k的值；
②用x表示P得到P=-x+4，根据一次函数的性质，x=-2时，P的值最大，然后计算自变量为-2所对应的函数值即可；
(2)当k>0时，M=km-k+2，N=k(m-3)-k+2，则k(m-3)-k+2-(km-k+2)=9，当k<0时，N=km-k+2，M=k(m-3)-k+2，则k(m-3)-k+2-(km-k+2)=9，然后分别解方程求出k，从而得到对应的一次函数解析式.
24． 在Rt△ACB中， ∠ACB=90°，AC=BC， 点E在线段BC上， 连接AE， 作AF⊥AE且AF=AE。
（1） 如图1， 过点F作FD⊥AC交AC于点D， 求证： EC+CD=DF。
（2） 如图2， 连接BF交AC于点G， 若AG=3CG， 求证： 点E为BC中点。
（3）若点E为射线CB上一动点，连接BF与直线AC交于点G，当 时，则 　 　(直接写出结果)
【答案】（1）证明：∵∠FAD+∠CAE=90°，∠FAD+∠DFA=90°，
∴∠CAE=∠AFD.
在△ADF和△ECA中，
∴△ADF≌△ECA(AAS)，
∴AD=CE，FD=AC，
∴CE+CD=AD+CD=AC=FD，
即 EC+CD=DF
（2）证明：过点F作FD⊥AC于点D，如图所示.
∵△ADF≌△ECA，
∴FD=AC=BC，
在△FDG和△BCG中，
∴△FDG≌△BCG(AAS)，
∴GD=CG
∵
∴
∴
∵AD=CE，AC=BC，
∴
：.点E为BC的中点.
（3）
【知识点】三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：(3)当点E在CB的延长线上时，过点F作FD⊥AG，与AG的延长线交于点D，如图所示，
∵，BC=AC，CE=CB+BE，
∴
由(1) (2)知△ADF≌△ECA，△FDG≌△BCG，
∴CG=GD，AD=CE
∴
∴
设CG=GD=1.5x，则AG=AC+GC=8.5x，
∴
故答案为：.
【分析】(1)通过全等三角形△ADF≌△ECA的对应边相等得到：AD=CD，FD=AC，则利用等量代换和图形中相关线段间的和差关系证得结论；
(2)过F点作FD⊥AC交AC于D点，根据(1)中结论可得FD=AC=BC，即可证明△FDG≌△BCG，可得DG=CG，根据可证，根据AD=CE，AC=BC，即可解题；
(3)过F作FD⊥AG的延长线交于点D，易证，由(1)(2)可知△ADF≌△ECA，△FDG≌△BCG，可得CG=GD，AD=CE，即可求得的值，即可解题.
1 / 1浙江省台州市海山教育联盟2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试卷
一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分，请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分)
1．2025年全运会，浙江代表团创佳绩.如图所示的体育项目图案，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则第三边长可能是（　　）
A．2cm B．3cm C．6cm D．11cm
3．不等式r+1≤2的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．已知aA．a+2>b+2 B．-7a>-7b C．4a>4b D．1-2a<1-2b
5．下列选项中，能说明命题“对于任何实数a，都有 是假命题的a的值是（　　）
A．a=-3 B．a=-1 C．a=0 D．a=2
6．下列关于一次函数y=-x+2的说法中，错误的是（　　）
A．y随x的增大而减小
B．图象经过第一、二、四象限
C．图象经过点 (-1，1)
D．图象可由直线y=-x向上平移2个单位得到
7．如图， 在△ABC中， ∠ACB =90°，AC＜AB，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF.以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H， 连接AH.若BC=3， 则△AFH的周长为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
8． 如图， AD=AB=BC， 那么∠1和/2之间的关系是(　　)
A．∠1=∠2 B．2∠1+∠2 = 180°
C．∠1+3∠2 = 180° D．3∠1 -∠2= 180°
9．在平面直角坐标系中，若干个边长为2个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放。点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边 的路线运动，则第2026秒后点P的坐标是 （　　）
A．(1013，-） B．(1013，3) C．(1010，-） D．(1013，0)
10． 在平面直角坐标系中， 两个一次函数的表达式分别为y1= kx-k(k>0)和y2=-2x+4， 则下列说法正确的是（　　）
A．若x>1， 则 y1y2 >0 B．若x<2， 则y1y2<0
C．若 则x>2 D．若y1y2 >0， 则1二、填空题 (本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
11．在函数 中，自变量x的取值范围是　 　．
12．已知点A的坐标是 (1，2)，则点A向右平移2个单位后的坐标是　 　。
13．已知关于x的方程4x+m+1=2x 的解是正数，则m的取值范围是　 　
14． 如图， 在四边形)ABCD中， ∠ABC =∠ADC=90°，∠BAD =45°， M，N分别是对角线AC，BD的中点， BD=10， 则MN=　 　。
15．小明根据课本第84页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中的内容改编出如下问题：如图，分别以直角三角形的三条边为边，向外分别作正三角形，已知 则ΔABC的面积是　 　。
16． 如图， 在ΔABC中， AB=AC， 点D在△ABC内， AD平分∠BAC， 连结CD， 把△ADC沿CD折叠， AC落在CE处， 交AB于F， 恰有CA⊥AB.若BC=16，AD=7则∠ADC=　 　，EF=　 　.
