资源简介

湖南省邵阳七中2026年数学中考模拟试卷（三）
1．某粮库10月份运进粮食100吨，记作+100吨.运出粮食80吨可记为（　　）
A．-80吨 B．+80吨 C．-20吨 D．+20吨
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵某粮库10月份运进粮食100吨，记作+100吨，
∴运出粮食80吨可记为-80吨
故答案为：A.
【分析】因为正负数表示两种具有相反意义的量，10月份运进粮食100吨，记作+100吨，所以运出粮食80吨可记为-80吨，据此解答.
2．下列四个数中，属于无理数的是（　　）
A． B．3.14 C．-5 D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是分数，属于有理数；
3.14是有限小数，可化为分数，属于有理数；
-5是整数，属于有理数；
是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，因此是无理数.
故答案为：D.
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数结合选项即可作出判断.
3．某校社团标识的图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C.是中心对称图形，故该选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】如果一个图形绕着某一点旋转180°能与本身重合，那么这个图形就是中心对称图形，根据中心对称图形的定义解答即可.
4．下列计算正确的是（　　）
A．a a2=a3 B．（a3）2=a5 C．a+a2=a3 D．a6÷a2=a3
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】A.符合题意.
B. 不符合题意.
C.不是同类项，不能合并. 不符合题意.
D. 不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂相乘的法则，可对A作出判断；利用幂的乘方的法则，可对B作出判断；根据同类项的定义及合并同类项的法则，可对C作出判断；根据同底数幂相除的法则，可对D作出判断；即可得出结果。
5． 2025年“国庆中秋”假期全市累计接待游客约5401400人次，实现旅游综合收入221078.54万元.将5401400用科学记数法表示为（　　）
A．54.014×105 B．5.4014×106
C．0.54014×107 D．5.4014×108
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：5401400=5.4014×106，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
6．一名快递员准备将一件包裹随机投放到“01”“02”“03”“04”四个空柜中的某个空柜，则投放到“01”空柜的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵总共有四个空柜，投放到“01"空柜的情况只有一种，
∴投放到“01”空柜的概率为.
故答案为：A.
【分析】直接利用概率公式求解.
7．下列物体的结构中，没有运用到三角形稳定性的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：A、B、D选项，都含有三角形，故利用了三角形的稳定性，不符合题意；C选项中，用到了四边形的不稳定性，符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三角形的稳定性，四边形的不稳定性的概念即可求解.
8．关于抛物线y=x2-6x+9，下列说法正确的是（　　）
A．顶点坐标为（9，0） B．对称轴是直线x=6
C．与x轴有两个不同的交点 D．当x＞3时，y随x的增大而增大
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=x2-6x+9=(x-3)2，a=1>0
∴其开口向上，对称轴为x=3，其顶点坐标为(3，0)，故A、B错误；
∴当x>3时，y随x的增大而增大，故D正确；
当y=0时，x2-6x+9=0，
则Δ=b2-4ac=(-6)2-4×1×9=36-36=0，
则与x轴有两个相同的交点即一个交点，故C错误；
故答案为：D.
【分析】根据y=x2-6x+9=(x-3)2，可知其开口向上，对称轴为x=3，其顶点坐标为(3，0)，当x>3时，y随x的增大而增大，可判断A，B，D；当y=0时，x2-6x+9=0，根据判别式可判断C.
9．如图，倒放在地面MN上的靠背椅ABCDE，其中四边形ABCD为正方形，边长为1，点C，D，E在同一直线上，∠BAN=30°.现将其绕点A顺时针旋转后，使得AB与地面MN重合，则点E旋转路径的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD为正方形，点C，D，E在同一直线上
∴EC//AB，∠CDA=∠EDA=90°
∴∠CEA=∠BAN=30°
∵AD=1
∴AE=2AD=2.
根据题意可知点E的旋转路径是以点A为圆心，AE长为半径，旋转角度为30°的弧长
∴
故答案为：B.
【分析】由正方形的性质得出EC//AB，∠CDA=∠EDA=90°，进而可知∠CEA=∠BAN=30°，由30度直角三角形的性质可知AE=2AD=2，再求出弧长即可.
10．如图，在 ABCD中，AB=12，AD=5，过点D作DE⊥AB于点E，且BE=3AE.点P是边AB上的一动点，连接CP，过点D作CP所在直线的垂线，垂足为点F，当点P在边AB上运动时，则DF的最大值为（　　）
A．4 B． C．5 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵AB=12，BE=3AE
∴AE+BE=4AE=12
∴AE=3
∵DE⊥AB
Rt△ADE中，AD=5，
由勾股定理得：
∵在平行四边形ABCD中，AB//CD，
∴无论p在AB上何处，△DPC的面积始终是平行四边形面积的一半，
∵平行四边形面积S=AB·DE=12×4=48，
∴
又∵DF⊥CP，
∴
整理得：，
∴要使DF最大，需要CP最小，
建立坐标系可知，点C到直线AB的垂足落在AB的延长线上(超出AB边范围)，
因此CP长度随P靠近B点逐渐减小，
当P与B重合时，CP最小，此时CP=BC=AD=5，
将CP最小=5代入，得.
