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哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题
1．设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量，满足，，，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
3．在中，分别是所对的边，若，则此三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
4．在空间中，若直线平面，直线平面，则与（ ）
A．相交
B．平行
C．是异面直线
D．可能平行，也可能是异面直线
5．已知单位向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（ ）
A． B．
C． D．
7．直三棱柱的底面是以C为直角的等腰直角三角形，且，在面对角线上存在一点P使P到和P到A的距离之和最小，则这个最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
8．如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．中，，，则（ ）
A． B．的角平分线交AB于D，则
C． D．在上的投影向量是
10．已知复数（i为虚数单位），则（ ）
A．的共轭复数为 B．的虚部为
C． D．
11．如图，正方体的棱长为1，且M，N分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面 B．与所成角为45°
C．三棱锥的体积为 D．点到平面的距离为
三、填空题
12．已知正方体内切球半径为1，则该正方体外接球的表面积为_________．
13．将一个圆形纸片裁成两个扇形，再分别卷成甲、乙两个圆锥的侧面，甲、乙两个圆锥的侧面积分别为和，体积分别为和，若，则_____.
14．如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为______．
四、解答题
15．已知向量，.
(1)求；
(2)若与垂直，求实数的值.
16．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且.
(1)求角C及边c的值；
(2)求的最大值.
17．如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是54π，且底面直径与母线长相等.
(1)求圆柱的底面半径；
(2)求三棱柱的体积与表面积.
18．如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且

(1)求证：D，B，F，E四点共面；
(2)求证：平面；
(3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19．已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径.
(1)若，求的值；
(2)在（1）的条件下，求边长的最大值；
(3)若的面积为，且，求面积的取值范围.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B D B D D C ACD BD
题号 11
答案 ABD
12．
13．
14．/
15．（1）由，，
可得：，
所以.
（2），，
因为与垂直，
所以，
解得.
16．（1）由，
根据余弦定理，得，
因为，则.
由，得，
根据正弦定理，得，则.
（2）由（1）知，，
则，即，
当且仅当时等号成立，
则的最大值为4.
17．（1）设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为.
由题意.
即圆柱的底面半径为3.
（2）因为为等边三角形，且其外接圆半径为3，
由正弦定理。，解得，则，
又三棱柱的高即圆柱的高为6，所以；
则三棱柱的表面积为.
18．（1）连接，因为点E，F分别为棱，的中点，所以，

又在正方体中且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，所以D，B，F，E四点共面；
（2）连接、分别交于点H、O，连接，
在正方体中，且，
所以，则，
同理可得，
所以，所以，
又平面，平面，所以平面；
（3）存在，且，理由如下：
因为，
所以，
，
又，
，
平面，平面，
平面，
延长交于，延长交于，连接，
为中点，易得，
，
分别为的中点，易得，
，，
，又，即，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
所以平面，
又平面，
平面平面，
所以时，平面平面．
19．1）在中，由正弦定理，得，
又是锐角三角形，所以.
而分别是以为边的等边三角形的中心，
所以，从而.
（2）由（1）知，
在中，设，，
由余弦定理得，即，
故，故，同理，
所以.
而在中由余弦定理有，
.
当且仅当时等号成立，从而，
由题意可得为等边三角形，故边长的最大值为.
（3）由的面积为知，
在，中分别由余弦定理有
①，
②.
联立①②，消去，
可得.
所以面积，
又，
所以.
从而得面积的取值范围是.

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