三、解答题 (本大题有8个小题，第17-21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分。)
17．解下列不等式 (组)：
（1）4x+6≥x-3；
（2）
18． 如图， 在△ABC中， AD是△ABC的高线， AE是△ABC的角平分线。已知 ∠C = 40°， 求∠DAE的大小。
19． 如图， 在平面直角坐标系中， A(-1，4)，B(-3，3)，C(-2，1)。
（1） 求出△ABC的面积。
（2） 作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1。
（3）在y轴上找一点P，使得ΔPAC的周长最小，请在图中作出点P，并直接写出点P的坐标。
20． 如图， 在ΔABC中， ADLBC于点D，E为AC上一点， 连结BE交AD于点F， 且BF=AC，DF=DC。
（1） 求证：AD=BD
（2） 若AD=12，BF=13， 求AF的长。
21． 如图， 直线l1：y=2x+1与直线 相交于点P(1，b) 。
（1） 求b，m的值。
（2）垂直于x轴的直线x=a与直线l1，l2分别交于点C，D，若CD长为3，求a的值。
22．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用 (单位：万元)
1 3 220
3 2 310
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件。
（1）求A，B两种型号智能机器人的单价。
（2）现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过620万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种
23． 已知一次函数y= kx-k+2 (k为常数， 且k≠0)
（1） 若点 (3，-2) 在一次函数y= kx-k+2的图象上，
①求k的值。
②设P=y+x， 则当-2≤x≤5时求P的最大值。
（2）若当m-3≤x≤m时，函数有最大值M，最小值N，且M-N=9，求此时一次函数y的表达式。
24． 在Rt△ACB中， ∠ACB=90°，AC=BC， 点E在线段BC上， 连接AE， 作AF⊥AE且AF=AE。
（1） 如图1， 过点F作FD⊥AC交AC于点D， 求证： EC+CD=DF。
（2） 如图2， 连接BF交AC于点G， 若AG=3CG， 求证： 点E为BC中点。
（3）若点E为射线CB上一动点，连接BF与直线AC交于点G，当 时，则 　 　(直接写出结果)
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D.
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：7-3解得：4∴第三边长可能是6cm，
故选：C.
【分析】在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可得第三边长度的范围.
3．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：移项得，r≤1，
故此不等式的解集为：r≤1，
在数轴上表示为：
故答案为：B.
【分析】先求出不等式的解集，在数轴上表示出来即可.
4．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a∴a+2故A错误，不符合题意；
∵a∴-7a>-7b
故B正确，符合题意；
∵a∴4a<4b
故C错误，不符合题意；
∵a∴1-2a>1-2b，
故D错误，不符合题意；
故选：B.
【分析】根据不等式的性质，逐一验证即可.
5．【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、a=-3时，a2>0，不能说明命题"对于任何实数a，都有a2>0"是假命题，不符合题意；
B、a=-1时，a2>0，不能说明命题"对于任何实数a，都有a2>0"是假命题，不符合题意；
C、a=0时，a2=0，能说明命题"对于任何实数a，都有a2>0"是假命题，符合题意；
D、a=2时，a2>0，不能说明命题"对于任何实数a，都有a2>0"是假命题，不符合题意；
故选：C.
