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2026年成都市高中阶段教育学校统一招生
暨初中学业水平考试
数 学
A卷(共100分)
第Ⅰ卷(选择题，共32分)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求)
1．下列四个数中，最小的数是（　　）
A． B．0 C．1 D．π
【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵0＜1＜π，
∴最小的数是：．
故选：A．
2．科技改变生活，智慧点亮世界．如图1是一个多功能LED遥控学习护眼灯，图2是台灯的灯罩部分，其俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据此灯罩的俯视图特点即可求解．
【解答】解：灯罩部分的俯视图为：．
故选：B．
3．下列计算正确的是（　　）
A．x2 x3＝x6 B．（x2y2）3＝x5y5
C．6xy2﹣2xy2＝4xy2 D．（x+1）2＝x2+1
【分析】根据同底数幂乘法、积的乘方、合并同类项、完全平方公式，逐一判断即可．
【解答】解：根据同底数幂乘法、积的乘方、合并同类项、完全平方公式逐项分析判断如下：
选项A：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
∴x2 x3＝x2+3＝x5≠x6，A不符合题意；
选项B：∵积的乘方等于各因式分别乘方，幂的乘方底数不变，指数相乘，
∴（x2y2）3＝（x2）3 （y2）3＝x6y6≠x5y5，B不符合题意；
选项C：∵合并同类项时，系数相加减，字母和字母的指数不变，
∴6xy2﹣2xy2＝（6﹣2）xy2＝4xy2，C正确，符合题意；
选项D：∵根据完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴（x+1）2＝x2+2x+1≠x2+1，D不符合题意．
故选：C．
4．在平面直角坐标系中，将点A（2，﹣3）向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到点A′，则点A′的坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣1） B．（5，﹣5） C．（﹣1，﹣5） D．（5，﹣1）
【分析】根据点的平移规律：向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加，依次计算即可．
【解答】解：点A（2，﹣3）向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到点A′（2﹣3，﹣3+2），即（﹣1，﹣1）．
故选：A．
5．第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门三地共同举办．某校为了解学生对本届全运会游泳项目（蝶泳、仰泳、蛙泳）的知晓情况，随机调查了200名学生，其中对本届全运会新增游泳项目了解的学生有110名，则估计该校2400名学生中，对本届全运会新增游泳项目了解的学生有（　　）
A．880名 B．1100名 C．1210名 D．1320名
【分析】先求出样本中了解全运会新增游泳项目的学生频率，再用总人数乘以该频率得到估计值．
【解答】解：由条件可知样本中了解项目的学生频率为 ，
∴估计该校2400名学生中，了解项目的学生人数为2400×0.55＝1320 （名）．
故选：D．
6．如图，在菱形ABCD中，E是BC上一点，且DE＝DC，连接BD，若∠C＝70°，则∠BDE的度数为（　　）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【分析】根据菱形的性质得到∠BDC＝55°，根据等腰三角形的判定和性质得到∠EDC＝40°，继而得到∠BDE＝15°．
【解答】解：根据菱形的性质可知DC＝BC，
∴，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C＝70°，
∴∠EDC＝180°﹣2∠C＝40°，
∴∠BDE＝∠BDC﹣∠EDC＝55°﹣40°＝15°．
故选：D．
7．中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：今有雀一只重一两九铢，燕一只重一两五铢．有雀燕二十五只，并重二斤一十三铢，问燕雀各几何？（注：古代质量单位中1斤＝16两，1两＝24铢），题目大意：1只雀重1两9铢，1只燕重1两5铢．雀和燕一共有25只，共重2斤13铢．燕、雀各有多少只？设有x只燕、有y只雀，则可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意可以得到1两9铢＝33铢，1两5铢＝28铢，2斤13铢＝2×16×24+13＝781（铢），然后根据题目中的信息，可以列出相应的方程组．
【解答】解：由题意可得，
1两9铢＝33铢，1两5铢＝28铢，2斤13铢＝2×16×24+13＝781（铢），
，
故选：A．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象与x轴的两个交点分别为A（﹣4，0），B．则下列说法正确的是（　　）
A．对称轴为直线x＝1
B．4a2﹣4ac＜0
