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浙江省绍兴市2026年初中毕业生学业水平调测数学试题
1．如图，数轴上，被黑色遮挡的点表示的数可能是（　　）
A．–2 B．-1 C．-0.5 D．0.1
2．下列平面图形绕虚线所在直线旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．某校举办“强国复兴有我，争做新时代美德少年”演讲比赛.比赛中，某选手所得九位评委的分数中，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定保持不变的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
4．下列命题为假命题的是（　　）
A．若 ax=bx，则a=b B．若a-2=b-2，则a=b
C．若a=b，则a+2=b+2 D．若0.01a=0.01b，则a=b
5．图1是我国古代建筑中常见的梁架示意图，其顶部可看作图2所示的△ABC， AB=AC， AD⊥BC于点D，若BD的长为4m，则BC的长为（　　）
A．2m B．4m C．8m D．16m
6．如图，已知斜面OA 与水平面的夹角∠O=30°，一个木块静止在斜面上，其所受重力 G方向竖直向下，支持力 F方向垂直于斜面向上.若∠1表示G与F两个方向之间的夹角，则∠1的度数为（　　）
A．120° B．130° C．140° D．150°
7．一个反比例函数的图象经过点A(2，a)和点B(b，-3).若A与B关于坐标原点对称，则这个反比例函数的表达式为（　　）
A． B． C． D．
8．如图是一个滑轮起重装置，滑轮的半径是10cm，当重物上升6πcm时，半径 OA 绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（　　）
A．36° B．54° C．72° D．108°
9．如图，在平行四边形ABCD中， 点E在边 BC上，D 是线段 FG的中点，若AG∥EF，则四边形AEFG的面积为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
10． 在平面直角坐标系xOy中，点A(-2， 4)， B(3， 9)，由线段AB与抛物线的一段 组成的图形C，如图所示.若将图形C上的一点 P 先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，则这样的点 P 的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．若分式有意义，则x的取值范围是　 　．
12．因式分解： xy+x=　 　.
13． 现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有1，2，3的卡片在甲手中，标有4，5，6的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片，两张卡片的数字之和大于6的概率为　 　.
14．如图，在直角三角形ABC中，∠BCA=90°，矩形直尺的一边与BC重合，另一边与AB，AC分别交于点D，E，其中点B，C， D， E处的读数分别为8cm， 14cm， 11cm， 14cm.若矩形直尺的宽为2cm，则边AC的长为　 　cm.
15． 魏晋时期刘徽在《九章算术注》中提到了一种求二次根式近似值的方法：对于正整数k，若 (其中a为正整数，整数r≠0)，则当|r|最小时， 用该方法计算 的近似值为　 　.(结果保留两位小数)
16． 如图，正方形ABCD边长为2，动直线l经过正方形中心O，线段A'B'与线段AB关于直线l对称，则点 B到直线A'B'的距离最大值为　 　.
17． 计算：
18．解不等式组：
19． 对于题目“如图1，已知AC， BD 相交于O， OA=OB， OC=OD，证明： △ABC≌△BAD.”小明的解答过程如图2.请指出小明证明过程中错误步骤的序号，并写出正确证明过程.
20． 某校将每年4月的第三周定为阅读活动周.为了解学生在阅读活动周的阅读时长(单位：h)，该校随机调查了 a 名学生，根据统计结果绘制了如下统计图.
（1）求a和m的值.
（2）求这a名学生在该周的平均阅读时长.
（3）若该校共有1600名学生，估计在该周阅读时长为5h的人数.
21． 已知实数a，b满足
（1）求 ab的值.
（2）阅读如图材料，求 的值.
22． 如图，在矩形ABCD中，点E在边 BC上，以E为圆心，BE长为半径画弧交边 CD于点F，连结BF交线段AE于点 P，恰有AB=AP，连结EF.
（1）判断AE与EF的位置关系，并说明理由.
（2）若 求PE的长.
