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八年级(下)学情调查数学答案及评分标准
一、选择题:
一、选择题:1.A　 2.B　 3.B　 4.D　 5.C　 6.C　 7.B　 8.D　 9.A　 10.C　
二、填空题:11.130　 12.3　 13.16　 14.y= 2x+4　 15.12
三、解答题:
16.解:(1)∵ ∠C= 90°,AB= 8,AC= 6,∴ 在 Rt△ABC 中,根据勾股定理得,
BC = AB2-AC2 ………………………………………………………… 3 分
= 82-62 …………………………………………………………… 4 分
= 28 = 2 7 ; ………………………………………………………… 5 分
(2)∵ y-1 与 x 成正比例,∴ 设 y-1= kx(k≠0), ……………………… 6 分
∵ x= 3 时,y= 4,∴ 4-1= 3k, …………………………………………… 7 分
解得 k= 1, ……………………………………………………………… 8 分
∴ y-1= x,………………………………………………………………… 9 分
即 y= x+1. ……………………………………………………………… 10 分
17.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,AD=BC, ………… 2 分
∴ ∠DEO=∠BFO,∠EDO=∠FBO. …………………………………… 3 分
∵ 点 O 是对角线 BD 的中点,∴ OB=OD. ……………………………… 4 分
ì ∠DEO=∠BFO,
在△DEO 和△BFO , 中 í∠EDO=∠FBO,

