资源简介

(共34张PPT)
第4章 数据分析
4.2 方差
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解方差概念，掌握方差计算公式，能正确计算数据的离差平方和与方差。
01
理解方差的统计意义，会用方差比较两组数据的稳定性，解决实际问题。
02
经历方差概念形成过程，提升数据分析与运算能力，培养统计思维。
03
02
新知导入
计算：两人的平均成绩分别是多少？
环
环
某学校要在刘亮和李飞两名学生中选取一名学生参加射击比赛，他们参加射击训练的成绩(单位：环)如下：
刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；
李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9.
平均成绩相等
03
新知探究
思考
刘亮和李飞的平均成绩相等，学校应该选谁参加比赛。
两个人谁的成绩波动更大？
03
新知探究
由上面两幅图可以发现，刘亮的射击成绩大多集中在平均成绩8环附近，而李飞的射击成绩与其平均成绩的偏离程度较大.
一组数据中的各数据与这组数据的平均数的偏离程度是数据的一个重要特征，它反映了一组数据的离散程度或波动大小.
03
新知探究
探究
如何找到一个数来刻画一组数据的离散程度呢？
两组数据：(1)4，5，6，7，8； (2)3，6，6，6，9.
任务一：计算各个数据与平均数的差的和；
任务二：计算各个数据与平均数的差的绝对值的和；
任务三：计算各个数据与平均数的差的平方和。
(1)
(2)
03
新知探究
两组数据：(1)4，5，6，7，8； (2)3，6，6，6，9.
任务一：计算各个数据与平均数的差的和；
(1)
(2)
设一组数据为， ，…， ，则这组数据的各个数据与其平均数的偏差之和为++…+=0. 这时由于出现了正负偏差抵消的情况，因而无法用各个数据与平均数的偏差之和来刻画这组数据的离散程度.
03
新知探究
两组数据：(1)4，5，6，7，8； (2)3，6，6，6，9.
任务二：计算各个数据与平均数的差的绝对值的和；
(1)
(2)
相等
03
新知探究
两组数据：(1)4，5，6，7，8； (2)3，6，6，6，9.
任务三：计算各个数据与平均数的差的平方和。
(1
(2
我们可以用各个数据与平均数的差的平方和来刻画数据的离散程度.
03
新知探究
设一组数据为， ，…， ，各个数据与平均数之差的平方和，称为这组数据的离差平方和，记作.
=(x1)2+()2+…+(xn)2.
离差平方和刻画了一组数据与其平均数的总离散程度.
03
新知探究
设一组数据为， ，…， ，各个数据与平均数 之差的平方的平均值，称为这组数据的方差，记作.
s=(x1)2+()2+…+(xn)2.
为了刻画一组数据与其平均数的平均离散程度，引入下述概念：
=
03
新知探究
一组数据的方差越小，表明这组数据的离散程度越小，这组数据也就越稳定.
在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制.
03
新知探究
刘亮和李飞参加射击训练的成绩（单位：环）如下：
例1
刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；
李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9.
分别计算刘亮和李飞的射击成绩的离差平方和与方差，并判断谁的射击成绩更稳定.
03
新知探究
解：刘亮的射击成绩的平均数是
环
刘亮的射击成绩的离差平方和是
=
=1+1+1+1+1+1
=6，
于是方差===0.6.
03
新知探究
李飞的射击成绩的平均数是
环
李飞的射击成绩的离差平方和是
=
于是方差===1.4.
03
新知探究
计算结果表明： ，因此，刘亮的射击成绩比李飞稳定.
求方差的一般步骤
1.求原始数据的平均数
2.求离差平方和
3.用离差平方和除以数据个数n
03
新知探究
两个女声小合唱队各由5名队员组成，她们的身高(单位:cm)为：
例2
解：甲队队员的平均身高=160+162+159+160+159)=160(cm).
甲队队员身高的离差平方和是
=(160-160) +(162-160) +(159-160) +(160-160) +(159-160) =6，
于是方差==1.2.
甲队：160，162，159，160，159；乙队：180，160，150，150，160.
试判断哪队队员身高比较整齐.
03
新知探究
乙队队员的平均身高是
=169+165+157+150+164)=161(cm).
