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湖南省衡阳一中教育集团2026年中考数学自检试卷
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C．3.1415926 D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】选项A：是分数，属于有理数，不符合要求；
选项B：，2是整数，属于有理数，不符合要求；
选项C：3.1415926是有限小数，属于有理数，不符合要求；
选项D：是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合要求；
故答案为：D.
【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数.
2．去年，江苏省城市足球联赛热度空前，赛事全程吸引现场总观众人数超2430000.将2430000用科学记数法表示，正确的是（　　）
A．243×104 B．24.3×105 C．2.43×106 D．0.243×107
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2430000=2.43×106.
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|≤10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
3．下列各式计算正确的是（　　）
A．a3 a2=a6 B．（a3）4=a7
C．a6÷a2=a4 D．（2a2b）3=2a6b3
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：a3·a2=a3+2=a5≠a6，故A选项错误，不符合题意；
(a3)4=a3×4=a12≠a7，故B选项错误，不符合题意；
a6÷a2=a6-2=a4，故C选项正确，符合题意；
(2a2b)3=23a2×3b3=8a6b3≠2a6b3，故D选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，对每个选项逐一计算判断即可.
4．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光.以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、选项图形不能找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，不符合题意；
B、选项图形能找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，符合题意；
C、选项图形不能找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，不符合题意；
D、选项图形不能找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形的概念求解即可.
5．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解x+1>0得，x>-1；
解得，x≤1，
∴不等式组的解集为：-1数轴表示如下，
故答案为：D.
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可.
6．某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（　　）
A．130 B．158 C．160 D．192
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：从小到大排序为130，141，158，179，192，最中间的数是158，
∴中位数是158，
故答案为：B.
【分析】先把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，即可解答.
7．若函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣2 B．m＜0 C．m＞﹣2 D．m＞0
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，
∴m+2<0
解得：m<-2，
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的性质可得m+2<0，再解不等式公式即可.
8．如图，直线m∥n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线m于点C.若∠1=60°，则∠2的度数为（　　）
A．30° B．20° C．40° D．50°
【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵AC⊥AB
∴∠BAC=90°
∵m//n，∠1=60°
∴∠CAD=∠1=60°
∴∠2=180°-∠BAC-∠CAD=30°，
故答案为：A.
【分析】先根据垂直的定义得出∠BAC=90°，再利用平行线的性质得出∠CAD=∠1=60°，即可求解.
9．用四根长度相等的木条制作学具，先制作图（1）所示的正方形ABCD，测得，活动学具成图（2）所示的四边形ABCD，测得∠A=120°，则图（2）中BD的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图(1)所示，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=90°，
∴，
∴AB=BC=CD=AD=10cm
如图(2)所示，连接AC，BD，二者交于点O，
由图(1)可知AB=BC=CD=AD=10cm，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴BD=2OB，
∴∠ABO=90°-60°=30°，
∴，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】在图(1)中由正方形的性质和勾股定理可求出AB=BC=CD=AD=10cm，在图(2)中可证明四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，则可推出∠OBA=30°，据此求出OA、OB的长，则可求出BD的长.
10．桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子 备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械.桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM=3米，AB是杠杆，AB=6米，OA：OB=2：1.当点A位于最高点时，∠AOM=120°.此时，点A到地面的距离为（　　）
A．米 B．5米 C．6米 D．7米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过O作EF⊥OM，过A作AG⊥EF于G，
∵AB=6米，OA：OB=2：1，
∴OA=4米
∵∠AOM=120°，∠EOM=90°
∴∠AOE=30°
在Rt△AOG中，AG=AO·sin30°=2 (米)
点A位于最高点时到地面的距离为2+3=5(米)
∴点A到地面的距离为5米；
故答案为：B.
【分析】过O作EF⊥OM，过A作AG⊥EF于G，求出∠AOE=30°，进而求出AG=AO·sin30°=2，即可求解.
11．因式分解： =　 　.
【答案】m(m-n)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 =m(m-n).
故答案是：m(m-n).
【分析】在这个多项式中，有公因式m可以提取，用提公因式法可求解。
12．分式方程的解为　 　．
【答案】x=1
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：3x=x+2，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解
故答案为：x=1.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
13．计算：=　 　 .
【答案】4
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
=10-6
=4.
故答案为：4.
【分析】利用平方差公式进行计算即可.
14．抛物线y=3（x+1）2+4的顶点在第　 　 象限.
【答案】二
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：根据二次函数顶点式特征可知：抛物线y=3(x+1)2+4的顶点坐标为(-1，4)，
∴顶点在第二象限
故答案为：二.
【分析】根据二次函数顶点式特征解答即可.
15．如图，在扇形纸扇中，若∠AOB=150°，OA=12，则的长为　 　 .
【答案】10π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：弧AB的长为
故答案为：10π.
【分析】利用弧长公式求解即可.
