资源简介

二○二六年初中学业水平考试(中考)模拟
数学试题
本试卷共8页。满分120分。考试用时120分钟。
注意事项：
1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。
3. 非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.每题只有一个选项符合题目要求。
1. 点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，其中所表示的数的绝对值最大的点是（ ）
A. M B. N C. P D. Q
2. 下列图形中，是中心对称图形的是 ()
3. 如果一个几何体的三视图都是矩形，那么这个几何体可能是（ ）
A. 三棱柱 B. 长方体 C. 圆柱 D. 圆锥
4. 中国科学院物理研究所的科研团队，成功为金属材料“重塑金身”，实现了厚度约为0.000000000375米的单原子层金属，为人类探索物质世界打开了全新维度．若数据0.000000000375用科学记数法表示成3.75×10n，则n的值是（ ）
A. 10 B. 9 C. －10 D. －9
5. 下列计算正确的是（ ）
A. (a2)3＋a4＝a10 B. (－m)7÷(－m)3＝m4
C. m7－m2 m3＝m2 D. (3x3y)2＝3x6y
6. 将一副三角板（∠EDF＝30°，∠C＝45°）按如图所示的方式摆放，使得点D在三角板的一边AC上，且DE∥AB，则∠DMC等于（ ）
A. 60° B. 75° C. 90° D. 105°
7. 如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 4π B. 8π C. 12π D. 36π
8. 2026年央视春晚创新推出AI智能互动红包活动，在晚会直播期间，观众可以参与三轮抢红包活动，如果小明和小红都只参与了其中一轮，那么小明和小红参与的是同一轮的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，O为线段BC的中点，矩形ABCD的顶点D (2，3)，连接AC按照下列方法作图：（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧分别交CA，CD于点E，F；（2）分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧交于点G；（3）作射线CG交AD于H，则线段DH的长为（ ）
A. 15/8 B. 1 C. 3/2 D. 5/4
10. 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线.若把对应的抛物线的函数表达式设为 y＝ax2＋bx＋c（a≠0），画二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象时，列表如下．
x … 1 2 3 4 …
y … 0 1 0 －3 …
关于此函数下列说法不正确的是（ ）
A. 函数图象开口向下
B. 当x＝2时，该函数有最大值
C. 当x＝0时，y＝－3
D. 若在函数图象上有两点A (x1，－4)，B(x2，－)，则x1>x2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。只要求填写最后的结果。
11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______．
12. 若关于x，y的方程组 的解满足x＋y＝3，则k的值为_______．
13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以DB为直径的圆与AC相切于点E．若AD＝5，AE＝10，则BD的长是_______．
14. 如图，经过点A的一束光线照射到平面镜（x轴）上的点B处，反射后的光线BC交y轴于点C (0，1)，若反射光线BC的函数关系式为 y＝－3/4 x＋b，则入射光线AB的函数关系式为_________________．
15. 爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书，下面是他的三个同学猜测该书价格的对话：
小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格x（元）所在的范围是_____________．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（8分）（1）计算：∣2－∣－2sin45°＋(－)0；
（2）先化简，再求值：(＋1)÷，其中x＝3．
17. （8分）随着《青少年科学健身普及和运动干预三年行动计划(2026－2028年)》的推进，青少年的健身意识逐步增强．某运动场馆要采购A，B两种型号的计数跳绳．据了解，A型计数跳绳的单价比 B型计数跳绳的单价低10元，用120元购买A型计数跳绳的数量和用180元购买B型计数跳绳的数量相同．
（1）求A，B两种型号计数跳绳的单价；
（2）该运动场馆计划购买A，B两种型号的计数跳绳共25根，且A型计数跳绳的购买数量不超过B型计数跳绳购买数量的2倍．购买A型计数跳绳多少根时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
18.（8分）学科实践
【情境再现】如图，春节前夕，小东借助斜靠在墙上的梯子，帮助爷爷张贴院门春联．
【数学眼光】使用梯子时，安全攀爬高度不仅与梯子长度有关，还与梯子和地面所成的角度有关．
【AI来助力】借助AI模拟分析可知：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足： 50°≤α≤75°．
【数学思考】（1）已知小东爷爷家的梯子长为3米，求安全攀爬到斜靠在墙面上的梯子的顶端距地面最大高度？(结果精确到0.1米)
（2）若将梯子底端放在距离墙面1.5米处，已知小东的身高为1.65米，他能否安全使用这架梯子，将春联贴在3米高的院门上方？
(参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，≈1.73)
