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华师大版（2024）八年级下册 18.1 矩形 分层练习
矩形性质的理解
1如图，在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是(　　)
A. B. C. D.
2矩形是特殊的平行四边形，下列性质矩形具有而平行四边形不一定具有的是(　　)
A.对边平行 B.对边相等 C.对角线互相平分 D.对角线相等
3矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 ．（填代号）
①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等；④对角线相等；⑤四个角都是；⑥轴对称图形．
4如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在x轴和y轴上，并且，，若把矩形绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在边上的点A1处，则点A1的坐标为 ．
利用矩形的性质求角度
1如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点．若，则(　　)

A. B. C. D.
2如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为，已知，则的度数为(　　)
A. B. C. D.
3如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作，垂足为点E，若，则 ．
4如图，在矩形中，延长至点，使，连接，若，求的度数．
5如图，在矩形中，，于点F.
(1)求证：；
(2)连接，若，求的度数.
利用矩形的性质求线段的长度
1如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作交于点，若的周长为，，则的长为(　　)
A. B. C. D.
2如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是（　　）
A. B. C.1 D.
3已知，是矩形的对角线的中点，是线段上的一点，过点作交直线CD于点F，连接EF，若,则 = ．

4如图，在矩形ABCD中，AB=BC，点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上一点（与点B，C不重合），连接AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为E．
(1)若CG为∠DCF的平分线．请判断BP与CP的数量关系，并证明；
(2)若AB=3，△ABP≌△CEP，求BP的长．
利用矩形的性质求面积
1如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BC＝5，∠BOC＝120°，则ABC的面积为（　　）
A. B. C.5 D.10
2如图，在矩形中，，，为的中点，点，分别在，上，为等腰直角三角形，且，则四边形的面积为(　　)

A.18 B.14 C.16 D.12
3矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，矩形ABCD的面积为 ．
4如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，点B的横坐标为，则矩形AOBC的面积为 ．
5如图，为矩形对角线的交点，，；，，求四边形的面积．
利用矩形的性质证明
1证明：矩形的对角线相等．
已知：如图，在矩形中，连接，．求证：．

证明：四边形是矩形，，______．
又，，．
则“______”在处应该补充的证明过程是(　　)
A. B. C. D.
2如图，点P是矩形的对角线上一动点，过点P作的垂线，分别交边于点E，F，连接．则下列结论不成立的是（　　）
A.四边形的面积是定值
B.的值不变
C.的值不变
D.
3如图，矩形中，、交于点O，平分交于E，，连接．下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确的有 （填序号）．
4在矩形中，，是对角线的交点，过作于点，的延长线与的平分线相交于点，与交于点．下列四个结论中正确的是 ．
①；②；③；④；⑤是等边三角形．
5如图，为矩形的对角线，于点E，于点F．求证：
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
6如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，，．求证：平分．
矩形中的折叠问题
1如图，在矩形中，分别为对角线上三点，为上一点，分别沿折叠和，使得点A、C的对应点恰好都落在点上，则的长等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
2如图，将矩形沿折叠，点C的对应点是F，将沿折叠，此时点B也恰好落在点F处，若，，则的长是(　　)
A. B. C.5 D.
3如图，折叠长方形的一边，使点D落在边上F处，已知，，则的长为 .
4如图，在矩形中，点是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，如果，，那么的长为 ．
矩形中的动点问题
1如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为(　　)
A. B. C. D.
2如图，在长方形中，，，点P在线段（包括端点）上运动，以线段为边，向右侧作正，连接．下列结论正确的是(　　)
A.当点P与点A重合时，最小
B.当点P与点D重合时，最小
C.当最小时，A、E、C三点共线
D.当最小时，
3在矩形中，，，若是射线上一个动点，连接，点关于直线的对称点为．连接，，当，，三点共线时，的长为 ．
4如图，矩形ABCD中，点E、F、G、H分别AB、BC、CD、DA边上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）在点E、F、G、H运动过程中，判断直线GE是否经过某一定点，如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．
用定义判定矩形
1在 ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是(　　)
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
2下列图形一定为矩形的是(　　)
A. B. C. D.
3如图，关于四边形的4个结论中，推导顺序正确的是(　　)

