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浙江省温州市2025-2026学年九年级上学期数学期末试卷数学（浙教版）
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分)
1．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
2． 已知2x=3y (y≠0)， 则下列结论成立的是 (　　)
A． B． C． D．
3．抛物线 与y轴交点的坐标是(　　)
A．(-3， 0) B．(1， 0) C．(0， - 3) D．(0， 3)
4．在如图所示的4×5的方格中，A，B，C，D是格点，线段AB是由线段CD位似放大得到的，则它们的位似中心可以是 (　　)
A．点P1 B．点P2 C．点P3 D．点P4
5．一个不透明的盒子内装有1个红球，2个白球，它们除颜色外其余均相同．从中随机摸出一个球，下列说法正确的是(　　)
A．一定摸到红球
B．一定摸到白球
C．摸到白球比摸到红球的可能性大
D．摸到红球比摸到白球的可能性大
6． 如图， 正六边形ABCDEF内接于⊙O， 连结AC， FC， 则∠ACF的度数为(　　)
A．30° B．36° C．45° D．60°
7．一段圆弧形的公路弯道，圆弧的半径是2km，弯道所对圆心角为10°，则该公路弯道的长为 (　　)
A． B． C． D．
8． 已知点 (-3， y1)， (m， y2) 在二次函数的图象上，若 则下列符合要求的m的值是 (　　)
A．– 2 B．– 1 C．1 D．2
9． 如图， 在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， ∠B=60°， BC=1．将△ABC绕点 C 顺时针旋转得△A'B'C (点A， A'对应)， 当点A'， B'， A在同一条直线上时，AA'的长为(　　)
A． B．3 C． D．4
10．已知抛物线 平移后经过点A (m+2， n)， B(m+6， n)， 且与直线y=1 只有一个交点，则n的值为(　　)
A．– 31 B．– 17 C．– 7 D．- 1
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11． 如图， ∠A 是⊙O的圆周角， ∠BOC=80°， 则∠A 等于　 　°．
12．某班一次抽奖活动，共准备了50张奖券，其中一等奖5张，从中随机抽取一张，抽中一等奖的概率为　 　．
13． 如图， 直线l1∥l2∥l3， 直线AC交l1， l2， l3于点A， B， C； 直线DF交l1， l2， l3于点D， E， F．已知 则DE的长为　 　．
14． 如图， AB是半圆O的直径， ∠ABC=20°， 则∠D等于　 　°．
15．一个球从地面上竖直向上弹起的高度h米与经过的时间t秒的关系式为 当球的高度第一次达到3.75米时，经过的时间t为　 　秒．
16． 如图， AB⊥CD于点B， 过C， A， D三点作圆弧， 其圆心为O， 作OE⊥AB于点E， OF⊥CD于点F．若 则 的值为　 　．
三、解答题(本题有8小题，共52分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)
17．已知 求 的值．
18．现有五张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，其中标有数字1，2的卡片在甲手中，标有数字3，4，5的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，请用画树状图或列表格的方法，求出两张卡片上的数字乘积为偶数的概率．
19．已知二次函数 的x，y的部分对应值如下表所示：
x …… 0 1 2 3 ……
y …… 3 0 -1 0 ……
求这个二次函数的表达式．
20．△ABC内接于⊙O， ∠C=70°， 请用直尺和圆规在⊙O上找一点D (不与点A，B重合)，使∠ABD=70°．如下是小温、小州两位同学的作图过程．
请你选择其中一种做法，判断对错，并说明理由．
解：我选择 ▲ (填“小温”或“小州”)的作法，该作法是 ▲ 的(填“正确”或“错误”)，理由如下：
21．某场馆承接了一场浙BA篮球赛，开放所有安检通道后平均每分钟可安检130人．由于观众不断前来场馆，在安检时段内，已到观众人数w人关于时间t分钟的关系式为w=-t2+180t+200(0≤t≤90)，设排队人数为y人(排队人数=已到观众人数一已通过安检人数)．
（1）求y关于t的函数表达式．
（2）排队人数在第几分钟达到最大值 最大排队人数为多少
22．如图， BD为□ABCD 的对角线， 延长DA至点E， 使 连结EC，分别交AB， BD于点 F， G．
（1） 求证： CD=3AF．
（2） 若FG=4， 求GC的长．
23．如图， C为线段AB延长线上一点， 过点 C作 CD⊥AB， 且CD=AB=2， 延长CD至点 P， 连结AP， 使∠P=∠CAD， 设BC=x， CP=y．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2） 当1≤x≤m时， y的最大值为10， 求m的值．
24． 如图1， 在 中， ∠ABC=90°， 点D在AC边上， 且BD=BC，以AB为直径作⊙O， 延长BD交⊙O于点E， 连结AE．
（1） 求证：
（2） 若CD=2AD，AB=6，求BE的长．
（3） 如图2， 记AC交⊙O于点F， 在BD上取点M， 连结FM并延长交⊙O于点N．
求证： FD·FA=FM·FN．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P在⊙O内，
∴OP符合的只有4cm
故答案为：A.