【分析】根据实数的平方、假命题的概念判断即可.
6．【答案】C
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A、由于一次函数y=-x+2中的k=-1<0，所以y随x的增大而减小，故不符合题意；
B、由于一次函数y=-x+2中的k=-1<0，b=2>0，所以图象过第一、二、四象限，故不符合题意；
C、令x=-1，则y=1+2=3，即一次函数y=-x+2图象经过点(-1，3)，故符合题意；
D、直线y=-x向上平移2个单位得到y=-x+2，故不符合题意；
故选：C.
【分析】根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与直线的交点以及一次函数图象与几何变换进行分析判断.
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：由作图可得DF垂直平分线段AB，
∴AF=BF，
∵以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，
∴AF=AH，
∴AF=AH=BF，
∵AC⊥BH，
∴CF=CH，
∴△AFH的周长=AF+AH+FH=2(AF+CF)=2(BF+CF)=2BC=6
故答案为：A.
【分析】根据作图可得DF垂直平分线段AB，利用线段垂直平分线的性质可得AF=BF，再根据等腰三角形的三线合一可得△AFH的周长=AF+AH+FH=2(AF+CF)=2(BF+CF)=2BC，即可求解.
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB=BC，
∴∠1=∠BCA，
∵AB=AD，
∴∠B=∠2，
∵∠1+∠B+∠ACB=180°，
∴2∠1+∠2=180°
故选：B.
【分析】由已知条件可得到∠2=∠B，∠1=∠BCA，在是△ABC中，由∠1+∠ACB+∠B=180°，可推出结论.
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图，作A1H⊥x轴于点H，
∵△OA1A2是边长为2个单位长度的等边三角形，
∴∠A1OH=60°，A1O=2，
∵A1H⊥x轴，
∴∠OA1H=30°，
∴，，
∴A1(1，3)，
由点P的运动速度及运动路径可得，点Pn的横坐标为，纵坐标按照，，，0，，，0，，，，0的变化规件，每12秒循环一次，
∵2026÷12=168...10，
∴点P2026的坐标是
故答案为：A.
【分析】作A1H⊥x轴于点H，利用等边三角形的特点求出，由点P的运动速度及运动路径可得点Pn的横坐标及纵坐标的变化规律，利用规律求解即可.
10．【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：由题知，函数y1=kx-k(k>0)的图象过定点(1，0)，
如图所示，
当x>1时，y1y2可能大于零，等于零，小于零；故A选项不符合题意；
当x<2时，y1y2可能大于零，等于零，小于零；故B选项不符合题意；
当x<1时，y1<0，y2>0；
当10，y2>0；
当x>2时，y1>0，y2<0；
所以当y1y2<0时，x<1或x>2；故C选项不符合题意；
当y1y2>0时，1故选：D.
【分析】根据所给函数解析式，得出函数y=kx-k(k>0)的图象过定点(1，0)，据此画出函数图象的大致示意图，再利用分类讨论的数学思想即可解决问题.
11．【答案】x≠3
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】∵在函数 中，x-3≠0，
∴x≠3．
故答案是：x≠3．
【分析】根据分式有意义的条件，即可求解．
12．【答案】(3，2)
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点(1，2)向右平移2个单位长度，可得点的坐标(1+2，2)，即(3，2)，
故答案为：(3，2).
【分析】根据点的平移规律"右加左减，上加下减"解题即可.
13．【答案】m<-1
【知识点】解一元一次不等式；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵4x+m+1=2x，
∴，
∵x的值是正数，
∴，
解得m<-1.
故答案为：m<-1.
【分析】先把m当作已知条件表示出x的值，再根据x是正数得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可.
14．【答案】5
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接MB，MD，
∵∠ABC=90°，M是AC中点，
∴，
∴MB=AM，
∴∠MAE=∠MBA
∴∠CMB=∠MAB+∠MBA=2∠MAB，
同理：，∠CMD=2∠MAD，
∴MB=MD，∠CMB+∠CMD=2(∠MAB+∠MAD)，
∴∠BMD=2∠BAD=2×45°=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形，
∵N是BD中点，
∴.
故答案为：5.