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．8a+c＝0
【分析】由对称轴公式即可判断A选项；由二次函数图象与抛物线的交点情况得到判别式情况，即可判断B选项；由二次函数图象的增减性即可判断C选项；将点A（﹣4，0）代入二次函数解析式即可判断D选项．
【解答】解：抛物线对称轴为直线，故选项A错误，不符合题意；
∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴（2a）2﹣4ac＞0，即4a2﹣4ac＞0，故选项B错误，不符合题意；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大；当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大；当﹣1＜x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C错误，不符合题意；
∴a×（﹣4）2+2a×（﹣4）+c＝0，
∴8a+c＝0，故选项D正确．
故选：D．
第Ⅱ卷(非选择题，共68分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)
9．1﹣4a2因式分解的结果是　（1+2a）（1﹣2a）　 ．
【分析】直接利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝（1+2a）（1﹣2a）．
故答案为：（1+2a）（1﹣2a）．
10．关于x的分式方程的解为x＝﹣3，则m的值为　2　 ．
【分析】将分式方程的解代入原方程计算即可．
【解答】解：由条件可得，
解得：m＝2．
故答案为：2．
11．如图，在⊙O中，∠ABC＝45°，OA＝3，则的长为　　 ．
【分析】先由圆周角定理可得∠AOC＝2×∠ABC＝90°，再根据弧长公式进行计算即可得到答案．
【解答】解：根据题意可得∠AOC＝2×∠ABC＝90°（圆周角定理），
∴，
故答案为：π．
12．遗传物质DNA的双螺旋结构由四种碱基A，T，C，G构成，某DNA片段序列为“AATCGT”，若从中随机选取一个碱基，则选取到碱基A的概率为　　 ．
【分析】先确定所有可能的基本事件总数，再确定选取到碱基A这一事件包含的基本事件个数，代入概率公式计算即可．
【解答】解：∵该DNA片段共有6个碱基，其中碱基A的个数为2．
∴从中随机选取一个碱基，选取到碱基A的概率为：．
故答案为：．
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，分别以点A和C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若AE＝4，则AD的长为　5　 ．
【分析】由作图痕迹知，MN为边AC的垂直平分线，得到AC＝2AE＝8，利用勾股定理求出BC，再利用平行线分线段成比例定理即可求出AD的值．
【解答】解：由作图痕迹知，MN为边AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AE＝CE，
∵AE＝4，
∴AC＝2AE＝8，
由勾股定理得，
∵DE⊥AC，∠BAC＝90°，
∴DE∥AB，
∴，
∵AE＝CE，
∴BD＝CD即：D是BC的中点，
∵∠BAC＝90°，
∴．
故答案为：5．
三、解答题(本大题共5个小题，共48分)
14．(本小题满分12分，每题6分)计算与解不等式组
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据特殊角三角函数值，负整数指数幂的运算法则，二次根式的化简法则，绝对值的化简法则计算，再进行实数的加减混合运算即可．
（2）根据去分母，去括号、移项、合并同类项、系数化为1等运算步骤，依次解两个一元一次不等式，再求出两个不等式解集的公共部分即可得出答案．
【解答】解：（1）原式
＝1；
（2），
解不等式①，去括号得：2x＜3x+6，
移项，合并同类项得：x＞﹣6，
解不等式②，去分母得3（x﹣1）≤2（2+x）﹣6，
去括号得：3x﹣3≤4+2x﹣6，
移项，合并同类项得：x≤1，
∴该不等式组的解集为﹣6＜x≤1．
15．(本小题满分10分)某校在体育节期间开展了丰富多彩的体育活动，活动结束后，学校计划从初一（1）班、（2）班中评选出一个“体育节综合表现优秀班级”．以下是这两个班级的五项评比指标的得分统计图：请根据统计图信息，解答下列问题：
（1）初一（1）班在体育节中得分的极差为　40　 分；
（2）从平均数、中位数、众数中任选一个角度，试判断哪个班的表现更好？
（3）若学校将“开幕式表演”“团体操表现”“田径项目成绩”“精神文明”“观众参与度”这五项得分按2：2：4：1：1的比例确定各班的综合成绩，请你通过计算判断应评选哪个班为“体育节综合表现优秀班级”．
【分析】（1）根据极差的定义计算即可；
（2）利用平均数、中位数、众数的意义做决策即可；
（3）根据加权平均数的计算公式求解即可．
【解答】解：（1）根据极差的定义计算可得：
极差为100﹣60＝40（分）；
故答案为：40；
（2）从众数的角度来说，初一（1）班得分的众数为100分，初一（2）班得分的众数为90分，
∵初一（1）班得分的众数高于初一（2）班，
∴初一（1）班的表现更好（答案不唯一）；
（3）2+2+4+1+1＝10，根据加权平均数的计算公式可得：