①它两组对边分别相等；②它是矩形；③它是平行四边形；④它有一个角是直角．
A.④②①③ B.①③④② C.②④①③ D.③①④②
4如图，在△ABC，AB=AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DEAB交AE于E，则四边形ADCE的形状是 .
5如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、DC上的点，且AE＝CF，∠DEB＝90°．
求证：（1）∠ADE＝∠CBF；
（2）四边形DEBF是矩形．
6如图，在 ABCD中，点O是边AB的中点，且OD＝OC．
（1）求证：∠ADO＝∠BCO；
（2）求证：四边形ABCD是矩形．
用角判定矩形
1下列各图中，是矩形的是(　　)
A. B. C. D.
2如图，已知的四个内角的平分线分别交于点、、、，则四边形的形状是(　　)

A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
3求证：有三个角是直角的四边形是矩形．
已知：如图，在四边形中，．
求证：四边形是矩形．
证明：∵，
…
∵，
∴四边形是矩形．

下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形是平行四边形；②∴，；③∴，，则正确的顺序是(　　)
A.③②① B.③①② C.②③① D.①②③
4课本在线我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．
定理 有三个角是直角的四边形是矩形．
定理证明：
为了证明该定理，小丽同学画出了图形（如图），写出了“已知”，请你补出“求证”的内容，并根据她的思路补全证明过程．

已知：如图，四边形中，．
求证：__________________．
证明：，
_______________°
（______________），
又，
______________．
．
四边形是平行四边形（______________）．
又，
是矩形（______________）．
5工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是　　　　　　　　．
6如图所示，点是线段上的一点，，平分交于点，平分，于点，求证：四边形是矩形．
用对角线判定矩形
1如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是(　　)
A.甲是矩形
B.乙是矩形
C.甲、乙均是矩形
D.甲、乙都不是矩形
2如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长应该为(　　)

A.4 B.3 C.2 D.1
3下列能够判断四边形是矩形的是(　　)
A.两组对角相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相垂直且相等
D.对角线互相平分且相等
4如图，四边形的对角线相交于点，且，则它是 形．
5在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是 形．
6如图，在中，，延长至点D，使，过点D作交的延长线于点E，连接、，求证：四边形为矩形．

矩形判定定理的理解
1依据所标数据，下列一定为矩形的是(　　)

A.只有③ B.只有①② C.只有②③ D.①②③
2有下列四个条件：①对角线互相平分的四边形；②对角线互相垂直的四边形；③对角线相等的平行四边形；④有一个角是直角的平行四边形，其中能作为矩形的判定条件的是(　　)
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
3在四边形ABCD中，如果∠A=90°，那么还不能判定四边形ABCD是矩形，现再给出如下说法：①对角线AC、BD互相平分，那么四边形ABCD是矩形；②∠B=∠C=90°，那么四边形ABCD是矩形；③对角线AC=BD，那么四边形ABCD是矩形．其中正确的说法有 ．（把你认为正确说法的序号全部填上）
4用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，以下方法可行的有 ．（只要填序号即可）
①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等．
②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等．
③量出一组邻边的长、以及和这两边组成三角形的那条对角线的长，计算是否有．
④量出两条对角线长，看是否相等．
添一条件使四边形是矩形
1下列条件中，能判定平行四边形是矩形的是(　　)
A. B. C. D.
2如图，增加下列一个条件可以使平行四边形成为矩形的是(　　)
A. B. C. D.
3如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，，添加下列条件，可以判定四边形是矩形的是(　　)

A. B. C. D.
4如图，在平行四边形中，延长到点E，使，连接、、请你添加一个条件 ，使四边形是矩形．
5如图，已知中对角线，相交于点，请你添加一个适当的条件，使成为一个矩形．你添加的条件是 （填一个即可）．
6已知：如图，在中，平分，交于E，平分，交于F．
(1)求证：；
(2)当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由．
综合利用矩形的判定与性质进行求解
1如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为(　　)
A.240 B.192 C.120 D.96
2如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8 cm，则平行四边形ABCD的面积是(　　)cm2 ．
A.16 B.4 C.8 D.16
3如图所示，在平行四边形纸片中，与相交于点，将沿对角线翻折得到，若四边形的面积为，则翻折后纸片重叠部分的面积是 ．

4如图，在中，，P为上一动点，于点E，于点，则的最小值为 ．
5如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，于点E，于点F，且．
(1)求证：四边形ABCD是矩形．
(2)若，求的度数．
6如图，在平行四边形中，E、F分别为边、的中点，是平行四边形的对角线，交的延长线于点G．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，求的度数．
综合利用矩形的判定与性质进行证明
1平行四边形中，，则下列结论不一定正确的是(　　)
A. B. C. D.
2已知：如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，且，交的延长线于，连接，若．下列结论中：①；②四边形是矩形；③；④．其中正确的是(　　)
A.①②③④ B.①② C.①③ D.①②④
3已知四边形中，，对角线相交于点O．下列结论一定成立的是(　　)
A. B. C. D.
4如图，直线，平分，，且平移恰好到，则下列结论正确的有_______.