【分析】根据点与圆的位置关系判断点到圆心的距离与半径的大小关系，点在圆内则距离小于半径.
2．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵2x=3y(y≠0)，
∴
故选：D.
【分析】根据比例的性质，把乘积式写成比例式即可.
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：在y=x2+2x-3中，当x=0时，y=x2+2x-3=-3，
∴抛物线y=x2+2x-3与y轴的交点坐标为(0，-3)，
故选：C.
【分析】根据抛物线与y轴的交点坐标的横坐标为0进行求解即可.
4．【答案】B
【知识点】位似变换；位似中心的判断
【解析】【解答】解：位似中心是位似图形中对应顶点连线的交点，
观察方格图中各点位置，连接A与C、B与D，发现这两条线段的交点为点P2
因此位似中心是点P2.
故选：B.
【分析】需找到线段AB与线段CD对应顶点(如A与C、B与D)连线的交点，该交点即为位似中心.
5．【答案】C
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：A、因为盒子内装有1个红球，2个白球，从中随机摸出一个球，不一定摸到红球，不符合题意；
B、因为盒子内装有1个红球，2个白球，从中随机摸出一个球，不一定摸到白球，不符合题意；
C、因为摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，，所以摸到白球比摸到红球的可能性大，符合题意；
D、因为摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，，所以摸到白球比摸到红球的可能性大，不符合题意.
故选：C.
【分析】可能性大小与球的数量有关，数量越多，摸到的可能性就越大.
6．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA，
根据正六边形ABCDEF内接于⊙O，
得
故
故选：A.
【分析】连接OA，得，根据圆周角定理解答即可.
7．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵圆弧的半径是2km，弯道所对的圆心角为10°
∴该公路弯道的长为：(km)
故答案为：B.
【分析】根据圆弧长度公式，解答即可.
8．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由条件可知抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1
当点在对称轴左侧，即当x<-1时，y随x的增大而减小
当点在对称轴右侧，即当x>-1时，y随x的增大而增大
①(-3，y1)，(m，y2)在对称轴同侧，在对称轴左侧
∴m<-3
②(-3，y1)，(m，y2)在对称轴异侧，
∵(-3，y1)的对称点为(1，y1)，
∴m>1
综上，当y11，
故选：D.
【分析】先确定抛物线的对称轴和开口方向，然后根据二次函数的性质求解即可.
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=1，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2
∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C'，
由旋转的性质得：A'B'=AB=2，B'C=BC=1， A'C=AC， ∠A'=∠BAC=30°， ∠A'B'C=∠B=60°
∴△CAA'为等腰三角形，∠CAA'=∠A'=30°
∵A、B'、A'在同一条直线上，
∴∠A'B'C=∠B'AC+∠B'CA，
∴∠B'CA= 60°-30°=30°，
∴∠B'CA=∠CAA'
∴B'A=B'C=1，
∴AA'=AB'+A'B'=2+1=3，
故选：B.
【分析】利用直角三角形的性质求出AB的长度，再根据旋转的性质得到相关线段和角的关系，进而判断出△CAA'是等腰三角形，最后通过角度关系求出B'A的长度，从而得出AA'的长度.
10．【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：设平移后抛物线为：
由条件可知对称轴为直线，即h=m+4，
代入点A(m+2，n)，
，
∴k=n+2，
抛物线方程为，与直线y=1联立得：
，
解得n=-1
故选：D.
