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山东泰安市2026届高三下学期5月检测数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆锥的底面半径为，其内切球的体积为，则圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．4
4．已知中，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．若将6张互不相同的优惠券分给3名消费者，每名消费者至少分得1张，则不同的分法种数为（ ）
A．240 B．540 C．630 D．1080
7．已知在△ABC中，，M为BE与CD的交点，则向量在上的投影向量的模的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是椭圆上异于顶点的任意点，为椭圆的左，右焦点，的内切圆圆心为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列选项正确的有（ ）
A．已知，是两个非零向量，则“与的夹角为钝角”是“”的充要条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．事件A与B相互独立的充要条件是
D．已知等比数列的公比为q，则“”是“是单调递增数列”的必要不充分条件
10．已知在三棱锥P-ABC中，，为边长为m的正三角形，则下列选项正确的是（ ）
A．PA与底面ABC所成角的正弦值为
B．的取值范围为
C．点B在平面PAC的射影H在直线PA上
D．当时，三棱锥外接球的球心O与点P在平面ABC的异侧
11．已知函数则下列选项正确的是（ ）
A．是偶函数 B．在上单调递减
C．的极值点为 D．在上有且仅有4个零点
三、填空题
12．在的展开式中，的系数为______．
13．已知双曲线的离心率为2，为C的两个焦点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则_______．
14．已知函数的导函数，的部分图象如图所示，点M是图象与x轴的一个交点，点D为图象在M左侧的第一个最低点，过M作直线l与图象交于B，C两点，若直线l的斜率，的最小值为8，则_______．
四、解答题
15．已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足求数列的前2n项和．
16．如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，．
(1)证明：；
(2)求D到平面MOB的距离．
17．已知函数在处的切线方程为．
(1)求a，b；
(2)证明：．
18．已知平面内的动点到点的距离与到直线的距离之比为，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)（i）已知点，试在上求一点，使的值最小，并求这个最小值；
（ii）已知抛物线，直线不过原点，与抛物线N相交于A，B两点，且直线OA，OB的斜率分别为，且，与W交于C，D两点，线段CD的中点为G，求G的轨迹方程．
19．已知集合．
(1)当时，从M中任取两个不同元素，求这两个元素都是偶数的概率；
(2)当时，从M中任取一个元素观测后放回为一次试验，试验9次，记取到元素为奇数的次数为；求满足关于k的不等式（）的整数k的值；
(3)已知集合，从Q中任取一个元素观测后放回为一次试验，试验两次，事件A为“两次试验取出元素的积为偶数”，事件B为“两次试验取出元素的和为偶数”，求．
参考答案
1．B
2．D
3．B
4．A
5．C
6．B
7．D
8．C
9．BC
10．ACD
11．ABD
12．
13．
14．
15．（1）当时
∴当时，
又
是等比数列，
（2）奇数项共n项，是首项为2，公比为9的等比数列
，
偶数项共n项，是首项为5，公差为6的等差数列，
，
.
16．（1）连接PO，BD，如图一所示，
，，∵平面平面ABCD，
平面平面，平面，平面ABCD，
平面ABCD，，
又平面PAD，平面PAD，
又平面PAD，.
（2）由（1）得,又∵O为AD的中点,，
,是正三角形，,.
法一：以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图一所示的空间直角坐标系，
则 ，
，
设平面MOB的一个法向量为，
则即，
取，则，，
∴点D到平面MOB的距离，
∴点D到平面MOB的距离为.
法二：连接MD，设点D到平面MOB的距离为h，
，
，M到平面ABCD的距离为P到平面ABCD距离的，
即，，，
，∴点D到平面MOB的距离为.
17．（1）由，得，
在处的切线方程为，
，即，
解得，.
（2）由（1）知，定义域，
，
则，，
∴存在，使，
，即.
均在上单调递增，∴在上单调递增,
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
，
.
，
即．
18．（1）由题意知，P到直线的距离，
，整理得.
∴轨迹W的方程为.
（2）（i）过点作，垂足为.

由题意知，得；
.
为定点，为直线上的动点，当，即，，三点共线时取得最小值，即；
的最小值.
此时点的纵坐标为1，则，解得.
点在第一象限，.
因此，，的最小值为.
（ii）如图所示：

设直线的方程为.
联立，消去x得；
根据韦达定理可得，.
，，，，即；
，即.
直线的方程为.
设，，.
联立，消去x得；
Δ，解得.
根据韦达定理得，.
为线段的中点，，即.
，即；
直线不过原点，，即，得.
，，.
（且）
∴点G的轨迹方程为（且）.
19．（1）当时，r可取0，1，2，3，则，
记事件为“从M中任取两不同元素都是偶数”，所以.
（2）当时，有或或或，
可得，
每次从M中任取一个元素为奇数的概率，则，
因为，
即，
可得，
化简可得，
整理可得，
又因为且，可得.
（3）又因为集合Q中元素个数为，其中奇数有，偶数个数为，
则任取一元素为偶数的概率为，任取一元素为奇数的概率为，
可得，，
所以.

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