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2026年山东省中考数学模拟试卷（五）
一、选择题：(每题3分，共10题，总分30分）
1．6的相反数的倒数是（　　）
A． B． C．﹣6 D．6
2．下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知光速为300 000 000米/秒，则这个速度用科学记数法表示为（　　）
A．0.3×109 B．3×108 C．30×107 D．0.03×1010
4．下列计算正确的是（　　）
A．a2+a4＝a6 B．a3 a3＝a6 C．（a2）3＝a5 D．（a+b）2＝a2+b2
5．劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家做一些力所能及的家务劳动，李老师为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机调查了本班20名学生，收集到如下数据：
时间/h 6 5 4 3 2
人数/名 2 6 4 6 2
关于家务劳动时间的描述正确的是（　　）
A．众数是6 B．平均数是4 C．中位数是3 D．方差是1
6．某班准备购买篮球和足球作为期末奖品．据了解，8个篮球和10个足球的进价共计2000元；10个篮球和20个足球的进价共计3100元．该班恰好用4500元购进篮球和足球（两种均购买），该班共有（　　）种采购方案
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，正方形ABCD内接于⊙O．点E为上一点，连接BE、CE，若∠CBE＝15°，BE＝3，则BC的长为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点MN之间的距离最短为（　　）
A．2 B． C．4 D．
9．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F、G为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D：分别以点B、D为圆心，大于上的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交AB于点E，连接DE．则下列结论不正确的是（　　）
A． B．BC＝AE
C．∠AED＝∠ABC D．当AC＝2时，
第7题图 第8题图 第9题图
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点C在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），抛物线的顶点为D，对称轴为直线x＝2．有以下结论：
①abc＞0；
②若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
③a；
④△ADB可以是等腰直角三角形．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：(每题3分，共5题，总分15分）
11．分解因式：mx2﹣4my2＝　 　 ．
12．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0，则a的值为　 　 ．
13．如图所示，扇形AOB的圆心角是直角，半径为，C为OA边上一点，将△BOC沿BC边折叠，圆心O恰好落在弧AB上的点D处，则阴影部分的面积为 　 　 ．
第13题图
14．如图，矩形ABCD的边AB平行于x轴，反比例函数y（x＞0）的图象经过点B，D，对角线CA的延长线经过原点O，且AC＝AO，若矩形ABCD的面积是8，k＝　 　 ．
15．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是　 　 ．
第14题 第15题
三、解答题：(共8题，总分75分）
16．（8分）计算与化简：
（1）；
（2），其中a＝﹣3．
17．（8分）2025年1月8日第二十届中央纪委四次全会在北京胜利闭幕．某校为了了解七、八年级学生对的“四次全会”精神的认知程度，现从这两个年级（各800名学生）中各随机抽取m名学生进行有关知识测试，若将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）：
A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x≤100．并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：
七年级测试成绩频数分布直方图八年级测试成绩扇形统计图
已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：
86，85，87，86，85，89，88．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）m＝　 　 ，a＝　 　 ，八年级测试成绩的中位数是　 　 ．
（2）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对党的“四次全会”精神认知程度高．请估计该校七、八两个年级对党的“四次全会”精神认知程度高的学生一共有多少人．
（3）甲、乙、丙、丁为七年级测试成绩在90分以上的四名同学，如果从这四名同学中随机选取两名作为社区宣讲员，恰好选中甲和丙的概率为多少？
18．（8分）小明在学习完生物学中的《细菌》一节课后得知：“冰箱里低温的环境让细菌长不动，繁殖慢，代谢停”，但是妈妈告诉他，冰箱里的低温环境只能延缓食物变质的速度，食物在冰箱中放置若干天后一样会变质不能食用，小明想进一步了解食物在冰箱中的情况，于是他在家中做了一个实验：小明将新鲜的蔬菜置于冰箱冷藏室4℃的环境中，逐天统计蔬菜上的菌落总数，得到的数据记录如下：
实验天数x/天 1 2 3 4 …
菌落总数：y/（cfu g﹣1） 20 25 30 35 …
