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湖南省岳阳市第九中学2024年八年级下学期数学入学考试试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（　　）
A．1cm，1cm，8cm B．3cm，3cm，6cm
C．3cm，4cm，5cm D．3cm，2cm，1cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、1+1=2<8，不能组成三角形，故此选项不合题意；
B、3+3=6，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、3+4=7>5，能组成三角形，故此选项符合题意；
D、1+2=3，不能组成三角形，故此选项不合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析.
2．在下列各数：中，无理数的个数（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：，
故无理数有，，共2个.
故答案为：A.
【分析】无限不循环小数是无理数.
3．要使式子有意义，x的取值范围是（　　）
A．x≥-3 B．x≥-3且x≠2 C．x≤-3且x≠2 D．x>-3且x≠2
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
解得x≥-3且x≠2
故答案为：B.
【分析】根据被开方数是非负数，分母不为零，可得，由此求出x的取值范围即可.
4．用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设（　　）
A．三角形的三个外角都是锐角
B．三角形的三个外角中至少有两个锐角
C．三角形的三个外角中没有锐角
D．三角形的三个外角中至少有一个锐角
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设三角形的三个外角中至少有两个锐角，
故答案为：B.
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立.
5．下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；负整数指数幂；合并同类项法则及应用；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A.，故此选项不合题意；
B.x8÷x2=x6，故此选项不合题意；
C.，无法合并，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则以及二次根式的混合运算法则、负整数指数幂的性质分别化简，进而判断得出答案.
6．若aA．a-3>b-3 B． C．-3a<-3b D．ac【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、aB、aC、a-3b，故C选项错误；
D、c>0是正确，c<0是错误，故D选项错误；
故答案为：B.
【分析】不等式的性质：不等式的两边同时加或减同一个数或整式，不等号方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变.
7．两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲乙两地相距7500米，第一组的步行速度是第二组的1.2倍，并且比第二组早15分钟到达乙地，设第二组的步行速度为x千米/小时，根据题意可列方程是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设第二组的步行速度为x千米/小时，则第一组的步行速度为1.2x千米/小时，
第一组到达乙地的时间为：7.5÷1.2x；
第二组到达乙地的时间为：7.5÷x；
∵第一组比第二组早15分钟（ 小时）到达乙地，
∴列出方程为： .
故答案为：D．
【分析】根据第二组的速度可得出第一组的速度，依据“时间＝路程÷速度”即可找出第一、二组分别到达的时间，再根据第一组比第二组早15分钟（ 小时）到达乙地即可列出分式方程，由此即可得出结论．
8．若x、y都是实数，且 ，则xy的值为（　　）
A．0 B． C．2 D．不能确定
【答案】C
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：要使根式有意义，
则2x﹣1≥0，1﹣2x≥0，
解得x= ，
∴y=4，
∴xy=2．
故选C．
【分析】由于2x﹣1与1﹣2x互为相反数，要使根式有意义，则被开方数为非负数，由此即可求出x、y的值，最后求xy的值．
9．已知边长为m的正方形面积为12，则下列关于m说法中，正确的是（　　）
①m是无理数；②m是方程的解；③m满足不等式组；④m是12的算术平方根
A．①② B．①③ C．③ D．①②④
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；解一元一次不等式组；无理数的概念；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵边长为m的正方形面积为12，
∴
∴m是无理数，故①正确；
当时，m2-12=0，即m是方程m2-12=0的解，故②正确；
解不等式组，得：4即m不是不等式组的解，故③错误；
m是12的算术平方根，故④正确；
故答案为：D.
【分析】先求出m的值，再根据不等式组的解集、一元二次方程的解的定义、算术平方根的定义逐个判断即可.
10．如图，在等边△ABC中，在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP=AQ.再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D.已知若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为（　　）
A． B． C． D．6
【答案】C
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H，交AD于点M'，
由作图可知，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC
在等边△ABC， AB=AC=BC=6，
∴
∵，AC=BC=6
∴，
∵AB=AC， AD⊥BC
作点H关于AD的对称点交AB于点N，连接M'N，
∴M'H=M'N
∴BM'+M'N=BM'+M'H=BH
∴M点在M'点位置时，BM+MN的值最小，最小值为.