23． 已知抛物线 的对称轴是直线.x=-1.
（1）求b的值.
（2）若点M (x，y)是抛物线上的动点.
① 当 时，求 y的取值范围.
② 当 时，x的最大值与最小值的差为4，求x的取值范围.
24． 如图，四边形ABCD 内接于圆O，AB为直径，CD=CB， AC交 BD于点 G， 垂足为E， CE交 BD于点 F.
（1）如图1，证明： FC=FB.
（2）如图2，连结OF，若∠CAD=20°，求∠OFE 的度数.
（3）如图3，连结OG，若OG=4， BO=BG，求四边形OEFG的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：由题意得，手掌遮挡住的数大于且小于0，
∴四个选项中只有C选项中的数符合题意，
故选：C．
【分析】根据手掌遮住的数大于且小于0解答即可．
2．【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：绕虚线所在直线旋转一周，可以得到
故答案为：A.
【分析】根据面动成体解答即可.
3．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分，中位数依然是最中间那个数或中间两个数的平均数，
则中位数一定不发生变化，
故选D．
【分析】根据平均数、方差与每个数据有关，众数与数据出现的次数有关，而中位数只与中间数据有关，据此解答即可．
4．【答案】A
【知识点】等式的基本性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：对于A，∵ 当时，任意不相等的都满足，
∴ 由无法推出，A是假命题；
对于B，，等式两边同时加2，得，B是真命题；
对于C，，等式两边同时加2，得，C是真命题；
对于D， ， ，等式两边同时除以，得， D是真命题．
故答案为：A.
【分析】根据等式的基本性质逐项判断解答即可.
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，，
∴点是的中点，
∴．
故选：C．
【分析】根据等腰三角形的“三线合一”作答即可．
6．【答案】D
【知识点】两直线平行，同旁内角互补；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形的两锐角互余和对顶角相等可得，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BPE的度数，然后根据周角解答即可．
7．【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：A与B关于坐标原点对称，
，
解得，
，
设这个反比例函数的表达式为，
把代入可得，
，
解得，
所以这个反比例函数的表达式为．
故答案为：A.
【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数求出的值，然后把点A的坐标代入求出解析式即可．
8．【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设旋转角度为，由题意得，
，
解得．
故选D．
【分析】利用弧长公式计算解答．
9．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，延长交于点H，过点A作于点M，过点E作于点N，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵D是线段的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
即．
【分析】延长交于点H，过点A作于点M，过点E作于点N，根据平行四边形的性质得到，即可得到为等腰直角三角形，然后根据AAS得到，即可得到，，然后根据解答即可．
10．【答案】B
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；用坐标表示平移；一次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】解：设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的横坐标为m，则，
当点P在线段上时，此时点P的坐标为，
∵将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，
∴点在图形C上，
∴或，
∴（舍去）或；
当点P在抛物线上时，此时点P的坐标为，
∵将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，
∴点在图形C上，
∴或，
∴（舍去）或（舍去）或；
∴这样的点P的个数为2个．
故答案为：B.
【分析】先根据待定系数法求出直线的解析式，设点P的横坐标为m，分为当点P在线段上，当点P在抛物线上两种情况，根据平移得到平移后的点的坐标，代入解析式计算求出m的值解答即可．
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】分式有意义的条件，即分母不为零。本题结合分式有意义的条件列不等式，计算即可得出答案。
12．【答案】x(y+1)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：x(y+1).
【分析】利用提取公因式法分解因式即可.
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图，如下：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果，其中两张卡片上的数字和大于6的结果有6种，
两张卡片上的数字和大于6的概率是．
故答案为：.
【分析】画树状图得到所有等可能结果，再找到符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
14．【答案】4
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵点，，，处的读数分别为，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵矩形直尺的宽为，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：4.
【分析】根据平行线可得，根据相似三角形的对应边成比例解答即可.