初一（1）班：（分）；
初一（2）班：（分），
∵81分＜86分，
∴应评选初一（2）班为“体育节综合表现优秀班级”．
16．(本小题满分8)如图1是一款教学设备的实物图，如图2是该款设备放置在水平桌面上的平面示意图，该教学设备是由底座PQ、支撑臂AB、连杆BC、悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．已知支撑臂AB与底座PQ的夹角α＝60°，AB＝20cm，底座高为3cm，连杆BC∥PQ，水平桌面MN∥PQ，连杆BC与悬臂CD的夹角β＝110°，CD＝8cm，求点D到水平桌面MN的距离DE．（结果精确到1cm，参考数据：
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，延长BC交DE于点T，延长PQ交DE于点L，则四边形AFTL是矩形，故AF＝LT，根据三角函数分别求出AF和DT，代入DE＝DT+TL+LE求解即可得出结果．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，延长BC交DE于点T，延长PQ交DE于点L，则四边形AFTL是矩形，
∴AF＝LT．
∵BC∥PQ，
∴∠B＝α＝60°．
在Rt△AFB中，AB＝20cm，
∴，即sin60°，
解得：．
∵β＝110°，
∴∠DCT＝180°﹣110°＝70°．
在Rt△CTD中，CD＝8cm，
∴，即sin70°，
∴DT＝8 sin70°≈8×0.94＝7.52（cm），
∴DE＝DT+TL+LE＝7.52+17.3+3＝27.82≈28（cm）．
答：点D到水平桌面MN的距离DE约为28cm．
17．(本小题满分10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，OA为⊙O的半径，连接BO并延长交AC于点D．过点A作⊙O的切线，交BD的延长线于点E，且∠AOE＝∠BAC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若，求AB及AE的长．
【分析】（1）延长AO交BC于点F，连接OC，先利用等边对等角以及三角形外角性质，证明∠OAB＝∠OBA＝∠OAC，接着利用三角形内角和证明∠AOB＝∠AOC，得到∠BOF＝∠COF，结合OB＝OC，即可判断AF垂直平分BC，从而得证；
（2）由（1）知AF⊥BC，AB＝AC，利用求得AB，再用勾股定理求得AF，设OA＝r，则OF＝9﹣r，在Rt△OFB中，由勾股定理，r2＝32+（9﹣r）2，解得r，最后利用△BOF∽△EOA，对应边成比例即可得出答案．
【解答】（1）证明：如图，延长AO交BC于点F，连接OC，
由条件可知∠OBA＝∠OAB，
∵∠AOE＝∠OBA+∠OAB＝2∠OAB，∠AOE＝∠BAC，∠BAC＝∠OAB+∠OAC，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠OAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA，
∴∠AOB＝∠AOC，
∴∠BOF＝∠COF．
∴BF＝CF，OF⊥BC，
∴AF垂直平分BC，
∴AB＝AC．
（2）解：如图，由（1）知AF⊥BC，AB＝AC，
由条件可知．
∵，
∴在Rt△AFB中，，即，
∴；
∴，
设OA＝r，则OF＝9﹣r，则r2＝32+（9﹣r）2，
∴r＝5，
∴OF＝4，
由条件可知OA⊥AE，
∴AE∥BC，
∴∠OBF＝∠OEA，
∴△BOF∽△EOA，
∴，即，
∴．
18．(本小题满分10分)如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，且．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图2，当x＞0时，点C，D在反比例函数的图象上（点C在点D左侧），且CD⊥射线OA，若，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，作BC∥OA，点N为直线BC上一点，点M在反比例函数在第一象限内的图象上，当△AMN为等腰直角三角形时，求点M的坐标．
【分析】（1）设点A（a，a），根据勾股定理，得到，求出点A（3，3），则k＝3×3＝9，即可求出反比例函数的表达式为；
（2）过点C作CH∥y轴，过点D作DH∥x轴交于点H，推导出△CDH为等腰直角三角形，设点H（c，c），则点，得到CH＝DH＝8，求出c＝1，则点C的坐标为（1，9），即可解答；
（3）先推导出kBC＝kDA＝1，求出直线BC的表达式为y＝x+8，分类讨论：①∠AMN＝90°，MN＝MA，②∠ANM＝90°，MN＝AN，③∠MAN＝90°，AM＝AN，④点N在点A的上方时，逐项分析求解即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝x与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，
∴设点A（a，a），
∵，
由勾股定理得：，
解得a＝3（负值已舍去），
∴点A（3，3），
将点A的坐标代入反比例函数得：
3，
解得：k＝9，
∴反比例函数的表达式为；
（2）如图2，过点C作CH∥y轴，过点D作DH∥x轴交于点H，
∵CD⊥射线OA，
