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江苏省徐州市2024-2025学年高二下学期6月期末抽测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若随机变量，则（　　）
A． B． C． D．5
2．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
3．若随机变量，且，则（　　）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
4．对于实数 ，“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．函数的值域为（　　）
A． B．
C． D．
6．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（　　）
A． B．0 C．1 D．4
7．某公司年会安排节目表演，有3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目．现要求歌舞节目相邻，小品节目也相邻，杂技节目不能在首尾位置，则不同的安排方法共有（　　）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
8．已知函数的定义域为，定义集合．若，则（　　）
A．在上单调递减
B．是在上的最小值
C．存在，使得0是的极大值点
D．存在，存在使得
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．是奇函数
B．
C．的极大值为4
D．若函数有三个零点，则
10．袋中有大小相同的3个红球和5个黄球，每次随机取出1个球，用表示事件“第（）次取出红球”．则下列说法正确的是（　　）
A．
B．若每次取出的球不放回，则
C．若每次取出的球放回，则
D．若每次取出的球放回，则前5次取球中最有可能取到3次红球
11．已知函数，，，则（　　）
A．当时，是奇函数
B．当时，的最小值为
C．任意，与具有相同的单调区间
D．存在，使得与的图象有且仅有2个不同的公共点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．　 　．
13．某兴趣小组有4名男生、2名女生，现随机选出3名学生参加志愿服务，则至少有2名男生的概率为　 　．
14．若实数满足，则　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．某研究机构测试了5款新能源汽车，电池容量与实际续航里程之间对应数据如下：
电池容量 40 50 60 70 80
实际续航里程 260 310 380 420 480
已知电池容量与实际续航里程之间具有很强的线性相关关系，求关于的经验回归方程，并估计当时对应的值．
附：经验回归方程中，，．
16．已知的展开式中，二项式系数的和为64，求：
（1）；
（2）含的项；
（3）偶数项的系数的和．
17．已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
18．为了解学生对某项运动的喜欢情况，学校进行了一次抽样调查，得到如下数据：
　 男生 女生 合计
喜欢 65 35 100
不喜欢 50 50 100
合计 115 85 200
（1）能否有99%的把握认为是否喜欢该项运动与性别有关？
（2）若学校有甲，乙两队进行此项运动比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（有一队先胜3局即获胜，比赛结束），甲队每局获胜的概率为（）．
①若比赛打满5局的概率为，求的最大值；
②若，在甲队赢得该场比赛的条件下，求比赛的局数的概率分布及数学期望．
附：，其中．
0.10 0.010 0.001
2.706 6.635 10.828
19．已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上有且仅有一个极值点，求的取值范围；
（3）当时，若，且，求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：若随机变量，则.
故答案为：C.
【分析】本题考查二项分布的期望计算，核心是利用二项分布的期望公式 E(X) = np 直接求解。
2．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：，，故，
故答案为：C.
【分析】本题考查集合的基本运算，核心是先分别求出集合A和集合B，再求它们的交集。
3．【答案】A
【知识点】正态分布定义
【解析】【解答】解：因为，故，
故，
故答案为：A.
【分析】本题考查正态分布的对称性，核心是利用正态曲线关于均值对称的性质求解概率。
4．【答案】B
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边，
故答案为：B。
【分析】由不等式的基本性质结合已知条件，再利用充分条件、必要条件的判断方法，从而推出命题 “ ”是命题“ ”的必要不充分条件。
5．【答案】D
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：当时，，而当时，，当且仅当时等号成立，故函数的值域为，
故答案为：D.
【分析】本题考查分段函数的值域，核心是分别分析各分段的取值范围，再合并得到整个函数的值域。
6．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，故曲线在点处的切线的斜率为，
故对应的切线方程为，
因为该切线也是曲线的切线，故有两个等根，
即有两个等根，故，故，
故答案为：C.