15．【答案】9.85
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得，．
，．
将表示为，此时．
若取，则，．
因此取，，
代入近似公式，得：
．
故答案为：9.85.
【分析】仿照题干给出的近似计算方法计算解答即可．
16．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；正方形的性质；轴对称的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：，
则，
过点作垂直于于点，
为等腰直角三角形，
为等腰直角三角形，
，
，
，
∵
∴当B、O、Q三点共线时距离最大，
则最大距离．
故答案为：.
【分析】先根据勾股定理求出的长度，由对称得到，，过点作垂直于于点，再求出到的距离，然后根据等腰直角三角形的面积公式求出OQ=1，当B、O、Q三点共线时距离最大为BQ长，根据线段的和差解答即可．
17．【答案】解：原式=4+5-2
=7.
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算算术平方根、绝对值和负整数指数次幂，然后加减解答即可.
18．【答案】解：
由①可得x≥2，
由②可得x<3，
所以原不等式组的解集为2≤x<3.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
19．【答案】解：错误步骤的序号为②.
正确证明如下：
由正确步骤①知△AOD≌△BOC，所以AD=BC，
因为OA=OB， OC=OD，
所以DB=CA，
在△ABC和△BAD中，
因为
所以△ABC≌△BAD (SSS).
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据证明过程逐一判断得到错误步骤；然后根据步骤①可得△AOD≌△BOC，即可得到AD=BC，根据三边对应相等的两三角形全等证明即可.
20．【答案】（1）解：a=4÷10%=40，
m%=10÷40=25%， m=25.
（2）解：
（3）解：估计该校学生在该周阅读时长为5h的有 1600×7.5%=120人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）用阅读时长为的人数除以其占比求出a的值，再用阅读时长为的人数除以a的值乘以100%求出m的值解答即可；
（2）根据加权平均数公式计算即可；
（3）用1600乘以样本中阅读时长为的人数占比解答即可．
21．【答案】（1）解：因为
所以
即
所以 ab=-1.
（2）解：因为
所以 3，
所以
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】(1) 利用完全平方公式变形解答即可；
(2) 类比材料中的推导方法，得到，然后整体代入计算即可.
22．【答案】（1）解：AE⊥EF.
理由如下：
因为AB=AP，
所以∠ABP=∠APB=∠EPF，
因为BE=EF，
所以∠EBF=∠BFE.
又因为∠ABP+∠EBF=90°，
所以∠EPF+∠BFE=90°.
因为∠AEF=180°-∠EPF-∠BFE=180°-90°=90°.
所以AE⊥EF.
（2）解：因为 AE⊥EF， tan∠BFE=
所以
设PE=x，则BE=EF=3x，
在 Rt△ABE中，由 得
解得 (舍去)，
所以PE=x=1.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及对顶角相等可得，，即可得到，根据三角形内角和定理求出，证明结论即可；
（2）根据正切的定义得到，设，则，在中根据勾股定理求出x的值解答即可．
23．【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，得.
（2）解：①由题意知，抛物线的开口向上，
，则顶点坐标为(-1，-4)，
又因为-2≤-1≤3，所以当x=-1时， y取到最小值为-4，
当x=-2时， y=-3；
当x=3时， y=12，
所以y的取值范围是-4≤y≤12.
②如图1，由抛物线开口向上可知，当y=p+3时，x分别取到最大值与最小值，
由对称性可知，此时对应的两个点关于对称轴对称.
设x的最大值为x1，最小值为x2，则有：
又有 可得
此时 ，即p+3=0，得p=-3，
由方程 解得x3=0， x4=-2.
由图2得x的取值范围为-3≤x≤-2或0≤x≤1.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）由抛物线对称轴公式求出b的值即可；
（2）①将解析式化为顶点式得到顶点坐标，然后根据二次函数的增减性求出y的取值范围即可；
②由抛物线开口向上且对称轴为，当时取到最大值与最小值，根据抛物线的对称性得，再根据求出，，即可求出的值，再求时对应的值，借助图象得到x的取值范围即可．
24．【答案】（1）证明：因为AB为直径，所以∠ACB=90°， ∠CAB+∠CBA=90°.
