资源简介

浙江省杭州市临安区2025-2026学年第二学期九年级期中学业水平测试数学试题卷
1．将实数，-2， ，0表示在数轴上，数对应的点在最左边的是(　　)
A． B．-2 C． D．0
2．生活中，我们常用的五号电池整体可以近似看作一个圆柱体叠上一个圆柱体.如图，这是五号电池的示意图，则该电池的俯视图是(　　)
A． B．
C． D．
3．第五十七次《中国互联网络发展状况统计报告》显示：截至 2025年12月，我国生成式人工智能用户达6.02亿人，较2024年底增长141.7%，将数据602000000用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是(　　)
A． B．
C． D．
5．某班级进行综合素质评价，以学习态度、课堂表现、作业完成、小组合作四项进行打分，各项权重依次为 2：3：4：1.小明四项得分分别为：7分，8分，9分，6分，则小明的最终得分是(　　)
A．6分 B．7分 C．8分 D．9分
6．皮影戏是中国民间古老的传统艺术，如图，在灯光的照射下，幕布上呈现出“人物”的影子.若将光源看作位似中心，以光源为原点建立直角坐标系，皮影道具(原图)上的一点(3，2)对应到幕布(像)上的对应点为(6，4)，则道具上的另一点(4，-3)对应到幕布上的点为(　　)
A．(6，-4) B．(6， 8) C．(-8， 6) D．(8，-6)
7．如图所示为一张矩形纸片 ABCD，圆圆和方方在探究矩形和菱形的联系，通过尺规作图在矩形中作出一个菱形.圆圆的作法是：连结对角线 BD，作 BD的中垂线分别交 BC， AD于点 E， F，连结 BF， DE，则四边形 BEDF是菱形.方方的作法是：作 BC的中垂线分别交 BC，AD于点 E， F，连结 BF， DE，则四边形 BEDF是菱形.对于两人的作法，判断(　　)
A．两人都正确 B．两人都错误
C．圆圆正确，方方错误 D．圆圆错误，方方正确
8．《张丘建算经》是中国古代数学的重要典籍，书中记载了著名的“百钱买百鸡”问题.现有一道“买鸡”问题如下：“鸡翁每只值五钱；鸡母每只值三钱；鸡雏每三只值一钱.”某人用五十六钱买鸡三十只，且鸡翁的数量比鸡母多两只.问鸡翁，鸡母，鸡雏各有几只 设鸡母x只，鸡雏y只，根据题意可列方程组，正确的是(　　)
A． B．
C． D．
9．如图，在△ABC中， AB=AC， ∠BAC=45°，以AC为直径作半圆，交BC于点 D，交AB于点 E，连结AD， CE相交于点 F.已知 CD=3，则AF的长为(　　)
A． B． C．6 D．8
10．已知抛物线 (k为常数) ，点 P(m， s) ， Q(m+2， s) ， N(2， t)在抛物线上，且满足sA．m>2 B．m<2 C．m>-2 D．m<-2
11．因式分解：t2-6t+9=　 　.
12．若 则x=　 　.
13．如图，在Rt△ABC 中， ∠A=90°， ∠B=36°， D是AB的中点， E是BC上一点，已知AB=6， BE=2，EC=7，则∠BDE=　 　.
14．某学校引入AI智能学习工具，提供3项智能学习功能：AI口语测评，AI错题整理，AI知识点抽测，圆圆和方方随机选择一种功能使用，则两人恰好选中同一种的AI学习功能的概率是　 　.
15．某品牌新能源汽车搭载了一块容量为 100kW·h(千瓦时)的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率 P(单位：KW)与充满电所需的时间 t(单位：h)满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的 1.5 倍，则充满电所需的时间将缩短　 　h(用含 t 的代数式表示).
16．如图， △ABC是⊙O的内接三角形， CD平分∠ACB，若∠ACB=60°，则 　 　.
17． 计算：
18．解不等式： -4x+2<2(x+4)，并把它的解表示在数轴上.
19．如图，在△ABC中， AB=5，过点 B作AC边上的高线 BD，
（1）求 AD的长；
（2）若 AC=5，求 BC的长.