【分析】先根据抛物线平移性质设出平移后抛物线的顶点式，利用点A、B的对称性确定对称轴，代入点A坐标求出顶点纵坐标与n的关系，再根据抛物线与直线y=1只有一个交点的条件求出n的值.
11．【答案】40
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由圆周角定理得，
故答案为：40.
【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据概率的定义，抽中一等奖的概率等于一等奖奖券数量与总奖券数量的比值可得：
总奖券数为50张，一等奖奖券数为5张，
∴抽中一等奖的概率为
故答案为：.
【分析】先确定总奖券数和一等奖奖券数，再用一等奖奖券数除以总奖券数得到概率.
13．【答案】4
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：设DE的长为x，则EF=7-x，
∵l1//l2//l3，
∴
即
解得：x=4，
则DE的长为4，
故答案为：4.
【分析】根据l1//l2//l3，则，据此求解即可.
14．【答案】110
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=180°-∠ABC-∠ACB=70°，
∴∠D=180°-∠CAB=110°，
故答案为：110.
【分析】由直径所对的圆周角为直角可得∠ACB=90°，由三角形内角和定理求∠A，然后根据∠D=180°-∠A，计算求解即可.
15．【答案】0.5
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：据题意得：-5t2+10t=3.75，
整理得：4t2-8t+3=0，
(2t-1)(2t-3)=0，
解得：t=0.5或t=1.5，
∵第一次达到
∴t=0.5
故答案为：0.5.
【分析】根据题意，将高度代入关系式得到方程，解方程求时间t，取较小根即为第一次达到的时间.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接OC，OA，
设AE=5x，DB=y(x>0，y>0)，
∵，
∴BE=3x， CB=5y，
∴AB=AE+BE=8x，CD=CB+DB=6y，
∵OE⊥AB， OF⊥CD， AB⊥CD
∴∠OEB=∠EBF=∠OFB=90°，，
∴四边形BFOE为矩形，BF=CB-CF=2y
∴OE=BF=2y， OF=BE=3x，
在Rt△AOE中，OA2=AE2+OE2=(5x)2+(2y)2=25x2+4y2
在Rt△COF中，OC2=CF2+OF2=(3y)2+(3x)2=9y2+9x2
∵OA=OC
∴25x2+4y2=9y2+9x2，
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】连接OC，OA，设AE=5x，DB=y(>0，y>0)，得到BE=3x，CB=5y，AB=8x，CD=6y，根据OE⊥AB，OF⊥CD，AB⊥CD，得到四边形BFOE为矩形，CF=FD=3y，BF=2y，进而求出OE=2y，OF=3x，根据勾股定理得到OA2=25x2+4y2，OC2=9y2+9x2，进而得到25x2+4y2=9y2+9x2，求出，即可求解.
17．【答案】解：∵，
∴a=3b，
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】根据已知条件，可得a=3b，直接代入即可求得的值.
18．【答案】解：列表如下：
甲\乙 3 4 5
1 (1， 3) (1， 4) (1， 5)
2 (2， 3) (2， 4) (2， 5)
由表可知，共有6种等可能结果，其中两张卡片上的数字乘积为偶数的结果有4种，
∴积为偶数的概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两张卡片上的数字乘积为偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案.
19．【答案】解：由表可知 (1， 0) 和(3， 0) 为对称点，
∴该函数的顶点为 (2， - 1) ， 且a=1，
∴这个二次函数的表达式为
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】利用顶点式求二次函数解析式.
20．【答案】解：若选择小温的作法(图1)，则该作法是正确的
理由如下：连结AD，
∵AD=AB，
∴∠ABD=∠C=70°．
若选择小州的作法(图2)，则该作法是错误的理由如下：连结AD，
∴∠BAD=∠D=∠C=70°，
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】小温的作法正确，连结AD，可证明，得到∠ABD=∠C=70°；小州的作法错误，连结AD，可证明，得到∠BAD=∠D=∠C=70°，则可求出∠ABD=40°.