又因为CE⊥AB，
所以∠BCE+∠CBA=90°，
所以∠CAB=∠BCE.
因为CD=CB，
所以∠CBD=∠CDB=∠CAB.
所以∠CBD=∠BCE，
所以FC=FB.
（2）解：由(1)已知∠FBC=∠FCB， ∠ACB=90°， CF=BF，
所以∠FBC+∠CGB=∠FCB+∠FCG=90°，
所以∠FCG=∠CGB.
所以FC=FG，
所以FG=FB.
因为O是AB的中点，
所以OF∥AG.
因为∠CAD=20°， CD=CB，
所以，
所以∠CAB=∠CAD=20°.
因为CE⊥OB，
所以∠ACE=90°-∠CAB=70°，
所以∠OFE=∠ACE=70°.
（3）解：连结OF，过O作OH⊥AC，垂足为H，所以AH=HC，
因为OA=BG， ∠AHO=∠ACB=90°， ∠CAB=∠CBG，
所以△AOH≌△BGC，
所以
所以OH=HG，设OH=a，
所以
所以 所以
因为∠BCE=∠CAB，
所以
所以
因为AO=BO，
所以
所以
因为 F为BG的中点，
所以
所以
所以
【知识点】垂径定理；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】 （1）根据直径对应的圆周角直角和可以得到∠CAB=∠BCE，即可得到 ∠CAB=∠BCE ，进而得到∠CBD=∠BCE，根据等角对等边证明即可．
（2）根据等角对等边得到，即可得到FG=FB，证明是中位线，即可得到，再根据等弧所对的圆周角相等得到 ，然后根据直角三角形的两个锐角互余解答即可．
（3）连结，过O作，垂足为H，根据AAS得到，即可得到CG=OH，勾股定理求出a2=8，即可得到△AOG的面积根据正切的定义得到进而可得即可得到，进而根据解答即可.
1 / 1浙江省绍兴市2026年初中毕业生学业水平调测数学试题
1．如图，数轴上，被黑色遮挡的点表示的数可能是（　　）
A．–2 B．-1 C．-0.5 D．0.1
【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：由题意得，手掌遮挡住的数大于且小于0，
∴四个选项中只有C选项中的数符合题意，
故选：C．
【分析】根据手掌遮住的数大于且小于0解答即可．
2．下列平面图形绕虚线所在直线旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：绕虚线所在直线旋转一周，可以得到
故答案为：A.
【分析】根据面动成体解答即可.
3．某校举办“强国复兴有我，争做新时代美德少年”演讲比赛.比赛中，某选手所得九位评委的分数中，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定保持不变的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分，中位数依然是最中间那个数或中间两个数的平均数，
则中位数一定不发生变化，
故选D．
【分析】根据平均数、方差与每个数据有关，众数与数据出现的次数有关，而中位数只与中间数据有关，据此解答即可．
4．下列命题为假命题的是（　　）
A．若 ax=bx，则a=b B．若a-2=b-2，则a=b
C．若a=b，则a+2=b+2 D．若0.01a=0.01b，则a=b
【答案】A
【知识点】等式的基本性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：对于A，∵ 当时，任意不相等的都满足，
∴ 由无法推出，A是假命题；
对于B，，等式两边同时加2，得，B是真命题；
对于C，，等式两边同时加2，得，C是真命题；
对于D， ， ，等式两边同时除以，得， D是真命题．
故答案为：A.
【分析】根据等式的基本性质逐项判断解答即可.