故答案为：C.
【分析】过点B作BH⊥AC于点H，交AD于点M'，根据等边三角形的性质可得，作点H关于AD的对称点交AB于点N，连接M'N，可得M'H=M'N，证明M点在M'点位置时，BM+MN的值最小，最小值为BH，即可得到答案.
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．将0.00002024用科学记数法表示为　 　.
【答案】2.024×10-5
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：将数0.00002024用科学记数法表示为2.024×10-5
故答案为：2.024×10-5.
【分析】科学记数法的表示形式为：a×10n的形式，共中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，确定a=2.024，n=-5即可.
12．如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是　 　（只写一个条件即可）.
【答案】∠B=∠C（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】由题意得，AE=AD，∠A=∠A（公共角），可选择利用AAS、SAS、ASA进行全等的判定，答案不唯一：
添加，可由AAS判定△ABE≌△ACD；
添加AB=AC或DB=EC可由SAS判定△ABE≌△ACD；
添加∠ADC=∠AEB或∠BDC=∠CEB，可由ASA判定△ABE≌△ACD.
【分析】由于AE=AD，∠A=∠A（公共角），要使△ABE≌△ACD，可根据AAS、SAS、ASA进行添加即可.
13．已知，则=　 　.
【答案】4
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴原式=ab(a+b)
=(4-3)×4
=1×4
=4，
故答案为：4.
【分析】将a和b的值代入原式=ab(a+b)，依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得.
14．如果关于x的分式方程有增根，那么m的值为　 　.
【答案】-4
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：
去分母得，m+2x=x-2，
移项得，2x-x=-m-2，
合并同类项得，x=-m-2，
∵关于x的分式方程有增根
∴x=-m-2=2，即m=-4，
故答案为：-4.
【分析】先解关于x的分式方程，得x=-m-2，由题意该方程有增根，因为增根为x=2，所以-m-2=2，由此可求出m的值.
15．在数轴上表示实数a的点如下图所示，化简的结果为　 　.
【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：由数轴可知，实数a在2和5之间，即：2∴a-5<0，a-2>0
∴原式=|a-5|+|a-2|
=-(a-5)+(a-2)
=5-a+a-2
=3
故答案为：3.
【分析】根据数轴上点的位置确定实数a的取值范围，从而判断代数式a-5和a-2的正负性，进而去掉根号和绝对值符号进行化简.
16．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为　 　cm.
【答案】24
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=CD， AE=EC，
∵△ABD的周长为16cm，
∴AB+BD+AD=16cm
∴AB+BC+AC=AB+BD+DC+2AE=AB+BD+AD+2AE=16+8=24(m)，
即△ABC的周长为24cm，
故答案为：24.
【分析】由线段垂直平分线的性质可得AE=EC，AD=CD，结合条件可求得AB+BC+AC=AB+BD+AD+2AE，代入可求得答案.
17．当a、b满足条件a>b>0时，表示焦点在x轴上的椭圆.若表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是　 　.
【答案】3【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵表示焦点在x轴上的椭圆，a>b>0，
表示焦点在x轴上的椭圆，
∴
解得3∴m的取值范围是3故答案为：3【分析】根据题意列不等式组，解出解集即可.
18．如图，在△ABC中，AC=10.以AB为腰向内作等腰△ABD，以BC为腰向外作等腰△BCE，且∠ABD=∠CBE，已知点A到直线DE的距离为3，AE=12，则DE=　 　，点D到直线AE的距离为　 　.
【答案】10；2.5
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵△ABD和△BCE为等腰三角形，且∠ABD=∠CBE，
∴BD=BA，BC=BE
∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC
即∠ABC=∠DBE
在△ABC和△DBE中，
∴△ABC≌△DBE(SAS)
∴AC=DE=10，
设D到直线AE的距离为h，
∵点A到直线DE的距离为3，AE=12
∴
∴h=2.5
即D到直线AE的距离为2.5.
故答案为：10，2.5.