19.（9分）在第十四届全国人大会议上，教育部长怀进鹏说:“身上出汗，让学生动起来”，为深入落实教育部“身上出汗，让学生动起来”的体育要求，全面提升学生体制健康水平，某校随机抽取了部分学生，调查他们每周日参加体育锻炼的时长（单位：min），将结果分为A、B、C、D四个等级，并整理出如下不完整的统计图表，其中B等级（60≤x<90）的时长数据如下：75，80,75,65,70，85，65，60，75，75．
等级 时长分组 人数
A x≥90 18
B 60≤x<90 b
C 30≤x<60 c
D 0≤x<30 7
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）统计表中的b＝______，B等级时长数据的众数是______，调查的这部分学生体育活动时间的中位数是______；
（2）求统计图中m的值；
（3）统计图中C组对应扇形的圆心角为_________度；
（4）若该校共有2000名学生，估计每天体育活动时间不少于60min的人数．
20.（10分）将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含30°角的三角板OAB 的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数 y＝(x＞0)的图象经过点C．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）如图1，将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°至△OEF的位置，点D为三角板AB边上一点，旋转后点D 的对应点G点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标．
（3）如图2，若将三角板AOC绕点O顺时针旋转使点C落在边 OF上的点C1，请判断点A 旋转后的对应点A2是否在反比例函数图象上，并说明理由．
21.（10分）如图，AB是半圆的直径，点O 为圆心，点C在半圆上，∠ABC＝∠DCA，AD∥BC，连接OD，AC．
（1）求证：CD 是⊙O的切线；
（2）求证：△ACB∽△DAC；
（3）若＝，OD＝3，求AB的长．
22.（10分）已知，二次函数 y＝－x2＋bx＋b－1（b为常数）的图象经过A（－1，t），B（5，t）两点．
（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）若点P（2，－3）先向下平移6个单位长度，再向右平移m（m>0）个单位长度后，恰好落在y＝－x2＋bx＋b－1的图象上，求m的值；
（3）当n≤x≤5时，y有最大值7，最小值－2．求n的取值范围．
23.（12分）综合与探究
问题情境：综合探究活动中，老师以菱形为基本图形，添加若干条件后，请同学们就几何元素之间的关系提出问题并解决问题.如图1，已知四边形ABCD 是菱形，∠ABC＝120°，AB＝6，点E是射线BA上的一个动点，连接CE，以CE为边作等边△CEF（点F在AD的右侧），连接DF．
数学思考：（1）“敏学小组”提出问题：猜想图1中BE与DF之间的数量关系，并说明理由；
深入探究：（2）老师在图1的基础上过点F作AB的平行线与AD的延长线交于点G．请你解决同学们提出的新问题：
①“善思小组”提出问题：如图2，若点E在线段AB上，判断线段AD，AE与FG之间的数量关系，并证明你的结论；
②“创新小组”提出问题：若点E在射线BA上运动，连接CG，当CG＝2AE时，请直接写出线段AE 的长．二〇二六年单县初中学业水平测试数学模拟试卷
参考答案
一.选择题（每题 3 分，共 10 小题，共 30 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B C B B C A C D
二.填空题（每题 3 分，共 5 小题，共 15 分）
11． x＞1． 12 k 3． ＝4． 13．15． 14．y= 4x﹣1． 15．50＜x＜60．
三.解答题（共 8 小题，共 75 分）
16 8 1．（ 分）解：（1）|2 8| 2 45° + ( )02
= |2 2 2| 2 × 22 + 1 ............................................2分
= 2 2 2 2 + 1
= 2 1；.....................................................................4分
2 = 1+ +1 ÷ ( +2)( 2)（ ）原式 +1 ( +1)2 ..............................6分
= +2 × ( +1)
2
+1 ( +2)( 2)
= +1 2．..........................................................................7分
当 x＝3时，原式= 3+13 2 = 4．.....................................8分
17．（8分）解：（1）设 A型号计数跳绳的单价为 x元，则 B型号计数跳绳的单价为（x+10）元，
120 180
根据题意得， = ，........................................1分
+10
解得：x＝20，................................................................2分
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，.................................3分
∴x+10＝20+10＝30，
∴A型号计数跳绳的单价为 20元，B型号计数跳绳的单价为 30元；..................................4分
（2）设 A型号计数跳绳购买 m根，采购费用为 w元，
∵A型计数跳绳的购买数量不超过 B型计数跳绳购买数量的 2倍，
∴m≤2（25﹣m），
第 1页（共 8页）
2