故答案为：D.
【分析】先根据AB=12和BE=3AE求出AE=3，再在Rt△ADE中用勾股定理算出DE=4，进而得到平行四边形ABCD的面积为48，由此得出△DPC的面积为24；结合DF⊥CP得到，分析可知当CP最小时DF最大，而CP的最小值为BC=AD=5，最终求得DF的最大值为.
11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　 .
【答案】x≥2026
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义
∴x-2026≥0，
解得：x≥2026.
故答案为：x≥2026.
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零得到不等式，即可求解.
12．已知，则的值为 　 　 .
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴设a=2k，b=3k，
∴
故答案为：.
【分析】由，可设a=2k，b=3k，再代人所求式子中计算即可.
13．甲、乙两辆配送车从仓库出发，前往货运站配送货物.甲配送车提前出发，他们的配送距离s（千米）关于配送时间t（分钟）的函数图象如图所示，则乙配送车从出发到追上甲配送车需要　 　 分钟.
【答案】20
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：32-12=20(分钟).
故答案为：20.
【分析】根据图象即可得出答案.
14．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=46°，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN.点E在AB上，以点A为圆心，AE长为半径作弧，交AC于点F.再分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点G.作射线AG，交MN于点H，则∠AHN=　 　 °.
【答案】53
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
在△ABC中，∠B=60°，∠C=46°
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-46°=74°
由作图可知：AH是∠BAC的平分线，
∴，
由作图可知：MN垂直平分AC
∴∠AKH=90°
∴∠AHK=90°-∠HAK=53°
即∠AHN=53°.
故答案为：53.
【分析】根据三角形内角和得出∠BAC=74°，根据角平分线的定义得出，由作图可知∠AKH=90°，最后再由直角三角形两锐角互余即可得出答案.
15．某团队对A，B，C，D四类新型气象卫星的信号回传速率（单位：Mbps）进行了5次测试，测试数据的统计结果如下表：
卫星型号 A B C D
平均回传速率 60 63 58 63
回传速率方差 9.5 17.2 8.1 4.2
已知气象卫星对信号回传速率要求快且稳定，则性能最优的卫星是　 　 .（填“A”，“B”，“C”或“D”）
【答案】D
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：根据平均回传速率可知：C根据回传速率方差可知：D则性能最优的卫星是D.
故答案为：D.
【分析】根据平均回传速率可知B，D最大，根据方差越小越稳定可知D最稳定，综合可知性能最优的卫星是D.
16．求解三角形面积问题上我们有许多策略，比如等积变换法：利用平行线间距离处处相等，将所求面积转化到另一个图形中.
感知：如图1，边长为3的正方形ABCD与边长为2的正方形CEFG如图摆放，连接AC，易证AC∥EG，可求得S△AEG=　 　 ；
探究：如图2，已知①至⑤号正方形如图摆放，且②号正方形CEFG面积为4，，tan∠NML=1，则S△LOD=　 　 .
【答案】2；
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；正切的概念
【解析】【解答】解：∵AC//EG
∴点A到GE的距离等于点C到GE的距离，
由GE=GE
∴
连接BD，BL，
∵BD//LO
∴点D到直线LO的距离等于点B到直线LO的距离，
∴S△LOD=S△BOL，
∵②号正方形CEFG面积为4
∴CE=EF=2，
∵
∴BE=1.
∴
∵∠CEB+∠BCE=90°，∠CEB+∠FEH=90°
∴ ∠FEH= ∠BCE
由 ∠CBE= ∠EHF=90°
∴△CBE≌△EHF(AAS)
∴，BE=HF=1
∴FH=HI=JI=1
∵tan∠NML=1.
∴MN=NL
同理可证：△IMN≌△NLM(AAS)
∴MN=NL=JI=IM=1，
∴NO=LN=1
∴S△LOD=S△BOL
故答案为：2，.
【分析】由平行线的性质得出S△AEG=S△CEG即可求解；连接BD，BL，同理可知S△LOD=S△BOL，通过正方形性质以及函数的定义得出BE=1，BC，分别证明△CBE≌△EHF(AAS)，△IMN≌△NLM(AAS)，由全等三角形的性质和正方形的性质分别求出EH，HI，IM，MN，NO，LN，然后根据三角形面积公式计算即可.
17．计算：.
【答案】解：原式
=-3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据实数的运算、负整数指数幂、零次幂的运算法则进行计算即可.
18．先化简，再求值：（1-）÷，其中a=3.
【答案】解：
当a=3时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】将括号里通分，能分解因式的先分解因式，再进行化简求值即可.
19．如图，⊙O1与⊙O2相交于点A，B.连接AB，过点A的直线交⊙O1于点C，交⊙O2于点D，P为CD的中点，连接BP并延长交⊙O2于点F，交⊙O1于点E.求证：CE=DF.
