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甘肃省武威市凉州区武威第二十中学联考2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题
一、单选题
1．如果 ，那么a是（ ）
A．非负数 B．0 C．负实数 D．正实数
2．若最简二次根式和能合并，则x的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙可近似看成一个长方体的两个侧面．小天根据学过的数学知识准确地判断出从点A攀爬到点B的最短路径长为（ ）．
A．14 B．12 C．10 D．
5．如图，数轴上点C所表示的数为，的直角边的长为1，将斜边绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（ ）
A． B． C． D．2
6．在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．给出下列命题：其中，正确命题的个数为（ ）
①在直角三角形中，已知两边长3和4，则第三边长为5；
②的三边为a，b，c，则a，b，c一定满足勾股定理：，
③中，若，则是直角三角形；
④中，若，则这个三角形是直角三角形；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，连接正五边形的对角线，过顶点作于，是中点，连接，则（ ）
A． B． C． D．
9．四边形的对角线与相交于点，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B．，
C．， D．，
10．如图，将一张正方形纸片的顶点A折叠至边上的E点，折痕为，若折痕比边长长2，，则正方形的边长为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．25
二、填空题
11．已知，则x的取值范围是______．
12．一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为________．
13．定义一种新运算：，则的运算结果是_____．
14．如图，在中，，，，，，则阴影部分图形的面积为_________．
15．在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，点的坐标为，，点的坐标为，点为斜边上的一个动点，则的最小值为________．
16．如图，在直角三角形中，，，，D为直线上一个动点，连接．将沿折叠，若点A恰好落在直线上的点E处，连接，则的长为__________．
17．如图，是内部的任意一点，连接，，，．若的面积为，的面积为，且，则的面积是______．
18．图1为中式传统建筑中的一种窗格，其外窗框为正八边形，图2正八边形为其外窗框的示意图，连接，，与交于点M， ________°．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)
20．先化简，再求代数式的值，其中．
21．已知，．
(1)求的值；
(2)若m的整数部分是a，n的小数部分是b，求的值．
22．已知直角三角形的三边为a，b，c．其中b，c满足．
(1)求a；
(2)先化简再求值：．
23．在中，，平分，是边上的高，点E在边上，连接．
(1)若，求的度数．
(2)当时，求的长．
24．如图，某校有一块三角形空地，，为了更好的落实“双减”政策，丰富孩子们的课业生活，学校计划将该三角形空地改造成多功能区域，现要求将三角形区域设计成手工制作区，其余部分设计成健身区，经测量：米，米，米，米.
(1)求的度数；
(2)求图中健身区（阴影部分）的面积.
25．如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
26．综合与实践
【项目主题】
八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简．
【项目准备】
简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如：
，
．
【项目实施】
帮助八年级同学完成如下任务：
(1)化简；
(2)化简．
27．如图，在中，，，，过点A作，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点E，使得，连接，设点P的运动时间为t秒．
(1)① （用含t的式子表示）
②若，求的长；
(2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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《甘肃省武威市凉州区武威第二十中学联考2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D C A D B B C C
1．C
【分析】先利用化简原式，再结合分式有意义的条件判断的取值范围即可．
【详解】解：∵根据二次根式的性质，可得，
∴原式可化为
整理得
又∵分式分母不能为0，
∴，即是负实数．
2．B
【分析】本题考查同类最简二次根式的性质，能合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列一元一次方程求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式和能合并，
∴二者是同类二次根式，被开方数相等，可得
，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得．
检验：当时，被开方数 且 ，此时两个二次根式是最简二次根式，符合题意，
所以．
3．D
【分析】利用完全平方公式得到，算出的值，即可算出答案．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴
∴．
4．C
【分析】利用立体图形路径最小值为展开平面图的两点间距离，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，平面展开图如下所示，
则，
即从点A攀爬到点B的最短路径长为．
5．A
【分析】利用勾股定理求得的长，即可解答．
【详解】解：由题意可知，在中，，
∴，
∴，
即点A所表示的实数是．
6．D
【分析】利用三角形内角和定理可判断A和B，利用勾股定理的逆定理可判断C和D．
【详解】解：A．∵，
∴
∴是直角三角形，本选项不符合题意．
B．∵，
∴，即
∴是直角三角形，本选项不符合题意．
C．设，，（）
∵，符合勾股定理的逆定理
∴是直角三角形，本选项不符合题意．
D．∵，，
计算得，，
验证得任意两边平方和都不等于第三边的平方，不满足勾股定理逆定理
∴不是直角三角形，本选项符合题意
7．B
【分析】根据勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理逐个判断每个命题的正误，统计正确命题的个数即可得到答案．
【详解】解：未说明3和4是直角边还是斜边，若4为斜边，则第三边长为，故①错误；
勾股定理中只有当为斜边时，才有，题目未说明是斜边，故②错误；
，三角形内角和为，
，
是直角三角形，故③正确；
设，，，其中，
，，
，
由勾股定理逆定理可知，这个三角形是直角三角形，故④正确；
综上，正确的命题共个．
8．B
【分析】结合正五边形的性质，得出，，再证明，得，结合等腰三角形的性质得，，又因为是中点，得，运用三角形内角和性质列式计算，即可作答．
【详解】解：连接，
∵五边形是正五边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵是中点，
∴，
即，
则，
∴．
9．C
【详解】解：对于选项C：
∵，，，
∴．
∴．
同理可得．
∴四边形为平行四边形．
选项A、B、D均不符合平行四边形的判定条件．
10．C