16．如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD=2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC-CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP.设点P的运动时间为t（s），DP2为y.当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示.有以下四个结论：①AB=3；②当t=5时，y=1；③当4≤t≤6时，1≤y≤3；④动点P沿BC-CA匀速运动时，两个时刻t1，t2（t1＜t2）分别对应y1和y2，若t1+t2=6，则y1＞y2.其中正确结论的序号是　 　 .
【答案】①②④
【知识点】函数的图象；等边三角形的性质；勾股定理；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：由题意，当P到C时，DP2=y=7，
∴DC2=7
作DH⊥BC于H，如图1所示，
∵∠B=60°， BD=2，
∴，
∴
∴BC=BH+CH=1+2=3.
∴AB=BC=3，故①正确
∴此时t=AB÷1=3(秒).
∴当t=5时，P在AC上，且PC=2，
如图2，AD=AP=1，
又∠A=60°
∴△ADP是等边三角形
∴DP=AD=AP=1.
∴y=DP2=1，故②正确
当4≤t≤6时，如图3，
∴PC=1，此时P从如图的位置运动到A.
∴
∴，此时P运动到H时y=DH2取最小值为
又∵
∴
∴此时y=DP2取最大值为3
∴当4≤t≤6时，，故③错误；
∵t1+t2=6，t1∴t1+t2<2t2， 2t1∴t1<3，t2>3
又由题意，可得，当0≤t≤3时，y=(t-1)2+3；当3≤t≤6时，
∴y1=(t1-1)2+3，
∴
=3-t1>0.
∴y1>y2，故④正确；
故答案为：①②④.
【分析】依据题意，当P到C时，DP2=y=7，可得DC2=7，再作DH⊥BC于H，进而求出，CH=2，故可判断①；找出t=5时，P的位置，进而可以判断②；再由当4≤t≤6时，此时P从如图的位置运动到A，紧扣特殊位置进行分析可得，，故可判断③；又由t1+t2=6，t13，再结合当0≤t≤3时，y=(t-1)2+3；当3≤t≤6时，，从而作差，故可判断④.
17．计算：
【答案】解：
=1+3-+
=4
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据0指数幂及负整数指数幂的运算法则及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可.
18．先化简，后求值：（x+1）2-（x-2）（x+2），其中x=3.
【答案】解：(x+1)2-(x-2)(2+x)
=x2+2x+1-(x2-4)
=x2+2x+1-x2+4
=2x+5，
把x=3代入得：原式=2×3+5=11
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式和平方差公式对原式进行化简，再将x=3代入化简后的式子求值.
19．某校为了解学生寒假参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查，家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等.学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次被抽取的学生人数为　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是　 　°；
（4）若该校有学生2400人，请估计该校寒假参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数.
【答案】（1）100
（2）解：“3项”的人数为100-3-30-42-10=15，

（3）36
（4）解：若该校有学生2400人，请估计该校寒假参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数为：
∵“3项及以上”的学生人数为15+10=25人，
∴(人)
答：估计该校寒假参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数为600
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)由条形统计图可知，参加1项家务劳动有30人，占比为30%
∴本次被抽取的学生人数为30÷30%=100
故答案为：100.
(3)在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是
故答案为：36.
【分析】(1)根据参加1项家务劳动的人数和占比求解总人数即可；
(2)根据总人数以及其余几项的人数求解并作图即可；
(3)“4项及以上”的人数求解圆心角即可；
(4)根据“3项及以上”的学生人数求解即可.
20．春节贴春联的民俗起于宋代并在明代开始盛行.南宋诗人陆游在《己酉元日》中写道：“桃符呵笔写，椒酒过花斟.”这里的“桃符”就是春联.某超市在春节前夕欲购进A，B两种春联进行销售，已知购进1副A种春联与2副B种春联共需18元，购进2副A种和3副B种春联共需31元.
（1）求A种春联和B种春联的单价分别为多少元？
（2）该超市计划购买A种春联和B种春联共300副，总费用不超过2100元，那么最多能购买A种春联多少副？
【答案】（1）解：设A种春联单价为x元，B种春联单价为y元，
根据题意得
解得
∴A种春联单价为8元，B种春联单价为5元
（2）解：设购买A种春联a副，则购买B种春联(300-a)副，
根据题意得，8a+5(300-a)≤2100
化简得3a≤600
解得a≤200
∴最多能购买A种春联200副
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】(1)根据题干给出的两种购进总价的条件，设未知数列出二元一次方程组求解即可得到单价；
(2)根据总费用不超过2100元的限制，设未知数列出一元一次不等式，求解即可得到A种春联的最大购买数量.
21．如图，点C为矩形ABCD和正方形CEFG的公共顶点，点E，F在矩形的边AD，AB上，FG交BC于点H.
（1）求证：AE=CD；
（2）连接GE，若CD=4，F是AB的中点，求GE和GH的长.