乙队队员身高的离差平方和是
=(169-161) +(165-161) +(157-161) +(150-161) +(164-161) =226，
于是方差==45.2.
计算结果表明：，
因此，甲队队员的身高比较整齐.
03
新知探究
证明
(1)=( )
(2)( )
证明：(1)=(x1)2+()2+…+(xn)2.
=(+ )+(+ )+…+(+ )
=( ) ()+
=( ) +
=( )
03
新知探究
证明：(2)因为方差=，
于是= ( ).
当一组数据个数很多时，求离差平方和与方差的运算量很大，于是常常借助计算器来求.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.数据0，1，2的方差是(　　)
A． B． C．1 D．2
2.若将排序后的数据分为两组，计算组内离差平方和时需(　　)。
A．仅计算第一组的离差平方和 B．计算两组离差平方和的总和
C．仅计算最大值与最小值的差 D．计算两组离差平方和的平均数
B
B
04
课堂练习
3.某校甲、乙、丙、丁四位同学参加体育训练，近期进行了10次跳绳测试，四位同学跳绳测试的平均成绩都是每分钟174个，四位同学跳绳测试成绩的方差分别是，，，，则这10次跳绳测试中发挥最稳定的同学是(　　)
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.计算数据1，2，3，4，5的方差为，则　 　．
5.若一组数据3、4、5、x、6的平均数是5，则这组数据的离差平方和为 　 　.
6.数据的方差计算公式为则这组数据的和是　 　.
2
10
40
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.求数据2，1，0，1，2的方差.
解：=0，
则
05
课堂小结
离差平方和：
=(x1)2+()2+…+(xn)2
=( )
方差：
s=(x1)2+()2+…+(xn)2
= ( )
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.某班进行了一次数学小测，6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，85，85，70，70，75.这组数据的离差平方和是(　　)
A．70 B．75 C．150 D．350
2.某同学5次上学途中所花的时间（单位：min)分别为，10，11，9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||的值为(　　)。
A．1 B．2 C．3 D．4
D
D
06
作业布置
3.在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（　　）
A．平均数是8
B．众数是6
C．中位数是9
D．方差是3.6
C
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯.现从甲、乙两款中各随机抽取了5个保温杯，测得保温时效(单位：h)如表：
（1）求甲款保温杯保温时效的方差；
（2）如果甲、乙两款保温杯保温时效的方差是相等的，乙款所抽取的5个保温杯的保温时效平均数是6，请求出x的值.
甲组 11 12 13 14 15
乙组 x 6 7 5 8
06
作业布置
（1）解：甲组的平均数是=(11+12+13+14+15) =13 (h)，
则甲的方差，
即甲款保温杯保温时效的方差为2；
06
作业布置
（2）解：∵乙款所抽取的5个保温杯的保温时效平均数是6，
解得x=4，
∴x的值为4.
07
板书设计
离差平方和：
方差：
4.2 方差
习题讲解书写部分
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第4章 数据分析
4.2 方差
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解方差概念，掌握方差计算公式，能正确计算数据的离差平方和与方差。
2.理解方差的统计意义，会用方差比较两组数据的稳定性，解决实际问题。
3.经历方差概念形成过程，提升数据分析与运算能力，培养统计思维。
学习重点：
方差的概念、计算公式，利用方差比较数据稳定性。
学习难点：
理解方差刻画数据离散程度的统计意义。
学习过程
一、独立思考
某学校要在刘亮和李飞两名学生中选取一名学生参加射击比赛，他们参加射击训练的成绩(单位：环)如下：
刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；
李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9.
计算：两人的平均成绩分别是多少？
二、探究新知
探究：离差平方和与方差
教材第139页
【思考】刘亮和李飞的平均成绩相等，学校应该选谁参加比赛。
【归纳】一组数据中的各数据与这组数据的平均数的偏离程度是数据的一个重要特征，它反映了一组数据的离散程度或波动大小.
【探究】如何找到一个数来刻画一组数据的离散程度呢？
两组数据：(1)4，5，6，7，8； (2)3，6，6，6，9.
