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2026 年初中学业水平复习诊断测试二
数学试题参考答案
一、选择题（每小题 4分，共 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
选项 C A B D C D C A D B
二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
3 20 15
11.x=2 12. 13.40° 14. 15.
16 3 3
三、解答题（共 10 小题，共 90 分）
1
16.（7分）计算： 12026 + ( 3.14)0 ( 1) +2sin60° |√12|
2
3
=-1+1-（-2）+2×√ -2√3 …………5′
2
=2-√3 …………7′
17.（7分）解：解不等式①得，x≤4 …………2′
解不等式②得，x＜8 …………4′
∴不等式组的解集是x≤4 …………5′
∴它的所有非负整数解是0,1,2,3,4 …………7′
18.（7分）
证明：在菱形ABCD中，
AD=CD …………1′
∵AE=CF
∴AD-AE=CD-CF
即DE=DF …………3′
在△CDE 和△ADF 中
∴△CDE≌△ADF (SAS) …………6′
∴CE=AF …………7′
19.（8分）
解：（1）过 C 作 CG⊥DE 于 G，
九年级数学试题参考答案(第 1 页，共 11 页)
{#{QQABZQwAogggAIBAABhCAw36CkAYkAEACIgGgBAYoAAASRFABCA=}#}
∵踏板 CD 与地面 DE 的坡比＝1： 3 ，CD＝1.66m，
∴tan∠CDG=1： 3 ，
∴∠CDG＝30°， …………1′
1
∴CG= CD＝0.83≈0.8（m），
2
即 C 到地面 DE 距离为 0.8m； …………2′
（2）①延长 GC 交 AB 于 F，
则 CF⊥AB，
∵该人身高为 1.8 米，通过尝试 h 是身高 0.8 倍运动起来更加舒服，
∴h＝FG＝1.8×0.8＝1.44（m）， …………3′
由（1）得：CG＝0.83m，
∴CF＝FG﹣CG＝1.44﹣0.83＝0.61（m）， …………4′
CF 0.61
在 Rt△ACF 中，AC＝0.8m，cos∠ACF= 0.7625 …………6′
AC 0.8
∴∠ACF≈40°， …………7′
由（1）得：∠DCG＝90°﹣∠CDG＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACF﹣∠DCG≈180°﹣40°﹣60°＝80°．
∴此时支架与踏板之间夹角的度数为 80°． …………8′
20.（1）证明：连接 OC，
∵∠F＝2∠B，∠AOC=2∠B
∴∠F＝∠AOC，.........................1 分
∵ EF⊥BD，
∴∠F+∠D=90，.........................2 分
∴∠AOC+∠D＝90°，
∴∠OCD＝90°.........................3 分
又∵OC 是⊙O 的半径，
∴DF 是⊙O 的切线．.........................4 分
（2）解：∵AO＝8，AD＝OE=2，
∴OC=8，OD＝10，DE=12
∵∠OCD=90°
九年级数学试题参考答案(第 2 页，共 11 页)
{#{QQABZQwAogggAIBAABhCAw36CkAYkAEACIgGgBAYoAAASRFABCA=}#}
2 2
∴CD 10 8 6 .........................5 分
∵∠D=∠D，∠OCD=∠FED=90°
∴△DOC∽△DFE，
OC OD CD
∴ ，
EF FD ED
8 10 6
∴
EF FD 12
∴EF=16，FD=20.........................6 分
∵OC=OB
∴∠OCB=∠B
∵∠OCF=∠BEG=90°
∴∠OCB+∠GCF=∠B+∠BGE=90°
∴∠FGC=∠BGE=∠GCF
∴FC=FG.........................7 分
∴FG=FC=FD-CD=20-6=14
∴EG=EF-FG=16-14=2.........................8 分
21.（1）3 15% 20 (人)
答：随机抽取的学生人数为 20 人.........................2 分
（2）
.........................4 分
（3）72.........................5 分
（4）52.........................7 分
7 6 4
（5）1500 1275（人）
20
九年级数学试题参考答案(第 3 页，共 11 页)
{#{QQABZQwAogggAIBAABhCAw36CkAYkAEACIgGgBAYoAAASRFABCA=}#}
答：估计该校约有 1275 名学生每日阅读时长不少于 30 分钟..........................9 分
22. 解：（1）设每个 A 类展位占地面积为 x 平方米，每个 B 类展位占地面积为 y 平方
米，.........................1 分
x y 4
由题意得 .........................3 分
5x 10y 260
x 20
解得
y 16