【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°．
∵四边形CEFG是正方形，
∴EF=CE，∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC．
在△AEF和△DCE中：
，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
∴AE=CD
（2）解：如图，过点G作GM⊥BC，交BC于M，
∴∠GMH=∠GMC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，CD=4
∴AB=CD=4，∠B=∠D=∠GMC=∠BCD=∠GMH=90°
∵F为AB中点，
∴
由(1)得△AEF≌△DCE，
∴DE=AF=2.
在Rt△CDE中，
∵四边形CEFG是正方形，
∴，∠GCE=∠BCD=90°
∴∠GCM=∠ECD，
在Rt△GCE中，，
∵∠GMC=90°
∴∠CGM+∠GCM=90°
∵∠GCE=90°，
∴∠DCE+∠GCM=90°，
∴∠CGM=∠DCE
在△CGM和△CED中，
∴△CGM≌△CED(AAS)
∴GM=DE=2=BF
在△FBH和△GMH中
∴△FBH≌△GMH(ASA)，
∴FH=GH
∵
∴
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)根据矩形、正方形内角为90°的性质，推导等角，用AAS证三角形全等，得出线段相等关系；
(2)先利用全等求DE长度，通过勾股定理算出CE、GE；再过点G作GM⊥BC，证△CGM≌△CED得对应线段相等，最后证△FBH≌△GMH，得到FH=GH，从而求出GH长.
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=mx+n的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3）和点B（3，-1）.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若P是第四象限内双曲线上的点（不与点B重合），连接OP，过点P作y轴的平行线，与直线AB相交于点C，连接OC.若△POC的面积为，求点P的坐标.
【答案】（1）解：由条件可得：，，
解得：k=-3，a=-1，
∴A(-1，3)，反比例函数的解析式为
把A(-1，3)，B(3，-1)代入y=mx+n得，
解得
∴一次函数的解析式为y=-x+2
（2）解：如图，设
由条件可知C(m，-m+2)，
当点C1在点P1上方时，
，
∵P是第四象限内双曲线上的点
∴m>0，
∴
整理得，m2-2m+2=0，
∵Δ=(-2)2-4×1×2=-4<0，
∴该方程无实数根，此种情况不存在；
当点C在点P下方时，
∴
整理得，m2-2m-8=0
解得：m1=4，m2=-2(舍去)
∴
∴
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】(1)把A(a，3)、B(3，-1)代入(k≠0)，求出k=-3，a=-1，可得反比例函数解析式和A(-1，3)，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
(2)设，则C(m，-m+2)，分点C在点P上方和下方两种情况，分别用m表示出CP的长，利用三角形面积公式得出关于m的一元二次方程，解方程求出m的值，进而可得出点P坐标.
23．如图，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线PA，C是⊙O上一点（点C与点A不重合），且PC=PA，连接AC，BC，BP，BP交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，CD.
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若BD＞AD，AB=4，，求∠PAD的度数；
（3）记△PCE的面积为S1，△ABE的面积为S2，四边形PABC的面积为S，若满足，试证明：
①PC∥AB；
②PA AD=AC CD.
【答案】（1）解：如图1，PA是⊙O的切线，连接OP，OC，
∴OA⊥PA，即∠PAO=90°，
在△APO和△CPO中，
，
∴△APO≌△CPO（SSS），
∴∠PCO=∠PAO=90°，
∴半径OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠PAO=90°，
∴∠PAB=∠ADB=90°，
∴∠PAD=90°-∠BAD=∠ABP，
设∠ABP=∠PAD=θ，AD=b，DB=a，则，
∴AP=ABtanθ=4tanθ，
∵，，，则a＞b，
∴，，
又∵（a+b）2=a2+b2+2ab
=
=
=，
∴或（不合题意，舍去），
又∵，
∴，
∵a＞b，
∴，
，
∴，
∴∠PAD=30°
（3）解：①如图2，过点C作CF⊥PB于点F，
记△PAE的面积为S3，△BCE的面积为S4，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
∴，
∴S3=S4，
∴S3+S2=S4+S2，即S△PAB=S△ABC，
∴C到AB的距离和P到AB的距离相等，
∴PC∥AB；
②∵PA⊥AB，PC∥AB，
∴∠APC=180°-∠PAB=180°-90°=90°，
∴PA⊥PC，
∵PA，PC是⊙O的切线，
∴PA=PC，
∴△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PAC=45°，
∴∠CAB=90°-45°=45°，
∴∠ABC=90°-45°=45°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC=180°-∠ABC=135°，
又∵∠ADP=∠ADB=90°，
∴∠PDC=360°-135°-90°=135°=∠ADC，
∵，
∴∠ACD=∠ABD，
又∵PC∥AB，
∴∠ABD=∠CPD，
∴∠ACD=∠CPD，
∴△ACD∽△CPD，
∴，
∴PC AD=AC CD，
又∵PA=PC，
∴PA AD=AC CD
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的判定与性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)连接OP，OC，根据OA⊥PA，可得∠PAO=90°，证明△APO≌△CPO(SSS)，得出∠PCO=∠PAO=90°，即可得证；
(2)设∠ABP=θ， AD=b， DB=a， 则，进而根据完全平方公式变形，勾股定理，求得，进而即可求解；
(3)①过点C作CF⊥PB于F、记△PAE的面积为S3，△BCE的面积为S4，根据已知等式变形，得出S3=S4，进而证明PC//AB；
②证明△ACD~△CPD得出PC·AD=AC·CD，结合PA=PC，即可得证.