OD=OB,
∴ △DEO≌△BFO(AAS), ……………………………………………… 6 分
∴ DE=BF, ……………………………………………………………… 7 分
∴ AD-DE=BC-BF,即 AE=CF. ………………………………………… 8 分
18.解:(1)∵ △ABC 与△CDE 是两个全等的直角三角形,∠B=∠D= 90°,
∴ ∠ACB=∠CED,∠ECD+∠CED= 90°, ∴ ∠ECD+∠ACB= 90°,
∴ ∠ACE= 180°-(∠ECD+∠ACB)= 90°,……………………………… 1 分
∴ S 1 1 1 1 2梯形ABDE = (a+b)(a+b),S2 △ABC
= ab,S = ab,S = c ,
2 △CDE 2 △ACE 2
观察图形可知:S梯形ABDE =S△ABC+S△CDE+S△ACE,
∴ 1 (a+b)(a+b)= 1 ab+ 1 ab+ 1 c2, …………………………………… 2 分
2 2 2 2
数学试卷答案　 第 1 页
∴ a2+b2 = c2;……………………………………………………………… 4 分
(2)∵ AD 是 BC 边上的高,∴ ∠ADB=∠ADC= 90°,
∵ AB= 6,AC= 7,BC= 8,设 CD= x,∴ BD=BC-CD= 8-x,
在 Rt△ABD 中,根据勾股定理得,AD2 =AB2-BD2 = 62-(8-x) 2,
…………………………………………………………………………… 5 分
在 Rt△ACD 中,根据勾股定理得,AD2 =AC2-CD2 = 72-x2, …………… 6 分
∴ 62-(8-x) 2 = 72-x2, …………………………………………………… 7 分
∴ x= 77,即 x 77的值为 . ………………………………………………… 8 分
16 16
19.解:(1)5; ………………………………………………………………… 2 分
(2)设 y甲 = k1x(k1≠0),代入(40,2000),得 2000= 40k1,k1 = 50,
∴ y甲 = 50x, ……………………………………………………………… 3 分
设 y乙 = k2x+b(k2≠0),由题意得,代入(30,3000),(50,0),
∴ {30k2+b= 3000, ……………………………………………………… 5 分50k2+b= 0,
{k2 =-150,解得 ,∴ y乙 =-150x+7500. ………………………………… 6 分b= 7500.
令 50x=-150x+7500,解得 x= 37.5. …………………………………… 7 分
∴ 当乙从体育场返回与甲相遇时,甲出发了 37.5 min
20.解:(1)证明:∵ AE∥BC,即 AE∥CD,∵ CE∥AD,
∴ 四边形 ADCE 是平行四边形,………………………………………… 2 分
∵ ∠BAC= 90°, 1点 D 是 BC 边的中点.∴ AD=CD= BC,……………… 3 分
2
∴ 四边形 ADCE 是菱形;………………………………………………… 4 分
(2)方法一,如图 1,连接 DE 与 AC 相交于点 O,∵ 四边形 ADCE 是菱形,
∴ DE⊥AC,∴ ∠DOC= 90°,OD=OE,OA=OC;………………………… 5 分
∵ ∠B= 60°,∠BAC= 90°,∴ ∠ACB= 30°,
∵ AC= 2 3 ,∴ OC= 1 AC= 1 ×2 3 = 3 , ……………………………… 6 分
2 2
在 Rt△ODC 中,CD= 2OD,根据勾股定理得,OD2+OC2 =CD2,
∴ OD2+( 3 ) 2 =(2OD) 2,∵ OD>0,∴ OD= 1, ………………………… 7 分
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∴ DE= 2OD= 2,∴ 1 1菱形 ADCE 的面积为 AC·DE= ×2 3 ×2= 2 3 . ……
2 2
……………………………………………………………………… 8 分
方法二,如图 2,过点 A 作 AF⊥BD,垂足为 F,∴ ∠AFC= 90°,
∵ ∠B= 60°,∠BAC= 90°,∴ ∠ACB= 30°.
∵ AC= 2 3 ,∴ AF= 1 AC= 1 ×2 3 = 3 . ……………………………… 5 分
2 2
∵ AD=CD,∴ ∠DAC=∠ACD= 30°,∴ ∠ADF= 60°,∴ ∠DAF= 30°,
∴ AD= 2DF. ……………………………………………………………… 6 分
在 Rt△ADF 中,根据勾股定理得,AF2+DF2 =AD2,∴ ( 3 ) 2+DF2 =(2DF) 2 .
∵ DF>0,∴ DF= 1,∴ AD= 2DF= 2, …………………………………… 7 分
∵ AD=CD,∴ CD= 2,∴ 菱形 ADCE 的面积为 CD·AF= 2 3 ………… 8 分
21.解:(1)根据这些点在同一条直线上,确定 f 是 h 的一次函数,
5k+b= 500,
∴ 设 f= kh+b(k≠0),代入(5,500),(10,420)得{ ……… 2 分10k+b= 420,
{k=-16,解得 …………………………………………………………… 4 分b= 580.
∴ f=-16h+580; ………………………………………………………… 5 分
(2)当 f= 392 时,392= -16h+580,h= 11.75.…………………………… 6 分
∴ 20+(11.75-1)×20= 235(ml)………………………………………… 7 分
答:应该在玻璃杯中装 235 ml 的水. …………………………………… 8 分
22.解:∵ 直线 y=-2x+4 与 x 轴,y 轴分别相交于点 A,点 B,∴ 当 x= 0 时,
y= 4,∴ B(0,4) . ………………………………………………………… 1 分
设直线 BC 的解析式为 y= kx+4,代入 C(-4,0),∴ 0=-4k+4,解得 k= 1,
∴ 直线 BC 的解析式为 y= x+4;………………………………………… 2 分
(2)∵ PQ∥y 轴,∴ PQ∥OB,当 PQ =OB 时,以点 O,B,P,Q 为顶点的四边
数学试卷答案　 第 3 页
形是平行四边形, ……………………………………………………… 3 分
设点 P(m,-2m+4),∴ Q(m,m+4),当 x>0 时,PQ =m+4-(-2m+4)= 3m,
∵ OB= 4,∴ 3m= 4,m= 4 . ……………………………………………… 4 分
3
当 m= 4时,-2m+4= - 8 +4= 4 ,∴ P 4 ,
4
÷ ; ………………………… 5 分3 3 3 è 3 3
当 m<0 时,PQ=-2m+4-(m+4)= -3m,∵ OB= 4,∴ -3m= 4,
∴ m=- 4 .………………………………………………………………… 6 分
3
m=- 4当 时,-2m+4= -2× - 4 20 4 20
3 3 ÷
+4= ,∴ P - , . ……………… 7 分
è 3

è 3 3
÷

综上所述,当以 O,B,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形时,点 P 的坐标为
4 , 4 - 4 ,20 3 3 ÷
或 ÷ ;
è è 3 3
(3)在 y=-2x+4 中,当 y= 0 时,-2x+4= 0,x= 2,∴ A(2,0) . ………… 8 分
如图 1,当点 D 在 x 轴上方时,设 CD 交 y 轴于点 G,∵ ∠ACD=∠ABO,OC=
OB= 4,∠COG=∠BOA,∴ △OCG≌△OBA(ASA),∴ OG=OA= 2,
∴ G(0,2) . ……………………………………………………………… 9 分
设直线 CG 的解析式为 y=mx+2,代入 C(-4,0),∴ -4m+2= 0,解得 m= 1 ,
2
ì
ì 1 = + x=
4
1 y x 2,
,
5
∴ 直线 CG 的解析式为 y= x+2, 2 联立í 解得2 í
y=-2x+4,
12
y= . 5
∴ D 4 ,12 ; …………………………………………………………… 10 分
è 5 5
÷