任务一：计算各个数据与平均数的差的和；
任务二：计算各个数据与平均数的差的绝对值的和；
任务三：计算各个数据与平均数的差的平方和。
【定义】离差平方和：设一组数据为，，…， ，各个数据与平均数之差的平方和，称为这组数据的离差平方和，记作.
=()2+()2+…+()2.
离差平方和刻画了一组数据与其平均数的总离散程度.
方差：设一组数据为， ，…， ，各个数据与平均数 之差的平方的平均值，称为这组数据的方差，记作.
s=()2+()2+…+()2.
方差刻画了一组数据与其平均数 的平均离散程度.
三、例题精讲
例1刘亮和李飞参加射击训练的成绩（单位：环）如下：
刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；
李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9.
分别计算刘亮和李飞的射击成绩的离差平方和与方差，并判断谁的射击成绩更稳定.
例2两个女声小合唱队各由5名队员组成，她们的身高(单位:cm)为：
甲队：160，162，159，160，159；乙队：180，160，150，150，160.
试判断哪队队员身高比较整齐.
【证明】(1)=( )
(2)( )
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.数据0，1，2的方差是（　　）
A． B． C．1 D．2
2.若将排序后的数据分为两组，计算组内离差平方和时需（　　)。
A．仅计算第一组的离差平方和 B．计算两组离差平方和的总和
C．仅计算最大值与最小值的差 D．计算两组离差平方和的平均数
3.某校甲、乙、丙、丁四位同学参加体育训练，近期进行了10次跳绳测试，四位同学跳绳测试的平均成绩都是每分钟174个，四位同学跳绳测试成绩的方差分别是，，，，则这10次跳绳测试中发挥最稳定的同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
选做题
4.计算数据1，2，3，4，5的方差为，则　 　．
5.若一组数据3、4、5、x、6的平均数是5，则这组数据的离差平方和为 　 　.
6.数据的方差计算公式为则这组数据的和是　 　.
【综合拓展类作业】
7.求数据2，1，0，1，2的方差.
五、课堂小结
这节课你收获了什么
六、作业布置
1.某班进行了一次数学小测，6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，85，85，70，70，75.这组数据的离差平方和是（　　）
A．70 B．75 C．150 D．350
2.某同学5次上学途中所花的时间（单位：min)分别为，10，11，9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||的值为（　　)。
A．1 B．2 C．3 D．4
3.在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（　　）
A．平均数是8 B．众数是6 C．中位数是9 D．方差是3.6
4.为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯.现从甲、乙两款中各随机抽取了5个保温杯，测得保温时效(单位：h)如表：
甲组 11 12 13 14 15
乙组 x 6 7 5 8
（1）求甲款保温杯保温时效的方差；
（2）如果甲、乙两款保温杯保温时效的方差是相等的，乙款所抽取的5个保温杯的保温时效平均数是6，请求出x的值.
答案解析
课堂练习：
1.【答案】B
【解析】解：平均数==1，
∴ 方差==.
故答案为：B.
2.【答案】B
【解析】解：总离差平方和是数据中所有观测值与总体均值的离差平方和.当数据被分为两组后，总离差平方和等于组内离差平方和与组间离差平方和之和.因此，计算总离差平方和时需将两组的离差平方和相加.
故答案为：B.
3.【答案】C
【解析】解：∵
∴
即丙的方差最小，
∴这四个人发挥最稳定的选手是丙，
故答案为：C．
4.【答案】2
【解析】解：平均数为：，
∴方差为：；
故答案为：2
5.【答案】10
【解析】解：根据题意得(3+4+5+x+6)=5×5，
解得：x=7，
则这组数据为3，4，5，7，6的平均数为5，
所以这组数据的离差平方和为：
故答案为：10.
6.【答案】
【解析】解：∵
∴数据的平均数为，
∴．
这组数据的和是，
故答案为：．
7.【答案】解：=(-2-1+0+1+2)=0，
则S2=[(-2-0)2+(-1-0)2+(0-0)2+(1-0)2+(2-0)2]=2.
作业布置：
1.【答案】D
【解析】解：这组数据的平均数为：，
则这组数据的离差平方和为：
．
故答案为：D.
2.【答案】D
【解析】解：由题意知：
化简可得：x+y=20，即(x-10)+(y-10)=
解得：(x-10)=2，(y-10)=-2或(x-10)=-2，(y-10)=2，
，y=8或y=12，x=8，
即x-y=±4，
的值为4.