21．【答案】（1）解：由题意，得
（2）解：y=-t2+50t+200
=-(t-25)2+825
∴当t=25时，y有最大值为825
答：排队人数在第25分钟达到最大值，最大排队人数为825人．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)根据“排队人数=已到观众人数-已通过安检人数”，即可求解；
(2)对(1)所得的函数表达式进行配方，根据二次函数的性质求最大值即可.
22．【答案】（1）证明：
在□ABCD中， AB∥CD，
∴△EAF∽△EDC，
∴CD=3AF．
（2）解：在□ABCD中， AB=CD，
∵AB∥CD，
∴△FBG∽△CDG，
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质，得到平行线，再利用平行线去判定三角形的相似，即可得证；
(2)根据平行四边形的性质，得到平行线，再利用平行线去判定三角形的相似，解答即可.
23．【答案】（1）解：∵CD⊥AB， ∴∠ACD=∠PCA=90°，
∵∠P=∠CAD， ∴△ACD∽△PCA，
∵CD=AB=2， BC=x， CP=y，
可得
（2）解：
∴当x≥-2时， y随x增大而增大，
∴在1≤x≤m范围内， 当x=m时， y 最大值=10，代入后得

【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)先证明△ACD∽△PCA，利用相似三角形对应边成比例，推导出二次函数表达式；
(2)先根据二次函数的开口方向判断其增减性，再结合给定的x的取值范围，确定最大值出现在x=m处，代入表达式求解，结合条件筛选出符合要求的m值.
24．【答案】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AEB=90°．
∵BC=BD，
∴∠C=∠CDB．
∵∠CDB=∠EDA，
∴∠C=∠EDA，
∵∠ABC=∠AEB=90°，
∴△AED∽△ABC．
（2）解：∵△AED∽△ABC，
∵CD=2AD， AB=6，
（3）证明：连结AN， BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠ABF=∠C．
∵∠N=∠ABF， BC=BD
∴∠N=∠FDM．
∵∠MFD=∠AFN，
∴△FMD∽△FAN，
∴FD·FA=FM·FN．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理可得，∠AEB=90°，再根据等边对等角可得∠C=∠CDB，进而即可得证；
(2)根据相似三角形的性质可得，再将已知数据代入即可求解；
(3)连接AN，BF，根据角的转换和圆周角定理可得∠ABF=∠C，进而证明△FMD∽△FAN，即可得到FD·FA=FM·FN.
1 / 1浙江省温州市2025-2026学年九年级上学期数学期末试卷数学（浙教版）
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分)
1．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P在⊙O内，
∴OP符合的只有4cm
故答案为：A.
【分析】根据点与圆的位置关系判断点到圆心的距离与半径的大小关系，点在圆内则距离小于半径.
2． 已知2x=3y (y≠0)， 则下列结论成立的是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵2x=3y(y≠0)，
∴
故选：D.
【分析】根据比例的性质，把乘积式写成比例式即可.
3．抛物线 与y轴交点的坐标是(　　)
A．(-3， 0) B．(1， 0) C．(0， - 3) D．(0， 3)
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：在y=x2+2x-3中，当x=0时，y=x2+2x-3=-3，
∴抛物线y=x2+2x-3与y轴的交点坐标为(0，-3)，
故选：C.
【分析】根据抛物线与y轴的交点坐标的横坐标为0进行求解即可.
4．在如图所示的4×5的方格中，A，B，C，D是格点，线段AB是由线段CD位似放大得到的，则它们的位似中心可以是 (　　)
A．点P1 B．点P2 C．点P3 D．点P4
【答案】B
【知识点】位似变换；位似中心的判断
【解析】【解答】解：位似中心是位似图形中对应顶点连线的交点，
观察方格图中各点位置，连接A与C、B与D，发现这两条线段的交点为点P2
因此位似中心是点P2.
故选：B.
【分析】需找到线段AB与线段CD对应顶点(如A与C、B与D)连线的交点，该交点即为位似中心.
5．一个不透明的盒子内装有1个红球，2个白球，它们除颜色外其余均相同．从中随机摸出一个球，下列说法正确的是(　　)
A．一定摸到红球
B．一定摸到白球
C．摸到白球比摸到红球的可能性大
D．摸到红球比摸到白球的可能性大
【答案】C
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：A、因为盒子内装有1个红球，2个白球，从中随机摸出一个球，不一定摸到红球，不符合题意；
B、因为盒子内装有1个红球，2个白球，从中随机摸出一个球，不一定摸到白球，不符合题意；
C、因为摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，，所以摸到白球比摸到红球的可能性大，符合题意；
D、因为摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，，所以摸到白球比摸到红球的可能性大，不符合题意.