【分析】由等腰三角形的性质得BD=BA，BC=BE，∠DBA=∠CBE，再由SAS证△ABC≌△DBE，得
AC=DE=10，然后由三角形面积公式即可得出结论.
三、解答题（8题，共66分）
19．
（1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）解：原式=1+5+2-3
=5
（2）解：
解①得，x>-1.5
解②得，x≤1
∴-1.5【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果；
(2)解一元一次不等式组：同为大于号，解集取大于大数的；同为小于号，解集取小于小数的；大于小数，小于大数，解集介于大小两数之间；大于大数，小于小数，则无解.
20．解方程： ．
【答案】解：方程的两边同乘（x+1）（x-1），得
x（x+1）+1=x2-1，
解得x=-2．
检验：把x=-2代入（x+1）（x-1）=3≠0．
∴原方程的解为：x=-2．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】观察可得最简公分母是（x+1）（x-1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
21．先化简，再求值，其中
【答案】解：原式
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先计算括号内的分式的加法运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，再代入求值即可.
22．已知：如图，AB∥CD，BF=DE，点B、E、F、D在同一直线上，∠A=∠C求证：AE=CF.
【答案】解：AB∥CD，
∴∠B=∠D
∵BF=DE，
∴BE+EF=EF+DE
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中
，
∴AE=CF.
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据平行线的性质得∠B=∠D，再利用BF=DE得到BE=DF，则可根据”AAS“判断 ，从而得到结论.
23．如图，在△ABC 中，已知点 D
在线段 AB 的反向延长线上，过 AC的中点 F 作线段 GE 交∠DAC 的平分线于
E，交 BC 于 G，且
AE∥BC
（1）求证：△ABC 是等腰三角形；
（2）若 AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC 的周长．
【答案】（1）证明：∵AE∥BC，
∴∠B=∠DAE，∠C=∠CAE．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠CAE，
∴∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形．
（2）解：∵F是AC的中点，∴AF=CF．
在△AFE和△CFG中，∵∠C=∠CAE，AF=FC，∠AFE=∠GFC，
∴△AEF≌△CFG，
∴AE=GC=8．
∵GC=2BG，
∴BG=4，
∴BC=12，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=10+10+12=32．
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）首先根据平行线的性质，证出 ∠B=∠DAE，∠C=∠CAE，然后结合角平分线的定义，可证出 ∠B=∠C， 故此可证明 △ABC是等腰三角形；
（2）首先证明△AEF≌△CFG，从而得到CG的长，然后可求得BC的长，于是可求得三角形ABC的周长。
24．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同.
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有哪几种进货方案，请列举出来
【答案】（1）解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为(40-x)元/件，
解得：x=15，经检验x=15是原方程的解.
∴40-x=25.
答：甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件
（2）解：设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具(48-y)件，
解得20≤y<24.
∵y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，∴y取20，21，22，23，
共有4种方案即：①甲玩具20件，乙玩具28件；②甲玩具21件，乙玩具27件；③甲玩具22件，乙玩具26件；④甲玩具23件，乙玩具25件
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】(1)根据“1件甲种玩具的进价与1件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同”列出方程；
(2)根据题意，结合不等式的求解可解决此问题.
25．定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为所以构造“对偶式”再将其相乘可以”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如.像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）对偶式与之间的关系为（　　）
A．互为相反数 B．互为倒数
C．绝对值相等 D．没有任何关系
（2）已知求的值；
（3）解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令
【答案】（1）B
（2）解：-2，

（3）解：设
即24-x-8+x=2t，解得t=8，
①+②得，即
【知识点】分母有理化；算术平方根的概念与表示；分式的化简求值-整体代入；实数的倒数
【解析】【解答】解：(1)∵，
∴与互为倒数，
故答案为：B.
【分析】(1)求出与的积即可得出结论；
(2)求出x+y，x-y，xy的值，再根据因式分解，代入计算即可；
(3)根据“对偶式”的性质求出t的值，再将两个方程联立得到，再由算术平方根的意义求解即可.
26．如图①，点P、Q分别是边长为6cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，设运动时间为t（s）.