【答案】解：∵，
∴∠C=∠B，∠B=∠D，
∴∠C=∠D，
∵P为CD的中点，
∴CP=DP．
在△CPE和△DPF中，
，
∴△CPE≌△DPF（ASA），
∴CE=DF
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】由同弧所对的圆周角相等，可证明∠B=∠C=∠D，证明△CPE≌△DPF(ASA)，则可证明CE=DF.
20．【问题提出】如图，某公园的湖泊内有一沙洲.因湖水较深，不能直接测量沙洲的长CD.
【方案设计】某课外活动小组在湖岸选定测绘点A，用某手机测量软件测得点C，D都在A的南偏西36.9°方向上.从测绘点A沿正西方向行走180米到测绘点B，测得点C恰好在点B的正南方，点D在点B的南偏东53.1°方向上.（，，）
【解决问题】
（1）求∠ADB的大小；
（2）求沙洲的长CD.
【答案】（1）解：如图，由题意得BC//AE，
∴∠BCA=∠CAE=36.9°
∴∠ADB=∠CBD+∠BCD=53.1°+36.9°=90°
（2）解：在Rt△ABD中，∠ABD=90°-∠CBD=36.9°，
∴(米)
在Rt△BCD中，∠BCD=36.9°
∴(米)
答：沙洲的长CD约为192米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】(1)由题意得BC//AE，由平行线的性质得出∠BCA=∠CAE=36.9°，由三角形外角的定义即可求出∠ADB；
(2)解Rt△ABD求出BD，解Rt△BCD即可求出CD.
21．某校随机选取部分同学开展“学生喜爱的体育活动”问卷调查（每人限填一项）.将学生喜爱的体育活动的调查结果分为以下五类，相关数据整理为如下不完整的扇形统计图和条形统计图.
A类：击剑、滑板等新兴潮流体育活动 B类：篮球、足球等球类竞技体育活动 C类：跳绳、趣味接力等校园趣味体育活动 D类：户外徒步、定向越野等校外拓展体育活动 E类：瑜伽、羽毛球等个人休闲体育活动
根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次抽取学生共　 　人，在扇形统计图中，D类所对应的圆心角是　 　度；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校学生总数为2400人，请估计该校喜爱E类体育活动的学生人数.
【答案】（1）108；60
（2）解：C类：108-6-54-18-9=21人；
如下图所示：

（3）解：(人)
∴估计该校喜爱E类体育活动的学生有200人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)54÷50%=108(人)
故答案为：108，60.
【分析】(1)用B类的人数除以占比即可求出总人数，再用360度乘以D类的占比即可求出对应的圆心角；
(2)求出C类的人数即可补全条形统计图；
(3)用样本估计总体即可.
22．某体育场馆为保障足球赛事顺利进行，计划采购甲、乙两类设备，助力场地修复.已知采购2台甲设备和1台乙设备需13万元，采购1台甲设备和3台乙设备需19万元.
（1）求甲设备和乙设备的单价分别是多少万元？
（2）该体育场馆计划采购甲、乙两种设备共计6台，且投入资金不超过28万元，请问至少需采购甲设备多少台？
【答案】（1）解：设甲设备的单价为x万元，乙设备的单价为y万元，
由题意得，
解得
∴甲设备的单价为4万元，乙设备的单价为5万元
（2）解：设采购甲设备m台，则采购乙设备(6-m)台，
由题意得4m+5(6-m)≤28，
解得m≥2，
∴至少需采购甲设备2台
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设甲设备单价为x万元，乙设备单价为y万元，根据已知的两种采购组合的费用列出方程组，求解方程组得到甲、乙设备的单价；
(2)设采购甲设备m台，则采购乙设备(6-m)台，根据投入资金不超过28万元列出不等式，求解不等式得到m的取值范围，进而确定m的最小值.
23．已知二次函数y=x2+bx-（1+b）.
（1）若（2，5）是二次函数图象上的一点，求b的值.
（2）如图1，若二次函数的图象交x轴正半轴于点A，B（点A在B左侧），交y轴正半轴于点C，且△ABC的面积为3.若b＜-2，在图象的对称轴上是否存在点K，使得∠AKC=2∠ABC？若存在，请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）如图2，若二次函数图象的对称轴为y轴.设点E是y轴正半轴上一点，过点E任意作一条直线与二次函数的图象交于P，Q两点，点F为函数图象下方的y轴上一点，当∠EFP=∠EFQ时，记点P，Q的横坐标分别为x1，x2，点F的纵坐标为m，试判断x1x2-m是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.
【答案】（1）解：(2，5)是二次函数y=x2+bx-(1+b)图象上的一点，将点的坐标代入得：
5=4+2b-(1+b)，
解得：b=2
（2）解：在图象的对称轴上存在点K，使得∠AKC=2∠ABC；
理由如下：
由题意得y=x2+bx-(1+b)=(x-1)(x+1+b)，
令y=0，则(x-1)(x+1+b)=0，
解得x1=1，x2=-1-b.
∵b<-2.