20．某校为了制订学生跳绳项目合格成绩的衡量标准，随机抽取 25名学生的1分钟跳绳测试成绩，从小到大排序，获得以下数据(单位：个)：
73， 96， 120， 130， 138， 145， 149， 152， 154， 157，
165， 168， 169， 171， 172， 177， 180， 184， 186， 188，
191， 194， 200， 208， 239
（1）求这25名同学跳绳成绩的中位数；
（2）为制定及格标准和优秀标准，以中位数(不包含该数)左右侧数据的中位数分别作为及格标准和优秀标准，求及格标准和优秀标准；
（3）在(2)的基础上，该校七年级共有400名学生，请估计达到优秀标准的学生人数.
21．考拉兹猜想(又称3n+1猜想)是近代数学中最著名的未解猜想之一，由德国数学家考拉兹提出，其内容是：任意正整数 n，若是偶数就除以2，若是奇数就乘3加1，重复操作，最终都会得到1.例如，当n=10时，分步进行考拉兹运算：
第1步： 10÷2=5；第2步： 5×3+1=16；第3步： 16÷2=8；第4步： 8÷2=4；第5步： 4÷2=2；第6步： 2÷2=1
（1）若从某正整数 n出发，第一步考拉兹运算得到16，求所有满足条件的正整数 n；
（2）小杭同学说：若3n+1(n为任意正整数)已被证明符合考拉兹猜想，则2m(m为任意正整数)一定也符合考拉兹猜想.
∵2m为偶数
∴2m÷2=m
若 m为奇数，则下一步考拉兹运算后为3m+1；
若m为偶数，则下一步考拉兹运算继续除以2，多次运算，直至出现奇数p，则下一步考拉兹运算得到3p+1；
∴2m可以多次考拉兹运算为3n+1的形式；
∴2m一定也符合考拉兹猜想.
若3n+1(n为任意正整数)已被证明符合考拉兹猜想，请继续证明4k+1(k为任意正整数)一定也符合考拉兹猜想.
22． 如图， OD是⊙O的半径，弦AB垂直平分OD，以AB为边向圆外作等边△ABC，连结 OA.
（1）求证： BC是⊙O的切线；
（2）若AB=6，求图中阴影部分的面积.
23．某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水火箭实物图.王老师用频闪照相机记录并测量甲组的水火箭的飞行水平距离 x米和飞行高度y米的数据，记录数据如下表：
照相机频闪时间t/s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ……
水平距离 x/米 0 5 10 15 20 25 30 ……
飞行高度 y/米 0 4.5 8 10.5 12 12.5 12 ……
（1）根据表格中的数据描点，连线，发现y与x近似地满足二次函数关系，请写出y与x之间的函数表达式；
（2）根据表格数据，可知水平距离x与时间t满足关系式 x=10t.根据比赛规定，在水平距离相同的情况下，飞行高度不低于8米的持续时间越长成绩越好.求甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间；
（3）乙组的水火箭与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度y(米)与水平距离x(米)满足函数关系 当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大 最大高度差是多少
24． 如图1，点 P是正方形 ABCD对角线 BD延长线上一点， BD=6.连结 PA， PC，将线段PA绕着点 P逆时针旋转一定的角度后与 BC的延长线交于点 E.
（1）求证： ①△PCE是等腰三角形；
（2）连 DE交 PC于点 Q，设 DP=x， △QCE的面积为 S，求 S与x的关系式.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵ 数轴上数越小对应的点位置越靠左，
∴对应的点在最左边．
故答案为：B.
【分析】找出四个数中最小的数， 根据轴上左边的点对应的数小于右边的点对应的数解答即可．
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】A： 内部的小圆是虚线，不符合“能看到”的特征，错误；
B： 由一个大圆和一个中心的实线小圆组成，完全符合俯视图的特征，正确；
C： 只有一个大圆，没有体现顶部的凸起部分，错误；
D： 这是电池的主视图（正视图），不是俯视图，错误．
故答案为：B.