5．图1是我国古代建筑中常见的梁架示意图，其顶部可看作图2所示的△ABC， AB=AC， AD⊥BC于点D，若BD的长为4m，则BC的长为（　　）
A．2m B．4m C．8m D．16m
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，，
∴点是的中点，
∴．
故选：C．
【分析】根据等腰三角形的“三线合一”作答即可．
6．如图，已知斜面OA 与水平面的夹角∠O=30°，一个木块静止在斜面上，其所受重力 G方向竖直向下，支持力 F方向垂直于斜面向上.若∠1表示G与F两个方向之间的夹角，则∠1的度数为（　　）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】D
【知识点】两直线平行，同旁内角互补；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形的两锐角互余和对顶角相等可得，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BPE的度数，然后根据周角解答即可．
7．一个反比例函数的图象经过点A(2，a)和点B(b，-3).若A与B关于坐标原点对称，则这个反比例函数的表达式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：A与B关于坐标原点对称，
，
解得，
，
设这个反比例函数的表达式为，
把代入可得，
，
解得，
所以这个反比例函数的表达式为．
故答案为：A.
【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数求出的值，然后把点A的坐标代入求出解析式即可．
8．如图是一个滑轮起重装置，滑轮的半径是10cm，当重物上升6πcm时，半径 OA 绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（　　）
A．36° B．54° C．72° D．108°
【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设旋转角度为，由题意得，
，
解得．
故选D．
【分析】利用弧长公式计算解答．
9．如图，在平行四边形ABCD中， 点E在边 BC上，D 是线段 FG的中点，若AG∥EF，则四边形AEFG的面积为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，延长交于点H，过点A作于点M，过点E作于点N，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵D是线段的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
即．
【分析】延长交于点H，过点A作于点M，过点E作于点N，根据平行四边形的性质得到，即可得到为等腰直角三角形，然后根据AAS得到，即可得到，，然后根据解答即可．
10． 在平面直角坐标系xOy中，点A(-2， 4)， B(3， 9)，由线段AB与抛物线的一段 组成的图形C，如图所示.若将图形C上的一点 P 先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，则这样的点 P 的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；用坐标表示平移；一次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】解：设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的横坐标为m，则，
当点P在线段上时，此时点P的坐标为，
∵将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，
∴点在图形C上，
∴或，
∴（舍去）或；
当点P在抛物线上时，此时点P的坐标为，
∵将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，
∴点在图形C上，
∴或，
∴（舍去）或（舍去）或；
∴这样的点P的个数为2个．
故答案为：B.
【分析】先根据待定系数法求出直线的解析式，设点P的横坐标为m，分为当点P在线段上，当点P在抛物线上两种情况，根据平移得到平移后的点的坐标，代入解析式计算求出m的值解答即可．
11．若分式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】分式有意义的条件，即分母不为零。本题结合分式有意义的条件列不等式，计算即可得出答案。
12．因式分解： xy+x=　 　.
【答案】x(y+1)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：x(y+1).
【分析】利用提取公因式法分解因式即可.
13． 现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有1，2，3的卡片在甲手中，标有4，5，6的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片，两张卡片的数字之和大于6的概率为　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图，如下：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果，其中两张卡片上的数字和大于6的结果有6种，
两张卡片上的数字和大于6的概率是．
故答案为：.
【分析】画树状图得到所有等可能结果，再找到符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
14．如图，在直角三角形ABC中，∠BCA=90°，矩形直尺的一边与BC重合，另一边与AB，AC分别交于点D，E，其中点B，C， D， E处的读数分别为8cm， 14cm， 11cm， 14cm.若矩形直尺的宽为2cm，则边AC的长为　 　cm.
【答案】4
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵点，，，处的读数分别为，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵矩形直尺的宽为，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：4.
【分析】根据平行线可得，根据相似三角形的对应边成比例解答即可.
15． 魏晋时期刘徽在《九章算术注》中提到了一种求二次根式近似值的方法：对于正整数k，若 (其中a为正整数，整数r≠0)，则当|r|最小时， 用该方法计算 的近似值为　 　.(结果保留两位小数)
【答案】9.85
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得，．
，．
将表示为，此时．
若取，则，．
因此取，，
代入近似公式，得：
．
故答案为：9.85.