【分析】本题考查导数的几何意义与切线问题，核心是先求出已知曲线的切线方程，再利用切线与另一曲线相切的条件求解参数a。
7．【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用；排列数的基本计算
【解析】【解答】解：利用捆绑法排3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目有种.
故答案为：A.
【分析】本题考查排列组合的捆绑法，核心是将相邻节目视为整体，再结合杂技节目的位置限制计算。
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：ABD：如，其图象如图所示：
当时，对任意，，均有，即；
当时，对任意，，均有，即；
当时，因为在内单调递减，
则存在，对，均有，即；
当，对任意，均存在，使得，即；
综上所述：符合题意.
显然在上不是单调递减，故A错误；
不是在上的最小值，故B错误；
若，则，故D正确；
C：因为，则存在，对任意，均有，
假设0是的极大值点，则存在，对任意，均有，
两者相矛盾，假设不成立，故C错误；
故答案为：D.
【分析】首先，明确集合 的定义：，表示所有“左侧邻域内函数值都大于自身”的点，也就是左侧递减的点，已知 ，需结合极值点定义和举特例法逐一判断选项。
9．【答案】A,B,D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A，的定义域为，它关于原点对称，而，故为奇函数，故A正确；
B，，故且，故，故B正确；
C，由已知得，故当时，，时，，
故的极大值点为，此时极大值为，故C错误；
D，由C的分析可得在上为增函数，在为减函数，
又，且当时，，时，，
故当函数有三个零点时即与的图象有3个不同的交点时，
必有，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A：利用奇函数的定义（定义域关于原点对称，且）判断；
B：先求导，再分别计算与的值并比较大小；
C：通过导数分析函数单调性，确定极大值点并计算极大值；
D：结合函数单调性与极值，分析直线与函数图象有三个交点时的取值范围。
10．【答案】A,B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；二项分布；全概率公式
【解析】【解答】解：A，，故A正确；
B，若每次取出的球不放回，则，故B正确；
C，若每次取出的球放回，则相互独立，且，
故，故，故C错误；
D，若每次取出的球放回，设前5次取球中取到个红球，则，故，其中，
令，则，故，
故前5次取球中最有可能取到2次红球，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】A：利用对立事件的概率公式计算 ；
B：结合不放回抽样的概率计算，利用全概率公式求 ；
C：利用放回抽样的独立性，结合对立事件概率公式计算 ；
D：利用二项分布的最可能值公式，计算前5次取球中红球个数的最可能值。
11．【答案】B,C
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A，设，则函数的定义域为，
定义域关于原点对称，而，
故为偶函数，故A错误；
B，，
当且仅当时等号成立，故的最小值为，故B正确；
C，任意，，的定义域均为，
且，故它们均为偶函数，
当时，，则，
而，
故当时，且，
当时，且，
与在上具有相同的单调区间，
故与在定义域上具有相同的单调区间，故C正确；
D，由C的分析可得仅考虑与的图象在上是否有公共点，
令，则，故，
而当时，故此方程无解，即与的图象在上无公共点，
故时，与的图象无公共点，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】A：利用奇偶函数定义判断 的奇偶性；
B：利用基本不等式求 的最小值；
C：通过求导判断 与 的单调区间是否一致；
D：分析 与 图象公共点个数，结合函数性质判断是否存在 使得仅有2个公共点。
12．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】本题考查指数对数恒等式与二次根式的化简，核心是利用对数性质 和根式性质 分步计算。
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：设“随机选出3名学生参加志愿服务，则至少有2名男生”为事件，
则，
故答案为：.
【分析】本题考查古典概型的概率计算，核心是利用组合数公式，按“至少2名男生”的两种情况（2男1女、3男）分类计算，再结合概率公式求解。
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：即为，
设，则，
当时，，当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
故即，当且仅当时等号成立，
故，故且，
故答案为：.