∴-1-b>1
∴x2>x1，
∴A(1， 0)，B(-1-b， 0)
当x=0时，得：y=-1-b，
∴点C的坐标为(0，-1-b)，
∴
解得：b1=-4，b2=1(不合题意，舍去)，
∴y=x2-4x+3=(x-2)2-1，
∴A(1， 0)，B(3， 0)，C(0， 3)
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB=45°
∴∠AKC=2∠ABC=2×45°=90°
令对称轴与x轴交于点G，如图1，过点C作CD⊥DG，垂足为点D，则点G(2，0)，
设点K(2，a)，分别连接AK，CK，则AG=1，KG=a，CD=2，DK=3-a；
当∠AKC=90°时，则∠CKD+∠AKG=90°，
在Rt△CDK中，∠DCK+∠CKD=90°
∴∠DCK=ZAKG
∵∠CDK=∠AGK=90°
∴△AKG~△KCD
∴
∴
解得：a1=2，a2=1，
∴K(2，1)或(2，2)
（3）解：x1x2-m是定值，理由如下：
∵二次函数的对称轴为y轴，
∴b=0
∴二次函数表达式为y=x2-1.
设直线PQ的表达式为y=kx+c(c>0)，
当x=0时，得：y=c.
∴点E(0，c).
如图2，过点P和点Q分别作PS⊥y轴，QT⊥y轴，垂足分别为点S和点T.
令点F(0， m)(m<-1)，P(x1， y1)，Q(x2， y2)，则点S(0，y1)，T(0，y2)
∵∠EFP=∠EFQ，∠SFP=∠TEQ=90°，
∴△PFS∽△QFT
∴
∴
∴x1m+x2m=x1y2+x2y1，
又∵，，
∴
∴x1x2-m=1，
故x1x2-m为定值，定值为1.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】(1)把点(2，5)代入y=x2+bx-(1+b)中即可求出b的值；
(2)先分别求出点A，B，C的坐标，再得出∠AKC=90°，令对称轴与x轴交于点G，过点C作CD⊥DG，垂足为点D，设点K(2，a)，分别连接AK，CK，再证明△AKG~△KCD，由相似三角形的性质进一步求解即可；
(3)先求出二次函数表达式，设直线PQ的表达式为y=kx+c(c>0)，则点E(0，c)，过点P和点Q分别作PS⊥y轴，QT⊥y轴，垂足分别为点S和点T，证明△PFS~△QFT，由相似三角形的性质得出，代入式子化简即可得出答案.
24．如图，在正方形ABCD中，点P在边AD上（点P不与点A，D重合），沿BP折叠正方形，使点A落在正方形内部的点M处.展开后，连接PM，BM，并延长PM交CD于点E，过点E作EF∥BC，分别交AB，BP于点F，N.
（1）如图1，当∠ABP=30°时，
①证明：△PNE是等边三角形；
②判断的值是否为定值？若是，求的值；若不是，请说明理由.
（2）如图2，若正方形边长为4，求CE PD（AP+AD）+8AP的最小值.
【答案】（1）解：①∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠ABC=90°．
由折叠得∠PBM=∠ABP=30°，∠APB=∠EPB，
∵EF∥BC，
∴∠BFE=180°-∠ABC=180°-90°=90°．
在Rt△BNF中，
∠BNF=180°-∠FBN-∠BFN=180°-30°-90°=60°，
∴∠PNE=∠FNB=60°．
在Rt△ABP中，
∠APB=180°-∠A-∠ABP=180°-90°-30°=60°，
∴∠EPB=∠APB=60°，
∴∠PEN=180°-∠EPN-∠PNE=180°-60°-60°=60°，
∴△PNE是等边三角形；
②为定值，，
理由如下：
设正方形边长为a，CE=BF=x，则DE=a-x，
在Rt△BFN中，，
∴，
Rt△PDE中，DE=a-x，∠PED=90°-∠PEN=30°
∴
∵NE=PE
∴，
解得，
∴
（2）解：设AP=n(0∴AP+AD=n+4
在Rt△BME和Rt△BCE中，
∴Rt△BME≌Rt△BCE(HL)
∴ME=CE
设CE=FB=m，则DE=4-m，PE=m+n
∵EF//BC
∴△BFN~△BAP，∠APB=∠BNF=∠BPE，
∴，
∴
∵∠APB=∠BPE=∠PNE，
∴PE=NE，
∴，
∴
∴
∴
=4n2-24n+64
=4(n-3)2+28
∴当AP=3时，CE·PD(AP+AD)+8AP取得最小值为28
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)①由折叠得∠PBM=∠ABP=30°，∠APB=∠EPB，由平行线的性质得出∠BFE=90°，由三角形内角和定理以及对顶角相等分别求出∠PNE=∠NPE=60°，进而可证明；
②设正方形边长为a，CE=x，则DE=a-x，分别表示出NE，PE，由等边三角形的性质可知NE=PE，即，整理即可得出答案；
(2)设AP=n(01 / 1湖南省邵阳七中2026年数学中考模拟试卷（三）
1．某粮库10月份运进粮食100吨，记作+100吨.运出粮食80吨可记为（　　）
A．-80吨 B．+80吨 C．-20吨 D．+20吨
2．下列四个数中，属于无理数的是（　　）
A． B．3.14 C．-5 D．