【分析】仿照题干给出的近似计算方法计算解答即可．
16． 如图，正方形ABCD边长为2，动直线l经过正方形中心O，线段A'B'与线段AB关于直线l对称，则点 B到直线A'B'的距离最大值为　 　.
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；正方形的性质；轴对称的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：，
则，
过点作垂直于于点，
为等腰直角三角形，
为等腰直角三角形，
，
，
，
∵
∴当B、O、Q三点共线时距离最大，
则最大距离．
故答案为：.
【分析】先根据勾股定理求出的长度，由对称得到，，过点作垂直于于点，再求出到的距离，然后根据等腰直角三角形的面积公式求出OQ=1，当B、O、Q三点共线时距离最大为BQ长，根据线段的和差解答即可．
17． 计算：
【答案】解：原式=4+5-2
=7.
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算算术平方根、绝对值和负整数指数次幂，然后加减解答即可.
18．解不等式组：
【答案】解：
由①可得x≥2，
由②可得x<3，
所以原不等式组的解集为2≤x<3.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
19． 对于题目“如图1，已知AC， BD 相交于O， OA=OB， OC=OD，证明： △ABC≌△BAD.”小明的解答过程如图2.请指出小明证明过程中错误步骤的序号，并写出正确证明过程.
【答案】解：错误步骤的序号为②.
正确证明如下：
由正确步骤①知△AOD≌△BOC，所以AD=BC，
因为OA=OB， OC=OD，
所以DB=CA，
在△ABC和△BAD中，
因为
所以△ABC≌△BAD (SSS).
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据证明过程逐一判断得到错误步骤；然后根据步骤①可得△AOD≌△BOC，即可得到AD=BC，根据三边对应相等的两三角形全等证明即可.
20． 某校将每年4月的第三周定为阅读活动周.为了解学生在阅读活动周的阅读时长(单位：h)，该校随机调查了 a 名学生，根据统计结果绘制了如下统计图.
（1）求a和m的值.
（2）求这a名学生在该周的平均阅读时长.
（3）若该校共有1600名学生，估计在该周阅读时长为5h的人数.
【答案】（1）解：a=4÷10%=40，
m%=10÷40=25%， m=25.
（2）解：
（3）解：估计该校学生在该周阅读时长为5h的有 1600×7.5%=120人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）用阅读时长为的人数除以其占比求出a的值，再用阅读时长为的人数除以a的值乘以100%求出m的值解答即可；
（2）根据加权平均数公式计算即可；
（3）用1600乘以样本中阅读时长为的人数占比解答即可．
21． 已知实数a，b满足
（1）求 ab的值.
（2）阅读如图材料，求 的值.
【答案】（1）解：因为
所以
即
所以 ab=-1.
（2）解：因为
所以 3，
所以
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】(1) 利用完全平方公式变形解答即可；
(2) 类比材料中的推导方法，得到，然后整体代入计算即可.
22． 如图，在矩形ABCD中，点E在边 BC上，以E为圆心，BE长为半径画弧交边 CD于点F，连结BF交线段AE于点 P，恰有AB=AP，连结EF.
（1）判断AE与EF的位置关系，并说明理由.
（2）若 求PE的长.
【答案】（1）解：AE⊥EF.
理由如下：
因为AB=AP，
所以∠ABP=∠APB=∠EPF，
因为BE=EF，
所以∠EBF=∠BFE.
又因为∠ABP+∠EBF=90°，
所以∠EPF+∠BFE=90°.
因为∠AEF=180°-∠EPF-∠BFE=180°-90°=90°.
所以AE⊥EF.