24．中国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万乘休”.在函数的学习中，常常利用数形结合思想来探究函数的图象与性质.我们不妨约定：图象经过平面直角坐标系中三个象限的函数称为“之一函数”，例如一次函数y=5x+7经过第一、二、三象限，即属于“之一函数”.
（1）在下列关于x的函数中，是“之一函数”的是　 　（填序号）.
①y=2x；②；③y=x2-4x+3；
（2）①若关于x的二次函数y=mx2-4mx+m+2是“之一函数”，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（其中x1＜x2），与y轴交于点C，且mx1-x1+mx2-x2=0，求该二次函数的解析式.
②在①的条件下，点P是二次函数y=mx2-4mx+m+2图象第一象限上的点，问是否存在点P，使得∠PCA=45°，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由.
（3）若关于x的二次函数y=ax2+bx+c是“之一函数”，其图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是AB的中点，点O是坐标原点，已知c≥a＞0，且，试求：的最大值.
【答案】（1）③
（2）解：①由题意可得：
即x1、x2为方程mx2-4mx+m+2=0的解，
∴
∵mx1-x1+mx2-x2=(m-1)(x1+x2)=0，即(m-1)·4=0，
解得m=1
∴二次函数的解析式为y=x2-4x+3；
②由二次函数的解析式为y=x2-4x+3，
当y=0时，x2-4x+3=0，
解得x1=1，x2=3，
故点A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，
将点A(1，0)绕点C逆时针旋转90°得到点D(3，4)，连接AC、CD、AD，取AD中点为G，连接CG并延长，交抛物线与点P，如下图所示：
∵∠ACD=90°， AC=CD，
∴三角形ACD为等腰直角三角形，
即∠DCA=45°.
∵G为AD中点
故CG⊥AD，且G点坐标为，即G(2，2)，
∴∠CGA=90°
∴∠GCA=45°=∠PCA，
令直线CG函数表达式为yCG=kCGx+bCG，
将点C(0，3)，G(2，2)代入yCG=kCGx+bCG，
得
解得
故直线CG函数表达式为yCG=-1x+3，
联立函数y=x2-4x+3和，
得方程，
解得x=0或
将代入，得，该点坐标在第一象限内
∴点P坐标为
（3）解：若关于x的二次函数y=ax2+bx+c是“之一函数”，其图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是AB的中点，点O是坐标原点，则
设A(x1， 0)，B(x2， 0)，
即方程ax2+bx+c=0的两解为x1，x2，
∴，
∴
二次函数y=ax2+bx+c的顶点是
∵
∴
∴
∴
∴
∴
化简得b2=4a2+4ac，
设，
则
令
∴
∵c≥a>0
∴，
∴当t=1时，m的值最大，为
∴的最大值为
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值；旋转的性质；等腰直角三角形；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：(1)我们不妨约定：图象经过平面直角坐标系中三个象限的函数称为“之一函数”，例如一次函数y=5x+7经过第一、二、三象限，即属于“之一函数”
对于函数①：y=2x，
该函数为正比例函数，且图象呈现上升型，
∴函数图象在第一、三象限内，
故不属于“之一函数”；
对于函数②：(m≠0)
该函数为反比例函数，
∴函数图象在第一、三象限内或在二、四象限内
故不属于“之一函数”；
对于函数③：y=x2-4x+3
开口方向向上，故一定经过一、二象限，
∵y=x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x-2)2-1，
故顶点坐标为(2，-1)，在第四象限，
又∵y=x2-4x+3与y轴交点为y轴正半轴，故不经过第三象限；
综上，只有函数③：y=x2-4x+3经过第一、二、四象限
故答案为：③.
【分析】(1)根据正比例函数，反比例函数，二次函数的图象逐个判断即可；其中正比例函数，反比例函数可直接判断，二次函数需要画出草图，再判断；
(2)①根据韦达定理得出x1+x2=4，代入mx1-x1+mx1-x1=0，求解出m的值，即可得出二次函数的解析式；
②由二次函数的解析式为y=x2-4x+3，得出点A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，将点A(1，0)绕点C逆时针旋转90°得到点D(3，4)，连接AC、CD、AD，取AD中点为G，连接CG并延长，交抛物线于点P，求出点G坐标，得到直线CG函数表达式，联立函数y=x2-4x+3和，得出交点的坐标即可；
(3)由根与系数的关系得到，，二次函数y=ax2+bx+c的顶点是，由，化简得b2=4a2+4ac，令，换算得，当t=1时，m的值最大，进而即可求解.
