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湖北恩施州高中教学联盟2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题
一、单选题
1．与角的终边相同的最小正角是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，，若与平行，则（ ）
A． B． C． D．1
4．角终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量均为单位向量，且向量夹角为，则（ ）
A． B．1 C． D．
7．已知锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，，则的面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知点和是图象的两个相邻的对称中心，如图，过原点的直线与的图象在第一象限的一对相邻的交点分别为（其中在的左侧），过点分别作x轴的垂线，垂足分别为，若，且的面积是的面积的9倍，则（ ）
A． B．
C．点B的坐标 D．点A的坐标为
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．已知，，则的最小值为6
B．已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是
C．在中，若，则为钝角三角形
D．已知，，则在上的投影向量的坐标为
10．函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在单调递减
B．函数图象关于中心对称
C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
D．若在区间上的值域为，则实数a的取值范围为
11．如图，点B是线段的中点，，点是平行四边形内（含边界）的一点，且，以下结论中正确的是（ ）
A．当是线段的中点时，
B．当时，
C．当为定值时，点的轨迹是一条线段
D．的最大值为
三、填空题
12．已知是两个不共线的向量，向量共线，则的值为______．
13．如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点到水面的距离为（在水面下，则为负数），则米）与时间（秒）之间满足关系式：，且当点从水面上浮现时开始计算时间，则米)关于时间（秒）的函数解析式为________．
14．已知向量，，，.若（其中表示不超过的最大整数，如：，，则的取值范围为______.
四、解答题
15．已知.
(1)若，且，求的值；
(2)若，且，求的坐标.
16．设函数.
(1)列表并画出，的图象；

(2)求函数在区间上的值域.
17．已知点，，为坐标原点，函数
(1)求的解析式及最小正周期
(2)三角形中，角所对的边分别为，为的角平分线，，.若，求的面积
18．在中，为的中点，在边上，交于，且，设．
(1)用表示；
(2)，求；
(3)若在上，且设，若，求的范围．
19．已知单位圆与轴正半轴分别交于两点，过线段上一点作轴的垂线交单位圆于点（在第一象限），延长至点，使得为的中点，连接.设.
(1)若，求；
(2)求取得最大值时的值；
(3)若，设的面积为，线段与劣弧围成的图形面积是，记，用定义证明的单调性并求的值域.
可用公式：时，.
参考答案
1．D
【详解】由题意，则与角的终边相同的最小正角是.
2．B
【详解】因为，,所以，，
因为与的夹角为，所以.
3．B
【详解】因为，，
则
又因为与平行，
所以，
化简：，即，
解得：.
4．A
【详解】因为角终边过点，所以，
.
所以.
故选：A.
5．B
【详解】解：由正弦函数的对称轴为，函数，令，
解得对称轴方程为，则，
化简得，因为为整数且，要在区间内有且仅有条对称轴，
则整数的取值为，共个，因此必须满足，解得.
6．B
【详解】因为，所以，
即，
又因为向量均为单位向量，且向量夹角为，
所以，即.
7．C
【详解】由，和余弦定理，可得，
，所以，
又由正弦定理，可得，则，
所以的面积
，
因为为锐角三角形，
由解得，则，，
故.
8．D
【详解】由题意得，所以，故B错误；
则.
因为的面积是的面积的9倍，
所以，解得，
所以，，，
所以，即，
化简得，
令，则，所以，
化简得，解得，
又，所以，即，所以.故A错误；
所以，所以.
所以点的坐标为，故D正确；
又，所以点的坐标为，故C错误.
9．AD
【详解】A，因为，
当，反向共线时等号成立，故A正确；
B：，由与的夹角为锐角得，，
所以，则.
当与共线且同向时，，解得，
所以的取值范围是，B不正确；
C，由可知的外角为钝角，所以为锐角，
故不能判断为钝角三角形，故C错误；
D：在上的投影向量的坐标为：
，故D正确.
10．ACD
【详解】由图象可得，且，故即，
而，故，
因为，故，故，
对于A，当，，
而在上为减函数，故在为减函数，故A正确.
对于B，，故为函数图象的对称轴，故B错误.
对于C，将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，故C正确.
对于D，当时，，
因为函数的值域为，故，
故，故D正确.
故选：ACD.
11．ACD
【详解】对于A，当是线段的中点时，，
所以，所以A正确.
对于B，当时，取线段，线段的中点，分别记为，则平行于.
延长与直线交于点，则，.
所以，所以，所以点的轨迹为线段.
当点与重合时，.
当点与重合时，.
所以.所以B不正确.
对于C，当为定值2时，.
令，可得三点共线.
分别取线段的中点，记为，所以，即.
连接交于点，则.
所以点的轨迹是线段，所以C正确.
对于D，由于平行四边形在的左上方，且三点共线，所以.
所以，所以，即当时，取得最大值，此时点与点重合，所以D正确.
故选：ACD.
12．
【详解】由向量共线，根据平面向量共线定理可得，
化简得：，
所以，解得，
因此.
13．
【详解】由图可知的最大值为15，最小值为，
所以，解得，
因为每分钟转4圈，所以转一圈需要15秒，即周期为15，
所以，得，
当时，，即，则，
因为，则，
所以.
14．
【详解】因为，
所以
，
当时，，显然不成立；
当时，，显然成立，
当时，，显然不成立；
当时，，显然不成立；
当时，，显然不成立；
当时，，显然不成立；
当时，，显然不成立；
当时，，显然不成立；
所以，，，
，
，
因为，
所以.
所以的取值范围为.
15．(1)
(2)或
【详解】（1）已知，解得，.
由，代入坐标得：，
则，解得：；
（2）设（为实数），
由，可得：
解得，即或，
所以或.
16．(1)答案见解析
(2).
【详解】（1）列表：
0
x 1 4 7 10
y 0 2 0 0
作图：

（2）由已知
，
由已知，
∴，
∴，
∴函数在区间上的值域是.
17．(1)，最小正周期为
(2)或
【详解】（1），，
，
则的最小正周期.
（2），，
，，则或，
或；
当时，，，
，，，，
又为的角平分线，，，
，，
；
当时，，，，
为的角平分线，，
在中，由正弦定理得：，
，在中，由正弦定理得：，
，
.
综上所述：的面积为或.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因P,R,C共线，则存在使，
则，整理得.
由共线，则存在使，
则，整理得.
根据平面向量基本定理，有，
则.
（2）由（1），，，
则，，.
则，
所以.
（3）由（1）知，则.
由共线，设.
又.
则
.
因，则，则，
所以.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意，在中，易知，
由可得.
（2）在中，，由为的中点，
可得，
在中，，
所以，
令，则，
所以，
令，则在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，此时，
因此可得.
（3）梯形的面积为，扇形的面积为，
所以，
所以，
先证当时，，由的面积小于扇形的面积，即，所以，
，且，
，
因为，所以，
所以
，则，
所以在上单调递增，又，
所以的值域为.

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