①；②平分；③；④.
5如图'，在中，过点作于点，点在边上，且，连接．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求证：平分．
华师大版（2024）八年级下册 18.1 矩形 分层练习（参考答案）
1矩形性质的理解
1如图，在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵四边形是矩形，
∴，，，，，
∴不一定成立，一定成立，，不一定成立，
故选：B．
2矩形是特殊的平行四边形，下列性质矩形具有而平行四边形不一定具有的是(　　)
A.对边平行 B.对边相等 C.对角线互相平分 D.对角线相等
【答案】D
【解析】A.矩形和平行四边形的对边都平行，故不合题意；
B.矩形和平行四边形的对边都相等，故不合题意；
C.矩形和平行四边形的对角线都互相平分，故不合题意；
D.矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不相等，故符合题意．
故选D．
3矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 ．（填代号）
①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等；④对角线相等；⑤四个角都是；⑥轴对称图形．
【答案】④⑤⑥
【解析】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是：
④对角线相等；
⑤4个角都是90°；
⑥轴对称图形．
故答案为：④⑤⑥．
4如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在x轴和y轴上，并且，，若把矩形绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在边上的点A1处，则点A1的坐标为 ．
【答案】
【解析】由旋转的性质得：OA1= OA=4，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCB= 90°，
∴A1C =，
∴A1的坐标为，
故答案为：.
2利用矩形的性质求角度
1如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点．若，则(　　)

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】四边形是矩形，
，，，
=，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
2如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为，已知，则的度数为(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的度数为，
故选：D．
3如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作，垂足为点E，若，则 ．
【答案】
【解析】∵四边形是矩形，
∴（矩形的对角线平分且相等），
又∵，
∴，
∴（三角形内角和定理），
又∵（三角形外角性质），
．
故答案为：．
4如图，在矩形中，延长至点，使，连接，若，求的度数．
【答案】解：连接，
∵四边形是矩形，
∴，，且，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
5如图，在矩形中，，于点F.
(1)求证：；
(2)连接，若，求的度数.
【答案】解：（1）在矩形中，，
∴.
在和中，
,
∴.
∴.
（2）在矩形中，
∴.
又∵，
∴.
在和中，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
3利用矩形的性质求线段的长度
1如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作交于点，若的周长为，，则的长为(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵四边形是矩形，
∴，
∵的周长为，，
∴，即，
∵在中，
，
∴，
解得：，
∴的长为．
故选：B.
2如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是（　　）
A. B. C.1 D.
【答案】A
【解析】如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
又∵，
∴线段是线段的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故选：A.
3已知，是矩形的对角线的中点，是线段上的一点，过点作交直线CD于点F，连接EF，若,则 = ．

【答案】
【解析】如图，

延长交于点，连接，
∵是矩形的对角线的中点，
∴，
∵，
∴,
∴（），
∴，．
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，,
∴，
∴．
故答案为．
4如图，在矩形ABCD中，AB=BC，点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上一点（与点B，C不重合），连接AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为E．
(1)若CG为∠DCF的平分线．请判断BP与CP的数量关系，并证明；
(2)若AB=3，△ABP≌△CEP，求BP的长．
【答案】解：（1）BP=CP，理由如下：
∵CG为∠DCF的平分线，
∴∠DCG=∠FCG=45°，
∴∠PCE=45°，
∵CG⊥AP，
∴∠E=∠B=90°，
∴∠CPE=45°=∠APB，
∴∠BAP=∠APB=45°，
∴AB=BP，
∵AB=BC，
∴BC=2AB，
∴BP=PC；
（2）∵△ABP≌△CEP，
∴AP=CP，
∵AB=3，
∵BC=2AB=6，
∵，
∴，
∴BP=．
4利用矩形的性质求面积
1如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BC＝5，∠BOC＝120°，则ABC的面积为（　　）
A. B. C.5 D.10
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴OB＝OA＝OC，
∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝OC，
∴，
在中，
∵AB2+BC2＝AC2，BC＝5，
∴AB2+＝（2AB）2，
解得：AB＝5，
∴△ABC的面积是，
故选：A．
2如图，在矩形中，，，为的中点，点，分别在，上，为等腰直角三角形，且，则四边形的面积为(　　)