答：每个 A 类展位占地面积 20 平方米，每个 B 类展位占地面积 16 平方米.......................5 分
（2）设建设 A 类展位 m 个，B 类展位（40 m）个
由题意得40 m 2m，.........................6 分
40
解得m .........................7 分
3
设建设展位的总费用为 w 元，
由题意得w 120 20m 100 1（6 40 m） 800m 64000 .........................8 分
∵ k 800 0
∴w 随 m 增大而增大.........................9 分
∴当 m=14时，w最小 800 14 64000 75200，此时40 m 26
∴建设 A 类展位 14 个，B 类展位 26个时总费用最少，最少 75200元...........................10 分
23.解：（1）将 A（1，m）代入 y x 4，得 m=3, 即 A（1，3）.........................1 分
k 3
将 A（1，3）代入 y ，得 k 1 3 3 即 y .........................2 分
x x
4
令 x 3 ，解得 x1 1（舍）， x2 3 即 B（3，1）.........................3 分
x
（2）由（1）知 A（1，3），B（3，1），设 C（t,0）则
AB2 （3 1）2 (1 3)2 8, BC 2 (t 3)2 (0 1)2 t2 6t 10
∵△ ABC 是以 AC 为底边的等腰三角形
∴ BA BC
九年级数学试题参考答案(第 4 页，共 11 页)
{#{QQABZQwAogggAIBAABhCAw36CkAYkAEACIgGgBAYoAAASRFABCA=}#}
t2∴ 6t 10 8 .........................4 分
∴ t1 3 7,t2 3 7(舍) .........................5 分
∴ C（3 7，0）.........................6 分
（3）在 y x 4中，当 x=0 时，y=4，当 y=0 时，x=4，即 M（0，4），N（4，0）
设 P（0，t）
1.如图，点 P 在 y 轴正半轴上，
S四边形 S S 5 A P O B M O B M P A
1 1
4 3 （4 t） 1 5 .........................7 分
2 2
t 2，即 P（0，2）.........................8 分
2.如图，点 P 在 y 轴负半轴上，
S四边形 S S 5 A O P B M P B M O A
1 1
（4 t） 3 4 1 5 .........................9 分
2 2
2 2
t ，即 P（0， ）
3 3
2
综上所述，点 P 坐标为（0，2）或（0， ）.........................10 分
3
24.（12 分）
8 4b c 0

解：（1）由题意可得 1 .........................2 分
b c 0
2
九年级数学试题参考答案(第 5 页，共 11 页)
{#{QQABZQwAogggAIBAABhCAw36CkAYkAEACIgGgBAYoAAASRFABCA=}#}
3
b
解得 2

c 2
1 3
y x2 x 2 .........................3 分
2 2
1
（3）由题知 A（﹣4，0），C（0，﹣2）可求 AC：y= x﹣2，.........................4 分
2
1 2 3
设 P（t， t + t﹣2），则 D（t，﹣t﹣4），
2 2
1 1 3 1 1 2
∴PD＝（ 2t﹣2）﹣（ + 2）= 2 2t= （t+2） +2，.........................5 分
2 2 2 2 2
∴当 t＝﹣2 时，PD 取得最大值为 2，此时点 P（﹣2，﹣3）.........................6 分
作点 P 关于 y 轴的对称点 P′（2，-3），连接 P′B 并延长交 y 轴于点 E，
此时PE BE P E BE P B , P B 即为所求..........................7 分
∵ P （2， 3），B（1，0）
∴ P B (2 1)2 ( 3 0)2 10 ........................8 分
1 1
（3）由题可知 y1=
2 + x﹣1．........................9 分
2 2
设直线 CN 与 x 轴交于点 Q，如图，
∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣2），
∴OA＝4，OC＝2，OB＝1，
∴ tan ACO tan CBO 2
∴∠ACO＝∠CBO，
∵∠ACN＝∠CBA﹣∠CAB，
∴∠ACN＝∠ACO﹣∠CAB，
∵∠ACN＝∠ACO﹣∠QCO，
∴∠QCO＝∠CAB．
1
∴OQ OC tan QCO 2 tan CAB 2 1
2
∴Q（﹣1，0）．
设直线 CN 的解析式为 y＝mx+n，
九年级数学试题参考答案(第 6 页，共 11 页)
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+ = 0
∴{ ，
= 2
= 2
∴{ ，
= 2
∴CN: y＝﹣2x﹣2．........................10 分