【分析】根据从上边看到的几何图形是俯视图，再根据看不到但存在的线用虚线表示解答即可.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；负整数指数幂；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A．，故本选项计算错误；
B．，故本选项计算正确；
C．，故本选项计算错误；
D．，故本选项计算错误．
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、负整数指数次幂的运算法则逐项判断解答即可.
5．【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：小明的最终得分是（分）．
故答案为：C.
【分析】根据加权平均数公式计算解答即可．
6．【答案】D
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵皮影道具（原图）上的一点对应到幕布（像）上的对应点为，
∴位似比为，
∴道具上的另一点对应到幕布上的点为．
故答案为：D.
【分析】根据题意得位似比为，由道具上的点的横、纵坐标同时乘以2解答即可．
7．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图1中，圆圆的作法正确．可以根据邻边相等的平行四边形是菱形．
如图2中，方方的作法错误．，四边不相等．
故答案为：C.
【分析】根据作图，利用菱形的判定方法判断解答即可．
8．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵设鸡母只，鸡雏只，列方程组为．
故答案为：B.【分析】设鸡母只，鸡雏只，根据题意列方程解答即可．
9．【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵是半圆的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：6.
【分析】由圆周角定理的推论得到，然后根据三线合一可得，即可得到是等腰直角三角形，即可得到，根据直角三角形的两锐角互余得到，利用ASA得到，根据对应边相等解答即可．
10．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：点，，在抛物线上，
抛物线对称轴为，
到对称轴的距离为1，
时，，且，抛物线开口向上，
当时，
，即，
或，解得或，
当时，
，即，
平方得，，整理得，
解得，
综上，时，．
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的的对称性得到对称轴，再利用抛物线开口向上，得到离对称轴越远的的点的函数值越大得到，，解出m的取值范围即可．
11．【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】根据完全平方公式分解因式即可.
12．【答案】2
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：原方程变形为，
方程两边同乘，得 ，
移项合并同类项，得，
系数化为，得，
检验：当时， ，
因此是原分式方程的解．
故答案为：2.
【分析】方程两边同乘化为整式方程，解整式方程求出先得值并检验解答即可.
13．【答案】54°
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵是的中点，，，，
∴，，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴.
【分析】根据已知条件得到，然后根据两边成比例且夹角相等得到，然后根据对应角相等得到，再根据直角三角形的两锐角互余解答即可.
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：记三种学习功能分别为A，B，C，
列表：
A B C
A
B
C
圆圆和方方依次选择，所有等可能的结果总数为 9 种.
其中两人恰好选中同一种学习功能的结果为，共种，
两人恰好选中同一种学习功能的概率，
故答案为：.
【分析】先列表得到所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
15．【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设将充电功率提升后，充电功率为，充满电所需的时间为，
根据题意，，，又，
，即，
解得，
，
则充满电所需的时间将缩短．
故答案为：．
【分析】设充电功率提升后充电功率为，充满电所需的时间为，根据，求出t'，然后解答即可．
16．【答案】
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：过点D作于点E，延长，过点D作于点F，如图所示：
∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【分析】过点D作于点E，延长，过点D作于点F，根据HL得到，即可得到得出，然后根据AAS得到，即可得到，根余弦的定义得出，即可得到，据此解答即可．
17．【答案】解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算算术平方根、乘方和绝对值，然后加减解答即可.
18．【答案】解：-4x-2x<8-2
-6x<6
x>-1
把解表示在数轴上：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，然后把解集表示在数轴上即可.
19．【答案】（1）解：∵BD为AC边上的高线
∴BD⊥AC
∴DB=4
（2）解：∵AC=5， AD=3
∴DC=8
∵DB=4， BD⊥AC
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）在中，根据余弦的定义求出的长度，然后根据勾股定理解答即可；
（2）先求出的长，然后根据勾股定理求出DC长即可.