由反比例函数图象的对称性可知，点C和D关于直线y＝x对称，且点H在射线OA上，
∴△CDH为等腰直角三角形．
设点H（c，c），则点，
∵，
∴CH＝DH＝8，即，
解得：c＝1或﹣9（不合题意，舍去），
∴点C的坐标为（1，9）；
（3）由（2）得点C（1，9），
∵BC∥OA，
∴kBC＝kDA＝1．
设直线BC的表达式为y＝x+b，将点C的坐标代入得：
1+b＝9，
解得：b＝8，
∴直线BC的表达式为y＝x+8．
当△AMN为等腰直角三角形时，分四种情况讨论如下：
①如图3，∠AMN＝90°，MN＝MA，
过点M作H1H2∥x轴，过点N，A分别作NH1⊥MH1，AH2⊥MH2，垂足分别为点H1，H2，
∴∠H1＝∠H2＝90°，
∴∠H2AM+∠H2MA＝90°．
∵∠H1MN+∠H2MA＝90°，
∴∠H1MN＝∠H2AM，
∴△NMH1≌△MAH2（AAS）．
设点，
∴，
∴点，
将点N代入直线BC的表达式y＝x+8中，得：
，
解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意），
∴点；
②如图4，∠ANM＝90°，MN＝AN，过点N作H1H2∥y轴，过点M，A分别作MH1⊥H1H2，AH2⊥H1H2，垂足分别为点H1，H2，由①同理，可得△AH2N≌△NH1M（AAS），
同理，设点N（n，n+8），则点H2（n，3），
∴AH2＝NH1＝3﹣n，NH2＝MH1＝n+8﹣3＝n+5，
∴点H1的纵坐标为NH2+NH1+yA＝n+5+3﹣n+3＝11，
∴点H1（n，11），
∴点M的纵坐标为11，将点M的纵坐标代入反比例函数中，得：
，
解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意），
∴点；
③∠MAN＝90°，AM＝AN，点M在点A的上方时，如图5，过点A作H1H2∥y轴，过点M，N分别作MH1⊥H1H2，NH2⊥H1H2，垂足分别为H1，H2，
由①同理，可得△AH1M≌△NH2A（AAS），
同理，设点，则点，
∴，
∴点H2的纵坐标为yA﹣AH2＝m，点N的横坐标为，
∴点．
将点N代入直线BC的表达式y＝x+8中，得：
，
解得：（经检验，都是分式方程的解，此解不合题意，舍去），
∴点；
④点N在点A的上方时，如图6，过点A作H1H2∥y轴，过点N，M分别作NH1⊥H1H2，MH2⊥H1H2，垂足分别为H1，H2，
由①同理可得△AH1N≌△MH2A，
同理，设点，则点，
∴，
∴点H1的纵坐标为AH1+yA＝m，点N的横坐标为，
∴点，
将点N代入直线BC的表达式y＝x+8中，得：
，
解得：m1＝7+2，m2＝7﹣2（经检验，都是分式方程的解，此解不合题意，舍去），
∴点．
综上所述，点M的坐标为或或或．
B卷(共 50分)
一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)
19．已知，则代数式的值为　2026　 ．
【分析】根据分式的混合运算法则，经过通分，除法转化为乘法，运用完全平方公式进行因式分解，约分等步骤后得到化简后的整式，再将已知分式进行通分，根据整体代入思想转化为所求整式的值．
【解答】解：原式
＝a（a+3）
＝a2+3a，
∵，
∴等式两边同时乘a，得a2﹣2026＝﹣3a，
∴a2+3a＝2026，
∴原式＝a2+3a＝2026．
故答案为：2026．
20．已知一元二次方程a2﹣2a﹣8＝0的两根之和为m，两根之积为n，若点（m，n）在正比例函数y＝kx的图象上，则k的值为　﹣4　 ．
【分析】首先，根据一元二次方程根与系数的关系，设方程的两根分别为α，β，得α+β＝2，αβ＝﹣8，再将点（2，﹣8）代入y＝kx中，即可得出k的值．
【解答】解：设方程的两根分别为α，β，则α+β＝2，αβ＝﹣8，
∴m＝2，n＝﹣8，
将点（2，﹣8）代入，得2k＝﹣8，
∴k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
21．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AF，BF，若⊙O的半径为2，则△ABF的面积为　　 ．
【分析】连接OA，过点A作AM⊥OB于点M，先求出，再求出，则，即可解答．
【解答】解：如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接OA，过点A作AM⊥OB于点M，
∴，
∵⊙O的半径为2，BF是⊙O的直径，
∴OA＝2，∠BAF＝90°，BF＝2×2＝4，
∴，
∴，
故答案为：．
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，P是边AB上一动点（不与点A，B重合），先将矩形沿着DP折叠，点A的对应点为A′，再将矩形折叠，使点B的对应点B′恰好落在PA′所在的直线上，折痕为PE，E为BC边上一点．若PD＝PE，则PB的长为　6　 ；当BE取得最大值时，则PB的长为　4　 ．
【分析】由折叠的性质、同角的余角相等推出∠B′PE＝∠A′DP，证明△PA′D≌△EB′P（AAS）得DA′＝PB′，再结合折叠的性质即可得PB的长；设PB＝x，AP＝AB﹣BP＝8﹣x，根据折叠的矩形的性质证明△ADP∽△BPE，则，即，即可得，再根据二次函数的性质求最值．
【解答】解：∵先将矩形ABCD沿着DP折叠，点A的对应点为A′，再将矩形折叠，使点B的对应点B′恰好落在PA′所在的直线上，折痕为PE，