1 / 1湖南省衡阳一中教育集团2026年中考数学自检试卷
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C．3.1415926 D．
2．去年，江苏省城市足球联赛热度空前，赛事全程吸引现场总观众人数超2430000.将2430000用科学记数法表示，正确的是（　　）
A．243×104 B．24.3×105 C．2.43×106 D．0.243×107
3．下列各式计算正确的是（　　）
A．a3 a2=a6 B．（a3）4=a7
C．a6÷a2=a4 D．（2a2b）3=2a6b3
4．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光.以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（　　）
A．130 B．158 C．160 D．192
7．若函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣2 B．m＜0 C．m＞﹣2 D．m＞0
8．如图，直线m∥n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线m于点C.若∠1=60°，则∠2的度数为（　　）
A．30° B．20° C．40° D．50°
9．用四根长度相等的木条制作学具，先制作图（1）所示的正方形ABCD，测得，活动学具成图（2）所示的四边形ABCD，测得∠A=120°，则图（2）中BD的长是（　　）
A． B． C． D．
10．桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子 备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械.桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM=3米，AB是杠杆，AB=6米，OA：OB=2：1.当点A位于最高点时，∠AOM=120°.此时，点A到地面的距离为（　　）
A．米 B．5米 C．6米 D．7米
11．因式分解： =　 　.
12．分式方程的解为　 　．
13．计算：=　 　 .
14．抛物线y=3（x+1）2+4的顶点在第　 　 象限.
15．如图，在扇形纸扇中，若∠AOB=150°，OA=12，则的长为　 　 .
16．如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD=2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC-CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP.设点P的运动时间为t（s），DP2为y.当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示.有以下四个结论：①AB=3；②当t=5时，y=1；③当4≤t≤6时，1≤y≤3；④动点P沿BC-CA匀速运动时，两个时刻t1，t2（t1＜t2）分别对应y1和y2，若t1+t2=6，则y1＞y2.其中正确结论的序号是　 　 .
17．计算：
18．先化简，后求值：（x+1）2-（x-2）（x+2），其中x=3.
19．某校为了解学生寒假参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查，家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等.学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次被抽取的学生人数为　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是　 　°；
（4）若该校有学生2400人，请估计该校寒假参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数.
20．春节贴春联的民俗起于宋代并在明代开始盛行.南宋诗人陆游在《己酉元日》中写道：“桃符呵笔写，椒酒过花斟.”这里的“桃符”就是春联.某超市在春节前夕欲购进A，B两种春联进行销售，已知购进1副A种春联与2副B种春联共需18元，购进2副A种和3副B种春联共需31元.
（1）求A种春联和B种春联的单价分别为多少元？
（2）该超市计划购买A种春联和B种春联共300副，总费用不超过2100元，那么最多能购买A种春联多少副？
21．如图，点C为矩形ABCD和正方形CEFG的公共顶点，点E，F在矩形的边AD，AB上，FG交BC于点H.
（1）求证：AE=CD；
（2）连接GE，若CD=4，F是AB的中点，求GE和GH的长.
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=mx+n的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3）和点B（3，-1）.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若P是第四象限内双曲线上的点（不与点B重合），连接OP，过点P作y轴的平行线，与直线AB相交于点C，连接OC.若△POC的面积为，求点P的坐标.
23．如图，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线PA，C是⊙O上一点（点C与点A不重合），且PC=PA，连接AC，BC，BP，BP交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，CD.
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若BD＞AD，AB=4，，求∠PAD的度数；
（3）记△PCE的面积为S1，△ABE的面积为S2，四边形PABC的面积为S，若满足，试证明：
①PC∥AB；
②PA AD=AC CD.
24．中国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万乘休”.在函数的学习中，常常利用数形结合思想来探究函数的图象与性质.我们不妨约定：图象经过平面直角坐标系中三个象限的函数称为“之一函数”，例如一次函数y=5x+7经过第一、二、三象限，即属于“之一函数”.
（1）在下列关于x的函数中，是“之一函数”的是　 　（填序号）.
①y=2x；②；③y=x2-4x+3；
（2）①若关于x的二次函数y=mx2-4mx+m+2是“之一函数”，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（其中x1＜x2），与y轴交于点C，且mx1-x1+mx2-x2=0，求该二次函数的解析式.
②在①的条件下，点P是二次函数y=mx2-4mx+m+2图象第一象限上的点，问是否存在点P，使得∠PCA=45°，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由.
（3）若关于x的二次函数y=ax2+bx+c是“之一函数”，其图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是AB的中点，点O是坐标原点，已知c≥a＞0，且，试求：的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】选项A：是分数，属于有理数，不符合要求；
选项B：，2是整数，属于有理数，不符合要求；
选项C：3.1415926是有限小数，属于有理数，不符合要求；
选项D：是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合要求；
故答案为：D.
【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2430000=2.43×106.