3．某校社团标识的图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A．a a2=a3 B．（a3）2=a5 C．a+a2=a3 D．a6÷a2=a3
5． 2025年“国庆中秋”假期全市累计接待游客约5401400人次，实现旅游综合收入221078.54万元.将5401400用科学记数法表示为（　　）
A．54.014×105 B．5.4014×106
C．0.54014×107 D．5.4014×108
6．一名快递员准备将一件包裹随机投放到“01”“02”“03”“04”四个空柜中的某个空柜，则投放到“01”空柜的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．下列物体的结构中，没有运用到三角形稳定性的是（　　）
A． B．
C． D．
8．关于抛物线y=x2-6x+9，下列说法正确的是（　　）
A．顶点坐标为（9，0） B．对称轴是直线x=6
C．与x轴有两个不同的交点 D．当x＞3时，y随x的增大而增大
9．如图，倒放在地面MN上的靠背椅ABCDE，其中四边形ABCD为正方形，边长为1，点C，D，E在同一直线上，∠BAN=30°.现将其绕点A顺时针旋转后，使得AB与地面MN重合，则点E旋转路径的长度为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在 ABCD中，AB=12，AD=5，过点D作DE⊥AB于点E，且BE=3AE.点P是边AB上的一动点，连接CP，过点D作CP所在直线的垂线，垂足为点F，当点P在边AB上运动时，则DF的最大值为（　　）
A．4 B． C．5 D．
11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　 .
12．已知，则的值为 　 　 .
13．甲、乙两辆配送车从仓库出发，前往货运站配送货物.甲配送车提前出发，他们的配送距离s（千米）关于配送时间t（分钟）的函数图象如图所示，则乙配送车从出发到追上甲配送车需要　 　 分钟.
14．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=46°，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN.点E在AB上，以点A为圆心，AE长为半径作弧，交AC于点F.再分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点G.作射线AG，交MN于点H，则∠AHN=　 　 °.
15．某团队对A，B，C，D四类新型气象卫星的信号回传速率（单位：Mbps）进行了5次测试，测试数据的统计结果如下表：
卫星型号 A B C D
平均回传速率 60 63 58 63
回传速率方差 9.5 17.2 8.1 4.2
已知气象卫星对信号回传速率要求快且稳定，则性能最优的卫星是　 　 .（填“A”，“B”，“C”或“D”）
16．求解三角形面积问题上我们有许多策略，比如等积变换法：利用平行线间距离处处相等，将所求面积转化到另一个图形中.
感知：如图1，边长为3的正方形ABCD与边长为2的正方形CEFG如图摆放，连接AC，易证AC∥EG，可求得S△AEG=　 　 ；
探究：如图2，已知①至⑤号正方形如图摆放，且②号正方形CEFG面积为4，，tan∠NML=1，则S△LOD=　 　 .
17．计算：.
18．先化简，再求值：（1-）÷，其中a=3.
19．如图，⊙O1与⊙O2相交于点A，B.连接AB，过点A的直线交⊙O1于点C，交⊙O2于点D，P为CD的中点，连接BP并延长交⊙O2于点F，交⊙O1于点E.求证：CE=DF.
20．【问题提出】如图，某公园的湖泊内有一沙洲.因湖水较深，不能直接测量沙洲的长CD.
【方案设计】某课外活动小组在湖岸选定测绘点A，用某手机测量软件测得点C，D都在A的南偏西36.9°方向上.从测绘点A沿正西方向行走180米到测绘点B，测得点C恰好在点B的正南方，点D在点B的南偏东53.1°方向上.（，，）
【解决问题】
（1）求∠ADB的大小；
（2）求沙洲的长CD.
21．某校随机选取部分同学开展“学生喜爱的体育活动”问卷调查（每人限填一项）.将学生喜爱的体育活动的调查结果分为以下五类，相关数据整理为如下不完整的扇形统计图和条形统计图.
A类：击剑、滑板等新兴潮流体育活动 B类：篮球、足球等球类竞技体育活动 C类：跳绳、趣味接力等校园趣味体育活动 D类：户外徒步、定向越野等校外拓展体育活动 E类：瑜伽、羽毛球等个人休闲体育活动
根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次抽取学生共　 　人，在扇形统计图中，D类所对应的圆心角是　 　度；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校学生总数为2400人，请估计该校喜爱E类体育活动的学生人数.
22．某体育场馆为保障足球赛事顺利进行，计划采购甲、乙两类设备，助力场地修复.已知采购2台甲设备和1台乙设备需13万元，采购1台甲设备和3台乙设备需19万元.
（1）求甲设备和乙设备的单价分别是多少万元？
（2）该体育场馆计划采购甲、乙两种设备共计6台，且投入资金不超过28万元，请问至少需采购甲设备多少台？
23．已知二次函数y=x2+bx-（1+b）.