故选：C.
【分析】可能性大小与球的数量有关，数量越多，摸到的可能性就越大.
6． 如图， 正六边形ABCDEF内接于⊙O， 连结AC， FC， 则∠ACF的度数为(　　)
A．30° B．36° C．45° D．60°
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA，
根据正六边形ABCDEF内接于⊙O，
得
故
故选：A.
【分析】连接OA，得，根据圆周角定理解答即可.
7．一段圆弧形的公路弯道，圆弧的半径是2km，弯道所对圆心角为10°，则该公路弯道的长为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵圆弧的半径是2km，弯道所对的圆心角为10°
∴该公路弯道的长为：(km)
故答案为：B.
【分析】根据圆弧长度公式，解答即可.
8． 已知点 (-3， y1)， (m， y2) 在二次函数的图象上，若 则下列符合要求的m的值是 (　　)
A．– 2 B．– 1 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由条件可知抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1
当点在对称轴左侧，即当x<-1时，y随x的增大而减小
当点在对称轴右侧，即当x>-1时，y随x的增大而增大
①(-3，y1)，(m，y2)在对称轴同侧，在对称轴左侧
∴m<-3
②(-3，y1)，(m，y2)在对称轴异侧，
∵(-3，y1)的对称点为(1，y1)，
∴m>1
综上，当y11，
故选：D.
【分析】先确定抛物线的对称轴和开口方向，然后根据二次函数的性质求解即可.
9． 如图， 在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， ∠B=60°， BC=1．将△ABC绕点 C 顺时针旋转得△A'B'C (点A， A'对应)， 当点A'， B'， A在同一条直线上时，AA'的长为(　　)
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=1，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2
∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C'，
由旋转的性质得：A'B'=AB=2，B'C=BC=1， A'C=AC， ∠A'=∠BAC=30°， ∠A'B'C=∠B=60°
∴△CAA'为等腰三角形，∠CAA'=∠A'=30°
∵A、B'、A'在同一条直线上，
∴∠A'B'C=∠B'AC+∠B'CA，
∴∠B'CA= 60°-30°=30°，
∴∠B'CA=∠CAA'
∴B'A=B'C=1，
∴AA'=AB'+A'B'=2+1=3，
故选：B.
【分析】利用直角三角形的性质求出AB的长度，再根据旋转的性质得到相关线段和角的关系，进而判断出△CAA'是等腰三角形，最后通过角度关系求出B'A的长度，从而得出AA'的长度.
10．已知抛物线 平移后经过点A (m+2， n)， B(m+6， n)， 且与直线y=1 只有一个交点，则n的值为(　　)
A．– 31 B．– 17 C．– 7 D．- 1
【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：设平移后抛物线为：
由条件可知对称轴为直线，即h=m+4，
代入点A(m+2，n)，
，
∴k=n+2，
抛物线方程为，与直线y=1联立得：
，
解得n=-1
故选：D.
【分析】先根据抛物线平移性质设出平移后抛物线的顶点式，利用点A、B的对称性确定对称轴，代入点A坐标求出顶点纵坐标与n的关系，再根据抛物线与直线y=1只有一个交点的条件求出n的值.
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11． 如图， ∠A 是⊙O的圆周角， ∠BOC=80°， 则∠A 等于　 　°．
【答案】40
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由圆周角定理得，
故答案为：40.
【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.
12．某班一次抽奖活动，共准备了50张奖券，其中一等奖5张，从中随机抽取一张，抽中一等奖的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据概率的定义，抽中一等奖的概率等于一等奖奖券数量与总奖券数量的比值可得：
总奖券数为50张，一等奖奖券数为5张，
∴抽中一等奖的概率为
故答案为：.
【分析】先确定总奖券数和一等奖奖券数，再用一等奖奖券数除以总奖券数得到概率.
