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浙江县域联盟2026届高三第二学期模拟预测数学试题
一、单选题
1．若复数，则（ ）
A．i B．－i C． D．
2．以为渐近线的双曲线的方程可以是（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆锥的侧面积是底面积的倍，且圆锥的底面半径为，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．若，则（ ）
A． B． C．12 D．192
6．设数列的前n项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．直线与曲线的交点个数为（ ）
A． B． C． D．
8．设O为坐标原点，动点A，B分别在圆和曲线上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
10．在等腰直角中，D是边AC的中点，E为斜边BC上的动点，则的可能值为（ ）
A． B．3 C． D．
11．已知a，x，，，，则（ ）
A．当时， B．存在实数a，使得
C．对任意，都有 D．当时，
三、填空题
12．设曲线在点处的切线方程为，则___________.
13．已知，，则______.
14．如图，粒子在四个容器中移动，当在容器时，每隔一小时等可能地移动到相邻容器中；当在容器时，粒子停止移动．当前时刻，在容器中，设小时后，停止移动，则______，______．
四、解答题
15．已知数列满足，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若数列满足，求数列的前n项和.
16．为研究运动习惯对疾病N的预防效果，研究所通过统计，得到如下列联表：
运动习惯 疾病N 合计
未患病 患病
无运动习惯 85 65 150
有运动习惯 105 45 150
合计 190 110 300
(1)依据小概率值的独立性检验，分析运动习惯是否与患该疾病有关.
(2)从300人中任选一人，A表示“选到的人有运动习惯”，B表示“选到的人患有疾病N”．《流行病学》中常用来研究某习惯导致的患病率，称为人群归因风险，请利用样本数据，估计PAR的值，并解释其现实意义.
附，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
17．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，．
(1)求四棱锥的体积；
(2)设点为过P，A，C，D这四个点的外接球的球心，求异面直线BC与OD所成角的余弦值；
(3)设点M是底面ABCD的一点，且平面ABP与平面MBP的夹角为，求线段AM的最小值.
18．已知函数，， ．
(1)求证：函数的图像是轴对称图形；
(2)当 时，求函数的最大值；
(3)若函数有两个单调区间，求实数a的取值范围．
19．已知椭圆C：，、为C的左右顶点，、为C的上下顶点，P为C上除顶点外一点，且直线、斜率乘积为．
(1)求C的标准方程；
(2)设Q为C上满足的一点，直线与交于H.
（i）求证：；
（ii）设和分别为和的面积，求的取值范围．
参考答案
1．C
2．B
3．C
4．B
5．D
6．D
7．A
8．D
9．AC
10．ACD
11．ABD
12．1
13．
14． /0.25
15．（1）由题意：，
所以数列是以为首项，公差为1的等差数列.
（2）由（1）知：，所以，
所以，
，
记数列的前n项和为，
当时，；
当时，；
综上所述：.
16．（1）零假设为：运动习惯与患病之间无关，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为有运动习惯与是否患病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2），
如果所有人都有运动习惯，总人群患疾病N的概率会下降
17．（1）因为，，
所以四棱锥的底面为直角梯形，
又因为平面ABCD，
所以四棱锥的体积为：.
（2）因为平面ABCD，，
所以可将三棱锥补成长方体，则过四点的外接球即为长方体的外接球，
所以为长方体体对角线的中点，
以为原点，建立如图空间直角坐标系，则
，，，，，
所以，
设异面直线BC与OD所成角为，
所以.
所以异面直线BC与OD所成角的余弦值为.
（3）设，则，，
由题意平面ABP的法向量，
设平面MBP的法向量为，
所以，
令，则，，
所以，
因为平面ABP与平面MBP的夹角为，
所以，
整理得，
所以，
所以当时，，
所以．
18．（1）由题意：，
所以函数是偶函数，
所以函数关于y轴对称，函数的图像是轴对称图形．
（2）当 时，，由于是偶函数，所以只需考虑在区间上的最大值，
又 ， ，
设，则
，
所以在区间上单调递减，当时， ，
所以在单调递减，由是偶函数，所以在单调递增，
所以 ．
（3）类似（2）可知： ，
当 时， ，所以在区间单调递减，
当时， ，所以在单调递减，由是偶函数，
所以在单调递增；
另一方面，当 时，设 ，，，
，所以在单调递增，由复合函数的单调性可知，在单调递减， ，当，时， ，
所以存在，使得 ，此时在单调递增，在单调递减，
且 ， ，当，时， ，
所以存在，使得 ，此时在单调递增，在单调递减，
由于是偶函数，所以在有四个不同的单调区间，不满足题意，
综上所述，实数a的取值范围是 .
19．（1）设，则
又，所以，即，
故椭圆C的标准方程为；
（2）（ⅰ）方法1：设斜率为k，则直线的方程为，代入，
化简得，得，，
设直线方程为代入，化简得，，
则，
则，
所以得证；
方法2：设，，则，
化简得，代入半角公式得
，
化简得，则，，
则，
则，，
，
所以得证；
（ii）方法1：（代数）
由（ⅰ）得，则，
则得，
因为，
则
设，则，
则，化简得，
化简得，
可见，H的轨迹为椭圆.
当H接近时，即P接近时，接近0，
又直线为，则H到直线的距离为，
则
当，时取得等号，所以，
则
方法2：（几何）
因为Q在椭圆上，则，又，
则，则，则，
又平行，则
则
又，且则

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