A.18 B.14 C.16 D.12
【答案】C
【解析】为等腰直角三角形，，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，为的中点，
，，
，
，
故选：C．
3矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，矩形ABCD的面积为 ．
【答案】
【解析】如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝，∠BAD＝90°，
又∵∠AOB＝60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴BO＝AB＝4，
∴BD＝2BO＝8，
∴AD＝,
∴矩形ABCD的面积＝,
故答案为：．
4如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，点B的横坐标为，则矩形AOBC的面积为 ．
【答案】
【解析】如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴交x轴于点H，过点A作AF∥x轴，交点为F，则AF⊥CF，延长CA交x轴于点G，
∴HF＝AD，AF＝HD，
∵点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，点B的横坐标为，
∴OD＝2，AD＝1，CH＝4，OE＝，
∴OA＝＝，
∵四边形AOBC是矩形，
∴OB＝AC，AC∥OB，
∴∠CAF＝∠CGO＝∠BOE，
∵∠AFC＝∠OEB＝90°，
∴△AFC≌△OEB （AAS），
∴CF＝BE，AF＝OE＝，
∵HF＝AD＝1，HC＝4，
∴CF＝BE＝CH﹣HF＝3，
∴AC＝＝，
∴矩形AOBC的面积＝AO AC＝＝ ．
故答案为：．
5如图，为矩形对角线的交点，，；，，求四边形的面积．
【答案】解：∵，，
∴四边形ODEC为平行四边形，
∴DE=OC，OD=CE，
∵CD=CD，
∴△EDC≌△OCD(SSS)，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，为矩形对角线的交点，
∴OB=OD，CD=AB=6，
∴，
∴
∴.
5利用矩形的性质证明
1证明：矩形的对角线相等．
已知：如图，在矩形中，连接，．求证：．

证明：四边形是矩形，，______．
又，，．
则“______”在处应该补充的证明过程是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴．
则在“______”处应该补充的证明过程是，
故选：C．
2如图，点P是矩形的对角线上一动点，过点P作的垂线，分别交边于点E，F，连接．则下列结论不成立的是（　　）
A.四边形的面积是定值
B.的值不变
C.的值不变
D.
【答案】C
【解析】过点C作，交的延长线于点G，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，即，
∴四边形的面积是定值，故A正确；
∵，
∴的值不变，故B正确；
∵，
∴，故D正确；
∴的值不变不成立，
故选：C．
3如图，矩形中，、交于点O，平分交于E，，连接．下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确的有 （填序号）．
【答案】①②④
【解析】∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故①正确；
∵矩形中，与平行，且，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，故③错误；
∵，
∴，故④正确；
故答案为：①②④．
4在矩形中，，是对角线的交点，过作于点，的延长线与的平分线相交于点，与交于点．下列四个结论中正确的是 ．
①；②；③；④；⑤是等边三角形．
【答案】②③④⑤
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠FAB=45°，
∴∠AFB=45°，
∴∠AFC=135°，CF与AH不垂直，
∴点F不是AH的中点，即AF≠FH，
∴①错误；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=OC=OD=OB，BD=AC，
∵∠ADB=30°，
∴∠ABO=60°，
∴△ABO是等边三角形，故⑤正确；
∴AB=BO，∠AOB=∠BAO=60°=∠COE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∵AB=BO，
∴BF=BO，
∴②正确；
∵∠BAO=60°，∠BAF=45°，
∴∠CAH=15°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEO=90°，
∵∠EOC=60°，
∴∠ECO=30°，
∴∠H=∠ECO-∠CAH=30°-15°=15°=∠CAH，
∴AC=CH，
∴③正确；
∵△AOB是等边三角形，
∴AO=OB=AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，
∴DC=OC=OD，
∵CE⊥BD，
∴DE=EO=DO=BD，
即BE=3ED，
∴④正确；
所以其中正确结论有②③④⑤，
故答案为：②③④⑤．
5如图，为矩形的对角线，于点E，于点F．求证：
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
【答案】证明：（1）∵四边形是矩形，
∴，，
∴．
又∵，，
∴．
在和中，
，
∴．
（2）∵，
∴．
又∵，，
∴．
∴四边形是平行四边形．
6如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，，．求证：平分．
【答案】证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
6矩形中的折叠问题
1如图，在矩形中，分别为对角线上三点，为上一点，分别沿折叠和，使得点A、C的对应点恰好都落在点上，则的长等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】∵折叠,
∴,
∵四边形是矩形,
∴,
∴,
∵,
∴,
在中，,
即,
解得,
∴,
故选：B.
2如图，将矩形沿折叠，点C的对应点是F，将沿折叠，此时点B也恰好落在点F处，若，，则的长是(　　)
A. B. C.5 D.
【答案】A
【解析】四边形为矩形，，，
，，
设，则，
由折叠的性质可知，，，
，
，
，
解得，
，
故选：A．
3如图，折叠长方形的一边，使点D落在边上F处，已知，，则的长为 .
【答案】
【解析】∵是沿折叠得到的，
∴,
∵四边形是矩形,
∴,
∴,
在中，，
根据勾股定理可知，
∴,
∴,
设，则，
在中，，
即,
∴，即，
故答案为：．
4如图，在矩形中，点是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，如果，，那么的长为 ．
【答案】
【解析】∵四边形是矩形，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
7矩形中的动点问题
1如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设边上的高是h，
，
，
，
动点P在与平行且与的距离是2的直线l上，
如图，作点A关于直线l的对称点E，连结，，
则的长就是所求的最短距离，
在Rt△ABE中，
，，
，
即的最小值为．
故选D．
2如图，在长方形中，，，点P在线段（包括端点）上运动，以线段为边，向右侧作正，连接．下列结论正确的是(　　)
A.当点P与点A重合时，最小
B.当点P与点D重合时，最小
C.当最小时，A、E、C三点共线
D.当最小时，
【答案】D
【解析】如图，以为边向右作等边，连接．