13． 如图， 直线l1∥l2∥l3， 直线AC交l1， l2， l3于点A， B， C； 直线DF交l1， l2， l3于点D， E， F．已知 则DE的长为　 　．
【答案】4
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：设DE的长为x，则EF=7-x，
∵l1//l2//l3，
∴
即
解得：x=4，
则DE的长为4，
故答案为：4.
【分析】根据l1//l2//l3，则，据此求解即可.
14． 如图， AB是半圆O的直径， ∠ABC=20°， 则∠D等于　 　°．
【答案】110
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=180°-∠ABC-∠ACB=70°，
∴∠D=180°-∠CAB=110°，
故答案为：110.
【分析】由直径所对的圆周角为直角可得∠ACB=90°，由三角形内角和定理求∠A，然后根据∠D=180°-∠A，计算求解即可.
15．一个球从地面上竖直向上弹起的高度h米与经过的时间t秒的关系式为 当球的高度第一次达到3.75米时，经过的时间t为　 　秒．
【答案】0.5
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：据题意得：-5t2+10t=3.75，
整理得：4t2-8t+3=0，
(2t-1)(2t-3)=0，
解得：t=0.5或t=1.5，
∵第一次达到
∴t=0.5
故答案为：0.5.
【分析】根据题意，将高度代入关系式得到方程，解方程求时间t，取较小根即为第一次达到的时间.
16． 如图， AB⊥CD于点B， 过C， A， D三点作圆弧， 其圆心为O， 作OE⊥AB于点E， OF⊥CD于点F．若 则 的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接OC，OA，
设AE=5x，DB=y(x>0，y>0)，
∵，
∴BE=3x， CB=5y，
∴AB=AE+BE=8x，CD=CB+DB=6y，
∵OE⊥AB， OF⊥CD， AB⊥CD
∴∠OEB=∠EBF=∠OFB=90°，，
∴四边形BFOE为矩形，BF=CB-CF=2y
∴OE=BF=2y， OF=BE=3x，
在Rt△AOE中，OA2=AE2+OE2=(5x)2+(2y)2=25x2+4y2
在Rt△COF中，OC2=CF2+OF2=(3y)2+(3x)2=9y2+9x2
∵OA=OC
∴25x2+4y2=9y2+9x2，
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】连接OC，OA，设AE=5x，DB=y(>0，y>0)，得到BE=3x，CB=5y，AB=8x，CD=6y，根据OE⊥AB，OF⊥CD，AB⊥CD，得到四边形BFOE为矩形，CF=FD=3y，BF=2y，进而求出OE=2y，OF=3x，根据勾股定理得到OA2=25x2+4y2，OC2=9y2+9x2，进而得到25x2+4y2=9y2+9x2，求出，即可求解.
三、解答题(本题有8小题，共52分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)
17．已知 求 的值．
【答案】解：∵，
∴a=3b，
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】根据已知条件，可得a=3b，直接代入即可求得的值.
18．现有五张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，其中标有数字1，2的卡片在甲手中，标有数字3，4，5的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，请用画树状图或列表格的方法，求出两张卡片上的数字乘积为偶数的概率．
【答案】解：列表如下：
甲\乙 3 4 5
1 (1， 3) (1， 4) (1， 5)
2 (2， 3) (2， 4) (2， 5)
由表可知，共有6种等可能结果，其中两张卡片上的数字乘积为偶数的结果有4种，
∴积为偶数的概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两张卡片上的数字乘积为偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案.
19．已知二次函数 的x，y的部分对应值如下表所示：
x …… 0 1 2 3 ……
y …… 3 0 -1 0 ……
求这个二次函数的表达式．
【答案】解：由表可知 (1， 0) 和(3， 0) 为对称点，
∴该函数的顶点为 (2， - 1) ， 且a=1，
∴这个二次函数的表达式为
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】利用顶点式求二次函数解析式.
20．△ABC内接于⊙O， ∠C=70°， 请用直尺和圆规在⊙O上找一点D (不与点A，B重合)，使∠ABD=70°．如下是小温、小州两位同学的作图过程．
请你选择其中一种做法，判断对错，并说明理由．
解：我选择 ▲ (填“小温”或“小州”)的作法，该作法是 ▲ 的(填“正确”或“错误”)，理由如下：
【答案】解：若选择小温的作法(图1)，则该作法是正确的
理由如下：连结AD，
∵AD=AB，
∴∠ABD=∠C=70°．
若选择小州的作法(图2)，则该作法是错误的理由如下：连结AD，
∴∠BAD=∠D=∠C=70°，
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】小温的作法正确，连结AD，可证明，得到∠ABD=∠C=70°；小州的作法错误，连结AD，可证明，得到∠BAD=∠D=∠C=70°，则可求出∠ABD=40°.