解得 m≤16 ，.....................................................5分
3
根据题意得：w＝20m+30（25﹣m）＝﹣10m+750，..................................6分
∵﹣10＜0，
∴w随 m的增大而减小，......................................................7分
2
又 m≤16 ，且 m为整数，
3
∴当 m＝16时，w最小为﹣10×16+750＝590，
∴购买 A型计数跳绳 16根时采购费用最少，最少采购费用是 590元．.......................8 分
18．（8分）解：（1）根据题意可知，当α＝75°时，安全攀爬到梯子的顶端距地面高度最大，..............1分
如图所示，在 Rt△ABC中，AB＝3m，∠B＝α＝75°，∠C＝90°，
由 = ，得 AC＝AB sin ，
∴AC＝AB sin75°≈3×0.97≈2.9（m），...........................3分
答：使用这架梯子，可以安全攀到梯子顶端距地面最大高度 2.9米．.........................4分
（2）如图所示，根据题意，得在 Rt△ABC中，AB＝3m，BC＝1.5m，∠C＝90°，
= = 1.5 1∴ 3 = 2，.......................................................6分
∴∠B＝60°，
∴此时满足 50°≤α≤75°；
第 2页（共 8页）
在 Rt△ABC中， = 60° = ，
= 60° = 3 × 3 ≈ 3 × 1.73∴ 2 2 ≈ 2.60（米）．............................7分
∵1.65+2.60＝4.25＞3，
∴小东能安全使用这架梯子将春联贴在 3米高的大门上方．.........................8分
19．（9分）解：（1）∵B等级（60≤x＜90）的时长数据如下：75，80，75，65，70，85，65，60，75，
75，共 10个数据，
∴B级人数为 10，即 b＝10；.......................................1分
∵B等级（60≤x＜90）的时长数据如下：75，80，75，65，70，85，65，60，75，75，
∴B等级时长数据中 75出现 4次，出现的次数最多，
∴B等级数据的众数为：75；
∵把这 10个数据按从小到大排列 60，65，65，70，75，75，75，75，80，85，
其中第 5、6个数据是 75，75，
∴中位数为 75，
故答案为：75，75；.......................................3分
（2）∵扇形图中 D等级的圆心角为 50.4°，表格中 D等级有 7人，
50.4
∴调查总人数为 7 ÷ 360 = 50（人），.........................4分
∴m%＝10÷50＝20%，...........................................5分
∴m＝20，..................................6分
（3）根据题意，C等级的人数为：c＝50﹣18﹣10﹣7＝15，
15
∴C组对应扇形的圆心角为 360° × 50 = 108°，
即统计图中 C组对应扇形的圆心角为 108度，
故答案为：108；...............................7分
（4）∵调查总人数为 50人，
∴50人中每周日体育活动时间不少于 60min的人数为 18+10＝28（人），.......................8分
∵该校共有 2000名学生，
28
∴每周日体育活动时间不少于 60min的人数为 2000 × 50 = 1120（人）．......................9分
20 10 1 ．（ 分）解：（ ）∵点 C（2，2），在反比例函数 = ( ＞0)的图象上，
∴k＝2×2＝4，
第 3页（共 8页）
4
∴反比例函数的表达式为： = ；.....................................2分
（2）过点 C作 CH⊥y轴于点 H，
∵三角板 OAC为等腰直角三角形，C（2，2），
∴CH＝2，
∴AO＝2CH＝4，.............................................3分
如图，△OAB旋转到△OEF的位置，D点对应 G点，
∴OE＝OA＝4，.............................................4分
H
G = 4∵点 在 的图象上，
∴G（4，1），
∴EG＝1，....................................5分
由旋转可得：AD＝GE＝1，
∴D（﹣1，4）．.....................................6分
（3）如图，过点 C1作 C1M⊥x轴于点 M，过点 A2作 A2N⊥C1M，交 MC1的延长线于点 N，
E
F
∵∠OMC1＝∠N＝90°＝∠OC1A2，
∴∠C1OM+∠OC1M＝90°，∠A2C1N+∠OC1M＝90°，
∴∠A2C1N＝∠C1OM＝30°，
∵OC1＝A2C1，
∴△OMC1≌△C1NA2（AAS），.........................................8分
∴NA2＝MC1，C1N＝OM．
第 4页（共 8页）
由旋转得： 1 = = 2 2，
∴在 Rt△C1OM中， 1 = 2 = 2， = 1 = 6，
∴ 2( 6 2， 6 + 2)，....................................9分
∵( 6 2）（ 6 + 2) = 6 2 = 4，
∴A2在反比例函数图象上．.........................................10分
21．（10分）（1）证明：如图，连接 OC，
∵AB是半⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ACO+∠OCB，....................................1分