是等边三角形，
，，，
，
，
，，
点在射线上运动，且，设交于点，
则，
当时，的长最小，此时，则，
，，
，
，即：点为中点，
，
，
．
综上，当点为中点时，的长最小，此时，
故选：D．
3在矩形中，，，若是射线上一个动点，连接，点关于直线的对称点为．连接，，当，，三点共线时，的长为 ．
【答案】1或9
【解析】当点线段上时，如图，

与关于直线对称，
，，，
，
，
，
，
设，
，
，
，
解得，
；
当点在的延长线时，如图，

与关于直线对称，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的长为1或9，
故答案为：1或9．
4如图，矩形ABCD中，点E、F、G、H分别AB、BC、CD、DA边上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）在点E、F、G、H运动过程中，判断直线GE是否经过某一定点，如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD，∠A＝∠C＝90°，
∵BF＝DH，
∴BC﹣BF＝AD﹣DH，即CF＝AH，
又AE＝CG，
∴△HAE≌△FCG，
∴HE＝FG，
同理可证：HG＝FE，
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）直线GE经过一个定点，这个定点为矩形的对角线AC、BD的交点．
理由如下：
如图，连接AC、AG、CE，设AC、EG的交点为M．
∵AE∥CG，AE＝CG，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴MA＝MC，MG＝ME，
即点M为AC的中点，
又矩形ABCD的对角线互相平分
∴点M为矩形对角线ACBD的交点，
∴直线GE总过AC、BD的交点M．
8用定义判定矩形
1在 ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是(　　)
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
【答案】B
【解析】连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴AE∥CF，
∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC=BC，E是AB的中点，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴四边形AECF是矩形,
故选：B.
2下列图形一定为矩形的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.只有两个角是直角，无法证明该四边形是矩形，不符合题意；
B.只有两个角是直角，进而证明有一组对边平行，无法证明该四边形是矩形，不符合题意；
C.有两个角是直角，可以证明边长为3的两边平行，则该四边形是平行四边形，再由有两个角是直角，可证明该四边形是矩形，符合题意；
D.只有两个角是直角，无法证明该四边形是矩形，不符合题意；
故选C．
3如图，关于四边形的4个结论中，推导顺序正确的是(　　)