【分析】本题考查利用导数证明不等式，核心是通过构造函数证明 lnx≤x-1，结合题目给出的不等式条件，得出等号成立的条件，进而求解。
15．【答案】解：，．
，，
所以．
又，，所以，
所以关于的经验回归方程为．
当时，．
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】本题考查线性回归方程的求解与预测，核心是先计算样本均值，再根据公式求出回归系数 和 ，得到回归方程后进行预测。
16．【答案】（1）解：由题意得，所以．
（2）解：由（1）知，则展开式的通项为．
令，得，
所以含的项为．
（3）解：展开式中第2项系数为，
第4项系数为，
第6项系数为，
所以展开式中偶数项的系数和为．
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【分析】(1) 利用二项式系数和的公式 求解 ；
(2) 写出二项展开式的通项，令 的指数为3，求出 ，进而得到含 的项；
(3) 分别计算展开式中所有项的系数和与奇数项的系数和，相减得到偶数项的系数和。
（1）由题意得，所以．
（2）由（1）知，则展开式的通项为．
令，得，
所以含的项为．
（3）展开式中第2项系数为，
第4项系数为，
第6项系数为，
所以展开式中偶数项的系数和为．
17．【答案】（1）解：易得不等式即．
当时，，解得，
当时，，解得．
综上可知，不等式的解集为．
（2）证明：因为的定义域为，
对任意的，都有，
且，
从而，
即的图象关于点对称，所以曲线是中心对称图形．
（3）解：因为（），所以，
所以在，上单调递增．
由（2）可知，，所以，
所以在上有解，
即在上有解．
又因为，所以，，
所以在上有解，即．
由，得，故，即或．
所以的取值范围是．
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1) 先将不等式 变形为分式不等式，再通过分类讨论求解解集；
(2) 利用中心对称的定义，验证 为定值，证明函数图象关于点对称；
(3) 结合函数的单调性与对称性，将不等式转化为函数值的大小关系，再通过参变分离求解参数范围。
（1）易得不等式即．
当时，，解得，
当时，，解得．
综上可知，不等式的解集为．
（2）因为的定义域为，
对任意的，都有，
且，
从而，
即的图象关于点对称，所以曲线是中心对称图形．
（3）因为（），所以，
所以在，上单调递增．
由（2）可知，，所以，
所以在上有解，
即在上有解．
又因为，所以，，
所以在上有解，即．
由，得，故，即或．
所以的取值范围是．
18．【答案】（1）解：提出假设：学生对该项运动的喜欢情况与性别无关，
根据列联表中的数据，得，
所以没有99%的把握认为是否喜欢该项运动与性别有关．
（2）解：①比赛打满5局的概率．
因为，
当且仅当，即时，取得最大值．
②设甲队赢得该场比赛为事件，该场比赛结束时，进行了局为事件（），
且，，
，
则．
在甲队赢得该场比赛的条件下，比赛的局数为（），
则，
，
所以的分布列为
3 4 5
．
【知识点】独立性检验的应用；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 利用列联表数据计算卡方统计量，与临界值比较，判断是否有关；
(2) ① 先写出打满5局的概率表达式，再用基本不等式求最大值；
② 计算甲队在不同局数获胜的条件概率，列出分布列并求数学期望。
（1）提出假设：学生对该项运动的喜欢情况与性别无关，
根据列联表中的数据，得，
所以没有99%的把握认为是否喜欢该项运动与性别有关．
（2）①比赛打满5局的概率．
因为，
当且仅当，即时，取得最大值．
②设甲队赢得该场比赛为事件，该场比赛结束时，进行了局为事件（），
且，，
，
则．
在甲队赢得该场比赛的条件下，比赛的局数为（），
则，
，
所以的分布列为
3 4 5
．
19．【答案】（1）解：当时，，，
，，
所以在点处的切线方程为，即．
（2）解：，令，则，
①若，当时，，单调递减，
所以，单调递减，不符合；
②若，当时，，单调递增，
所以，单调递增，不符合；
③若，则在有两个解，不妨设为，（）．
列表如下：
－ 0 ＋ 0 －
极小值 极大值
当时，，则在上没有零点．
要使在上有且仅有1个极值点，
则在上有且仅有一个变号零点，
则需要，即，解得．
又因为，所以．
当时，，，
由零点存在性定理知，存在唯一零点，使得，
当时，，为减函数；
当时，，为增函数，所以为的极小值点．
综上所述，的取值范围为．
（3）证明：当时，，所以，
由可得，
即，
又，两边同时除以，得，
因此，
所以，
记，则，
因此
，
令，，则，
所以在上为减函数，故，即时，．
因为，，
所以，所以