∴∠APD＝∠A′PD，∠BPE＝∠B′PE，∠PA′D＝∠A＝90°，∠PB′E＝∠B＝90°，DA＝DA′，PB＝PB′，
∵∠APD+∠A′PD+∠BPE+∠B′PE＝180°，
∴2（∠A′PD+∠B′PE）＝180°，
∴∠A′PD+∠B′PE＝90°，
又∵∠A′PD+∠A′DP＝90°，
∴∠B′PE＝∠A′DP，
在△PA′D和△EB′P中，
，
∴△PA′D≌△EB′P（AAS），
∴DA′＝PB′，
∴DA＝DA′＝PB′＝PB，
∴PB＝DA＝6；
设PB＝x，
∴AP＝AB﹣BP＝8﹣x，
如图，
∵∠B′PD+∠B′PE＝90°，
∴∠DPE＝90°，
∴∠APD+∠BPE＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝∠A＝90°，
∴∠ADP+∠APD＝90°，
∴∠ADP＝∠BPE，
∴△ADP∽△BPE，
∴，即，
∴BE（0＜x＜8），
∵0，
∴当x＝4时，BE有最大值为，即PB＝4，
故答案为：6；4．
23．把满足勾股定理a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c称为勾股数．若a，b，c两两互质（除1以外，没有其他公约数），则称为本原勾股数．对于任意正整数m，n（其中m＞n，且m，n一奇一偶、互质），则a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2构成一组本原勾股数．如：m＝2，n＝1时，对应的本原勾股数为a＝22﹣12＝3，b＝2×2×1＝4，c＝22+12＝5，则（3，4，5）为一组本原勾股数．当m+n＝7时，对应的本原勾股数中使a+b+c最小的一组为　（7，24，25）　 ；若a+b+c是一个完全平方数，则这样的本原勾股数中，使a+b+c最小的一组为　（16，63，65）　 （按从小到大的顺序）．
【分析】①根据题意，可得m＝6，n＝1；m＝5，n＝2；m＝4，n＝3；然后依次求得三种情况中a，b，c，即可判断；②由题意，a+b+c＝2m2+2mn＝2m（m+n）．设a+b+c＝k2，（k为正整数），则2m（m+n）＝k2．先证明m+n与2 m互质．2 m为完全平方数，然后根据2m＝1，2m＝4，2m＝9，2m＝16四种情况，求得符合条件的a，b，c，即可得出答案．
【解答】解：①∵任意正整数m，n（其中m＞n），m+n＝7，
∴或，或，
∵a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2，
当m＝6，n＝1时，
∴a＝35，b＝12，c＝37，
∴a+b+c＝84；
当m＝5，n＝2时，
∴a＝21，b＝20，c＝29，
∴a+b+c＝70；
当m＝4，n＝3时，
∴a＝7，b＝24，c＝25，
∴a+b+c＝56；
∴a+b+c最小的一组为（7，24，25）；
②∵a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2，
∴a+b+c＝2m2+2mn＝2m（m+n）．
设a+b+c＝k2，（k为正整数），则2m（m+n）＝k2．
∵m与n互质，且一奇一偶，
∴m+n为奇数，且m与m+n互质，且m+n与2互质，
∴m+n与2 m互质．
∵2m（m+n）＝k2，且m+n与2 m互质，
∴m+n与2 m均为完全平方数，
需分情况：当2m＝1，则，
∵m为正整数，
∴不成立；
当2m＝4，则m＝2，
∵m＞n，
∴n＝1，此时m+n＝2+1＝3，
∵3不是完全平方数，
∴不成立；
当2m＝9，则，
∵m为正整数，
∴不成立；
当2m＝16，则m＝8，
∵m＞n，
∴n＝1，3，5，7，
当m＝8，n＝1时，此时m+n＝8+1＝9，符合题意，
∵a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2，
∴a＝63，b＝16，c＝65，
∴a+b+c＝144，
∵144是完全平方数，
∴成立；
当m＝8，n＝3时，此时m+n＝8+3＝11，
∵11不是完全平方数，
∴不成立；
当m＝8，n＝5时，此时m+n＝8+5＝13，
∵13不是完全平方数，
∴不成立；
当m＝8，n＝7时，此时m+n＝8+7＝15，
∵15不是完全平方数，
∴不成立．
综上所述，满足条件且a+b+c最小的本原勾股数为（16，63，65），
故答案为：．（7，24，25）；（16，63，65）．
二、解答题(本大题共3个小题，共30分)
24．(本小题满分8分)加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元，且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同．
（1）求甲、乙两种分类垃圾桶的单价；
（2）该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？
【分析】（1）甲分类垃圾桶的单价是x元，则乙分类垃圾桶的单价是（x+40）元，利用数量＝总价÷单价，结合用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同，列出分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买甲分类垃圾桶y个，则购买乙分类垃圾桶（20﹣y）个，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3600元，列出一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，再取其中的最小整数值即可．