【分析】连接MB，MD，由直角三角形斜边中线的性质推出，得到MB=AM，因此∠MAB=∠MBA，由三角形外角的性质推出∠CMB=2∠MAB，同理∠CMD=2∠MAD，得到∠BMD=2∠BAD=90°，由直角三角形斜边中线的性质即可求解.
15．【答案】11
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设△ABC的面积为S，图中2个白色图形的面积分别为a、b，
∵S1+S2=S3，
∴S甲+a+S乙+b=SW+a+b+S，
∴S甲+S乙=SW+S，
∴S=S甲+S乙-SW=8+7-4=11
故答案为：11.
【分析】设△ABC的面积为S，图2中2个白色图形的面积分别为a、b，则S甲+a+S乙+b=SW+a+b+S，化简代入数值求解即可.
16．【答案】135°；
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由折叠的性质得到：∠CAD=∠E，∠ACD=∠ECD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠E=∠OAD，
∵CE⊥AB，
∴∠EFO=90°，
∵∠AOD=∠EOF
∴∠ADO=∠EFO=90°
∴∠ADC+∠EDC+∠ADO=360°，
∴2∠ADC=360°-90°
∴∠ADC=135°
延长AD交BC于H，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，，
∵∠CDH=180°-∠ADC=45°
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴DH=HC=5，
∴AH=AD+DH=7+5=12，
∴，
由折叠的性质得到CE=AC=AB=13，
∵△ABC的面积
∴13CF=10×12，
∴
∴
故答案为：135°；.
【分析】由折叠的性质得到：∠CAD=∠E，∠ACD=∠ECD，由垂直的定义得到∠EFO=90°，由三角形内角和定理得到∠ADO=∠EFO=90°，由∠ADC+∠EDC+∠ADO=360°，即可求出∠ADC的度数；
延长AD交BC于H，由等腰三角形的性质推出AH⊥BC，，求出∠CDH=45，得到△CDH是等腰直角三角形，因此DH=HC=5，得到AH=AD+DH=7+5=12，由勾股定理求出，由折叠的性质得到CE=AC=AB=13，由三角形面积公式得到△ABC的面积，即可求出EF的长.
17．【答案】（1）解：4x-x≥3-6
3x≥-9
x≥-3
（2）解：
解不等式①，得
解不等式②，得：
∴不等式组的解集为
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解不等式；
(2)分别求解不等式组中的两个不等式，再取它们的公共部分得到不等式组的解集.
18．【答案】解：∵∠BAC=80°，∠C=40°.
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=60°.
∵AE是△ABC的角平分线，
∴，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°
∴∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】先根据三角形内角和定理，计算出∠B，再利用角平分线的定义，得到，由AD是△ABC的高，得到∠BAD=90°-∠B，然后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD求解.
19．【答案】（1）解：△ABC的面积为
（2）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（3）解：如图，连接AC1，交y轴于点P，连接CP，
此时△PAC的周长为PA+PC+AC=PA+PC1+AC=AC1+AC为最小值，
则点P即为所求.
由图可得，P(0，3).
故答案为：P(0，3).
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】(1)利用割补法求三角形的面积即可；
(2)根据轴对称的性质作图即可；
(3)连接AC1，交y轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案.
20．【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠BDA=∠ADC=90°，
∵BF=AC，DF=DC，
∴△BFD≌△ACD(HL)，
∴BD=AD
（2）解：∵△BFD≌△ACD，AD=12，BF=13，
∴AC=BF=13
∵∠ADC=90°，
∴
∴DF=CD=5，
∴AF=AD-DF=7
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据AD⊥BC，得出∠BDA=∠ADC=90°，再根据SAS证明△BFD≌△ACD，即可推出结论；
(2)根据△BFD≌△ACD，得出AC=BF=13，由∠ADC=90°，利用勾股定理即可求出CD=5，进而得到DF=5，由AF=AD-DF即可得到结果.
21．【答案】（1）解：∵点P(1，b)在直线l1：y=2x+1上，
∴b=2×1+1=3；
∵点P(1，3)在直线l2：y=mx+4上，
∴3=m+4，
∴m=-1.
（2）解：当x=a时， yc=2a+1；
当x=a时，yD=4-a.