（1）当t=　 　s时，△PBQ是等边三角形；
（2）连接AQ、CP，交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ的度数是否发生变化 若变化，说明理由；若不变，请求出它的度数；
（3）当t=　 　s时，△PBQ是直角三角形；
（4）如图②，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上向前运动，直线AQ、CP交于点M，请直接写出∠CMQ的度数.
【答案】（1）3
（2）解：∠CMQ=60°不变.
∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s.
∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC，
在△ABQ与△CAP中，
∴△ABQ≌△CAP(SAS)，∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°
（3）2或4
（4）解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ABC=∠CAP=60°，
∴∠PBC=∠ACQ=120°，
∵AP=BQ，
∴BP=CQ，
在△PBC与△QCA中，
∴△PBC≌△QCA(SAS)，
∴∠BPC=∠MQC，
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=180°-60°=120°
【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：(1)∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它：们的速度都为1cm/s.
设时间为t(s)，则AP=BQ=t(cm)，PB=(6-t)(cm)
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=60°
当BQ=BP时，△PBQ是等边三角形
∴t=6-t
解得t=3，
∴当t=3s时，△PBQ是等边三角形
故答案为：3.
(3) 设时间为t (s)，则AP=BQ=t(cm)，PB=(6-t)(cm)
①当∠PQB=90°时，
∵∠ABC=60°
∴PB=2BQ，即6-t=2t，
∴t=2
②当∠QPB=90°时，
∵∠ABC=60°
∴BQ=2BP，即t=2(6-t)，
∴t=4
∴当t为2或4s时，△PBQ为直角三角形
故答案为：2或4.
【分析】(1)当BQ=BP时，△PBQ是等边三角形，据此列出等式可求解；
(2)由"SAS"可证△ABQ≌△CAP，可得∠BAQ=∠ACP，由外角的性质可求∠CMQ=60°；
(3)分两种情况讨论，由直角三角形的性质列出等式可求解；
(4)由"SAS"可证△PBC≌△QCA，可得∠BPC=∠MQC，由三角形内角和定理可求解.
1 / 1湖南省岳阳市第九中学2024年八年级下学期数学入学考试试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（　　）
A．1cm，1cm，8cm B．3cm，3cm，6cm
C．3cm，4cm，5cm D．3cm，2cm，1cm
2．在下列各数：中，无理数的个数（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．要使式子有意义，x的取值范围是（　　）
A．x≥-3 B．x≥-3且x≠2 C．x≤-3且x≠2 D．x>-3且x≠2
4．用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设（　　）
A．三角形的三个外角都是锐角
B．三角形的三个外角中至少有两个锐角
C．三角形的三个外角中没有锐角
D．三角形的三个外角中至少有一个锐角
5．下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．若aA．a-3>b-3 B． C．-3a<-3b D．ac7．两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲乙两地相距7500米，第一组的步行速度是第二组的1.2倍，并且比第二组早15分钟到达乙地，设第二组的步行速度为x千米/小时，根据题意可列方程是（　　）．
A． B．
C． D．
8．若x、y都是实数，且 ，则xy的值为（　　）
A．0 B． C．2 D．不能确定
9．已知边长为m的正方形面积为12，则下列关于m说法中，正确的是（　　）
①m是无理数；②m是方程的解；③m满足不等式组；④m是12的算术平方根
A．①② B．①③ C．③ D．①②④
10．如图，在等边△ABC中，在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP=AQ.再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D.已知若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为（　　）
A． B． C． D．6
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．将0.00002024用科学记数法表示为　 　.
12．如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是　 　（只写一个条件即可）.
13．已知，则=　 　.
14．如果关于x的分式方程有增根，那么m的值为　 　.
15．在数轴上表示实数a的点如下图所示，化简的结果为　 　.
16．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为　 　cm.
17．当a、b满足条件a>b>0时，表示焦点在x轴上的椭圆.若表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是　 　.
18．如图，在△ABC中，AC=10.以AB为腰向内作等腰△ABD，以BC为腰向外作等腰△BCE，且∠ABD=∠CBE，已知点A到直线DE的距离为3，AE=12，则DE=　 　，点D到直线AE的距离为　 　.