1 2 1令 2x 2 x x 1
2 2
5 17 5 17
解得 x1 , x2 ........................11 分
2 2
5+√17 5 √17
∴N（ ，3 √17）或 N（ ，3+√17）．........................12 分
2 2
25 题（12 分）
1
（1）EF= BC，EF⊥AC........................4 分
2
（2）方法 1：作 AH⊥BD 于 H
∵四边形 ABCD 为矩形
1
∴∠BAD=90°，AD=BC，OB=OD= BD
2
∵BC=4 3 ,AB=4
∴ 2BD= 4 （4 3）2 8
AB 4 3
tan∠ADB=
AD 4 3 3
∴∠ADB=30°
∵AH⊥BD
∴∠AHD=90°
∵∠ADB=30°
1
∴AH== AD= 2 3
2
∴DH= (4 3)2 （2 3）2 6
1
∵OD= BD=4
2
九年级数学试题参考答案(第 7 页，共 11 页)
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∵E 为 OD 中点
1
∴OE=DE= OD=2
2
∴EH==6-2=4
∵∠AHE=90°
∴ 2AE= 4 （2 3）2 2 7 ........................5 分
∵∠AEF=∠ADE,∠EAG=∠EAD
∴△AEG∽△ADE
AE AG
∴
AD AE
2 7 AG
∴
4 3 2 7
7 3
∴AG=
3
7 3 5 3 5 3
∴DG= 4 3 - = 即 DG 长为 .........................8 分
3 3 3
方法 2：延长 DB 至点 K，使 BK=AB，连接 AK
∵四边形 ABCD 为矩形
1
∴∠BAD=90°，AD=BC，OB=OD= BD
2
∴ 2 2 2 AB +AD =BD
∵BC=4 3 ,AB=4
2 2 AB 4 3∴BD= 4 （4 3） 8 ,tan∠ADB=
AD 4 3 3
∴∠ADB=30°
∴OB=OD=4
∴∠ABD=90°-30°=60°
∵AB=Bk
∴∠k=∠kAB，Bk=4
九年级数学试题参考答案(第 8 页，共 11 页)
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∵∠ABD=∠k+∠kAB=60°
∴∠K=30°=∠ADB
∴AK=AD=4 3
∵∠AEG=∠ADE
∴∠AEG=30°
∴∠AEK+∠GED=150°
∴∠EGD+∠GED=180°-30°=150°
∴∠AEK+∠GED=∠EGD+∠GED
∴∠AEK=∠EGD
∵∠ADE=∠K
∴△DGE∽△KEA........................6 分
DG DE
∴
KE AK
∵E 为 OD 中点
1
∴OE=DE= OD=2
2
∴KE=10
DG 2
∴
10 4 3
5 3
∴DG=
3
5 3
即 DG 长为 .........................8 分
3
（3）直接写答案 CF=3 3 ........................10 分
19 3
S△AEF= ........................12 分
2
详细解答过程：
作 BQ⊥AC 于 Q
∵四边形 ABCD 为矩形
∴∠BAD=90°
∵BC=4 3 ,AB=4
九年级数学试题参考答案(第 9 页，共 11 页)
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BC 4 3
∴tan∠CAB= 3
AB 4
∴∠CAB=60°
∵BQ⊥AC
∴∠BQA=90°
∴∠ABQ=90°-60°=30°
AQ 1
∴
AB 2
∵AE=2AF
AF 1 AQ
∴
AE 2 AB
∵∠EAF=∠BAC
∴∠EAF+∠EAC=∠BAC+∠EAC
∴∠FAC=∠BAE
即∠FAQ=∠BAE
∴△FAQ∽△EAB
∴∠AQF=∠ABE=60°
1
∵AQ= AB=2
2
∵Q 为定点
∴F 在直线 QF 上
∵∠BAC=60°∠AQF=60°
∴∠BAC=∠AQF
∴QF∥AB
∴∠FWC=∠ABC=90°
即 CW⊥FW
∴CF≥CW= 3 3
∴AW= 16 3 19
∴AE 小=2AW= 2 19
1 1
∴S△AEF= AE EF= AF 3 AF
2 2
1 2
= × 3 ×AW
2
九年级数学试题参考答案(第 10 页，共 11 页)
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1
= × 3 ×19
2
19 3
=
2
九年级数学试题参考答案(第 11 页，共 11 页)
{#{QQABZQwAogggAIBAABhCAw36CkAYkAEACIgGgBAYoAAASRFABCA=}#}秘密★启用前
5.下列运算正确的是〔)
2026年初中学业水平复习诊断测试二
A.a+2a=3a2 B.a2=a C.aa=as D.(a2)as
数学试题
6.若a,b在数轴的位置如图所示，则下列说法错误的是〔）
注意事项：
L答卷前清考生齐必在武基的规定位立将白己的址名、准考证号等内家填写准师。
54-3-2-1012345
2.本试题分第1卷（速择题）和第Ⅱ基（非这择题）西部分，共150分，考试时问为120分钟，
3.达择题每小题这出答案后，用2特笔把答通卡上对应题目的答案标号涂黑：非选排题用
A.b>-2
B.ab>0
C.a+c<0