当时，，
则，即．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1) 当 时，求导计算切线斜率，再结合点斜式写出切线方程；
(2) 令 ，通过分析 的符号，讨论 的取值范围，结合 在 上的零点个数判断极值点；
(3) 当 时，由 出发，利用和差化积公式变形，结合导数定义与三角函数性质证明 。
（1）当时，，，
，，
所以在点处的切线方程为，即．
（2），令，则，
①若，当时，，单调递减，
所以，单调递减，不符合；
②若，当时，，单调递增，
所以，单调递增，不符合；
③若，则在有两个解，不妨设为，（）．
列表如下：
－ 0 ＋ 0 －
极小值 极大值
当时，，则在上没有零点．
要使在上有且仅有1个极值点，
则在上有且仅有一个变号零点，
则需要，即，解得．
又因为，所以．
当时，，，
由零点存在性定理知，存在唯一零点，使得，
当时，，为减函数；
当时，，为增函数，所以为的极小值点．
综上所述，的取值范围为．
（3）法1：当时，，所以，
由可得，
即，
又，两边同时除以，得，
因此，
所以，
记，则，
因此
，
令，，则，
所以在上为减函数，故，即时，．
因为，，
所以，所以
当时，，
则，即．
法2：当时，，所以，
令，则，故在上单调递增．
又，，
根据零点存在性定理，存在唯一的，使得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以，
又，且，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
由于，且，
则，从而．
要证，只要证，只要证，即证．
因为，，所以即证，即证．
令，，
则，
所以在上单调递增，所以．
所以，即．故．
1 / 1江苏省徐州市2024-2025学年高二下学期6月期末抽测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若随机变量，则（　　）
A． B． C． D．5
【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：若随机变量，则.
故答案为：C.
【分析】本题考查二项分布的期望计算，核心是利用二项分布的期望公式 E(X) = np 直接求解。
2．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：，，故，
故答案为：C.
【分析】本题考查集合的基本运算，核心是先分别求出集合A和集合B，再求它们的交集。
3．若随机变量，且，则（　　）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【答案】A
【知识点】正态分布定义
【解析】【解答】解：因为，故，
故，
故答案为：A.
【分析】本题考查正态分布的对称性，核心是利用正态曲线关于均值对称的性质求解概率。
4．对于实数 ，“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边，
故答案为：B。
【分析】由不等式的基本性质结合已知条件，再利用充分条件、必要条件的判断方法，从而推出命题 “ ”是命题“ ”的必要不充分条件。
5．函数的值域为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：当时，，而当时，，当且仅当时等号成立，故函数的值域为，
故答案为：D.
【分析】本题考查分段函数的值域，核心是分别分析各分段的取值范围，再合并得到整个函数的值域。
6．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（　　）
A． B．0 C．1 D．4
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，故曲线在点处的切线的斜率为，
故对应的切线方程为，
因为该切线也是曲线的切线，故有两个等根，
即有两个等根，故，故，
故答案为：C.
【分析】本题考查导数的几何意义与切线问题，核心是先求出已知曲线的切线方程，再利用切线与另一曲线相切的条件求解参数a。
7．某公司年会安排节目表演，有3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目．现要求歌舞节目相邻，小品节目也相邻，杂技节目不能在首尾位置，则不同的安排方法共有（　　）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用；排列数的基本计算
【解析】【解答】解：利用捆绑法排3个小品节目、2个歌舞节目和1个杂技节目有种.
故答案为：A.