故答案为：D.
3.【答案】C
【解析】解：由方差的计算公式知，这组数据为6、6、8、9、11，
所以平均数=(6+6+8+9+11) ÷5=8；
众数是6；
中位数为8；
方差=3.6．
所以A、B、D正确．
故答案为：C．
4．【答案】（1）解：甲组的平均数是=(11+12+13+14+15) =13 (h)，
则甲的方差，
即甲款保温杯保温时效的方差为2；
（2）解：∵乙款所抽取的5个保温杯的保温时效平均数是6，
解得x=4，
∴x的值为4.
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分课时教学设计
第一课时《4.2 方差》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《方差》是湘教版八年级下册第4章《数据分析》的第二节的内容。本节课承接平均数等集中趋势统计量，以射击成绩为情境引出方差概念，通过探究推导方差公式，结合例题巩固应用。它完善了数据特征分析体系，为后续统计学习奠基，是培养学生数据分析素养的关键内容。
学习者分析 本节课授课对象为乡镇初中八年级学生，已掌握平均数等统计量，具备基础运算能力，但对“离散程度”概念抽象，易混淆离差平方和与方差，运算熟练度参差不齐，需具象情境辅助理解抽象知识。
教学目标 1.理解方差概念，掌握方差计算公式，能正确计算数据的离差平方和与方差。 2.理解方差的统计意义，会用方差比较两组数据的稳定性，解决实际问题。 3.经历方差概念形成过程，提升数据分析与运算能力，培养统计思维。
教学重点 方差的概念、计算公式，利用方差比较数据稳定性。
教学难点 理解方差刻画数据离散程度的统计意义。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 某学校要在刘亮和李飞两名学生中选取一名学生参加射击比赛，他们参加射击训练的成绩(单位：环)如下： 刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. 计算：两人的平均成绩分别是多少？学生活动1： 独立完成，举手回答问题 活动意图说明：通过具体问题情境引入新课有利于调动学生思维的积极性，激发学生学习动机，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力，能够培养学生的应用意识。环节二：探究新知教师活动2： 探究：离差平方和与方差 【思考】刘亮和李飞的平均成绩相等，学校应该选谁参加比赛。 教师展示： 教师提问：两个人谁的成绩波动更大？ 教师讲授：由上面两幅图可以发现，刘亮的射击成绩大多集中在平均成绩8环附近，而李飞的射击成绩与其平均成绩的偏离程度较大. 【归纳】一组数据中的各数据与这组数据的平均数的偏离程度是数据的一个重要特征，它反映了一组数据的离散程度或波动大小. 【探究】如何找到一个数来刻画一组数据的离散程度呢？ 两组数据：(1)4，5，6，7，8； (2)3，6，6，6，9. 任务一：计算各个数据与平均数的差的和； 任务二：计算各个数据与平均数的差的绝对值的和； 任务三：计算各个数据与平均数的差的平方和。 教师讲授：设一组数据为， ，…， ，则这组数据的各个数据与其平均数的偏差之和为++…+=0. 这时由于出现了正负偏差抵消的情况，因而无法用各个数据与平均数的偏差之和来刻画这组数据的离散程度. 通过计算结果可知，我们可以用各个数据与平均数的差的平方和来刻画数据的离散程度. 【定义】离差平方和：设一组数据为，，…， ，各个数据与平均数之差的平方和，称为这组数据的离差平方和，记作. =()2+()2+…+()2. 离差平方和刻画了一组数据与其平均数的总离散程度. 方差：设一组数据为， ，…， ，各个数据与平均数 之差的平方的平均值，称为这组数据的方差，记作. s=()2+()2+…+()2. 方差刻画了一组数据与其平均数 的平均离散程度. 教师讲授：一组数据的方差越小，表明这组数据的离散程度越小，这组数据也就越稳定. 在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制.学生活动2： 学生思考，举手回答问题 认真观察 认真听讲 认真思考，进行计算 认真听讲 学生认真听讲，了解离差平方和和方差的定义与计算方法 认真听讲 活动意图说明：通过计算提升学生的运算能力，使学生亲自经历获取知识的过程，提高学生对数学结论的认可程度。环节三：例题精讲教师活动3： 例1刘亮和李飞参加射击训练的成绩（单位：环）如下： 刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. 分别计算刘亮和李飞的射击成绩的离差平方和与方差，并判断谁的射击成绩更稳定. 解：刘亮的射击成绩的平均数是 环 刘亮的射击成绩的离差平方和是 = =1+1+1+1+1+1 =6， 于是方差===0.6. 