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广西南宁三中五象校区2026届高三5月教学质量调研数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
3．样本数据的下四分位数为（ ）
A．3 B．3.5 C．10 D．11
4．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象
A．向右平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向左平移个单位
5．如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的平面图形，图中四边形的对角线相交于点，已知，则（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．
6．已知抛物线：（）的焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于两点，，点在上，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．已知中，为的内心，，则周长的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
8．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设等比数列的公比为，前项和为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．
10．已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（ ）
A．
B．是偶函数
C．的图象关于点中心对称
D．
11．在棱长为2的正方体 中，已知， 分别为线段 ， 的中点，点在四边形内运动，则（ ）
A．
B．当点在上运动时，三棱锥的体积为
C．
D．周长的最小值为
三、填空题
12．已知，则__________.
13．已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______.
14．已知，为椭圆与双曲线的公共左，右焦点，为它们的一个公共点，且，O为坐标原点，，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为_________．
四、解答题
15．已知数列的前项和为，，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前20项和，（注：结果可保留指数形式）.
16．2024年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立．
(1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率；
(2)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望．
17．如图，在直四棱柱中，下底面为平行四边形，，，，分别是上、下底面所在平面内两点，点在棱上，且点是以为圆心的圆弧上的动点，点是半圆弧上的动点（不包括端点）．
(1)若点在上，证明：平面；
(2)设三棱锥的外接球的半径为，求的取值范围．
18．已知椭圆（）的焦距为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)点是椭圆上一点，过点作圆的两条切线分别交椭圆于，两点，若直线，的斜率都存在，且分别记为，.
①求的值：
②试问：的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
19．已知函数.
(1)求在区间上的值域；
(2)证明：；
(3)已知，若存在，使得，求的取值范围.
参考答案
1．B
2．B
3．B
4．B
5．A
6．B
7．B
8．A
9．ABD
10．ABD
11．ABD
12．
13．/
14．
15．（1）当时，，
当时，，满足上式，所以；
由得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以.
（2）
.
16.（1）记3人中通过第一轮的人数为，由题意可知，
记“3人中至多有2人通过第一轮”为事件，
则．
（2）记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为，
则，
，
，
由相互独立可知，
，
，
所以的分布列是：
0 1 2 3
则的数学期望是．
17．（1）如图，作出符合题意的图形，连接，
，，
是等边三角形，是的中点，又是的中点，
，且，四边形是平行四边形，
，又平面，平面，
平面，又，
且平面，平面，平面，
又，平面，平面平面，
又平面，平面．
（2）如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，
中点坐标为，可设球心，
在以为圆心、1为半径的圆弧上，
，．
则，，
由，
化简得，，，
故，，．
18（1）法一：
由题意椭圆的焦点在轴上，且，则，
由椭圆的定义得，
解得，则，
则椭圆方程为；
法二：
因为，所以，即椭圆方程为（），
又在椭圆上，所以，解得
则椭圆方程为.
（2）易知圆的圆心为，且原点在圆外，即，如下图：
①令，，则直线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，即，
化简得，同理得，
则是方程的两根，显然，
由韦达定理可知，
因为点在椭圆上，所以，则
则，即
②法一：
设，，
则，，，点到直线的距离为，
因为，所以，则，
，
由，得，同理，
则，则，
所以.
②法二：
设，，则，
因为，所以直线方程为，
所以，
因为，两点在椭圆上，所以，，
则，
所以，
又，
所以
，
则.
②法三：
设，
（i）若直线与轴平行，由对称性，，，
因为，所以不妨设有，则，
则，解得，即，
则，.
（ii）若直线不与轴平行，设直线方程为，（），直线与轴交点为,
则,
由，得，
由，得，
，
所以,
因为,所以,
即，得，
显然，即，
.
综上
19．（1）由题得，所以在上单调递增，
于是有，且当时，，
故在区间上的值域为.
（2）由（1）可知当时有，所以，
又因为，所以
，证毕.
（3）依题意有即，
当时不等式不成立，
当时，因为，不等式可变为，
根据重要极限可得，
又因为 ，所以，
从而可得当 时，，
所以接下来只分析的情况，
令，则
，再令，
则，
时，同时由（1）有，所以，
则单调递减，可得，从而，单调递减，
所以，故应满足.

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