20．【答案】（1）解：将25名学生的成绩从小到大排序后，处于中间位置的是第13个数据，为169，
故中位数为169．
（2）解：中位数左侧有12个数据，处于中间位置的数据是145，149，故左侧数据的中位数为，
中位数右侧有12个数据，处于中间位置的数据是186，188，故右侧数据的中位数为，
所以及格标准是147，优秀标准是187．
（3）解：样本中达到优秀标准的学生有6人，
所以估计达到优秀标准的学生人数为（人）．
【知识点】中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据中位数定义解答；
（2）分别求出中位数左侧和右侧数据的中位数解答即可；
（3）运用400乘以样本中达到优秀标准的学生人数占比解答即可．
21．【答案】（1）解：当 n为偶数时： n÷2=16 ，
∴n=32；
当 n为奇数时： 3n+1=16 ，
∴n=5；
∴n=5或32 ；
（2）解：∵k为任意正整数
∴4k+1为奇数
则4k+1下一步考拉兹运算结果为3(4k+1)+1=12k+4=4(3k+1)
∵4(3k+1)为偶数，
则下一步考拉兹运算结果为2(3k+1)
∵2(3k+1)为偶数，
则下一步考拉兹运算结果为3k+1
∴4k+1可以经过多次考拉兹运算化为3n+1 的形式
则4k+1一定也符合考拉兹猜想
【知识点】整式的混合运算；一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）分n为偶数和n为奇数两种情况，列方程求出n的值解答即可；
（2）仿照题目所给证明过程解答即可．
22．【答案】（1）证明：连结 OB， BD，
∵ AB 垂直平分半径 OD，
∴ BD=BO．
又 ∵ OD、OB 均为 ⊙O 的半径，
∴ OD=OB．
∴ BD=BO=OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠OBD=60°．
∴∠OBA=30°
∴ ∠OBC=∠OBA+∠ABC=30°+60°=90°，即 OB⊥BC．
∵ OB为⊙O半径，且 OB⊥BC，
∴ BC为⊙O的切线．
（2）解：设AB与OD交于点 E，
∵AB=6， AB⊥OD，
∴AE=EB=3
在 Rt△OBE中， BE=3， ∠OBE=30°．

【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，根据垂直平分线的定义得到，即可得到△OBD为等边三角形，进而得到，求出，证明结论．
（2）设交于点E，根据垂径定理得到，，即可得到则，利用30°的直角三角形的性质和勾股定理求出OE长，进而可得，根据计算即可．
23．【答案】（1）解：设
将 (0，0)、(10，8)、(20，12) 代入， 得
（2）解：令
∴x1=10，x2=40
将 x1=10， x2=40 代入得 x=10t，
得 t1=1， t2=4
∴持续时间 4-1=3 秒
（3）解：设高度差为 h
∴当水平距离为20米时，最大高度差为4米
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-抛球问题；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）令，则有，求出x的值，然后代入x=10t，得到时间t的值，求差解答即可；
（3）设高度差为h，得到h关于x的二次函数，配方得到顶点式，即可求出对大值解答即可．
24．【答案】（1）解：①已知 BD为正方形的对角线，
∴BD 平分∠ABC，即∠ABP=∠CBP．
在△ABP和△CBP中：
△ABP≌△CBP
∴PA=PC．
又已知题目条件 PE=PA，
可得 PC=PE．
△PCE为等腰三角形
②过点 P 作 PH⊥CE，交 CE 于点 H．
∵PC=PE(已证)，且 PH⊥CE，
∴CE=2CH=2EH
在正方形中，对角线
又∵DC∥PH
，即
∵CE=2CH
（2）解：过点 P 作 PG∥BE，交 ED 的延长线于点 G，．
∵BD=6
根据平行线分线段成比例定理，可得：
，
∵PH∥CD，
∴△PGQ∽△CEQ，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的判定；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质可，利用SAS得到，根据对应边相等得到PA=PC，再根据等量代换得到 PC=PE，证明结论即可；
②过点作于点，即可得到，根据三线合一得到，根据勾股定理得到，然后根据平行线截对应线段成比例得到，即可得到，证明结论；
（2）过点作，交的延长线于点，根据勾股定理求出BC长，然后根据平行线分线段成比例得到，求出GP长，然后根据PE∥CD得到△PGQ∽△CEQ，根据对应边成比例求出，即可得到，然后求出△PCE的面积，根据高相等的两个三角形的面积比等于对应底的比解答即可．
1 / 1浙江省杭州市临安区2025-2026学年第二学期九年级期中学业水平测试数学试题卷
1．将实数，-2， ，0表示在数轴上，数对应的点在最左边的是(　　)
A． B．-2 C． D．0
【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵ 数轴上数越小对应的点位置越靠左，
∴对应的点在最左边．
故答案为：B.