三、解答题（8题，共66分）
19．
（1）计算：
（2）解不等式组：
20．解方程： ．
21．先化简，再求值，其中
22．已知：如图，AB∥CD，BF=DE，点B、E、F、D在同一直线上，∠A=∠C求证：AE=CF.
23．如图，在△ABC 中，已知点 D
在线段 AB 的反向延长线上，过 AC的中点 F 作线段 GE 交∠DAC 的平分线于
E，交 BC 于 G，且
AE∥BC
（1）求证：△ABC 是等腰三角形；
（2）若 AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC 的周长．
24．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同.
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有哪几种进货方案，请列举出来
25．定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为所以构造“对偶式”再将其相乘可以”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如.像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）对偶式与之间的关系为（　　）
A．互为相反数 B．互为倒数
C．绝对值相等 D．没有任何关系
（2）已知求的值；
（3）解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令
26．如图①，点P、Q分别是边长为6cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，设运动时间为t（s）.
（1）当t=　 　s时，△PBQ是等边三角形；
（2）连接AQ、CP，交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ的度数是否发生变化 若变化，说明理由；若不变，请求出它的度数；
（3）当t=　 　s时，△PBQ是直角三角形；
（4）如图②，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上向前运动，直线AQ、CP交于点M，请直接写出∠CMQ的度数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、1+1=2<8，不能组成三角形，故此选项不合题意；
B、3+3=6，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、3+4=7>5，能组成三角形，故此选项符合题意；
D、1+2=3，不能组成三角形，故此选项不合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析.
2．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：，
故无理数有，，共2个.
故答案为：A.
【分析】无限不循环小数是无理数.
3．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
解得x≥-3且x≠2
故答案为：B.
【分析】根据被开方数是非负数，分母不为零，可得，由此求出x的取值范围即可.
4．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设三角形的三个外角中至少有两个锐角，
故答案为：B.
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立.
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；负整数指数幂；合并同类项法则及应用；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A.，故此选项不合题意；
B.x8÷x2=x6，故此选项不合题意；
C.，无法合并，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则以及二次根式的混合运算法则、负整数指数幂的性质分别化简，进而判断得出答案.
6．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、aB、aC、a-3b，故C选项错误；
D、c>0是正确，c<0是错误，故D选项错误；
故答案为：B.
【分析】不等式的性质：不等式的两边同时加或减同一个数或整式，不等号方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变.
7．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设第二组的步行速度为x千米/小时，则第一组的步行速度为1.2x千米/小时，
第一组到达乙地的时间为：7.5÷1.2x；
第二组到达乙地的时间为：7.5÷x；
∵第一组比第二组早15分钟（ 小时）到达乙地，
∴列出方程为： .
故答案为：D．
【分析】根据第二组的速度可得出第一组的速度，依据“时间＝路程÷速度”即可找出第一、二组分别到达的时间，再根据第一组比第二组早15分钟（ 小时）到达乙地即可列出分式方程，由此即可得出结论．
8．【答案】C
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：要使根式有意义，
则2x﹣1≥0，1﹣2x≥0，
解得x= ，
∴y=4，
∴xy=2．
故选C．
【分析】由于2x﹣1与1﹣2x互为相反数，要使根式有意义，则被开方数为非负数，由此即可求出x、y的值，最后求xy的值．
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；解一元一次不等式组；无理数的概念；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵边长为m的正方形面积为12，
∴
∴m是无理数，故①正确；
当时，m2-12=0，即m是方程m2-12=0的解，故②正确；
解不等式组，得：4即m不是不等式组的解，故③错误；
m是12的算术平方根，故④正确；
故答案为：D.
【分析】先求出m的值，再根据不等式组的解集、一元二次方程的解的定义、算术平方根的定义逐个判断即可.
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H，交AD于点M'，
由作图可知，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC
在等边△ABC， AB=AC=BC=6，
∴
∵，AC=BC=6
∴，
∵AB=AC， AD⊥BC
作点H关于AD的对称点交AB于点N，连接M'N，
∴M'H=M'N
∴BM'+M'N=BM'+M'H=BH
∴M点在M'点位置时，BM+MN的值最小，最小值为.