（1）若（2，5）是二次函数图象上的一点，求b的值.
（2）如图1，若二次函数的图象交x轴正半轴于点A，B（点A在B左侧），交y轴正半轴于点C，且△ABC的面积为3.若b＜-2，在图象的对称轴上是否存在点K，使得∠AKC=2∠ABC？若存在，请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）如图2，若二次函数图象的对称轴为y轴.设点E是y轴正半轴上一点，过点E任意作一条直线与二次函数的图象交于P，Q两点，点F为函数图象下方的y轴上一点，当∠EFP=∠EFQ时，记点P，Q的横坐标分别为x1，x2，点F的纵坐标为m，试判断x1x2-m是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.
24．如图，在正方形ABCD中，点P在边AD上（点P不与点A，D重合），沿BP折叠正方形，使点A落在正方形内部的点M处.展开后，连接PM，BM，并延长PM交CD于点E，过点E作EF∥BC，分别交AB，BP于点F，N.
（1）如图1，当∠ABP=30°时，
①证明：△PNE是等边三角形；
②判断的值是否为定值？若是，求的值；若不是，请说明理由.
（2）如图2，若正方形边长为4，求CE PD（AP+AD）+8AP的最小值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵某粮库10月份运进粮食100吨，记作+100吨，
∴运出粮食80吨可记为-80吨
故答案为：A.
【分析】因为正负数表示两种具有相反意义的量，10月份运进粮食100吨，记作+100吨，所以运出粮食80吨可记为-80吨，据此解答.
2．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是分数，属于有理数；
3.14是有限小数，可化为分数，属于有理数；
-5是整数，属于有理数；
是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，因此是无理数.
故答案为：D.
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数结合选项即可作出判断.
3．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C.是中心对称图形，故该选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】如果一个图形绕着某一点旋转180°能与本身重合，那么这个图形就是中心对称图形，根据中心对称图形的定义解答即可.
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】A.符合题意.
B. 不符合题意.
C.不是同类项，不能合并. 不符合题意.
D. 不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂相乘的法则，可对A作出判断；利用幂的乘方的法则，可对B作出判断；根据同类项的定义及合并同类项的法则，可对C作出判断；根据同底数幂相除的法则，可对D作出判断；即可得出结果。
5．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：5401400=5.4014×106，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
6．【答案】A
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵总共有四个空柜，投放到“01"空柜的情况只有一种，
∴投放到“01”空柜的概率为.
故答案为：A.
【分析】直接利用概率公式求解.
7．【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：A、B、D选项，都含有三角形，故利用了三角形的稳定性，不符合题意；C选项中，用到了四边形的不稳定性，符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三角形的稳定性，四边形的不稳定性的概念即可求解.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=x2-6x+9=(x-3)2，a=1>0
∴其开口向上，对称轴为x=3，其顶点坐标为(3，0)，故A、B错误；
∴当x>3时，y随x的增大而增大，故D正确；
当y=0时，x2-6x+9=0，
则Δ=b2-4ac=(-6)2-4×1×9=36-36=0，
则与x轴有两个相同的交点即一个交点，故C错误；
故答案为：D.
【分析】根据y=x2-6x+9=(x-3)2，可知其开口向上，对称轴为x=3，其顶点坐标为(3，0)，当x>3时，y随x的增大而增大，可判断A，B，D；当y=0时，x2-6x+9=0，根据判别式可判断C.
9．【答案】B
【知识点】正方形的性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD为正方形，点C，D，E在同一直线上
∴EC//AB，∠CDA=∠EDA=90°
∴∠CEA=∠BAN=30°
∵AD=1
∴AE=2AD=2.
根据题意可知点E的旋转路径是以点A为圆心，AE长为半径，旋转角度为30°的弧长
∴
故答案为：B.
【分析】由正方形的性质得出EC//AB，∠CDA=∠EDA=90°，进而可知∠CEA=∠BAN=30°，由30度直角三角形的性质可知AE=2AD=2，再求出弧长即可.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵AB=12，BE=3AE
∴AE+BE=4AE=12
∴AE=3
∵DE⊥AB
Rt△ADE中，AD=5，
由勾股定理得：
∵在平行四边形ABCD中，AB//CD，
∴无论p在AB上何处，△DPC的面积始终是平行四边形面积的一半，
∵平行四边形面积S=AB·DE=12×4=48，
∴
又∵DF⊥CP，
∴
整理得：，
∴要使DF最大，需要CP最小，
建立坐标系可知，点C到直线AB的垂足落在AB的延长线上(超出AB边范围)，
因此CP长度随P靠近B点逐渐减小，
当P与B重合时，CP最小，此时CP=BC=AD=5，
将CP最小=5代入，得.
故答案为：D.
【分析】先根据AB=12和BE=3AE求出AE=3，再在Rt△ADE中用勾股定理算出DE=4，进而得到平行四边形ABCD的面积为48，由此得出△DPC的面积为24；结合DF⊥CP得到，分析可知当CP最小时DF最大，而CP的最小值为BC=AD=5，最终求得DF的最大值为.