【解答】解：（1）甲分类垃圾桶的单价是x元，则乙分类垃圾桶的单价是（x+40）元，
根据题意得，
解得x＝160，
经检验，x＝160是原方程的解，且符合题意，
∴x+40＝160+40＝200．
答：甲分类垃圾桶的单价是160元，乙分类垃圾桶的单价是200元；
（2）设购买甲分类垃圾桶y个，则购买乙分类垃圾桶（20﹣y）个，
依题意得：200（20﹣y）+160y≤3600，
解得：y≥10，
∵y为正整数，
∴y的最小值为10．
答：最少需要购买甲种分类垃圾桶10个．
25．(本小题满分10分)在 ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，点P为射线CD上的动点（点P不与点D重合），连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E．
（1）如图1，当点P为线段CD的中点时，请判断出PA，PE的数量关系，并证明；
（2）如图2，当点P在线段CD上时，求证：ADDP＝DE；
（3）点P在射线CD上运动，若AD＝3，AP＝5，求线段BE的长．
【分析】（1）连接BD，可知△BDC是等腰直角三角形，再证明△ADP≌△EBP（ASA），得PA＝PE；
（2）过点P作PF⊥CD交DE于点F，首先证明△ADP≌△EFP（ASA），得AD＝EF，再证明△DPF是等腰直角三角形，可得结论；
（3）分点P在线段CD和CD的延长线上两种情形，分别画出图形，利用△ADP≌△EFP（ASA），得AD＝EF，从而解决问题．
【解答】（1）解：连接BP，如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，
∵AD＝BD，
∴∠BDC＝∠C＝45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵点P为CD的中点，
∴DP＝BP，∠CPB＝90°，
∴∠ADP＝∠PBE＝135°，
∵PA⊥PE，
∴∠APE＝∠DPB＝90°，
∴∠APD＝∠BPE，
∴△ADP≌△EBP（ASA），
∴PA＝PE；
（2）证明：如图2，过点P作PF⊥CD交DE于点F，
∵PF⊥CD，EP⊥AP，
∴∠DPF＝∠APE＝90°，
∴∠DPA＝∠FPE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠DAB＝45°，AB∥CD，
又∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝∠C＝∠CDB＝45°，
∴∠ADB＝∠DBC＝90°，
∴∠PFD＝45°，
∴∠PFD＝∠PDF，
∴PD＝PF，
∴∠PDA＝∠PFE＝135°，
∴△ADP≌△EFP（ASA），
∴AD＝EF，
在Rt△FDP中，∠PDF＝45°，
∵cos∠PDF，
∴DF，
∵DE＝DF+EF，
∴DADP＝DE；
（3）解：当点P在线段CD上时，如图②，作AG⊥CD，交CD延长线于G，
则△ADG是等腰直角三角形，
∴AG＝DG＝3，
∴GP＝4，
∴PD＝1，
由（2）得，DADP＝DE；
∴3DE，
∴DE＝4，
∴BE＝DE﹣BD＝43，
当点P在CD的延长线上时，作AG⊥CD，交CD延长线于G，如图3，
同理可得△ADP≌△EFP（AAS），
∴AD＝EF，
∵PD＝PG+DG＝4+3＝7，
∴DFPD＝7，
∴BE＝BD+DF﹣EF＝DF＝7，
综上：BE的长为或7．
26．(本小题满分12分)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，求出点F的坐标；
（3）如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OMON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）求出抛物线的对称轴为直线x＝1，设对称轴l与x轴交于点G，过点E作ED⊥l于点D，证明△DFG≌△GBF，设F（1，m），进而得出E点的坐标，代入抛物线解析式，求得m的值，当E点与A点重合时，可得F（1，﹣3）或F（1，3）；
（3）设P（s，t），直线AP的解析式为 y＝dx+f，BP的解析式为 y＝gx+h，求得解析式，可得 OM，ON，即可求解．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），B（4，0），代入 y＝ax2+bx+4得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为yx2+x+4；
（2）∵点A（﹣2，0），B（4，0），
∴抛物线的对称轴为直线l：，
设直线l与x轴交于点G，过点E作 ED⊥l于点D，
当F在x轴上方时，如图：
∵以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，
∴EF＝BF，
∵∠DFE＝90°﹣∠BFG＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF＝90°，