故答案为：C.
【分析】过点B作BH⊥AC于点H，交AD于点M'，根据等边三角形的性质可得，作点H关于AD的对称点交AB于点N，连接M'N，可得M'H=M'N，证明M点在M'点位置时，BM+MN的值最小，最小值为BH，即可得到答案.
11．【答案】2.024×10-5
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：将数0.00002024用科学记数法表示为2.024×10-5
故答案为：2.024×10-5.
【分析】科学记数法的表示形式为：a×10n的形式，共中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，确定a=2.024，n=-5即可.
12．【答案】∠B=∠C（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】由题意得，AE=AD，∠A=∠A（公共角），可选择利用AAS、SAS、ASA进行全等的判定，答案不唯一：
添加，可由AAS判定△ABE≌△ACD；
添加AB=AC或DB=EC可由SAS判定△ABE≌△ACD；
添加∠ADC=∠AEB或∠BDC=∠CEB，可由ASA判定△ABE≌△ACD.
【分析】由于AE=AD，∠A=∠A（公共角），要使△ABE≌△ACD，可根据AAS、SAS、ASA进行添加即可.
13．【答案】4
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴原式=ab(a+b)
=(4-3)×4
=1×4
=4，
故答案为：4.
【分析】将a和b的值代入原式=ab(a+b)，依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得.
14．【答案】-4
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：
去分母得，m+2x=x-2，
移项得，2x-x=-m-2，
合并同类项得，x=-m-2，
∵关于x的分式方程有增根
∴x=-m-2=2，即m=-4，
故答案为：-4.
【分析】先解关于x的分式方程，得x=-m-2，由题意该方程有增根，因为增根为x=2，所以-m-2=2，由此可求出m的值.
15．【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：由数轴可知，实数a在2和5之间，即：2∴a-5<0，a-2>0
∴原式=|a-5|+|a-2|
=-(a-5)+(a-2)
=5-a+a-2
=3
故答案为：3.
【分析】根据数轴上点的位置确定实数a的取值范围，从而判断代数式a-5和a-2的正负性，进而去掉根号和绝对值符号进行化简.
16．【答案】24
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=CD， AE=EC，
∵△ABD的周长为16cm，
∴AB+BD+AD=16cm
∴AB+BC+AC=AB+BD+DC+2AE=AB+BD+AD+2AE=16+8=24(m)，
即△ABC的周长为24cm，
故答案为：24.
【分析】由线段垂直平分线的性质可得AE=EC，AD=CD，结合条件可求得AB+BC+AC=AB+BD+AD+2AE，代入可求得答案.
17．【答案】3【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵表示焦点在x轴上的椭圆，a>b>0，
表示焦点在x轴上的椭圆，
∴
解得3∴m的取值范围是3故答案为：3【分析】根据题意列不等式组，解出解集即可.
18．【答案】10；2.5
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵△ABD和△BCE为等腰三角形，且∠ABD=∠CBE，
∴BD=BA，BC=BE
∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC
即∠ABC=∠DBE
在△ABC和△DBE中，
∴△ABC≌△DBE(SAS)
∴AC=DE=10，
设D到直线AE的距离为h，
∵点A到直线DE的距离为3，AE=12
∴
∴h=2.5
即D到直线AE的距离为2.5.
故答案为：10，2.5.
【分析】由等腰三角形的性质得BD=BA，BC=BE，∠DBA=∠CBE，再由SAS证△ABC≌△DBE，得
AC=DE=10，然后由三角形面积公式即可得出结论.
19．【答案】（1）解：原式=1+5+2-3
=5
（2）解：
解①得，x>-1.5
解②得，x≤1
∴-1.5【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果；
(2)解一元一次不等式组：同为大于号，解集取大于大数的；同为小于号，解集取小于小数的；大于小数，小于大数，解集介于大小两数之间；大于大数，小于小数，则无解.
20．【答案】解：方程的两边同乘（x+1）（x-1），得
x（x+1）+1=x2-1，
解得x=-2．
检验：把x=-2代入（x+1）（x-1）=3≠0．
∴原方程的解为：x=-2．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】观察可得最简公分母是（x+1）（x-1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
21．【答案】解：原式
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先计算括号内的分式的加法运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，再代入求值即可.