∵OB＝OC，∠OBC＝∠DCA，
∴∠OBC＝∠OCB＝∠DCA，.................................2分
∴∠ACO+∠DCA＝90°，即∠OCD＝90°，..........................3分
∴OC⊥CD，
又∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；...............................................4分
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，.....................................5分
又∠ABC＝∠DCA，
∴△ACB∽△DAC；.......................................6分
（3）由（2）可知，△ACB∽△DAC，
5
∴ = = ，
2
∴ = 52 = 5 ，..................................7分
在 Rt△OCD中，由勾股定理得 2 + 2 = 2， = 3 6，
∴ 2 + ( 5 )2 = (3 6)2，..................................9分
解得：OC＝3（负值舍去），
∴AB＝2OC＝6．............................10分
22.（10分）解：（1）由条件可知该函数的对称轴为直线 = 1+52 = 2，.......................1分
第 5页（共 8页）

则 2×( 1) = 2，
解得 b＝4，
∴该二次函数的表达式为 y＝﹣x2+4x+3，....................................2分
当 x＝2时，y＝﹣22+4×2+3＝﹣4+8+3＝7，
∴顶点坐标为（2，7）；.......................................3分
（2）点 P（2，﹣3）先向下平移 6个单位长度，再向右平移 m（m＞0）个单位长度后对应点的坐标为
（2+m，﹣9），且点（2+m，﹣9）在函数 y＝﹣x2+4x+3的图象上，
﹣（2+m）2+4（2+m）+3＝﹣9，.....................................6分
解得 m＝4或 m＝﹣4（舍去），
故 m的值为 4；.......................................7分
（3）由（1）知，该二次函数的对称轴为直线 x＝2，顶点坐标为（2，7），开口向下，
又当 n≤x≤5时，y有最大值 7，最小值﹣2，
∴当 x＝2时，y取最大值 7，
∵当 x＝5时，y＝﹣52+4×5+3＝﹣25+20+3＝﹣2，.....................8分
又点（5，﹣2）关于对称轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2），.......................9分
∴﹣1≤n≤2．.............................10分
23.（12分）解：（1）BE＝DF，................................................1分
理由如下：∵四边形 ABCD是菱形，
∴BC＝CD，AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，即∠BCE+∠ECD＝60°，......................2分
∵△CEF是等边三角形，
∴CE＝CF，∠ECF＝60°，即∠DCF+∠ECD＝60°，
∴∠BCE＝∠DCF，.................................3分
在△BCE和△DCF中，
=
∠ = ∠ ，
=
∴△BCE≌△DCF（SAS），
第 6页（共 8页）
∴BE＝DF；.......................................4分
（2）AD＝AE+FG．..................................5分
理由：∵四边形 ABCD是菱形，
∴∠A＝∠BCD＝60°，AD∥BC，
∴∠CDG＝∠BCD＝60°，..................................6分
∵FG∥AB，
∴∠G＝∠A＝60°，
由（1）得，△BCE≌△DCF，
∴∠CBE＝∠CDF．∠CBE＝120°，
∴∠CDF＝120°，
∴∠GDF＝60°，
∴∠G＝∠GDF，.....................................8分
∴DF＝GF，
由（1）得，BE＝DF，
∴BE＝GF，...........................................9分
∴AB＝AE+BE＝AE+GF，
∴AD＝AB＝AE+GF；..................................10分
②过点 C作 CM⊥AG于点 M，
∵CD＝AB＝6，∠CDM＝60°，
∴ = 60° = 6 × 12 = 3， = 60° = 6 ×
3
2 = 3 3，
如图 2，当点 E在线段 AB上时，
设 AE＝x，则 BE＝DF＝DG＝AB﹣AE＝6﹣x，CG＝2AE＝2x，
∴MG＝DG﹣DM＝6﹣x﹣3＝3﹣x，
第 7页（共 8页）
在 Rt△CMG中，由勾股定理得：CM2+MG2＝CG2，
即(3 3)2 + (3 )2 = (2 )2，
解得： = 13 1，即 AE= 13 1；
如图 3，当点 E在线段 AB的延长线上时，
设 AE＝x，则 BE＝DF＝DG＝AB+AE＝6+x，CG＝2AE＝2x，
∴MG＝DG﹣DM＝6+x﹣3＝3+x，
在 Rt△CMG中，由勾股定理得：CM2+MG2＝CG2，
即(3 3)2 + (3 + )2 = (2 )2，
解得： = 13 + 1，即 = 13 + 1；
综上所述，线段 AE的长为 13 1或 13 + 1．.....................12分
第 8页（共 8页）

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