∴△DFE≌△GBF（AAS），
∴GF＝DE，GB＝FD，
设F（1，m），则DE＝m，DG＝DF+FG＝GB+FG＝3+m，
∴E（1+m，3+m），
∵E点在抛物线yx2+x+4上，
∴，
解得：m＝﹣3（舍去）或m＝1，
∴F（1，1）；
当F在x轴下方时，如图：
同理可得△DFE≌△GBF（AAS），GF＝DE，GB＝FD，
设F（1，n），则E（1﹣n，n﹣3），
把E（1﹣n，n﹣3）代入yx2+x+4得：
n﹣3（1﹣n）2+（1﹣n）+4，
解得n＝3（舍去）或n＝﹣5，
∴F（1，﹣5）；
当E点与A点重合时，如图所示，
∵AB＝6，△ABF是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，
∴，
此时 F（1，﹣3），
由对称性可得，点F'（1，3）也满足条件，
综上所述，F（1，1）或（1，﹣5）或（1，﹣3）或（1，3）；
（3）OMON为定值6，理由如下：
设P（s，t），直线AP的解析式为 y＝dx+f，BP的解析式为 y＝gx+h，
∵点A（﹣2，0），B（4，0），P（s，t），
∴，，
解得：，，
∴直线AP的解析式为 ，BP的解析式为yx，
在中，令 x＝0 得，
∴，
在中，令x＝0得，
∴N（0，），
∵P（s，t） 在抛物线上，
∴ts2+s+4（s﹣4）（s+2），
∴OMON6，
∴OMON为定值6．中小学教育资源及组卷应用平台
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暨初中学业水平考试
数 学
A卷(共100分)
第Ⅰ卷(选择题，共32分)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求)
1．下列四个数中，最小的数是（　　）
A． B．0 C．1 D．π
2．科技改变生活，智慧点亮世界．如图1是一个多功能LED遥控学习护眼灯，图2是台灯的灯罩部分，其俯视图是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A．x2 x3＝x6 B．（x2y2）3＝x5y5
C．6xy2﹣2xy2＝4xy2 D．（x+1）2＝x2+1
4．在平面直角坐标系中，将点A（2，﹣3）向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到点A′，则点A′的坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣1） B．（5，﹣5） C．（﹣1，﹣5） D．（5，﹣1）
5．第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门三地共同举办．某校为了解学生对本届全运会游泳项目（蝶泳、仰泳、蛙泳）的知晓情况，随机调查了200名学生，其中对本届全运会新增游泳项目了解的学生有110名，则估计该校2400名学生中，对本届全运会新增游泳项目了解的学生有（　　）
A．880名 B．1100名 C．1210名 D．1320名
6．如图，在菱形ABCD中，E是BC上一点，且DE＝DC，连接BD，若∠C＝70°，则∠BDE的度数为（　　）
A．30° B．25° C．20° D．15°
7．中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：今有雀一只重一两九铢，燕一只重一两五铢．有雀燕二十五只，并重二斤一十三铢，问燕雀各几何？（注：古代质量单位中1斤＝16两，1两＝24铢），题目大意：1只雀重1两9铢，1只燕重1两5铢．雀和燕一共有25只，共重2斤13铢．燕、雀各有多少只？设有x只燕、有y只雀，则可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象与x轴的两个交点分别为A（﹣4，0），B．则下列说法正确的是（　　）
A．对称轴为直线x＝1
B．4a2﹣4ac＜0
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．8a+c＝0
第Ⅱ卷(非选择题，共68分)
二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)
9．1﹣4a2因式分解的结果是　 　 ．
10．关于x的分式方程的解为x＝﹣3，则m的值为　 　 ．
11．如图，在⊙O中，∠ABC＝45°，OA＝3，则的长为　 　 ．
12．遗传物质DNA的双螺旋结构由四种碱基A，T，C，G构成，某DNA片段序列为“AATCGT”，若从中随机选取一个碱基，则选取到碱基A的概率为　 　 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，分别以点A和C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若AE＝4，则AD的长为　 　 ．
三、解答题(本大题共5个小题，共48分)
14．(本小题满分12分，每题6分)计算与解不等式组
（1）；
（2）．
15．(本小题满分8分)某校在体育节期间开展了丰富多彩的体育活动，活动结束后，学校计划从初一（1）班、（2）班中评选出一个“体育节综合表现优秀班级”．以下是这两个班级的五项评比指标的得分统计图：请根据统计图信息，解答下列问题：