11．【答案】x≥2026
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义
∴x-2026≥0，
解得：x≥2026.
故答案为：x≥2026.
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零得到不等式，即可求解.
12．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴设a=2k，b=3k，
∴
故答案为：.
【分析】由，可设a=2k，b=3k，再代人所求式子中计算即可.
13．【答案】20
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：32-12=20(分钟).
故答案为：20.
【分析】根据图象即可得出答案.
14．【答案】53
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
在△ABC中，∠B=60°，∠C=46°
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-46°=74°
由作图可知：AH是∠BAC的平分线，
∴，
由作图可知：MN垂直平分AC
∴∠AKH=90°
∴∠AHK=90°-∠HAK=53°
即∠AHN=53°.
故答案为：53.
【分析】根据三角形内角和得出∠BAC=74°，根据角平分线的定义得出，由作图可知∠AKH=90°，最后再由直角三角形两锐角互余即可得出答案.
15．【答案】D
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：根据平均回传速率可知：C根据回传速率方差可知：D则性能最优的卫星是D.
故答案为：D.
【分析】根据平均回传速率可知B，D最大，根据方差越小越稳定可知D最稳定，综合可知性能最优的卫星是D.
16．【答案】2；
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；正切的概念
【解析】【解答】解：∵AC//EG
∴点A到GE的距离等于点C到GE的距离，
由GE=GE
∴
连接BD，BL，
∵BD//LO
∴点D到直线LO的距离等于点B到直线LO的距离，
∴S△LOD=S△BOL，
∵②号正方形CEFG面积为4
∴CE=EF=2，
∵
∴BE=1.
∴
∵∠CEB+∠BCE=90°，∠CEB+∠FEH=90°
∴ ∠FEH= ∠BCE
由 ∠CBE= ∠EHF=90°
∴△CBE≌△EHF(AAS)
∴，BE=HF=1
∴FH=HI=JI=1
∵tan∠NML=1.
∴MN=NL
同理可证：△IMN≌△NLM(AAS)
∴MN=NL=JI=IM=1，
∴NO=LN=1
∴S△LOD=S△BOL
故答案为：2，.
【分析】由平行线的性质得出S△AEG=S△CEG即可求解；连接BD，BL，同理可知S△LOD=S△BOL，通过正方形性质以及函数的定义得出BE=1，BC，分别证明△CBE≌△EHF(AAS)，△IMN≌△NLM(AAS)，由全等三角形的性质和正方形的性质分别求出EH，HI，IM，MN，NO，LN，然后根据三角形面积公式计算即可.
17．【答案】解：原式
=-3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据实数的运算、负整数指数幂、零次幂的运算法则进行计算即可.
18．【答案】解：
当a=3时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】将括号里通分，能分解因式的先分解因式，再进行化简求值即可.
19．【答案】解：∵，
∴∠C=∠B，∠B=∠D，
∴∠C=∠D，
∵P为CD的中点，
∴CP=DP．
在△CPE和△DPF中，
，
∴△CPE≌△DPF（ASA），
∴CE=DF
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】由同弧所对的圆周角相等，可证明∠B=∠C=∠D，证明△CPE≌△DPF(ASA)，则可证明CE=DF.
20．【答案】（1）解：如图，由题意得BC//AE，
∴∠BCA=∠CAE=36.9°
∴∠ADB=∠CBD+∠BCD=53.1°+36.9°=90°
（2）解：在Rt△ABD中，∠ABD=90°-∠CBD=36.9°，
∴(米)
在Rt△BCD中，∠BCD=36.9°
∴(米)
答：沙洲的长CD约为192米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】(1)由题意得BC//AE，由平行线的性质得出∠BCA=∠CAE=36.9°，由三角形外角的定义即可求出∠ADB；
(2)解Rt△ABD求出BD，解Rt△BCD即可求出CD.
21．【答案】（1）108；60
（2）解：C类：108-6-54-18-9=21人；
如下图所示：

（3）解：(人)
∴估计该校喜爱E类体育活动的学生有200人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)54÷50%=108(人)
故答案为：108，60.
【分析】(1)用B类的人数除以占比即可求出总人数，再用360度乘以D类的占比即可求出对应的圆心角；
(2)求出C类的人数即可补全条形统计图；
(3)用样本估计总体即可.
22．【答案】（1）解：设甲设备的单价为x万元，乙设备的单价为y万元，
由题意得，
解得
∴甲设备的单价为4万元，乙设备的单价为5万元
（2）解：设采购甲设备m台，则采购乙设备(6-m)台，
由题意得4m+5(6-m)≤28，
解得m≥2，
∴至少需采购甲设备2台
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设甲设备单价为x万元，乙设备单价为y万元，根据已知的两种采购组合的费用列出方程组，求解方程组得到甲、乙设备的单价；
(2)设采购甲设备m台，则采购乙设备(6-m)台，根据投入资金不超过28万元列出不等式，求解不等式得到m的取值范围，进而确定m的最小值.