【分析】本题考查排列组合的捆绑法，核心是将相邻节目视为整体，再结合杂技节目的位置限制计算。
8．已知函数的定义域为，定义集合．若，则（　　）
A．在上单调递减
B．是在上的最小值
C．存在，使得0是的极大值点
D．存在，存在使得
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：ABD：如，其图象如图所示：
当时，对任意，，均有，即；
当时，对任意，，均有，即；
当时，因为在内单调递减，
则存在，对，均有，即；
当，对任意，均存在，使得，即；
综上所述：符合题意.
显然在上不是单调递减，故A错误；
不是在上的最小值，故B错误；
若，则，故D正确；
C：因为，则存在，对任意，均有，
假设0是的极大值点，则存在，对任意，均有，
两者相矛盾，假设不成立，故C错误；
故答案为：D.
【分析】首先，明确集合 的定义：，表示所有“左侧邻域内函数值都大于自身”的点，也就是左侧递减的点，已知 ，需结合极值点定义和举特例法逐一判断选项。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．是奇函数
B．
C．的极大值为4
D．若函数有三个零点，则
【答案】A,B,D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A，的定义域为，它关于原点对称，而，故为奇函数，故A正确；
B，，故且，故，故B正确；
C，由已知得，故当时，，时，，
故的极大值点为，此时极大值为，故C错误；
D，由C的分析可得在上为增函数，在为减函数，
又，且当时，，时，，
故当函数有三个零点时即与的图象有3个不同的交点时，
必有，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A：利用奇函数的定义（定义域关于原点对称，且）判断；
B：先求导，再分别计算与的值并比较大小；
C：通过导数分析函数单调性，确定极大值点并计算极大值；
D：结合函数单调性与极值，分析直线与函数图象有三个交点时的取值范围。
10．袋中有大小相同的3个红球和5个黄球，每次随机取出1个球，用表示事件“第（）次取出红球”．则下列说法正确的是（　　）
A．
B．若每次取出的球不放回，则
C．若每次取出的球放回，则
D．若每次取出的球放回，则前5次取球中最有可能取到3次红球
【答案】A,B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；二项分布；全概率公式
【解析】【解答】解：A，，故A正确；
B，若每次取出的球不放回，则，故B正确；
C，若每次取出的球放回，则相互独立，且，
故，故，故C错误；
D，若每次取出的球放回，设前5次取球中取到个红球，则，故，其中，
令，则，故，
故前5次取球中最有可能取到2次红球，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】A：利用对立事件的概率公式计算 ；
B：结合不放回抽样的概率计算，利用全概率公式求 ；
C：利用放回抽样的独立性，结合对立事件概率公式计算 ；
D：利用二项分布的最可能值公式，计算前5次取球中红球个数的最可能值。
11．已知函数，，，则（　　）
A．当时，是奇函数
B．当时，的最小值为
C．任意，与具有相同的单调区间
D．存在，使得与的图象有且仅有2个不同的公共点
【答案】B,C
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A，设，则函数的定义域为，
定义域关于原点对称，而，
故为偶函数，故A错误；
B，，
当且仅当时等号成立，故的最小值为，故B正确；
C，任意，，的定义域均为，
且，故它们均为偶函数，
当时，，则，
而，
故当时，且，
当时，且，
与在上具有相同的单调区间，
故与在定义域上具有相同的单调区间，故C正确；
D，由C的分析可得仅考虑与的图象在上是否有公共点，
令，则，故，
而当时，故此方程无解，即与的图象在上无公共点，
故时，与的图象无公共点，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】A：利用奇偶函数定义判断 的奇偶性；
B：利用基本不等式求 的最小值；
C：通过求导判断 与 的单调区间是否一致；
D：分析 与 图象公共点个数，结合函数性质判断是否存在 使得仅有2个公共点。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．　 　．
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】本题考查指数对数恒等式与二次根式的化简，核心是利用对数性质 和根式性质 分步计算。
13．某兴趣小组有4名男生、2名女生，现随机选出3名学生参加志愿服务，则至少有2名男生的概率为　 　．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：设“随机选出3名学生参加志愿服务，则至少有2名男生”为事件，
则，
故答案为：.