21．某场馆承接了一场浙BA篮球赛，开放所有安检通道后平均每分钟可安检130人．由于观众不断前来场馆，在安检时段内，已到观众人数w人关于时间t分钟的关系式为w=-t2+180t+200(0≤t≤90)，设排队人数为y人(排队人数=已到观众人数一已通过安检人数)．
（1）求y关于t的函数表达式．
（2）排队人数在第几分钟达到最大值 最大排队人数为多少
【答案】（1）解：由题意，得
（2）解：y=-t2+50t+200
=-(t-25)2+825
∴当t=25时，y有最大值为825
答：排队人数在第25分钟达到最大值，最大排队人数为825人．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)根据“排队人数=已到观众人数-已通过安检人数”，即可求解；
(2)对(1)所得的函数表达式进行配方，根据二次函数的性质求最大值即可.
22．如图， BD为□ABCD 的对角线， 延长DA至点E， 使 连结EC，分别交AB， BD于点 F， G．
（1） 求证： CD=3AF．
（2） 若FG=4， 求GC的长．
【答案】（1）证明：
在□ABCD中， AB∥CD，
∴△EAF∽△EDC，
∴CD=3AF．
（2）解：在□ABCD中， AB=CD，
∵AB∥CD，
∴△FBG∽△CDG，
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质，得到平行线，再利用平行线去判定三角形的相似，即可得证；
(2)根据平行四边形的性质，得到平行线，再利用平行线去判定三角形的相似，解答即可.
23．如图， C为线段AB延长线上一点， 过点 C作 CD⊥AB， 且CD=AB=2， 延长CD至点 P， 连结AP， 使∠P=∠CAD， 设BC=x， CP=y．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2） 当1≤x≤m时， y的最大值为10， 求m的值．
【答案】（1）解：∵CD⊥AB， ∴∠ACD=∠PCA=90°，
∵∠P=∠CAD， ∴△ACD∽△PCA，
∵CD=AB=2， BC=x， CP=y，
可得
（2）解：
∴当x≥-2时， y随x增大而增大，
∴在1≤x≤m范围内， 当x=m时， y 最大值=10，代入后得

【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)先证明△ACD∽△PCA，利用相似三角形对应边成比例，推导出二次函数表达式；
(2)先根据二次函数的开口方向判断其增减性，再结合给定的x的取值范围，确定最大值出现在x=m处，代入表达式求解，结合条件筛选出符合要求的m值.
24． 如图1， 在 中， ∠ABC=90°， 点D在AC边上， 且BD=BC，以AB为直径作⊙O， 延长BD交⊙O于点E， 连结AE．
（1） 求证：
（2） 若CD=2AD，AB=6，求BE的长．
（3） 如图2， 记AC交⊙O于点F， 在BD上取点M， 连结FM并延长交⊙O于点N．
求证： FD·FA=FM·FN．
【答案】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AEB=90°．
∵BC=BD，
∴∠C=∠CDB．
∵∠CDB=∠EDA，
∴∠C=∠EDA，
∵∠ABC=∠AEB=90°，
∴△AED∽△ABC．
（2）解：∵△AED∽△ABC，
∵CD=2AD， AB=6，
（3）证明：连结AN， BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠ABF=∠C．
∵∠N=∠ABF， BC=BD
∴∠N=∠FDM．
∵∠MFD=∠AFN，
∴△FMD∽△FAN，
∴FD·FA=FM·FN．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理可得，∠AEB=90°，再根据等边对等角可得∠C=∠CDB，进而即可得证；
(2)根据相似三角形的性质可得，再将已知数据代入即可求解；
(3)连接AN，BF，根据角的转换和圆周角定理可得∠ABF=∠C，进而证明△FMD∽△FAN，即可得到FD·FA=FM·FN.
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