①它两组对边分别相等；②它是矩形；③它是平行四边形；④它有一个角是直角．
A.④②①③ B.①③④② C.②④①③ D.③①④②
【答案】B
【解析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
A：有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故④不能推导出②，故A错误；
B：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．故B正确；
C：矩形本身就是平行四边形，不需要由矩形去证明它本身平行四边形，故C错误；
D：应先确定该四边形是平行四边形，故D错误．
故选：B．
4如图，在△ABC，AB=AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DEAB交AE于E，则四边形ADCE的形状是 .
【答案】矩形
【解析】∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠FAE=∠EAC，
∵∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC，
∴∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，
∴，
又∵，
∴四边形EABD是平行四边形，
∴AE平行且等于BD，
∵AB=AC，点D为BC的中点,
∴BD=DC=AE，
∴四边形EADC是平行四边形,
又∠ADC=90°,
∴平行四边形EADC是矩形．
故答案为：矩形．
5如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、DC上的点，且AE＝CF，∠DEB＝90°．
求证：（1）∠ADE＝∠CBF；
（2）四边形DEBF是矩形．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，∠A＝∠C，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
即BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∠DEB＝90°，
∴四边形DEBF是矩形．
6如图，在 ABCD中，点O是边AB的中点，且OD＝OC．
（1）求证：∠ADO＝∠BCO；
（2）求证：四边形ABCD是矩形．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵点O是边AB的中点，
∴AO＝BO，
在△ADO与△BCO中，
，
∴△ADO≌△BCO（SSS），
∴∠ADO＝∠BCO；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠A+∠B＝180°，
∵△AOD≌△BOC，
∴∠A＝∠B，
∵∠A+∠B＝180°，
∴∠A＝∠B＝90°，
即平行四边形ABCD是矩形．
9用角判定矩形
1下列各图中，是矩形的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.只有两个角是直角，不能判断该四边形为矩形，不符合题意；
B.只有两个角是直角，不能判断该四边形为矩形，不符合题意；
C.不是四边形，即不是矩形，不符合题意；
D.该四边形是有三个直角的四边形，则该四边形为矩形，符合题意；
故选：D．
2如图，已知的四个内角的平分线分别交于点、、、，则四边形的形状是(　　)

A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
【答案】B
【解析】因为四边形是平行四边形，
所以，,
则，，,
因为、、、分别是、、、的角平分线，
所以，，
所以，,
在中，，
即；
在中，，
即；
在中，，
即；
所以四边形是矩形,
故选：B.
3求证：有三个角是直角的四边形是矩形．
已知：如图，在四边形中，．
求证：四边形是矩形．
证明：∵，
…
∵，
∴四边形是矩形．

下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形是平行四边形；②∴，；③∴，，则正确的顺序是(　　)
A.③②① B.③①② C.②③① D.①②③
【答案】A
【解析】∵，
③∴，．
②∴，．
①∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形．
所以，顺序为③②①．
故选：A．
4课本在线我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．
定理 有三个角是直角的四边形是矩形．
定理证明：
为了证明该定理，小丽同学画出了图形（如图），写出了“已知”，请你补出“求证”的内容，并根据她的思路补全证明过程．

已知：如图，四边形中，．
求证：__________________．
证明：，
_______________°
（______________），
又，
______________．
．
四边形是平行四边形（______________）．
又，
是矩形（______________）．
【答案】四边形是矩形；180；同旁内角互补，两直线平行；；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形
【解析】，
，
（同旁内角互补，两直线平行）．
又，
．
．
四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
又，
是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故答案为：四边形是矩形；180；同旁内角互补，两直线平行；；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形.
5工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是　　　　　　　　．
【答案】三个角是直角的四边形为矩形
【解析】用直角尺测量门框的三个角是否都是直角，如果都是直角，则四边形是矩形．
故答案为：三个角是直角的四边形为矩形.
6如图所示，点是线段上的一点，，平分交于点，平分，于点，求证：四边形是矩形．
【答案】证明：平分，平分已知，
，，
，
，
，
，
，平分已知，
，等腰三角形的“三合一”的性质，
，
，
，
四边形是矩形．
10用对角线判定矩形
1如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是(　　)
A.甲是矩形
B.乙是矩形
C.甲、乙均是矩形
D.甲、乙都不是矩形
【答案】A
【解析】由题意知，甲中对角线相等且互相平分，
∴甲中四边形是矩形，
如图乙，记的交点为，
由图可知，，的数量关系未知，
∴乙中四边形不一定是矩形，
故选：A．
2如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长应该为(　　)