（2）解：因为 AE⊥EF， tan∠BFE=
所以
设PE=x，则BE=EF=3x，
在 Rt△ABE中，由 得
解得 (舍去)，
所以PE=x=1.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及对顶角相等可得，，即可得到，根据三角形内角和定理求出，证明结论即可；
（2）根据正切的定义得到，设，则，在中根据勾股定理求出x的值解答即可．
23． 已知抛物线 的对称轴是直线.x=-1.
（1）求b的值.
（2）若点M (x，y)是抛物线上的动点.
① 当 时，求 y的取值范围.
② 当 时，x的最大值与最小值的差为4，求x的取值范围.
【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，得.
（2）解：①由题意知，抛物线的开口向上，
，则顶点坐标为(-1，-4)，
又因为-2≤-1≤3，所以当x=-1时， y取到最小值为-4，
当x=-2时， y=-3；
当x=3时， y=12，
所以y的取值范围是-4≤y≤12.
②如图1，由抛物线开口向上可知，当y=p+3时，x分别取到最大值与最小值，
由对称性可知，此时对应的两个点关于对称轴对称.
设x的最大值为x1，最小值为x2，则有：
又有 可得
此时 ，即p+3=0，得p=-3，
由方程 解得x3=0， x4=-2.
由图2得x的取值范围为-3≤x≤-2或0≤x≤1.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）由抛物线对称轴公式求出b的值即可；
（2）①将解析式化为顶点式得到顶点坐标，然后根据二次函数的增减性求出y的取值范围即可；
②由抛物线开口向上且对称轴为，当时取到最大值与最小值，根据抛物线的对称性得，再根据求出，，即可求出的值，再求时对应的值，借助图象得到x的取值范围即可．
24． 如图，四边形ABCD 内接于圆O，AB为直径，CD=CB， AC交 BD于点 G， 垂足为E， CE交 BD于点 F.
（1）如图1，证明： FC=FB.
（2）如图2，连结OF，若∠CAD=20°，求∠OFE 的度数.
（3）如图3，连结OG，若OG=4， BO=BG，求四边形OEFG的面积.
【答案】（1）证明：因为AB为直径，所以∠ACB=90°， ∠CAB+∠CBA=90°.
又因为CE⊥AB，
所以∠BCE+∠CBA=90°，
所以∠CAB=∠BCE.
因为CD=CB，
所以∠CBD=∠CDB=∠CAB.
所以∠CBD=∠BCE，
所以FC=FB.
（2）解：由(1)已知∠FBC=∠FCB， ∠ACB=90°， CF=BF，
所以∠FBC+∠CGB=∠FCB+∠FCG=90°，
所以∠FCG=∠CGB.
所以FC=FG，
所以FG=FB.
因为O是AB的中点，
所以OF∥AG.
因为∠CAD=20°， CD=CB，
所以，
所以∠CAB=∠CAD=20°.
因为CE⊥OB，
所以∠ACE=90°-∠CAB=70°，
所以∠OFE=∠ACE=70°.
（3）解：连结OF，过O作OH⊥AC，垂足为H，所以AH=HC，
因为OA=BG， ∠AHO=∠ACB=90°， ∠CAB=∠CBG，
所以△AOH≌△BGC，
所以
所以OH=HG，设OH=a，
所以
所以 所以
因为∠BCE=∠CAB，
所以
所以
因为AO=BO，
所以
所以
因为 F为BG的中点，
所以
所以
所以
【知识点】垂径定理；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】 （1）根据直径对应的圆周角直角和可以得到∠CAB=∠BCE，即可得到 ∠CAB=∠BCE ，进而得到∠CBD=∠BCE，根据等角对等边证明即可．
（2）根据等角对等边得到，即可得到FG=FB，证明是中位线，即可得到，再根据等弧所对的圆周角相等得到 ，然后根据直角三角形的两个锐角互余解答即可．
（3）连结，过O作，垂足为H，根据AAS得到，即可得到CG=OH，勾股定理求出a2=8，即可得到△AOG的面积根据正切的定义得到进而可得即可得到，进而根据解答即可.
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