D.c<0
0.5mm黑色签字笔直接各在各题卡相应区域，不能答在试基上；解答题作田需用黑色签宇笔，不能
用语笔。
7.某反比例函数图象上四个点的坐标分别为(-3，)，(-2,3)，(1，，2，)，则1，为的
4考试结来后，由监考长弃托各题卡壮回。
大小关系为()
第卷（选择题40分）
A J2SyI
B.YS C.2 D.)135
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合要求）
8为弘扬中华优秀传统文化，某校开展了“非遗文化进校园”活动，计划从“剪纸体验”“皮影
1.在下而四个实数中，最小的数是()
戏欣赏”“传统书法临蔡”“民乐赏析”4项活动中，随机选畋2项开展班级活动，则怡好选中“剪
A0
B.2
C.-5
D.-】
纸体验”和“民乐赏析”的概丰是〔)
2.如图：蝴螺王容花瓶（也常称青花董草蝶纹玉壶春瓶）是明代永乐年间（14031424年)景德镇生
A名
B.
c青
D.3
产的背花瓷，它是明代早期官窑背花瓷的代表之一，也是古代中外文化交流的见证。关于它的三视
9.如图∠BAC=60°，以A为圆心任意长为半径画弧，交AB、AC与点M、N分别以M和N为圆心，
图，下列说法正确的是()
大于；MN的长为半径画弧两弧交于点O,连接AO交BC于点E.分别以4、E为圆心，大于；AE的长为半
A主视图与左视图相同
径作弧，过两弧的交点作直线，交AB于点DAC于点P以E为圆心ED长为半径画弧，交AB于点F若岩
B.主视图与俯视图相同
D4,则四边形AFEP的面积()
C.左视图与俯枧图相同
A4W2+8/万
B.4v5+8v2
C.12
D.123
D.三种视图都相同
〔第2愿阳)
3钢城区是济南市东南门户，地处鲁中遐地、泰山东范、汶水源头，为原莱芜钢铁基地核心区，总
面积约5070000平方米，若将数字5070000用科学记致法表示，下列结果正确的是（)
A.50.7×10
B.5.07×10的
C.5.07×107
D.0.507×107
4镂花窗作为我园传统建筑的重要元素，承羖着丰盆的文化内商与艺术价值，自古以来，镂花窗不
仅用于宫殿、庙宇和民居中，既能起到遮阳避风的实用功能，又以其精美的屉刻和独特的造型展现
(菲9题图)
出中式美学的独特韵味，下面“铵花图”图案中厩是轴对称图形又是中心对称图形的是()
10.图形的旋转是初中数学中一种常见的几何变换，已知抛物线w的解析式为y=a2+4ar+3a,顶点
为A点且与y轴交于B点，若将抛物绿w绕原点旋转180°得到新抛物线g,新抛物线g的顶点为C点且与
轴交于D点，若四边形ABCD的面积不小于6，则a的取值范周是()
Aas-a21B.asa号C.as1且a*0
D.a≤-1或a2l
2
2
切四数学试题（第1页共8页）
初四数学试愿（第2页共8页）2026年初中学业水平复习诊断测试二
数学试题
第Ⅰ卷（选择题40分）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合要求.）
1．在下面四个实数中，最小的数是（ ）
A．0 B．2 C． D．-1
2．如图：蝴蝶玉簪花瓶（也常称青花萱草蝶纹玉壶春瓶）是明代永乐年间（1403-1424年）景德镇生产的青花瓷，它是明代早期官窑青花瓷的代表之一，也是古代中外文化交流的见证．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
3．钢城区是济南市东南门户，地处鲁中腹地、泰山东麓、汶水源头，为原莱芜钢铁基地核心区，总面积约5070000平方米，若将数字5070000用科学记数法表示，下列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．镂花窗作为我国传统建筑的重要元素，承载着丰富的文化内涵与艺术价值。自古以来，镂花窗不仅用于宫殿、庙宇和民居中，既能起到遮阳避风的实用功能，又以其精美的雕刻和独特的造型展现出中式美学的独特韵味，下面“镂花窗”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若，在数轴的位置如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．为弘扬中华优秀传统文化，某校开展了“非遗文化进校园”活动，计划从“剪纸体验”“皮影戏欣赏”“传统书法临摹”“民乐赏析”4项活动中，随机选取2项开展班级活动，则恰好选中“剪纸体验”和“民乐赏析”的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，以为圆心任意长为半径画弧，交、与点、分别以和为圆心.大于的长为半径画弧两弧交于点，连接交于点.分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，过两弧的交点作直线，交于点，于点.以为圆心长为半径画弧.交于点.若，则四边形的面积（ ）
A． B． C．12 D．
10．图形的旋转是初中数学中一种常见的几何变换，已知抛物线的解析式为.顶点为点且与轴交于点，若将抛物线绕原点旋转得到新抛物线，新抛物线的顶点为点且与轴交于点，若四边形的面积不小于6，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．且 D．或
第Ⅱ卷（非选择题110分）
二、填空题（本题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分）
11．若分式的值为0，则实数的值为__________.