A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】A
【解析】∵四边形是平行四边形，，
∴，
当时，
∴，
∴平行四边形是矩形，
故选：A．
3下列能够判断四边形是矩形的是(　　)
A.两组对角相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相垂直且相等
D.对角线互相平分且相等
【答案】D
【解析】.两组对角相等的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除；
.对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除；
.对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除；
.对角线互相平分且相等四边形是矩形，故此选项能判定四边形是矩形，符合题意；
故选：．
4如图，四边形的对角线相交于点，且，则它是 形．
【答案】矩
【解析】∵，
∴四边形为平行四边形，，
∴四边形为矩形．
故答案为：矩．
5在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是 形．
【答案】矩
【解析】四边形为平行四边形，，
这个平行四边形是矩形，
故答案为：矩．
6如图，在中，，延长至点D，使，过点D作交的延长线于点E，连接、，求证：四边形为矩形．

【答案】证明：∵，
∴，
在和中，．
∴，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形．
11矩形判定定理的理解
1依据所标数据，下列一定为矩形的是(　　)

A.只有③ B.只有①② C.只有②③ D.①②③
【答案】C
【解析】图②可根据有三个角是直角的四边形是平行四边形证明该四边形是矩形，符合题意；
图③可由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明该四边形是矩形，符合题意；
根据现有条件无法证明图①中的四边形是矩形，不符合题意；
故选C．
2有下列四个条件：①对角线互相平分的四边形；②对角线互相垂直的四边形；③对角线相等的平行四边形；④有一个角是直角的平行四边形，其中能作为矩形的判定条件的是(　　)
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
【答案】B
【解析】①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本条件不合题意；
②对角线互相垂直的四边形不一定互相平分，不一定是平行四边形，故本条件不合题意；
③对角线相等的平行四边形是矩形，故本条件合题意；
④有一个角是直角的平行四边形是矩形，故本条件合题意；
故选：B．
3在四边形ABCD中，如果∠A=90°，那么还不能判定四边形ABCD是矩形，现再给出如下说法：①对角线AC、BD互相平分，那么四边形ABCD是矩形；②∠B=∠C=90°，那么四边形ABCD是矩形；③对角线AC=BD，那么四边形ABCD是矩形．其中正确的说法有 ．（把你认为正确说法的序号全部填上）
【答案】①②
【解析】①对角线AC、BD互相平分的四边形是平行四边形，又∠A=90°，所以四边形ABCD是矩形，正确；
②∠A=90°，∠B=∠C=90°，根据三个角是直角的四边形是矩形，正确；
③只有对角线相等，不能判定其为平行四边形，也就不能判定四边形ABCD是矩形，所以不正确．
故应填：①②.
4用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，以下方法可行的有 ．（只要填序号即可）
①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等．
②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等．
③量出一组邻边的长、以及和这两边组成三角形的那条对角线的长，计算是否有．
④量出两条对角线长，看是否相等．
【答案】①②
【解析】①先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等；理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定是否是矩形，故此选项正确；
②根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形，故此选项正确；
③量出一组邻的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c,计算是否有a2+b2=c2.可以判断是否是直角，但不能判断是否是矩形；故此选项错误；
④量出两条对角线长，看是否相等不能判定是矩形，必须两条对角线长相等且互相平分才是矩形；故此选项错误；
综上所述：用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，可行的方法有①②.
故答案为①②.
12添一条件使四边形是矩形
1下列条件中，能判定平行四边形是矩形的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，即对角线相等，

∴平行四边形是矩形，
∴A选项符合题意；
∵，即一组邻边相等，
∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形；
∴B选项不符合题意；
∵，即对角线垂直
∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形；
∴C选项不符合题意；
∵，即一组边和对角线垂直，
∴平行四边形不能判定是矩形；
∴D选项不符合题意；
故选：A．
2如图，增加下列一个条件可以使平行四边形成为矩形的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.四边形是平行四边形，
，故选项A不符合题意；
B.四边形是平行四边形，
，故选项B不符合题意；
C.四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，故选项C符合题意；
D.四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，故选项D不符合题意；
故选：C．
3如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，，添加下列条件，可以判定四边形是矩形的是(　　)