∵CD=3，
∴|2a+1-(4-a)|=3，
解得：a=0或a=2
∴a的值为0或2.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)由点P(1，b)在直线l1上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值，再将点P的坐标代入直线l2中，即可求出m值；
(2)由点C、D的横坐标，即可得出点C、D的纵坐标，结合CD=3即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论.
22．【答案】（1）解：设A型机器人单价为x万元，B型机器人单价为y万元，
解得
答：A型机器人单价为70万元，B型机器人单价为50万元.
（2）解：解：设购买A型机器人a台，则购买B型机器人(10-a)台，
解得
∴a的取值为5或6，
当a=5时，购买A型5台，B型5台；
当a=6时，购买A型6台，B型4台；
答：该企业有两种购买方案，分别为购买A型5台B型5台、购买A型6台B型4台.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)根据表格中两种购买组合的总费用，建立二元一次方程组，通过加减消元法求解A、B的单价；
(2)设购买A型机器人数量为a，表示出B型机器人数量，根据总价不超过620万元和每天分拣量不少于200万件建立不等式组，求解a的取值范围，得到整数解对应的购买方案.
23．【答案】（1）解：①由条件可得：3k-k+2=-2
解得k=-2；
②当k=-2时，y=-2x+4，
∴P=x+y=x-2x+4=-x+4
∴y随x的增大而减小
∴当-2≤x≤5时，x=-2时，P的值最大
当x=-2时，P-2+4=6
即P的最大值为6.
（2）解：当k>0时，M=km-k+2，N=k(m-3)-k+2
由条件可知km-k+2-[k(m-3)-k+2]=9
解得k=3.
此时一次函数解析式为y=3x-1；
当k<0时，N=km-k+2，M=k(m-3)-k+2
由条件可知k(m-3)-k+2-(km-k+2)=9.
解得k=-3
此时一次函数解析式为y=-3x+5；
综上所述，一次函数解析式为y=3x-1或y=-3x+5
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)①把已知点的坐标代入y=kx-k+2中即可得到k的值；
②用x表示P得到P=-x+4，根据一次函数的性质，x=-2时，P的值最大，然后计算自变量为-2所对应的函数值即可；
(2)当k>0时，M=km-k+2，N=k(m-3)-k+2，则k(m-3)-k+2-(km-k+2)=9，当k<0时，N=km-k+2，M=k(m-3)-k+2，则k(m-3)-k+2-(km-k+2)=9，然后分别解方程求出k，从而得到对应的一次函数解析式.
24．【答案】（1）证明：∵∠FAD+∠CAE=90°，∠FAD+∠DFA=90°，
∴∠CAE=∠AFD.
在△ADF和△ECA中，
∴△ADF≌△ECA(AAS)，
∴AD=CE，FD=AC，
∴CE+CD=AD+CD=AC=FD，
即 EC+CD=DF
（2）证明：过点F作FD⊥AC于点D，如图所示.
∵△ADF≌△ECA，
∴FD=AC=BC，
在△FDG和△BCG中，
∴△FDG≌△BCG(AAS)，
∴GD=CG
∵
∴
∴
∵AD=CE，AC=BC，
∴
：.点E为BC的中点.
（3）
【知识点】三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：(3)当点E在CB的延长线上时，过点F作FD⊥AG，与AG的延长线交于点D，如图所示，
∵，BC=AC，CE=CB+BE，
∴
由(1) (2)知△ADF≌△ECA，△FDG≌△BCG，
∴CG=GD，AD=CE
∴
∴
设CG=GD=1.5x，则AG=AC+GC=8.5x，
∴
故答案为：.
【分析】(1)通过全等三角形△ADF≌△ECA的对应边相等得到：AD=CD，FD=AC，则利用等量代换和图形中相关线段间的和差关系证得结论；
(2)过F点作FD⊥AC交AC于D点，根据(1)中结论可得FD=AC=BC，即可证明△FDG≌△BCG，可得DG=CG，根据可证，根据AD=CE，AC=BC，即可解题；
(3)过F作FD⊥AG的延长线交于点D，易证，由(1)(2)可知△ADF≌△ECA，△FDG≌△BCG，可得CG=GD，AD=CE，即可求得的值，即可解题.
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