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|≤10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：a3·a2=a3+2=a5≠a6，故A选项错误，不符合题意；
(a3)4=a3×4=a12≠a7，故B选项错误，不符合题意；
a6÷a2=a6-2=a4，故C选项正确，符合题意；
(2a2b)3=23a2×3b3=8a6b3≠2a6b3，故D选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，对每个选项逐一计算判断即可.
4．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、选项图形不能找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，不符合题意；
B、选项图形能找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，符合题意；
C、选项图形不能找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，不符合题意；
D、选项图形不能找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形的概念求解即可.
5．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解x+1>0得，x>-1；
解得，x≤1，
∴不等式组的解集为：-1数轴表示如下，
故答案为：D.
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可.
6．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：从小到大排序为130，141，158，179，192，最中间的数是158，
∴中位数是158，
故答案为：B.
【分析】先把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，即可解答.
7．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，
∴m+2<0
解得：m<-2，
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的性质可得m+2<0，再解不等式公式即可.
8．【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵AC⊥AB
∴∠BAC=90°
∵m//n，∠1=60°
∴∠CAD=∠1=60°
∴∠2=180°-∠BAC-∠CAD=30°，
故答案为：A.
【分析】先根据垂直的定义得出∠BAC=90°，再利用平行线的性质得出∠CAD=∠1=60°，即可求解.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图(1)所示，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=90°，
∴，
∴AB=BC=CD=AD=10cm
如图(2)所示，连接AC，BD，二者交于点O，
由图(1)可知AB=BC=CD=AD=10cm，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴BD=2OB，
∴∠ABO=90°-60°=30°，
∴，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】在图(1)中由正方形的性质和勾股定理可求出AB=BC=CD=AD=10cm，在图(2)中可证明四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，则可推出∠OBA=30°，据此求出OA、OB的长，则可求出BD的长.
10．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过O作EF⊥OM，过A作AG⊥EF于G，
∵AB=6米，OA：OB=2：1，
∴OA=4米
∵∠AOM=120°，∠EOM=90°
∴∠AOE=30°
在Rt△AOG中，AG=AO·sin30°=2 (米)
点A位于最高点时到地面的距离为2+3=5(米)
∴点A到地面的距离为5米；
故答案为：B.
【分析】过O作EF⊥OM，过A作AG⊥EF于G，求出∠AOE=30°，进而求出AG=AO·sin30°=2，即可求解.
11．【答案】m(m-n)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 =m(m-n).
故答案是：m(m-n).
【分析】在这个多项式中，有公因式m可以提取，用提公因式法可求解。
12．【答案】x=1
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：3x=x+2，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解
故答案为：x=1.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
13．【答案】4
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
=10-6
=4.
故答案为：4.
【分析】利用平方差公式进行计算即可.
14．【答案】二
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：根据二次函数顶点式特征可知：抛物线y=3(x+1)2+4的顶点坐标为(-1，4)，
∴顶点在第二象限
故答案为：二.
【分析】根据二次函数顶点式特征解答即可.
15．【答案】10π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：弧AB的长为
故答案为：10π.
【分析】利用弧长公式求解即可.
16．【答案】①②④
【知识点】函数的图象；等边三角形的性质；勾股定理；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：由题意，当P到C时，DP2=y=7，
∴DC2=7
作DH⊥BC于H，如图1所示，
∵∠B=60°， BD=2，
∴，
∴
∴BC=BH+CH=1+2=3.
∴AB=BC=3，故①正确
∴此时t=AB÷1=3(秒).
∴当t=5时，P在AC上，且PC=2，
如图2，AD=AP=1，
又∠A=60°
∴△ADP是等边三角形
∴DP=AD=AP=1.
∴y=DP2=1，故②正确
当4≤t≤6时，如图3，
∴PC=1，此时P从如图的位置运动到A.
∴
∴，此时P运动到H时y=DH2取最小值为
又∵
∴
∴此时y=DP2取最大值为3
∴当4≤t≤6时，，故③错误；
∵t1+t2=6，t1∴t1+t2<2t2， 2t1∴t1<3，t2>3
又由题意，可得，当0≤t≤3时，y=(t-1)2+3；当3≤t≤6时，
∴y1=(t1-1)2+3，
∴
=3-t1>0.
∴y1>y2，故④正确；
故答案为：①②④.
【分析】依据题意，当P到C时，DP2=y=7，可得DC2=7，再作DH⊥BC于H，进而求出，CH=2，故可判断①；找出t=5时，P的位置，进而可以判断②；再由当4≤t≤6时，此时P从如图的位置运动到A，紧扣特殊位置进行分析可得，，故可判断③；又由t1+t2=6，t13，再结合当0≤t≤3时，y=(t-1)2+3；当3≤t≤6时，，从而作差，故可判断④.
17．【答案】解：
=1+3-+
=4
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据0指数幂及负整数指数幂的运算法则及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可.
18．【答案】解：(x+1)2-(x-2)(2+x)
=x2+2x+1-(x2-4)
=x2+2x+1-x2+4
=2x+5，
把x=3代入得：原式=2×3+5=11
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式和平方差公式对原式进行化简，再将x=3代入化简后的式子求值.