【分析】找出四个数中最小的数， 根据轴上左边的点对应的数小于右边的点对应的数解答即可．
2．生活中，我们常用的五号电池整体可以近似看作一个圆柱体叠上一个圆柱体.如图，这是五号电池的示意图，则该电池的俯视图是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】A： 内部的小圆是虚线，不符合“能看到”的特征，错误；
B： 由一个大圆和一个中心的实线小圆组成，完全符合俯视图的特征，正确；
C： 只有一个大圆，没有体现顶部的凸起部分，错误；
D： 这是电池的主视图（正视图），不是俯视图，错误．
故答案为：B.
【分析】根据从上边看到的几何图形是俯视图，再根据看不到但存在的线用虚线表示解答即可.
3．第五十七次《中国互联网络发展状况统计报告》显示：截至 2025年12月，我国生成式人工智能用户达6.02亿人，较2024年底增长141.7%，将数据602000000用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．下列计算正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；负整数指数幂；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A．，故本选项计算错误；
B．，故本选项计算正确；
C．，故本选项计算错误；
D．，故本选项计算错误．
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、负整数指数次幂的运算法则逐项判断解答即可.
5．某班级进行综合素质评价，以学习态度、课堂表现、作业完成、小组合作四项进行打分，各项权重依次为 2：3：4：1.小明四项得分分别为：7分，8分，9分，6分，则小明的最终得分是(　　)
A．6分 B．7分 C．8分 D．9分
【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：小明的最终得分是（分）．
故答案为：C.
【分析】根据加权平均数公式计算解答即可．
6．皮影戏是中国民间古老的传统艺术，如图，在灯光的照射下，幕布上呈现出“人物”的影子.若将光源看作位似中心，以光源为原点建立直角坐标系，皮影道具(原图)上的一点(3，2)对应到幕布(像)上的对应点为(6，4)，则道具上的另一点(4，-3)对应到幕布上的点为(　　)
A．(6，-4) B．(6， 8) C．(-8， 6) D．(8，-6)
【答案】D
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵皮影道具（原图）上的一点对应到幕布（像）上的对应点为，
∴位似比为，
∴道具上的另一点对应到幕布上的点为．
故答案为：D.
【分析】根据题意得位似比为，由道具上的点的横、纵坐标同时乘以2解答即可．
7．如图所示为一张矩形纸片 ABCD，圆圆和方方在探究矩形和菱形的联系，通过尺规作图在矩形中作出一个菱形.圆圆的作法是：连结对角线 BD，作 BD的中垂线分别交 BC， AD于点 E， F，连结 BF， DE，则四边形 BEDF是菱形.方方的作法是：作 BC的中垂线分别交 BC，AD于点 E， F，连结 BF， DE，则四边形 BEDF是菱形.对于两人的作法，判断(　　)
A．两人都正确 B．两人都错误
C．圆圆正确，方方错误 D．圆圆错误，方方正确
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图1中，圆圆的作法正确．可以根据邻边相等的平行四边形是菱形．
如图2中，方方的作法错误．，四边不相等．
故答案为：C.
【分析】根据作图，利用菱形的判定方法判断解答即可．
8．《张丘建算经》是中国古代数学的重要典籍，书中记载了著名的“百钱买百鸡”问题.现有一道“买鸡”问题如下：“鸡翁每只值五钱；鸡母每只值三钱；鸡雏每三只值一钱.”某人用五十六钱买鸡三十只，且鸡翁的数量比鸡母多两只.问鸡翁，鸡母，鸡雏各有几只 设鸡母x只，鸡雏y只，根据题意可列方程组，正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵设鸡母只，鸡雏只，列方程组为．
故答案为：B.【分析】设鸡母只，鸡雏只，根据题意列方程解答即可．
9．如图，在△ABC中， AB=AC， ∠BAC=45°，以AC为直径作半圆，交BC于点 D，交AB于点 E，连结AD， CE相交于点 F.已知 CD=3，则AF的长为(　　)
A． B． C．6 D．8
【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵是半圆的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：6.