22．【答案】解：AB∥CD，
∴∠B=∠D
∵BF=DE，
∴BE+EF=EF+DE
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中
，
∴AE=CF.
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据平行线的性质得∠B=∠D，再利用BF=DE得到BE=DF，则可根据”AAS“判断 ，从而得到结论.
23．【答案】（1）证明：∵AE∥BC，
∴∠B=∠DAE，∠C=∠CAE．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠CAE，
∴∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形．
（2）解：∵F是AC的中点，∴AF=CF．
在△AFE和△CFG中，∵∠C=∠CAE，AF=FC，∠AFE=∠GFC，
∴△AEF≌△CFG，
∴AE=GC=8．
∵GC=2BG，
∴BG=4，
∴BC=12，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=10+10+12=32．
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）首先根据平行线的性质，证出 ∠B=∠DAE，∠C=∠CAE，然后结合角平分线的定义，可证出 ∠B=∠C， 故此可证明 △ABC是等腰三角形；
（2）首先证明△AEF≌△CFG，从而得到CG的长，然后可求得BC的长，于是可求得三角形ABC的周长。
24．【答案】（1）解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为(40-x)元/件，
解得：x=15，经检验x=15是原方程的解.
∴40-x=25.
答：甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件
（2）解：设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具(48-y)件，
解得20≤y<24.
∵y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，∴y取20，21，22，23，
共有4种方案即：①甲玩具20件，乙玩具28件；②甲玩具21件，乙玩具27件；③甲玩具22件，乙玩具26件；④甲玩具23件，乙玩具25件
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】(1)根据“1件甲种玩具的进价与1件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同”列出方程；
(2)根据题意，结合不等式的求解可解决此问题.
25．【答案】（1）B
（2）解：-2，

（3）解：设
即24-x-8+x=2t，解得t=8，
①+②得，即
【知识点】分母有理化；算术平方根的概念与表示；分式的化简求值-整体代入；实数的倒数
【解析】【解答】解：(1)∵，
∴与互为倒数，
故答案为：B.
【分析】(1)求出与的积即可得出结论；
(2)求出x+y，x-y，xy的值，再根据因式分解，代入计算即可；
(3)根据“对偶式”的性质求出t的值，再将两个方程联立得到，再由算术平方根的意义求解即可.
26．【答案】（1）3
（2）解：∠CMQ=60°不变.
∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s.
∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC，
在△ABQ与△CAP中，
∴△ABQ≌△CAP(SAS)，∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°
（3）2或4
（4）解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ABC=∠CAP=60°，
∴∠PBC=∠ACQ=120°，
∵AP=BQ，
∴BP=CQ，
在△PBC与△QCA中，
∴△PBC≌△QCA(SAS)，
∴∠BPC=∠MQC，
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=180°-60°=120°
【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：(1)∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它：们的速度都为1cm/s.
设时间为t(s)，则AP=BQ=t(cm)，PB=(6-t)(cm)
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=60°
当BQ=BP时，△PBQ是等边三角形
∴t=6-t
解得t=3，
∴当t=3s时，△PBQ是等边三角形
故答案为：3.
(3) 设时间为t (s)，则AP=BQ=t(cm)，PB=(6-t)(cm)
①当∠PQB=90°时，
∵∠ABC=60°
∴PB=2BQ，即6-t=2t，
∴t=2
②当∠QPB=90°时，
∵∠ABC=60°
∴BQ=2BP，即t=2(6-t)，
∴t=4
∴当t为2或4s时，△PBQ为直角三角形
故答案为：2或4.
【分析】(1)当BQ=BP时，△PBQ是等边三角形，据此列出等式可求解；
(2)由"SAS"可证△ABQ≌△CAP，可得∠BAQ=∠ACP，由外角的性质可求∠CMQ=60°；
(3)分两种情况讨论，由直角三角形的性质列出等式可求解；
(4)由"SAS"可证△PBC≌△QCA，可得∠BPC=∠MQC，由三角形内角和定理可求解.
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