【分析】本题考查古典概型的概率计算，核心是利用组合数公式，按“至少2名男生”的两种情况（2男1女、3男）分类计算，再结合概率公式求解。
14．若实数满足，则　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：即为，
设，则，
当时，，当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
故即，当且仅当时等号成立，
故，故且，
故答案为：.
【分析】本题考查利用导数证明不等式，核心是通过构造函数证明 lnx≤x-1，结合题目给出的不等式条件，得出等号成立的条件，进而求解。
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．某研究机构测试了5款新能源汽车，电池容量与实际续航里程之间对应数据如下：
电池容量 40 50 60 70 80
实际续航里程 260 310 380 420 480
已知电池容量与实际续航里程之间具有很强的线性相关关系，求关于的经验回归方程，并估计当时对应的值．
附：经验回归方程中，，．
【答案】解：，．
，，
所以．
又，，所以，
所以关于的经验回归方程为．
当时，．
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】本题考查线性回归方程的求解与预测，核心是先计算样本均值，再根据公式求出回归系数 和 ，得到回归方程后进行预测。
16．已知的展开式中，二项式系数的和为64，求：
（1）；
（2）含的项；
（3）偶数项的系数的和．
【答案】（1）解：由题意得，所以．
（2）解：由（1）知，则展开式的通项为．
令，得，
所以含的项为．
（3）解：展开式中第2项系数为，
第4项系数为，
第6项系数为，
所以展开式中偶数项的系数和为．
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【分析】(1) 利用二项式系数和的公式 求解 ；
(2) 写出二项展开式的通项，令 的指数为3，求出 ，进而得到含 的项；
(3) 分别计算展开式中所有项的系数和与奇数项的系数和，相减得到偶数项的系数和。
（1）由题意得，所以．
（2）由（1）知，则展开式的通项为．
令，得，
所以含的项为．
（3）展开式中第2项系数为，
第4项系数为，
第6项系数为，
所以展开式中偶数项的系数和为．
17．已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：易得不等式即．
当时，，解得，
当时，，解得．
综上可知，不等式的解集为．
（2）证明：因为的定义域为，
对任意的，都有，
且，
从而，
即的图象关于点对称，所以曲线是中心对称图形．
（3）解：因为（），所以，
所以在，上单调递增．
由（2）可知，，所以，
所以在上有解，
即在上有解．
又因为，所以，，
所以在上有解，即．
由，得，故，即或．
所以的取值范围是．
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1) 先将不等式 变形为分式不等式，再通过分类讨论求解解集；
(2) 利用中心对称的定义，验证 为定值，证明函数图象关于点对称；
(3) 结合函数的单调性与对称性，将不等式转化为函数值的大小关系，再通过参变分离求解参数范围。
（1）易得不等式即．
当时，，解得，
当时，，解得．
综上可知，不等式的解集为．
（2）因为的定义域为，
对任意的，都有，
且，
从而，
即的图象关于点对称，所以曲线是中心对称图形．
（3）因为（），所以，
所以在，上单调递增．
由（2）可知，，所以，
所以在上有解，
即在上有解．
又因为，所以，，
所以在上有解，即．
由，得，故，即或．
所以的取值范围是．
18．为了解学生对某项运动的喜欢情况，学校进行了一次抽样调查，得到如下数据：
　 男生 女生 合计
喜欢 65 35 100
不喜欢 50 50 100
合计 115 85 200
（1）能否有99%的把握认为是否喜欢该项运动与性别有关？
（2）若学校有甲，乙两队进行此项运动比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（有一队先胜3局即获胜，比赛结束），甲队每局获胜的概率为（）．
①若比赛打满5局的概率为，求的最大值；
