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内江一中初2026届初三二模数学试题
A卷（共100分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．实数的绝对值是（ ）
A． B． C． D．1
2．据统计，2024年元旦假期，某市推出多项文旅活动，共接待游客204.58万人次，实现旅游收入14.12亿元．将数据1412000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
7．为了解全市中学生的视力情况，随机抽取某校50名学生的视力情况作为其中一个样本，整理样本数据如图，则这50名学生视力情况的中位数和众数分别是（ ）

A．4.8，4.8 B．13，13 C．4.7，13 D．13，4.8
8．正八边形如图所示，与交于点O，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
9．某方舱医院采购A,B两种型号的机器人进行院内物资配送．已知每小时A型机器人配送的物资比B型机器人少200件；配送800件物资A型机器人所用的时间比型机器人多40分钟，两种型号机器人每小时分别配送多少件物资？若设型机器人每小时配送x件，根据题意可列方程为（ ）
A．B．C． D．
10．如图，在中，，D、E分别为中点，连接相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为（ ）

A． B． C． D．
11．若干个数，第一个数记为，规定运算：，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（ ）
A． B． C． D．3
12．如图，中，，，边上的高，点，，分别在边，，上，且四边形为正方形，点，，分别在边，，上，且四边形为正方形，…，按此规律操作下去，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）
13．分解因式：_________．
14．若a，b为实数，且b＝＋－11，则a＋b的立方根为_________．
15．如图，将半径为的圆形纸片剪去圆心角为的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是_________cm．
16．如图，在矩形中，为边上一点，连接，作点关于对称的点，连接．若，点到边的距离之比为，则_________．
三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
17．（10分）(1)计算：；
(2)化简：．
18．（9分）如图，在中，，D是中点、F是中点，是的外角的平分线，延长交于点E．连接．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求四边形的面积．
19．（9分）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．

(1)请将条形统计图补充完整；
(2)在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人；
(3)甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
20．（9分）开封铁塔又名“开宝寺塔”，坐落在开封城东北隅铁塔公园内，因塔身全部以褐色琉璃瓦镶嵌，远看酷似铁色，故称为“铁塔”．在一次综合实践活动中，某数学小组对该铁塔进行测量．如图，他们在远处一山坡坡脚处，测得铁塔顶端M的仰角为，沿山坡向上走35m到达处，测得铁塔顶端的仰角为．已知山坡坡度，即，请你帮助该小组计算铁塔的高度ME（结果精确到1m，参考数据：）．
21．（11分）如图，一次函数与函数的图象交于两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围；
(3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标．
B卷（共60分）
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）
22．如果是两个不相等的实数，且满足，那么代数式=_________．
23. 已知的三边、、满足，则的面积为_________．
24．如图，是等边三角形，，点在上，，直线，垂足为，分别是边，直线上的动点，则的最小值是_________．
25．如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，将线段AB绕点A沿顺时针方向旋转60°后，点B落在点C处，双曲线经过点C，则的值是_________．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
26．阅读材料：教材为大家介绍了杨辉三角．
我国著名数学家华罗庚曾在所撰写的《数学是我国人民所擅长的学科》一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比的睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例． 在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”． 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数；等等．
利用上面的规律，完成以下问题：
(1)的展开式为_________；
(2)的展开式中共有_________项，从右往左第二项的系数是_________；
(3)计算：．
27．如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．

(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)已知，求的值．
28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，当点F为抛物线顶点时，过点F作轴，垂足为点E，交于点D，连接，求的面积；
(3)如图2，连接，点E是线段上（不与点O、B重合）的点，过点E作轴，交抛物线于点F，交于点D，点P是线段上一动点，过P作轴，垂足为Q，点G为线段的中点，连接．当线段的长度取得最大值时，求的最小值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A A D D A A B B
题号 11 12
答案 D D
1．B
【详解】解：|
故选B
2．C
【详解】∵，
故选C．
3．A
【详解】
从上面看是四个小正方形，如图所示： ，
故选：A．
4．A
【详解】解：，故选项此符合题意．
不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意．
，故此选项不符合题意．
，故此选项不符合题意．
故选：
5．D
【详解】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意．
故选D．
6．D
【详解】∵有意义，
∴x+1≠0，2-3x≥0，
解得：且，
故选D.
7．A
【详解】解：由图可知，视力为4.8的学生人数最多，因此众数是4.8，
将50名学生视力情况按从小到大顺序排列，第25和26位都是4.8，因此中位数是4.8，
故选A．
8．A
【详解】解：∵正八边形，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
9．B
【详解】解：设型机器人每小时配送x件，列方程为，
故选B．
10．B
【详解】如图所示，连接，