【分析】由圆周角定理的推论得到，然后根据三线合一可得，即可得到是等腰直角三角形，即可得到，根据直角三角形的两锐角互余得到，利用ASA得到，根据对应边相等解答即可．
10．已知抛物线 (k为常数) ，点 P(m， s) ， Q(m+2， s) ， N(2， t)在抛物线上，且满足sA．m>2 B．m<2 C．m>-2 D．m<-2
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：点，，在抛物线上，
抛物线对称轴为，
到对称轴的距离为1，
时，，且，抛物线开口向上，
当时，
，即，
或，解得或，
当时，
，即，
平方得，，整理得，
解得，
综上，时，．
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的的对称性得到对称轴，再利用抛物线开口向上，得到离对称轴越远的的点的函数值越大得到，，解出m的取值范围即可．
11．因式分解：t2-6t+9=　 　.
【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】根据完全平方公式分解因式即可.
12．若 则x=　 　.
【答案】2
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：原方程变形为，
方程两边同乘，得 ，
移项合并同类项，得，
系数化为，得，
检验：当时， ，
因此是原分式方程的解．
故答案为：2.
【分析】方程两边同乘化为整式方程，解整式方程求出先得值并检验解答即可.
13．如图，在Rt△ABC 中， ∠A=90°， ∠B=36°， D是AB的中点， E是BC上一点，已知AB=6， BE=2，EC=7，则∠BDE=　 　.
【答案】54°
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵是的中点，，，，
∴，，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴.
【分析】根据已知条件得到，然后根据两边成比例且夹角相等得到，然后根据对应角相等得到，再根据直角三角形的两锐角互余解答即可.
14．某学校引入AI智能学习工具，提供3项智能学习功能：AI口语测评，AI错题整理，AI知识点抽测，圆圆和方方随机选择一种功能使用，则两人恰好选中同一种的AI学习功能的概率是　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：记三种学习功能分别为A，B，C，
列表：
A B C
A
B
C
圆圆和方方依次选择，所有等可能的结果总数为 9 种.
其中两人恰好选中同一种学习功能的结果为，共种，
两人恰好选中同一种学习功能的概率，
故答案为：.
【分析】先列表得到所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
15．某品牌新能源汽车搭载了一块容量为 100kW·h(千瓦时)的电池组．在使用“超级快充”桩充电时，充电功率 P(单位：KW)与充满电所需的时间 t(单位：h)满足反比例函数关系．若将充电功率提升至原来的 1.5 倍，则充满电所需的时间将缩短　 　h(用含 t 的代数式表示).
【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设将充电功率提升后，充电功率为，充满电所需的时间为，
根据题意，，，又，
，即，
解得，
，
则充满电所需的时间将缩短．
故答案为：．
【分析】设充电功率提升后充电功率为，充满电所需的时间为，根据，求出t'，然后解答即可．
16．如图， △ABC是⊙O的内接三角形， CD平分∠ACB，若∠ACB=60°，则 　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：过点D作于点E，延长，过点D作于点F，如图所示：
∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【分析】过点D作于点E，延长，过点D作于点F，根据HL得到，即可得到得出，然后根据AAS得到，即可得到，根余弦的定义得出，即可得到，据此解答即可．
17． 计算：
【答案】解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算算术平方根、乘方和绝对值，然后加减解答即可.
18．解不等式： -4x+2<2(x+4)，并把它的解表示在数轴上.
【答案】解：-4x-2x<8-2
-6x<6
x>-1
把解表示在数轴上：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，然后把解集表示在数轴上即可.
19．如图，在△ABC中， AB=5，过点 B作AC边上的高线 BD，
（1）求 AD的长；
（2）若 AC=5，求 BC的长.