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
观察各选项只有添加B选项时可以，
∵，
∴四边形是矩形，
故选B．
4如图，在平行四边形中，延长到点E，使，连接、、请你添加一个条件 ，使四边形是矩形．
【答案】（答案不唯一）
【解析】∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以添加一个条件即.
故答案为：（答案不唯一）．
5如图，已知中对角线，相交于点，请你添加一个适当的条件，使成为一个矩形．你添加的条件是 （填一个即可）．
【答案】（答案不唯一）．
【解析】添加的条件是（答案不唯一），
理由是：，四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形，
故答案为：（答案不唯一）．
6已知：如图，在中，平分，交于E，平分，交于F．
(1)求证：；
(2)当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由．
【答案】（1）证明：在中，，，，
，
平分，平分，
，
在和中，
，
∴.
（2）解：，四边形是矩形．理由如下：
，
，，
又，
，
四边形是平行四边形，
，平分，
，
平行四边形是矩形．
13综合利用矩形的判定与性质进行求解
1如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为(　　)
A.240 B.192 C.120 D.96
【答案】B
【解析】∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵为直角，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴，则，
∴四边形的面积为，
故选：B．
2如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8 cm，则平行四边形ABCD的面积是(　　)cm2 ．
A.16 B.4 C.8 D.16
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，BO=OD，
∵△ABO是等边三角形，AC=8 cm，
∴AO=OB=AB=4 cm，
∴AC=BD，
∴四边形是ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，BC=，
∴平行四边形ABCD的面积是AB·BC= ×4= (cm2)，
故答案为：D．
3如图所示，在平行四边形纸片中，与相交于点，将沿对角线翻折得到，若四边形的面积为，则翻折后纸片重叠部分的面积是 ．

【答案】
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵是由翻折得到的，，
∴，点、、在同一条直线上，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
4如图，在中，，P为上一动点，于点E，于点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由勾股定理得，，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
如图，连接，
∴，
∴当时，最小，即最小，
∵，
∴，
解得，，
∴的最小值为，
故答案为：．
5如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，于点E，于点F，且．
(1)求证：四边形ABCD是矩形．
(2)若，求的度数．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵于点E，于点F，
∴，
又∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
6如图，在平行四边形中，E、F分别为边、的中点，是平行四边形的对角线，交的延长线于点G．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，求的度数．
【答案】解：（1）∵四边形是平行四边形，
，
分别为边的中点，
，
．
∵BE∥DF，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BG，
∵AG∥BD，
∴四边形AGBD是平行四边形，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE＝AB，
∵AE＝DE，
∴AE＝DE＝BE，
∴∠DAE＝∠ADE，∠EDB＝∠EBD，
∵∠DAE＋∠ADE＋∠EDB＋∠EBD＝180°，
∴2∠ADE＋2∠EDB＝180°，
∴∠ADE＋∠EDB＝90°，即∠ADB＝90°，
∴平行四边形AGBD是矩形．
∴∠G=90°．
14综合利用矩形的判定与性质进行证明
1平行四边形中，，则下列结论不一定正确的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵平行四边形中，，
∴四边形是矩形，
∴，，但对角线不一定垂直，
故选项C不一定正确；
故选：C．
2已知：如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，且，交的延长线于，连接，若．下列结论中：①；②四边形是矩形；③；④．其中正确的是(　　)
A.①②③④ B.①② C.①③ D.①②④
【答案】D
【解析】①∵四边形是平行四边形，
∴．
∵、分别为边、的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，故①正确；
②∵且，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，故②正确；
③连接，
∵四边形是矩形，
∴过点E，．
若，则，显然与不一定相等，故③不正确；
④∵四边形是矩形，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
∵为边的中点，
∴，
∴，
∴，故④正确．
故选D．
3已知四边形中，，对角线相交于点O．下列结论一定成立的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴四边形是矩形，
∴，一定成立，故B符合要求；
，不成立，故D不符合要求；
，，不一定成立，故A、C不符合要求；
故选：B．
4如图，直线，平分，，且平移恰好到，则下列结论正确的有_______.

①；②平分；③；④.
【答案】①②④
【解析】平移恰好到，
四边形为平行四边形，
，故正确；
平分，
，
，
，
，
，
，
平分，故正确；
平分，平分，
，，
但，
，故错误；
四边形为平行四边形，
又，
四边形为矩形，
，
在中，，故正确．
故选①②④．
5如图'，在中，过点作于点，点在边上，且，连接．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求证：平分．
【答案】证明：（1）∵四边形是平行四边形,
∴，
又∵,
∴四边形是平行四边形.
∵,
∴,
∴四边形是矩形.
（2）由知四边形是矩形,
∴.
在 中,,
，
∵,,
∴,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴平分.

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