∵D、E分别为中点，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
11．D
【详解】解：当时，则
，
，
，
，
…
由此可知，的值每三个一循环，
∵2022÷3=674，
∴，
故选：D．
12．D
【详解】解：∵边上的高，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
∴和的相似比为，
同理：和的相似比为，
∴和的相似比为，
依此得：和的相似比为，
∴和的相似比为，
∴，即，
∴，
故选：D．
13．
【详解】解：
．
14．-2
【详解】解：∵b＝＋－11
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴a＋b的立方根为2．
故答案为2．
15．12
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，根据题意得，
解得，
所以圆锥的高为．
故答案为12
16．
【详解】解：如图，过点作于，交于，
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
点到边的距离之比为，
，
，，
由轴对称的性质可得：垂直平分，
，，
，
，
，
，即，
解得：，
∴
故答案为：．
17．(1) (2)(或)
【详解】解：（1）
；
（2）
．
18．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵是外角的平分线，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵F为的中点，D为的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，点D为中点，
∴，
∴，
∴四边形为矩形；
（2）解：由（1）知四边形是矩形，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵D为的中点，
∴，，
∴，
∴．

19．(1)见解析
(2)；．
(3)
【详解】（1）解：总人数为（人）
∴选择大学的人数为，补全统计图如图所示，

（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为，
选择A大学的大约有（人）
故答案为：；．
（3）列表如下，
甲乙
共有9种等可能结果，其中有3种符合题意，
∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为．
20．约55米
【详解】
解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得：
，，
在中，，
∴设米，则米，
∴（米），
∵米，
∴，
∴，
∴（米），（米），
设米，
在中，，
∴（米），
∴米，米，
在中，，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∴（米），
∴铁塔的高度约为55米．
21．(1)，
(2)
(3)点P的坐标为或
【详解】（1）解：将代入，可得，
解得，
反比例函数解析式为；
在图象上，
，
，
将，代入，得：
，
解得，
一次函数解析式为；
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，
当时，，
此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为，
即满足时，x的取值范围为；
（3）解：设点P的横坐标为，
将代入，可得，
．
将代入，可得，
．
，
，
整理得，
解得，，
当时，，
当时，，
点P的坐标为或．
22．2033
【详解】解：是两个不相等的实数，且满足，
m、n是一元二次方程的两个不相等的实数根，
，
又，
=
=
=
=2033．
故答案为：2033．
23．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，，，
解得：，，，
∴，，，
∴
∴是直角三角形，
∴的面积为
故答案为：．
24．
【详解】解：如图，作D关于直线的对称点G，连接，则，
∵直线，
∴，
∴，
即G、B、D、C在一条直线上，
∴，
∵G、D关于直线对称，
∴，
由垂线段最短可知当时，有最小值．
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
即的最小值是．
故答案为：．
25．
【详解】解：连接OC、BC，作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵直线与双曲线交于A，B两点，
∴OA=OB，
∴CO⊥AB，∠BCO=∠ACB=30°，
∴，
∵∠BOC=90°，
∴∠BOM+∠CON=90°，
∵∠BOM+∠MBO=90°，
∴∠CON=∠MBO，
∵∠BMO=∠ONC=90°，
∴△BOM∽△OCN，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
26．(1)
(2)，
(3)64
【详解】（1）解：根据杨辉三角第6行的6个数分别为，，，，，
∴，
故答案为：．
（2）解：根据规律可知的展开式共有项，
∴的展开式中共有10项，
又根据题意可总结出所有项的系数成对称关系，
∴从右往左第二项的系数与从左往右第二项的系数相等，
根据题干规律可发现每个展开式的系数从左往右第二项的系数都为，
∴的展开式从左往右第二项的系数为，
∴的展开式从右往左第二项的系数为；
故答案为：，．
（3）解：通过规律可知，
令得到，
∴．
27．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【详解】（1）证明：如图1，连接，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）证明：∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图2，过P作于点E，
由（2）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
28．(1)
(2)4
(3)8
【详解】（1）在中，当时，，
∴．在中，，
∴，即，
将分别代入中，得
，解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）∵，
∴，
设所在直线的函数表达式为，
将分别代入中，
得解得
∴所在直线的函数表达式为，
当时，，
∴．
∴，
∴．
（3）设，其中，
则，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，此时，
∴，
∴，
如图3，连接，易得，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当E、Q、G共线时，取最小值，即取最小值，
如图3，过点G作于点H，易得，，则，
∴，
∴当线段的长度取得最大值时，的最小值为．

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