【答案】（1）解：∵BD为AC边上的高线
∴BD⊥AC
∴DB=4
（2）解：∵AC=5， AD=3
∴DC=8
∵DB=4， BD⊥AC
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）在中，根据余弦的定义求出的长度，然后根据勾股定理解答即可；
（2）先求出的长，然后根据勾股定理求出DC长即可.
20．某校为了制订学生跳绳项目合格成绩的衡量标准，随机抽取 25名学生的1分钟跳绳测试成绩，从小到大排序，获得以下数据(单位：个)：
73， 96， 120， 130， 138， 145， 149， 152， 154， 157，
165， 168， 169， 171， 172， 177， 180， 184， 186， 188，
191， 194， 200， 208， 239
（1）求这25名同学跳绳成绩的中位数；
（2）为制定及格标准和优秀标准，以中位数(不包含该数)左右侧数据的中位数分别作为及格标准和优秀标准，求及格标准和优秀标准；
（3）在(2)的基础上，该校七年级共有400名学生，请估计达到优秀标准的学生人数.
【答案】（1）解：将25名学生的成绩从小到大排序后，处于中间位置的是第13个数据，为169，
故中位数为169．
（2）解：中位数左侧有12个数据，处于中间位置的数据是145，149，故左侧数据的中位数为，
中位数右侧有12个数据，处于中间位置的数据是186，188，故右侧数据的中位数为，
所以及格标准是147，优秀标准是187．
（3）解：样本中达到优秀标准的学生有6人，
所以估计达到优秀标准的学生人数为（人）．
【知识点】中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据中位数定义解答；
（2）分别求出中位数左侧和右侧数据的中位数解答即可；
（3）运用400乘以样本中达到优秀标准的学生人数占比解答即可．
21．考拉兹猜想(又称3n+1猜想)是近代数学中最著名的未解猜想之一，由德国数学家考拉兹提出，其内容是：任意正整数 n，若是偶数就除以2，若是奇数就乘3加1，重复操作，最终都会得到1.例如，当n=10时，分步进行考拉兹运算：
第1步： 10÷2=5；第2步： 5×3+1=16；第3步： 16÷2=8；第4步： 8÷2=4；第5步： 4÷2=2；第6步： 2÷2=1
（1）若从某正整数 n出发，第一步考拉兹运算得到16，求所有满足条件的正整数 n；
（2）小杭同学说：若3n+1(n为任意正整数)已被证明符合考拉兹猜想，则2m(m为任意正整数)一定也符合考拉兹猜想.
∵2m为偶数
∴2m÷2=m
若 m为奇数，则下一步考拉兹运算后为3m+1；
若m为偶数，则下一步考拉兹运算继续除以2，多次运算，直至出现奇数p，则下一步考拉兹运算得到3p+1；
∴2m可以多次考拉兹运算为3n+1的形式；
∴2m一定也符合考拉兹猜想.
若3n+1(n为任意正整数)已被证明符合考拉兹猜想，请继续证明4k+1(k为任意正整数)一定也符合考拉兹猜想.
【答案】（1）解：当 n为偶数时： n÷2=16 ，
∴n=32；
当 n为奇数时： 3n+1=16 ，
∴n=5；
∴n=5或32 ；
（2）解：∵k为任意正整数
∴4k+1为奇数
则4k+1下一步考拉兹运算结果为3(4k+1)+1=12k+4=4(3k+1)
∵4(3k+1)为偶数，
则下一步考拉兹运算结果为2(3k+1)
∵2(3k+1)为偶数，
则下一步考拉兹运算结果为3k+1
∴4k+1可以经过多次考拉兹运算化为3n+1 的形式
则4k+1一定也符合考拉兹猜想
【知识点】整式的混合运算；一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）分n为偶数和n为奇数两种情况，列方程求出n的值解答即可；
（2）仿照题目所给证明过程解答即可．
22． 如图， OD是⊙O的半径，弦AB垂直平分OD，以AB为边向圆外作等边△ABC，连结 OA.
