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山东烟台市2026届高考适应性测试数学试题
一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A． B．2 C． D．5
2．已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
3．已知向量，，若，则（ ）
A．-2 B．-4 C．-6 D．-8
4．的展开式中项的系数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知某数据中心的算力（单位：EFLOPS）与芯片投入量（单位：万片）满足饱和增长模型：，其中为该中心最大理论算力.已知投入2万片芯片时，算力，若要求算力，则芯片投入量至少为（ ）
A．3万片 B．4万片 C．5万片 D．6万片
6．已知是等差数列，其公差为，前项和为，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在中，角A，B，C所对的边分别为，且，若的面积为，则的值为（ ）
A．10 B．5 C． D．
8．三棱柱中，，在底面ABC内的射影为AC中点，，，若为底面内一动点（不含边界），则三棱锥的外接球表面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点为和的一个公共点，则（ ）
A．
B．的离心率为2
C．
D．点到的两条渐近线的距离之和为
10．已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，，为奇函数，函数，且为偶函数，则（ ）
A．是奇函数 B．2为的一个周期
C． D．
11．在质量检测中，常用“尾概率”来度量某项指标偏离期望值的可能性大小.某质检部门拟对件产品逐件进行质量检测，假设每件产品检测达标的概率均为，且各件产品检测结果互不影响，记件产品中检测达标的件数为，其相应的“尾概率”，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．对任意，有
三、填空题
12．给定变量与相对应的一组数据，若通过该组数据求得的回归直线方程为，则的值为__________.
13．已知直线与圆交于A，B两点，设线段AB的中点为，则点到点的距离的最大值为__________.
14．设点集，若中的点满足，则称与互为邻点. 点集中与点互为邻点的点的个数为__________. 在中定义邻点列，其中与互为邻点，且，若，则的最大值为__________.
四、解答题
15．已知正项数列的前项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
16．如图，在三棱锥中，.
(1)证明：；
(2)已知为的重心，.在棱PA上是否存在一点，使得直线QM与平面PAC所成角的大小为？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.
17．某用户在网约车平台发起订单后，平台按照就近原则依次派车：先派距离用户最近的第一辆车，若该车无法接单，则继续派第二辆车，以此类推，直至某网约车接单.假设该平台上每辆车接单的概率均为，且各辆车是否接单相互独立.记某网约车接单时平台为该用户派车的总次数为.
(1)求的概率，并证明：对任意正整数s，t恒成立；
(2)已知平台为该用户派出的第一辆车未接单，设平台还需为该用户继续派车的次数为.平台规定：若，则赠送该用户一张金额为3元的优惠券；否则，不赠送优惠券.求平台赠送该用户的优惠券金额的期望.
18．已知函数，其图象在处的切线的倾斜角为钝角.
(1)求的取值范围；
(2)证明：；
(3)证明：.
注：.
19．已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上异于长轴端点的一点，为轴上一点，且直线平分.
(1)求点横坐标的取值范围；
(2)若直线交于点在点处的切线为，过且与MT垂直的直线为，与交于点.
（i）证明：为定值，并求出此定值；
（ii）定义两点的“侧偏率”为，求的最大值.
参考答案
1．A
2．C
3．C
4．A
5．B
6．C
7．D
8．A
9．BCD
10．ACD
11．ACD
12．21
13．
14． 6 8
15．（1）由，得．
所以，即．
当时，，整理得，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以．
（2）由（1）得，
所以，
所以，
，
整理得．
16．（1）取AC的中点，连接OP，OB.
在中，因为，所以.
在中，因为，所以.
又平面POB，所以平面POB.
因为平面POB，所以.
（2）因为，所以.
在中，，
因为为的重心，，所以且.
在中，，
所以，故.
又平面平面POB，
所以，
因为，所以平面ABC.
以为坐标原点，OA，OB所在直线为x，y轴，以过点且垂直平面ABC向上的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
设，则 ，
所以.
设平面PAC的一个法向量，
则，即，取，则，故.
所以，
即，解得.
所以，存在满足条件的点，且点为线段PA上靠近点的三等分点.
17（1）由题意知，，
所以，对任意的正整数s，t．
（2）由（1）知，，
平台需要支付该用户的优惠券金额的所有可能取值为，
则，
所以，
即平台需要赠送的优惠券金额的期望为元.
18．（1）因为，
依题意，，解得．
所以实数的取值范围为；
（2）令，则，
所以在上单调递增．
由（1）可知，且当时，，
所以，存在，使得，
且当时，，即，则在上单调递减，
当时，，即，则在上单调递增，
所以，
由，得，
两边取对数，有，
则
故，当且仅当时取等，
故欲证结论成立，只需证，即．
令，只需证，
因为，
所以在单减．
所以，结论成立，
即．
（3）令，
则，
由（2）知函数在上单调递增，
又，所以，
即，故在上单调递增．
因为，
所以，
令，
则
同理，在上单调递增，
且，
令，则，
因为，所以，
故在上单减，则．
所以，
所以.
19．（1）设，因为椭圆的离心率，
所以．
设，因为直线MT平分，
所以，即，
整理得，
因为．故．
（2）（i）由题知，直线的斜率不为0，故设直线的方程为，
与椭圆方程联立，得，
设，则．
所以．
．
所以．
所以，
所以为定值4．
（ii）由（1）知，，所以直线的斜率为，
所以的斜率为，又过点，所以的方程为．
又椭圆在点处的切线的方程为，
联立方程解得点坐标，
所以，
又由（2）知，
.
即，
所以，
，当且仅当时等号成立，所以的最大值为．

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