23．【答案】（1）解：(2，5)是二次函数y=x2+bx-(1+b)图象上的一点，将点的坐标代入得：
5=4+2b-(1+b)，
解得：b=2
（2）解：在图象的对称轴上存在点K，使得∠AKC=2∠ABC；
理由如下：
由题意得y=x2+bx-(1+b)=(x-1)(x+1+b)，
令y=0，则(x-1)(x+1+b)=0，
解得x1=1，x2=-1-b.
∵b<-2.
∴-1-b>1
∴x2>x1，
∴A(1， 0)，B(-1-b， 0)
当x=0时，得：y=-1-b，
∴点C的坐标为(0，-1-b)，
∴
解得：b1=-4，b2=1(不合题意，舍去)，
∴y=x2-4x+3=(x-2)2-1，
∴A(1， 0)，B(3， 0)，C(0， 3)
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB=45°
∴∠AKC=2∠ABC=2×45°=90°
令对称轴与x轴交于点G，如图1，过点C作CD⊥DG，垂足为点D，则点G(2，0)，
设点K(2，a)，分别连接AK，CK，则AG=1，KG=a，CD=2，DK=3-a；
当∠AKC=90°时，则∠CKD+∠AKG=90°，
在Rt△CDK中，∠DCK+∠CKD=90°
∴∠DCK=ZAKG
∵∠CDK=∠AGK=90°
∴△AKG~△KCD
∴
∴
解得：a1=2，a2=1，
∴K(2，1)或(2，2)
（3）解：x1x2-m是定值，理由如下：
∵二次函数的对称轴为y轴，
∴b=0
∴二次函数表达式为y=x2-1.
设直线PQ的表达式为y=kx+c(c>0)，
当x=0时，得：y=c.
∴点E(0，c).
如图2，过点P和点Q分别作PS⊥y轴，QT⊥y轴，垂足分别为点S和点T.
令点F(0， m)(m<-1)，P(x1， y1)，Q(x2， y2)，则点S(0，y1)，T(0，y2)
∵∠EFP=∠EFQ，∠SFP=∠TEQ=90°，
∴△PFS∽△QFT
∴
∴
∴x1m+x2m=x1y2+x2y1，
又∵，，
∴
∴x1x2-m=1，
故x1x2-m为定值，定值为1.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】(1)把点(2，5)代入y=x2+bx-(1+b)中即可求出b的值；
(2)先分别求出点A，B，C的坐标，再得出∠AKC=90°，令对称轴与x轴交于点G，过点C作CD⊥DG，垂足为点D，设点K(2，a)，分别连接AK，CK，再证明△AKG~△KCD，由相似三角形的性质进一步求解即可；
(3)先求出二次函数表达式，设直线PQ的表达式为y=kx+c(c>0)，则点E(0，c)，过点P和点Q分别作PS⊥y轴，QT⊥y轴，垂足分别为点S和点T，证明△PFS~△QFT，由相似三角形的性质得出，代入式子化简即可得出答案.
24．【答案】（1）解：①∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠ABC=90°．
由折叠得∠PBM=∠ABP=30°，∠APB=∠EPB，
∵EF∥BC，
∴∠BFE=180°-∠ABC=180°-90°=90°．
在Rt△BNF中，
∠BNF=180°-∠FBN-∠BFN=180°-30°-90°=60°，
∴∠PNE=∠FNB=60°．
在Rt△ABP中，
∠APB=180°-∠A-∠ABP=180°-90°-30°=60°，
∴∠EPB=∠APB=60°，
∴∠PEN=180°-∠EPN-∠PNE=180°-60°-60°=60°，
∴△PNE是等边三角形；
②为定值，，
理由如下：
设正方形边长为a，CE=BF=x，则DE=a-x，
在Rt△BFN中，，
∴，
Rt△PDE中，DE=a-x，∠PED=90°-∠PEN=30°
∴
∵NE=PE
∴，
解得，
∴
（2）解：设AP=n(0∴AP+AD=n+4
在Rt△BME和Rt△BCE中，
∴Rt△BME≌Rt△BCE(HL)
∴ME=CE
设CE=FB=m，则DE=4-m，PE=m+n
∵EF//BC
∴△BFN~△BAP，∠APB=∠BNF=∠BPE，
∴，
∴
∵∠APB=∠BPE=∠PNE，
∴PE=NE，
∴，
∴
∴
∴
=4n2-24n+64
=4(n-3)2+28
∴当AP=3时，CE·PD(AP+AD)+8AP取得最小值为28
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)①由折叠得∠PBM=∠ABP=30°，∠APB=∠EPB，由平行线的性质得出∠BFE=90°，由三角形内角和定理以及对顶角相等分别求出∠PNE=∠NPE=60°，进而可证明；
②设正方形边长为a，CE=x，则DE=a-x，分别表示出NE，PE，由等边三角形的性质可知NE=PE，即，整理即可得出答案；
(2)设AP=n(01 / 1

展开更多......

收起↑