19．【答案】（1）100
（2）解：“3项”的人数为100-3-30-42-10=15，

（3）36
（4）解：若该校有学生2400人，请估计该校寒假参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数为：
∵“3项及以上”的学生人数为15+10=25人，
∴(人)
答：估计该校寒假参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数为600
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)由条形统计图可知，参加1项家务劳动有30人，占比为30%
∴本次被抽取的学生人数为30÷30%=100
故答案为：100.
(3)在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是
故答案为：36.
【分析】(1)根据参加1项家务劳动的人数和占比求解总人数即可；
(2)根据总人数以及其余几项的人数求解并作图即可；
(3)“4项及以上”的人数求解圆心角即可；
(4)根据“3项及以上”的学生人数求解即可.
20．【答案】（1）解：设A种春联单价为x元，B种春联单价为y元，
根据题意得
解得
∴A种春联单价为8元，B种春联单价为5元
（2）解：设购买A种春联a副，则购买B种春联(300-a)副，
根据题意得，8a+5(300-a)≤2100
化简得3a≤600
解得a≤200
∴最多能购买A种春联200副
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】(1)根据题干给出的两种购进总价的条件，设未知数列出二元一次方程组求解即可得到单价；
(2)根据总费用不超过2100元的限制，设未知数列出一元一次不等式，求解即可得到A种春联的最大购买数量.
21．【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°．
∵四边形CEFG是正方形，
∴EF=CE，∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC．
在△AEF和△DCE中：
，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
∴AE=CD
（2）解：如图，过点G作GM⊥BC，交BC于M，
∴∠GMH=∠GMC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，CD=4
∴AB=CD=4，∠B=∠D=∠GMC=∠BCD=∠GMH=90°
∵F为AB中点，
∴
由(1)得△AEF≌△DCE，
∴DE=AF=2.
在Rt△CDE中，
∵四边形CEFG是正方形，
∴，∠GCE=∠BCD=90°
∴∠GCM=∠ECD，
在Rt△GCE中，，
∵∠GMC=90°
∴∠CGM+∠GCM=90°
∵∠GCE=90°，
∴∠DCE+∠GCM=90°，
∴∠CGM=∠DCE
在△CGM和△CED中，
∴△CGM≌△CED(AAS)
∴GM=DE=2=BF
在△FBH和△GMH中
∴△FBH≌△GMH(ASA)，
∴FH=GH
∵
∴
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)根据矩形、正方形内角为90°的性质，推导等角，用AAS证三角形全等，得出线段相等关系；
(2)先利用全等求DE长度，通过勾股定理算出CE、GE；再过点G作GM⊥BC，证△CGM≌△CED得对应线段相等，最后证△FBH≌△GMH，得到FH=GH，从而求出GH长.
22．【答案】（1）解：由条件可得：，，
解得：k=-3，a=-1，
∴A(-1，3)，反比例函数的解析式为
把A(-1，3)，B(3，-1)代入y=mx+n得，
解得
∴一次函数的解析式为y=-x+2
（2）解：如图，设
由条件可知C(m，-m+2)，
当点C1在点P1上方时，
，
∵P是第四象限内双曲线上的点
∴m>0，
∴
整理得，m2-2m+2=0，
∵Δ=(-2)2-4×1×2=-4<0，
∴该方程无实数根，此种情况不存在；
当点C在点P下方时，
∴
整理得，m2-2m-8=0
解得：m1=4，m2=-2(舍去)
∴
∴
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】(1)把A(a，3)、B(3，-1)代入(k≠0)，求出k=-3，a=-1，可得反比例函数解析式和A(-1，3)，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
(2)设，则C(m，-m+2)，分点C在点P上方和下方两种情况，分别用m表示出CP的长，利用三角形面积公式得出关于m的一元二次方程，解方程求出m的值，进而可得出点P坐标.