12．七巧板是我国古代的一项发明，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成.如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为__________.
13．如图：，且，则的度数是__________.
14．甲、乙两车分别从、两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车抵达对方起点后立即停止行驶.已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程为（单位：），乙车行驶的时间为（单位：），与的函数关系如图所示，则的值为__________.
15．如图，在矩形中，点，分别在边，上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点．若，，则的值为__________.
三、解答题（本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分7分）计算：.
17．（本小题满分7分）解不等式组，并写出它的所有非负整数解.
18．（本小题满分7分）如图，在菱形中，，，相交于点，求证：.
19．（本小题满分8分）为提倡健康生活，某人买回一台跑步机.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板长为，踏板与地面的坡比，支架长为，跑步机手柄为，且，到地面的高度为．支架与踏板的夹角（）可以根据用户的舒适度需求在调节.
（1）求到地面距离（结果精确到）；
（2）该人身高为1.8米，通过尝试：当是身高0.8倍时，运动起来更加舒服.求此时支架与踏板之间夹角的度数.（参考数据：，，）
20．（本小题满分8分）如图，是的直径，点为上一点，连接，点在的延长线上，点在上，过点作的垂线分别交的延长线于点.交于点，且.
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长.
21．（本小题满分9分）为响应“全民阅读”号召，某中学深入开展“书香校园·每日阅读”主题读书活动.现随机抽取八年级部分学生，统计其每日阅读时长（时长用表示，单位：分钟），并对数据（时长）进行统计整理.下面给出了部分信息：
a．在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，掩盖了部分数据，如下表所示：
b．不完整的学生阅读时长的频数分布直方图和扇形统计图如图：
根据以上信息完成下列问题：
（1）求随机抽取的学生人数，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中第四组的圆心角的度数是__________（度）；
（3）若第四组数据的中位数是53，则第四组中被盖住的数字为__________；
（4）若该校共有学生1500人，试估算该校约有多少名学生每日阅读时长不少于30分钟.
22．（本小题满分10分）为赋能乡村产业振兴，打造农产品产销一体化示范项目，某镇拟建，两类展位供当地农产品展览和销售.已知1个类展位的占地面积比1个类展位的占地面积多4平方米；5个类展位和10个类展位的占地面积共260平方米.建类展位每平方米的费用为120元，建类展位每平方米的费用为100元.
（1）求每个，类展位占地面积各为多少平方米？
（2）该镇拟建，两类展位共40个，且类展位的数量小于类展位数量的2倍，如何规划、两类展位的建设数量，才能使建造展位的总费用最少？最少为多少元？
23．（本小题满分10分）一次函数的图象与反比例函数的图象交于、，与轴交于点，与轴交于点.
（1）求，的值及点坐标；
（2）点在轴上且在点左侧，若是以为底边的等腰三角形，求点坐标；
（3）点在轴上，当以点、、、为顶点的四边形面积为5时，求点的坐标.
24．（本小题满分12分）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点是抛物线上位于直线下方一动点，过点作轴的平行线交直线于点，点是轴上的一个动点．连接，.当线段长度取得最大值时，求的最大值；
（3）如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线上一点，连接，当时，请求出点的坐标.
25．（本小题满分12分）如图，在矩形中，对角线和相交于点，边的长为4，边的长为.在平面内绕点旋转，且始终保持，.
（1）如图1，当点与点重合时，线段与线段的数量关系是__________，线段与线段的位置关系是__________.
（1）如图2，我们发现在绕点旋转的程中始终保持，当点旋转至线段的中点时，求线段的长.
（2）如图3，若点的运动轨迹为直线，连接，请直接写出线段的最小值和此时的面积.

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