②若，在甲队赢得该场比赛的条件下，求比赛的局数的概率分布及数学期望．
附：，其中．
0.10 0.010 0.001
2.706 6.635 10.828
【答案】（1）解：提出假设：学生对该项运动的喜欢情况与性别无关，
根据列联表中的数据，得，
所以没有99%的把握认为是否喜欢该项运动与性别有关．
（2）解：①比赛打满5局的概率．
因为，
当且仅当，即时，取得最大值．
②设甲队赢得该场比赛为事件，该场比赛结束时，进行了局为事件（），
且，，
，
则．
在甲队赢得该场比赛的条件下，比赛的局数为（），
则，
，
所以的分布列为
3 4 5
．
【知识点】独立性检验的应用；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 利用列联表数据计算卡方统计量，与临界值比较，判断是否有关；
(2) ① 先写出打满5局的概率表达式，再用基本不等式求最大值；
② 计算甲队在不同局数获胜的条件概率，列出分布列并求数学期望。
（1）提出假设：学生对该项运动的喜欢情况与性别无关，
根据列联表中的数据，得，
所以没有99%的把握认为是否喜欢该项运动与性别有关．
（2）①比赛打满5局的概率．
因为，
当且仅当，即时，取得最大值．
②设甲队赢得该场比赛为事件，该场比赛结束时，进行了局为事件（），
且，，
，
则．
在甲队赢得该场比赛的条件下，比赛的局数为（），
则，
，
所以的分布列为
3 4 5
．
19．已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上有且仅有一个极值点，求的取值范围；
（3）当时，若，且，求证：．
【答案】（1）解：当时，，，
，，
所以在点处的切线方程为，即．
（2）解：，令，则，
①若，当时，，单调递减，
所以，单调递减，不符合；
②若，当时，，单调递增，
所以，单调递增，不符合；
③若，则在有两个解，不妨设为，（）．
列表如下：
－ 0 ＋ 0 －
极小值 极大值
当时，，则在上没有零点．
要使在上有且仅有1个极值点，
则在上有且仅有一个变号零点，
则需要，即，解得．
又因为，所以．
当时，，，
由零点存在性定理知，存在唯一零点，使得，
当时，，为减函数；
当时，，为增函数，所以为的极小值点．
综上所述，的取值范围为．
（3）证明：当时，，所以，
由可得，
即，
又，两边同时除以，得，
因此，
所以，
记，则，
因此
，
令，，则，
所以在上为减函数，故，即时，．
因为，，
所以，所以
当时，，
则，即．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1) 当 时，求导计算切线斜率，再结合点斜式写出切线方程；
(2) 令 ，通过分析 的符号，讨论 的取值范围，结合 在 上的零点个数判断极值点；
(3) 当 时，由 出发，利用和差化积公式变形，结合导数定义与三角函数性质证明 。
（1）当时，，，
，，
所以在点处的切线方程为，即．
（2），令，则，
①若，当时，，单调递减，
所以，单调递减，不符合；
②若，当时，，单调递增，
所以，单调递增，不符合；
③若，则在有两个解，不妨设为，（）．
列表如下：
－ 0 ＋ 0 －
极小值 极大值
当时，，则在上没有零点．
要使在上有且仅有1个极值点，
则在上有且仅有一个变号零点，
则需要，即，解得．
又因为，所以．
当时，，，
由零点存在性定理知，存在唯一零点，使得，
当时，，为减函数；
当时，，为增函数，所以为的极小值点．
综上所述，的取值范围为．
（3）法1：当时，，所以，
由可得，
即，
又，两边同时除以，得，
因此，
所以，
记，则，
因此
，
令，，则，
所以在上为减函数，故，即时，．
因为，，
所以，所以
当时，，
则，即．
法2：当时，，所以，
令，则，故在上单调递增．
又，，
根据零点存在性定理，存在唯一的，使得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以，
又，且，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
由于，且，
则，从而．
要证，只要证，只要证，即证．
因为，，所以即证，即证．
令，，
则，
所以在上单调递增，所以．
所以，即．故．
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