23．【答案】（1）解：如图1，PA是⊙O的切线，连接OP，OC，
∴OA⊥PA，即∠PAO=90°，
在△APO和△CPO中，
，
∴△APO≌△CPO（SSS），
∴∠PCO=∠PAO=90°，
∴半径OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠PAO=90°，
∴∠PAB=∠ADB=90°，
∴∠PAD=90°-∠BAD=∠ABP，
设∠ABP=∠PAD=θ，AD=b，DB=a，则，
∴AP=ABtanθ=4tanθ，
∵，，，则a＞b，
∴，，
又∵（a+b）2=a2+b2+2ab
=
=
=，
∴或（不合题意，舍去），
又∵，
∴，
∵a＞b，
∴，
，
∴，
∴∠PAD=30°
（3）解：①如图2，过点C作CF⊥PB于点F，
记△PAE的面积为S3，△BCE的面积为S4，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
∴，
∴S3=S4，
∴S3+S2=S4+S2，即S△PAB=S△ABC，
∴C到AB的距离和P到AB的距离相等，
∴PC∥AB；
②∵PA⊥AB，PC∥AB，
∴∠APC=180°-∠PAB=180°-90°=90°，
∴PA⊥PC，
∵PA，PC是⊙O的切线，
∴PA=PC，
∴△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PAC=45°，
∴∠CAB=90°-45°=45°，
∴∠ABC=90°-45°=45°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC=180°-∠ABC=135°，
又∵∠ADP=∠ADB=90°，
∴∠PDC=360°-135°-90°=135°=∠ADC，
∵，
∴∠ACD=∠ABD，
又∵PC∥AB，
∴∠ABD=∠CPD，
∴∠ACD=∠CPD，
∴△ACD∽△CPD，
∴，
∴PC AD=AC CD，
又∵PA=PC，
∴PA AD=AC CD
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的判定与性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)连接OP，OC，根据OA⊥PA，可得∠PAO=90°，证明△APO≌△CPO(SSS)，得出∠PCO=∠PAO=90°，即可得证；
(2)设∠ABP=θ， AD=b， DB=a， 则，进而根据完全平方公式变形，勾股定理，求得，进而即可求解；
(3)①过点C作CF⊥PB于F、记△PAE的面积为S3，△BCE的面积为S4，根据已知等式变形，得出S3=S4，进而证明PC//AB；
②证明△ACD~△CPD得出PC·AD=AC·CD，结合PA=PC，即可得证.
24．【答案】（1）③
（2）解：①由题意可得：
即x1、x2为方程mx2-4mx+m+2=0的解，
∴
∵mx1-x1+mx2-x2=(m-1)(x1+x2)=0，即(m-1)·4=0，
解得m=1
∴二次函数的解析式为y=x2-4x+3；
②由二次函数的解析式为y=x2-4x+3，
当y=0时，x2-4x+3=0，
解得x1=1，x2=3，
故点A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，
将点A(1，0)绕点C逆时针旋转90°得到点D(3，4)，连接AC、CD、AD，取AD中点为G，连接CG并延长，交抛物线与点P，如下图所示：
∵∠ACD=90°， AC=CD，
∴三角形ACD为等腰直角三角形，
即∠DCA=45°.
∵G为AD中点
故CG⊥AD，且G点坐标为，即G(2，2)，
∴∠CGA=90°
∴∠GCA=45°=∠PCA，
令直线CG函数表达式为yCG=kCGx+bCG，
将点C(0，3)，G(2，2)代入yCG=kCGx+bCG，
得
解得
故直线CG函数表达式为yCG=-1x+3，
联立函数y=x2-4x+3和，
得方程，
解得x=0或
将代入，得，该点坐标在第一象限内
∴点P坐标为
（3）解：若关于x的二次函数y=ax2+bx+c是“之一函数”，其图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是AB的中点，点O是坐标原点，则
设A(x1， 0)，B(x2， 0)，
即方程ax2+bx+c=0的两解为x1，x2，
∴，
∴
二次函数y=ax2+bx+c的顶点是
∵
∴
∴
∴
∴
∴
化简得b2=4a2+4ac，
设，
则
令
∴
∵c≥a>0
∴，
∴当t=1时，m的值最大，为
∴的最大值为
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值；旋转的性质；等腰直角三角形；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：(1)我们不妨约定：图象经过平面直角坐标系中三个象限的函数称为“之一函数”，例如一次函数y=5x+7经过第一、二、三象限，即属于“之一函数”
对于函数①：y=2x，
该函数为正比例函数，且图象呈现上升型，
∴函数图象在第一、三象限内，
故不属于“之一函数”；
对于函数②：(m≠0)
该函数为反比例函数，
∴函数图象在第一、三象限内或在二、四象限内
故不属于“之一函数”；
对于函数③：y=x2-4x+3
开口方向向上，故一定经过一、二象限，
∵y=x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x-2)2-1，
故顶点坐标为(2，-1)，在第四象限，
又∵y=x2-4x+3与y轴交点为y轴正半轴，故不经过第三象限；
综上，只有函数③：y=x2-4x+3经过第一、二、四象限
故答案为：③.
【分析】(1)根据正比例函数，反比例函数，二次函数的图象逐个判断即可；其中正比例函数，反比例函数可直接判断，二次函数需要画出草图，再判断；
(2)①根据韦达定理得出x1+x2=4，代入mx1-x1+mx1-x1=0，求解出m的值，即可得出二次函数的解析式；
②由二次函数的解析式为y=x2-4x+3，得出点A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，将点A(1，0)绕点C逆时针旋转90°得到点D(3，4)，连接AC、CD、AD，取AD中点为G，连接CG并延长，交抛物线于点P，求出点G坐标，得到直线CG函数表达式，联立函数y=x2-4x+3和，得出交点的坐标即可；
(3)由根与系数的关系得到，，二次函数y=ax2+bx+c的顶点是，由，化简得b2=4a2+4ac，令，换算得，当t=1时，m的值最大，进而即可求解.
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