李飞的射击成绩的平均数是 环 李飞的射击成绩的离差平方和是 = 于是方差===1.4. 计算结果表明： ，因此，刘亮的射击成绩比李飞稳定. 教师讲授：求方差的一般步骤 1.求原始数据的平均数 2.求离差平方和 3.用离差平方和除以数据个数n 例2两个女声小合唱队各由5名队员组成，她们的身高(单位:cm)为： 甲队：160，162，159，160，159；乙队：180，160，150，150，160. 试判断哪队队员身高比较整齐. 解：甲队队员的平均身高=160+162+159+160+159)=160(cm). 甲队队员身高的离差平方和是 =(160-160) +(162-160) +(159-160) +(160-160) +(159-160) =6， 于是方差==1.2. 乙队队员的平均身高是=169+165+157+150+164)=161(cm). 乙队队员身高的离差平方和是 =(169-161) +(165-161) +(157-161) +(150-161) +(164-161) =226， 于是方差==45.2. 计算结果表明：， 因此，甲队队员的身高比较整齐. 【证明】(1)=( ) (2)( ) 教师讲授： 证明：(1)=(x1)2+()2+…+(xn)2. =(+ )+(+ )+…+(+ ) =( ) ()+ =( ) + =( ) (2)因为方差=， 于是= ( ).学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 认真听讲 认真听讲，了解求方差的一般步骤 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 认真听讲 推导证明 认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 离差平方和：=(x1)2+()2+…+(xn)2 =( ) 方差：s=(x1)2+()2+…+(xn)2 = ( )学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.数据0，1，2的方差是（　　） A．　　　　B．　　　　C．1　　　　D．2 2.若将排序后的数据分为两组，计算组内离差平方和时需（　　)。 A．仅计算第一组的离差平方和　　　　B．计算两组离差平方和的总和 C．仅计算最大值与最小值的差　　　　D．计算两组离差平方和的平均数 3.某校甲、乙、丙、丁四位同学参加体育训练，近期进行了10次跳绳测试，四位同学跳绳测试的平均成绩都是每分钟174个，四位同学跳绳测试成绩的方差分别是，，，，则这10次跳绳测试中发挥最稳定的同学是（　　） A．甲　　　　B．乙　　　　C．丙　　　　D．丁 选做题： 4.计算数据1，2，3，4，5的方差为，则　 　． 5.若一组数据3、4、5、x、6的平均数是5，则这组数据的离差平方和为　 　. 6.数据的方差计算公式为则这组数据的和是　 　. 【综合拓展类作业】 7.求数据2，1，0，1，2的方差.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.某班进行了一次数学小测，6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，85，85，70，70，75.这组数据的离差平方和是（　　） A．70　　　　B．75　　　　C．150　　　　D．350 2.某同学5次上学途中所花的时间（单位：min)分别为，10，11，9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||的值为（　　)。 A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 3.在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（　　） A．平均数是8　　　B．众数是6　　　C．中位数是9　　　D．方差是3.6 【综合拓展类作业】 4.为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯.现从甲、乙两款中各随机抽取了5个保温杯，测得保温时效(单位：h)如表： 甲组1112131415乙组x6758
（1）求甲款保温杯保温时效的方差； （2）如果甲、乙两款保温杯保温时效的方差是相等的，乙款所抽取的5个保温杯的保温时效平均数是6，请求出x的值.
教学反思 本节课以射击情境引入，顺利完成概念生成与公式推导，多数学生掌握了计算方法。但对学生运算能力预估不足，部分学生计算耗时久、错误多；对离差平方和与方差的区别讲解不够深入，部分学生仅会计算、不懂意义。后续需增加分层运算练习，强化概念本质理解，关注学困生，优化课堂时间分配，提升教学实效。
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