（1）求证： BC是⊙O的切线；
（2）若AB=6，求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：连结 OB， BD，
∵ AB 垂直平分半径 OD，
∴ BD=BO．
又 ∵ OD、OB 均为 ⊙O 的半径，
∴ OD=OB．
∴ BD=BO=OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠OBD=60°．
∴∠OBA=30°
∴ ∠OBC=∠OBA+∠ABC=30°+60°=90°，即 OB⊥BC．
∵ OB为⊙O半径，且 OB⊥BC，
∴ BC为⊙O的切线．
（2）解：设AB与OD交于点 E，
∵AB=6， AB⊥OD，
∴AE=EB=3
在 Rt△OBE中， BE=3， ∠OBE=30°．

【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，根据垂直平分线的定义得到，即可得到△OBD为等边三角形，进而得到，求出，证明结论．
（2）设交于点E，根据垂径定理得到，，即可得到则，利用30°的直角三角形的性质和勾股定理求出OE长，进而可得，根据计算即可．
23．某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水火箭实物图.王老师用频闪照相机记录并测量甲组的水火箭的飞行水平距离 x米和飞行高度y米的数据，记录数据如下表：
照相机频闪时间t/s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ……
水平距离 x/米 0 5 10 15 20 25 30 ……
飞行高度 y/米 0 4.5 8 10.5 12 12.5 12 ……
（1）根据表格中的数据描点，连线，发现y与x近似地满足二次函数关系，请写出y与x之间的函数表达式；
（2）根据表格数据，可知水平距离x与时间t满足关系式 x=10t.根据比赛规定，在水平距离相同的情况下，飞行高度不低于8米的持续时间越长成绩越好.求甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间；
（3）乙组的水火箭与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度y(米)与水平距离x(米)满足函数关系 当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大 最大高度差是多少
【答案】（1）解：设
将 (0，0)、(10，8)、(20，12) 代入， 得
（2）解：令
∴x1=10，x2=40
将 x1=10， x2=40 代入得 x=10t，
得 t1=1， t2=4
∴持续时间 4-1=3 秒
（3）解：设高度差为 h
∴当水平距离为20米时，最大高度差为4米
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-抛球问题；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）令，则有，求出x的值，然后代入x=10t，得到时间t的值，求差解答即可；
（3）设高度差为h，得到h关于x的二次函数，配方得到顶点式，即可求出对大值解答即可．
24． 如图1，点 P是正方形 ABCD对角线 BD延长线上一点， BD=6.连结 PA， PC，将线段PA绕着点 P逆时针旋转一定的角度后与 BC的延长线交于点 E.
（1）求证： ①△PCE是等腰三角形；
（2）连 DE交 PC于点 Q，设 DP=x， △QCE的面积为 S，求 S与x的关系式.
【答案】（1）解：①已知 BD为正方形的对角线，
∴BD 平分∠ABC，即∠ABP=∠CBP．
在△ABP和△CBP中：
△ABP≌△CBP
∴PA=PC．
又已知题目条件 PE=PA，
可得 PC=PE．
△PCE为等腰三角形
②过点 P 作 PH⊥CE，交 CE 于点 H．
∵PC=PE(已证)，且 PH⊥CE，
∴CE=2CH=2EH
在正方形中，对角线
又∵DC∥PH
，即
∵CE=2CH
（2）解：过点 P 作 PG∥BE，交 ED 的延长线于点 G，．
∵BD=6
根据平行线分线段成比例定理，可得：
，
∵PH∥CD，
∴△PGQ∽△CEQ，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的判定；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质可，利用SAS得到，根据对应边相等得到PA=PC，再根据等量代换得到 PC=PE，证明结论即可；
②过点作于点，即可得到，根据三线合一得到，根据勾股定理得到，然后根据平行线截对应线段成比例得到，即可得到，证明结论；
（2）过点作，交的延长线于点，根据勾股定理求出BC长，然后根据平行线分线段成比例得到，求出GP长，然后根据PE∥CD得到△PGQ∽△CEQ，根据对应边成比例求出，即可得到，然后求出△PCE的面积，根据高相等的两个三角形的面积比等于对应底的比解答即可．
1 / 1

展开更多......

收起↑