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山东省烟台市2025-2026学年度高一第二学期期中学业水平诊断数学试题
一、单选题
1．已知复数满足（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量，满足，，，则（ ）
A． B．5 C． D．6
3．一水平放置的四边形，用斜二测画法画出其直观图为等腰梯形，如图所示，若，，则（ ）
A． B． C．3 D．4
4．已知圆台上、下底面半径分别是1和3，体积为，则该圆台的高为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
5．在中，，，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如图，为测量河对岸两点间的距离，在楼顶A处观察C的俯角为30°，观察点D的俯角为60°，B为楼底一点且平面，若楼高，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则角A的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数，且，下列说法正确的有（ ）
A．是纯虚数 B．若，则
C．是虚数 D．若，则是纯虚数
10．已知向量，，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若向量，夹角为锐角，则
C．若，则
D．若向量在方向上的投影向量为，则或
11．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知向量，，若，则的值为_____.
13．已知正三棱柱，，，则其外接球表面积为______.
14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_____；的最大值为_______.
四、解答题
15．复数，，其中i是虚数单位，且为纯虚数.
(1)求复数：
(2)设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，O为坐标原点，若以O，，，四个点为顶点构成的四边形为平行四边形，求复数.
16．如图，圆锥的母线长为，侧面展开图为半圆，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去圆柱.
(1)若，求剩下几何体的表面积；
(2)当挖去的圆柱侧面积最大时，求圆柱的体积.
17．如图，观测站C在目标A的南偏西方向，经过A处有一条南偏东走向的公路，在C处观测到有一轿车从A处沿此公路向B处行驶，行驶后到达D处，此时测得.
(1)求A，C两地的距离；
(2)若此轿车从D处继续行驶，经过20分钟后到达B处，且，求该车行驶的速度（单位：）.
18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.问题：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.
（注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答计分）
(1)求角的大小；
(2)D为上一点，且.
（i）若D满足，，求的值；
（ii）若D是线段的中点，求的最大值.
19．在中，，，点平面，，且点B，D位于直线两侧.
(1)若，，求的值；
(2)若为钝角，，求四边形面积的最大值.
参考答案
1．D
【详解】因为，则，
所以在复平面内对应的点为，位于第四象限.
2．A
解：．
3．C
【详解】在等腰梯形中，，，，则，
将直观图复原为原图，如图所示：
则，所以.
4．B
【详解】设圆台的高为，
则，解得．
5．B
【详解】因为，，
则，
若，则，所以.
6．C
解：由题可知，
又平面，平面，
，
又，所以，
又，所以．
7．D
【详解】以A为原点，、所在的直线分别为轴建立
如图所示的平面直角坐标系，则，，，
，所以，
设，故，
因为，所以，
则，，
所以，
因为，其对称轴为，取得最小值，
当，取得最大值，所以

8．A
【详解】设的外接圆半径为，
则，
因为，即，可得，
又因为，
由余弦定理可得，即，
且，所以.
9．ABD
【详解】因为复数，且，则.
对于选项A：是纯虚数，故A正确；
对于选项B：若，即，
则，所以，故B正确；
对于选项C：因为，
若，则为实数，故C错误；
对于选项D：若，则
因为，所以是纯虚数，故D正确.
10．BCD
【详解】因为向量，，则，
对于选项A：因为，，
若，则，解得，故A错误；
对于选项B：若向量，夹角为锐角，则，且向量，不共线，
则，解得，故B正确；
对于选项C：若，则，，
所以，故C正确；
对于选项D：因为向量在方向上的投影向量为，
则，解得或，故D正确.
11．ACD
【详解】因为，整理可得，
则，即，
且，则，可得，
即，所以，故A正确，B错误；
由余弦定理可得，即，
又因为，则，解得，
且，则，解得，
综上所述：，故C正确；
因为，
且在内单调递增，则，
所以，故D正确.
12．
【详解】因为向量，，则，
若，则，解得.
13．
【详解】设底面外接圆半径为，正三棱柱外接球的半径为，
则，解得，
，
则其外接球表面积为．
14． 3
【详解】由余弦定理和，可得，
所以，则；
由余弦定理，，
当且仅当，即时，等号成立，
而，
由可得为锐角，且，则，
故的最大值为.
15．(1)
(2)或或
【详解】（1）因为复数，，
则，
若为纯虚数，则，解得，
所以.
（2）由题意可知：，，则，，
因为以O，，，四个点为顶点构成的四边形为平行四边形，
若为平行四边形，则，
所以，即；
若为平行四边形，则，
所以，即；
若为平行四边形，则，
所以，即；
综上所述：或或.
16．(1)
(2)
【详解】（1）设圆锥的底面圆半径为，圆锥的高为，圆柱的底面圆半径为，圆柱的高为，
因为圆锥的侧面展开图为半圆，则，解得，
则圆锥的高，
若，则，，
所以剩下几何体的表面积为.
（2）因为，即，则，，
可得圆柱的侧面积为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当挖去的圆柱侧面积最大时，圆柱的体积为.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知：，
且，则为锐角，可得，
则，
在中，由正弦定理可得.
（2）在中，由余弦定理可得，
即，可得，解得或（舍去），
则，所以该车行驶的速度为.
18．(1)
(2)（i）；（ii）
（1）解：选择条件①：由正弦定理，
即，
，又，，
，即，
又因为，所以；
选择条件②：，
即，
解得，又，所以，
所以；
选择条件③：，
解得，又，，
，；
（2）（i）因为，和分别是与、同向的单位向量，
所以是的角平分线，即，
又，即，
化简得，即，
由余弦定理，可得，
即，
将代入上式可得，
令，则，
即，解得或(舍去)，
所以，则，
由正弦定理，可得，，
所以；
（ii）因为是线段的中点，所以，
，
，
由余弦定理，可得，即，
根据基本不等式，可得，即，当且仅当时取等号，
所以，则，
故的最大值为．
19．(1)
(2)
【详解】（1）在中，因为，，则，
由正弦定理可得，
又因为，则，
在中，由正弦定理可得，
又因为，则，
所以.
（2）在中，因为，则，
由正弦定理可得，
又因为，则，
且，则，
可得四边形面积
，
又因为，则，
当，即时，取得最大值，
所以四边形面积的最大值为.

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