【分析】先过点作于点，利用三角形全等的判定得到，从而求出，在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点作于点，
由正方形的性质得，，，
，，
由折叠得到，
，
又，
，
∴，又，
，
∴．
在中，，，
由勾股定理得，
解得，即正方形的边长为24．
11．
【分析】根据二次根式的性质得到，再利用绝对值的性质列出关于x的不等式，解不等式即可得到x的取值范围．
【详解】根据二次根式的性质可得：,
由题意得
根据绝对值的性质：当时，，
可得：
移项得 ．
12．或
【分析】本题未明确等腰三角形的腰长和底边长，需要分情况讨论，先化简给定的二次根式，再结合三角形三边关系验证能否构成三角形，最后计算周长．
【详解】解：先化简二次根式，得，，
分两种情况讨论：
① 当腰长为，底边长为时，
因为，满足三角形三边关系，
此时周长为；
② 当腰长为，底边长为时，
因为，满足三角形三边关系，
此时周长为，
综上，它的周长为或．
13．
【分析】根据新定义运算，利用整式乘法和二次根式的运算法则化简计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
14．24
【分析】先用勾股定理解求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，进而即可求解．
【详解】解：中，，，，
，
，，
，
是直角三角形，
阴影部分图形的面积．
15．
【分析】本题考查轴对称最短路径问题，坐标与简单图形计算，直角三角形计算．作关于的对称点，连接交于，此时就是的最小值．通过直角三角形计算即可求出长度．
【详解】解：作关于的对称点，连接交于，连接，过作，点在上，连接交于．此时就是的最小值．
，点的坐标为，
，，，
和关于对称，
，，
，
，
，
由可得，
，
，
，
，
，
．
16．或6
【分析】分两种情况：当点D在上时，当点D在延长线时，分别画出图形，利用勾股定理和折叠的性质，进行求解即可．
【详解】解：当点D在上时，如图所示：
在中，，
由勾股定理得：，
由折叠性质得：，，
∴，
设，则，
∵，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
即此时的长为；
当点D在延长线时，如图所示：
根据折叠可得：，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
即此时的长为6；
综上，的长为或6．
17．30
【分析】过点P作，延长交的延长线于点E，由平行四边形的性质可得，，可得，则，，再根据可得，然后根据平行四边形的面积公式即可得．
【详解】解：如图，过点P作，延长交的延长线于点E，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴的面积是30．
18．45
【分析】分别求出等腰三角形和等腰三角形的底角，再通过的内角和求出，最后利用邻补角关系求得的度数．
【详解】解： 八边形为正八边形，
，
，
为等腰三角形，
，
，
为等腰三角形，
，
与交于点，
在中，，，
，
点，， C在同一直线上，
．
19．(1)
(2)2
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．，
【分析】先对括号内进行通分后，对分子分母进行因式分解，将除法转化为乘法后，约分化简，最后代入求值．
【详解】解：原式
，
当时，原式
．
21．(1)
(2)
【分析】（1）先求出，，再根据整体代入求值；
（2）先求出a，b，再代入待求式，根据二次根式的混合运算法则计算．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，，则，
∴m的整数部分a为7，n的小数部分b为，
∴．
22．(1)或
(2)，
【分析】本题考查了非负性、二次根式的性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）先根据非负数的性质得出，，再根据勾股定理即可得出答案；
（2）先根据二次根式的性质得出，再根据实数的大小比较得出，然后根据非负数的性质及二次根式的性质化简，最后将值代入即可得出答案．
【详解】（1）
，
，
当为直角三角形的斜边时，
当为直角三角形的一条直角边时，
综上所述，的值为或；
（2）解：由题意得
23．(1)
(2)11
【分析】（1）先根据三角形的高得，根据直角三角形性质得，根据角平分线定义得；
（2）过点E作于点F，根据角平分线性质得，可得，得，，求出，设，则，根据，得，解得，根据三线合一，得．
【详解】（1）解：∵在中，是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
（2）解：过点E作于点F，则，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形．熟练掌握等腰三角形性质，角平分线定义和性质，直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，是解题的关键．
24．(1)
(2)平方米
【分析】本题考查勾股定理定理和逆定理，三角形的面积，掌握勾股定理和逆定理是解题的关键．
（1）先利用勾股定理求出的长，然后再利用狗狗股定理的逆定理得到是直角三角形即可；
（2）利用三角形的面积解题即可．
【详解】（1）因为，米，米，
所以（米），
因为米，米，
所以，
所以是直角三角形，．
（2）图中阴影部分的面积（平方米）．
25．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
（1）由四边形和四边形是正方形，可得，，，从而得到，然后利用即可证明结论；
（2）如图所示，连接交于点，计算出、，根据勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）解：由四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中：
，
，
．
（2）解：如图，连接交于点，
，
，
，
．
26．(1)
(2)
【分析】（1）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可；
（2）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
27．(1)①；②
(2)存在，或12
【分析】（1）①由运动知，即可得出结论；
②作于M，由已知条件得出，由等腰三角形的性质得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，证出和是等腰直角三角形，得出，，由得出方程，解方程即可；
（2）分两种情况：当点Q、E在线段上时；当点Q、E在线段的延长线上时，由平行四边形的判定得出，得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：①由运动知，，
∵在线段上取点E，使得，
∴，
故答案为：；
②作于M，如图所示，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴和是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：存在，或；理由如下：
分以下两种情况讨论：
（ⅰ）当点Q、E在线段上时，
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，
则，
∴，
解得：；
（ⅱ）当点Q、E在线段的延长线上时，
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，
则，
，
解得：．
∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，或12秒．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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