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如图 2,当点 D 在 x 轴下方时,设 CD 交 y 轴于点 H.同理可得△OCH≌
△OBA(ASA),∴ OH=OA= 2,∴ H(0,-2) .…………………………… 11 分
设直线 CH 的解析式为 y=nx-2,代入 C(-4,0),∴ -4n-2= 0,∴ n=- 1 .
2
ì 1
1 y=- x-2, x= 4,∴ 直线 CH 的解析式为 y=- x-2,联立í 2 解得2 {
=- y=-2x+4,
y 4.
∴ D(4,-4) . …………………………………………………………… 12 分
4 12
综上所述,点 D 的坐标为 , 或(4,-4) .
è 5 5
÷

23.解:(1)证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠B= 90°.………………… 1 分
∵ ∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠B+∠BAE.∵ ∠AEF= 90°,∴ ∠AEF=∠B,
∴ ∠BAE=∠CEF; ……………………………………………………… 2 分
(2)证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ ∠B=∠BCD= 90°,AB=BC. ………………………………………… 3 分
∵ AG=EC,∴ AB-AG=BC-EC,即 BG=BE,∴ ∠BGE= 45°,∴ ∠AGE= 135°.
∵ CF 是正方形外角的平分线,∴ ∠ECF= 90°+45° = 135°,
∴ ∠AGE=∠ECF. ……………………………………………………… 4 分
又∵ ∠BAE=∠CEF,∴ △AEG≌△EFC(ASA),∴ AE=EF; ………… 5 分
(3)证明:方法一,如图 1,连接 HC,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AD =CD,
∠ADB=∠CDB=∠CBD= 45°,∴ △ADH≌△CDH(SAS),
∴ AH=CH,∠DAH=∠DCH, …………………………………………… 6 分
∵ ∠ECF= 135°,∠CBD= 45°,∴ ∠ECF+∠CBD = 135°+45° = 180°.∴ BD∥
CF,∴ ∠DHF=∠HFC,∵ ∠DHF =∠DAH+∠ADH =∠DAH+45° =∠DCH+
45° =∠HCF,∴ ∠HFC=∠HCF. ……………………………………… 7 分
∴ HC=HF,又∵ HC=AH,∴ AH=HF,∴ 点 H 是线段 AF 的中点; …… 8 分
方法二,如图 1 ,连接 AC,则∠ACB = 45°.∵ ∠BCF = 135°,∴ ∠ACF = 90°.
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∵ △AHD≌△CHD,∴ AH = CH,∴ ∠HAC =∠HCA,∵ ∠HAC+∠AFC = 90°,
∠HCA+∠HCF= 90°,∴ ∠HCF=∠AFC,∴ HC=HF,∴ HC=AH=HF,∴ 点 H
是线段 AF 的中点.
方法三,如图 2,过点 F 作 FQ∥BC 交 BD 于点 Q,∵ BD∥CF,∴ 四边形
BCFQ 是平行四边形,∴ FQ = BC = AD,∴ △ADH≌△FQH,∴ AH = FH,
∴ 点 H是线段 AF 的中点.
(4)解:如图 3,延长 DN 至点 M,使 MN = DN,连接 MF,ME.∵ ∠DNC =
∠MNF.点 N 是线段 CF 的中点,∴ CN = FN,∴ △DCN≌△MFN( SAS) .
∴ DC=MF,∠CDN=∠FMN,∴ CD∥MF. ……………………………… 9 分
设 MF 与 BC 的延长线相交于点 Q, ∵ ∠BCD = 90°, ∴ ∠FQE = 90°,
∴ ∠FEQ+∠EFQ= 90°.∵ ∠AEF= 90°,∴ ∠FEQ+∠AEB= 90°,
∴ ∠AEB=∠EFQ. ……………………………………………………… 10 分
∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AD∥BC,∴ ∠AEB=∠DAE,∴ ∠DAE=∠EFQ.
∵ AD=CD=MF,AE=EF,∴ △DAE≌△MFE(SAS),
∴ DE=ME,∠AED=∠FEM.…………………………………………… 11 分
∴ ∠AED +∠DEF = ∠DEF +∠FEM,即∠AEF = ∠DEM,∵ ∠AEF = 90°,
∴ ∠DEM= 90°.∴ △DEM 是等腰直角三角形. ……………………… 12 分
设 DN=a,则 DM= 2a,DE2+EM2 =DM2,即 2DE2 = 4a2,∴ DE= 2 a,
∴ DE = 2 a= 2 . ……………………………………………………… 13 分
DN a
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