（1）初一（1）班在体育节中得分的极差为　 　 分；
（2）从平均数、中位数、众数中任选一个角度，试判断哪个班的表现更好？
（3）若学校将“开幕式表演”“团体操表现”“田径项目成绩”“精神文明”“观众参与度”这五项得分按2：2：4：1：1的比例确定各班的综合成绩，请你通过计算判断应评选哪个班为“体育节综合表现优秀班级”．
16．(本小题满分8分)如图1是一款教学设备的实物图，如图2是该款设备放置在水平桌面上的平面示意图，该教学设备是由底座PQ、支撑臂AB、连杆BC、悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．已知支撑臂AB与底座PQ的夹角α＝60°，AB＝20cm，底座高为3cm，连杆BC∥PQ，水平桌面MN∥PQ，连杆BC与悬臂CD的夹角β＝110°，CD＝8cm，求点D到水平桌面MN的距离DE．（结果精确到1cm，参考数据：
17．(本小题满分10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，OA为⊙O的半径，连接BO并延长交AC于点D．过点A作⊙O的切线，交BD的延长线于点E，且∠AOE＝∠BAC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若，求AB及AE的长．
18．(本小题满分10分)如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，且．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图2，当x＞0时，点C，D在反比例函数的图象上（点C在点D左侧），且CD⊥射线OA，若，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，作BC∥OA，点N为直线BC上一点，点M在反比例函数在第一象限内的图象上，当△AMN为等腰直角三角形时，求点M的坐标．
B卷(共 50分)
一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)
19．已知，则代数式的值为　 　 ．
20．已知一元二次方程a2﹣2a﹣8＝0的两根之和为m，两根之积为n，若点（m，n）在正比例函数y＝kx的图象上，则k的值为　 　 ．
21．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AF，BF，若⊙O的半径为2，则△ABF的面积为　 　 ．
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，P是边AB上一动点（不与点A，B重合），先将矩形沿着DP折叠，点A的对应点为A′，再将矩形折叠，使点B的对应点B′恰好落在PA′所在的直线上，折痕为PE，E为BC边上一点．若PD＝PE，则PB的长为　 　 ；当BE取得最大值时，则PB的长为　 　 ．
23．把满足勾股定理a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c称为勾股数．若a，b，c两两互质（除1以外，没有其他公约数），则称为本原勾股数．对于任意正整数m，n（其中m＞n，且m，n一奇一偶、互质），则a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2构成一组本原勾股数．如：m＝2，n＝1时，对应的本原勾股数为a＝22﹣12＝3，b＝2×2×1＝4，c＝22+12＝5，则（3，4，5）为一组本原勾股数．当m+n＝7时，对应的本原勾股数中使a+b+c最小的一组为　 　 ；若a+b+c是一个完全平方数，则这样的本原勾股数中，使a+b+c最小的一组为　 　 （按从小到大的顺序）．
二、解答题(本大题共3个小题，共30分)
24． (本小题满分8分)
加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元，且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同．
（1）求甲、乙两种分类垃圾桶的单价；
（2）该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？
25．(本小题满分10分)在 ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，点P为射线CD上的动点（点P不与点D重合），连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E．
（1）如图1，当点P为线段CD的中点时，请判断出PA，PE的数量关系，并证明；
（2）如图2，当点P在线段CD上时，求证：ADDP＝DE；
（3）点P在射线CD上运动，若AD＝3，AP＝5，求线段BE的长．
26．(本小题满分12分)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，求出点F的坐标；
（3）如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OMON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

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