（1）如图，建立平面直角坐标系，横轴表示试验天数x（天），纵轴表示菌落总数y（cfu g﹣1），将整理好的数据在平面直角坐标系中描点、连线．观察上述各点的分布规律，请判断菌落总数y是试验天数x的　 　 函数（一次、反比例、二次）；
（2）求出菌落总数y与试验天数x之间的函数关系式；
（3）小明查阅资料发现，当蔬菜上的菌落总数达到50cfu g﹣1时就不能食用，请通过计算说明第几天后冰箱里的蔬菜变质了．
19．（10分）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度AB为21m，倾斜角为40°，右边滑梯的高度DF为11m，倾斜角为32°，支架AC，NF都与地面垂直，AN，MD都与地面平行，两支架之间的距离CF为3m（点B，C，F，E在同一条直线上）
（1）求两滑梯的高度差；
（2）两滑梯的底端分别为B，E，求BE的长．（结果精确到0.01m．参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839）
20．（10分）活动小组自制了一个“不倒翁”，图1是“不倒翁”稳定直立在桌面MN上的简易截面图，其主要结构如下：AB为连接不倒翁最顶端和最底端的中心支架，点E，F是底部半圆O上的两点，连接OE，OF，连接EF交AB于点K，且 EK＝FK，在EF与半圆O所围成的弓形部分填充固定重物．已知AB＝27cm，CD为半圆O的直径，CD＝18cm．
（1）若EF＝9cm．
①求填充物部分（弓形）的深度BK及的长；
②如图2，当支架AB摆动到使点E落在桌面MN上时，求支架顶端点A到桌面MN的距离；
（2）小组经过实验发现当9cm＜EF＜13cm时，不倒翁的摇摆效果最佳．现小组决定增加填充物提升EF的位置，使EF＝12cm，并摆动支架AB，仍使点E落在桌面MN上，直接写出此时点F比②中点F的位置升高的距离．
21．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，分别连接CO，BC，⊙O的切线AD与BC的延长线交于点D，E是AD的中点，连接CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若，BC＝6，求四边形AOCE的面积．
22．（11分）已知，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣3a+1（a＜0）与y轴交于点A，过点A作AB∥x轴，与抛物线交于点B．
（1）若抛物线经过点（﹣1，0）；
①点B的坐标为　 　 ；
②当t﹣1≤x≤t时，抛物线取得最大值为，求t的值；
（2）若点E（m+1，y1），F（m﹣1，y2）在抛物线上，且y1＜y2，求m的取值范围；
（3）已知，点G（1，3），H（3，3），若抛物线与线段GH有且只有一个交点（不含端点G、H），请直接写出a的取值范围．
23．（11分）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
（1）问题背景
如图1，正方形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点A′处，当∠BEF＝25°时，∠FEA′＝　 　 ；
如图2，连接DF，当点A′恰好落在DF上时，其他条件不变，则　 　 ；
（2）探究迁移
如图3，在（1）的条件下，若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且AD＝mAB，其他条件不变，请写出AE与A′F之间的数量关系式（用含m的式子表示），并说明理由；
（3）拓展应用
如图4，在（1）的条件下，若把正方形ABCD改成菱形ABCD，且∠B＝60°，∠DEF＝120°，其他条件不变，当时，请直接写出A′F的长．
参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1.【答案】A 6的相反数是-6，-6的倒数是-1/6。
2.【答案】C轴对称图形但不是中心对称图形的常见图案有：等边三角形、等腰三角形、五角星、正五边形等。判断方法：沿某条直线对折后能重合的是轴对称图形；绕中心旋转180度后能与自身重合的是中心对称图形。
3.【答案】B300000000 = 3×10^8。科学记数法表示为 a×10^n，其中1≤a<10，n为整数。
4.【答案】B A. a^2与a^4不是同类项，不能合并；B. a^3·a^3=a^(3+3)=a^6，正确；C. (a^2)^3=a^6≠a^5；D. (a+b)^2=a^2+2ab+b^2≠a^2+b^2。
5.【答案】B数据：6h(2人)、5h(6人)、4h(4人)、3h(6人)、2h(2人)。平均数=(6×2+5×6+4×4+3×6+2×2)/20=(12+30+16+18+4)/20=80/20=4。众数是5和3（各6人）；中位数排序后第10、11位均为4；方差需计算。
6.【答案】B设篮球x元，足球y元。8x+10y=2000，10x+20y=3100。解得x=150，y=80。设买a个篮球，b个足球：150a+80b=4500，即15a+8b=450。a=(450-8b)/15>0，b>0。需450-8b被15整除，即8b被15整除，b为15的倍数。b=15,a=22；b=30,a=14；b=45,a=6。共3种方案。
7.【答案】D正方形ABCD内接于圆O，弧BC=90度。∠CBE=15度为圆周角，对弧CE=30度。圆心角∠BOC=90度，设半径R，则正方形边长BC=R√2。弦BE=3对应圆心角为120度或60度（取决于E在弧BC上还是弧CD上），BE=2Rsin(θ/2)。若圆心角120度：3=2Rsin60°=R√3，R=√3，BC=√6；若圆心角60度：3=2Rsin30°=R，R=3，BC=3√2。结合选项判断。
8.【答案】B菱形APCD中∠DAP=60度，则△APD为等边三角形。设AP=a，则菱形边长均为a。M为AC中点，N为BE中点。建立坐标系，设P在原点，A在x轴负方向。利用坐标法求M、N坐标，再求MN距离表达式，用二次函数或均值不等式求最小值。
9.【答案】A△ABC中AB=2AC，∠A=36度。BD为∠ABC的平分线（尺规作图），MN为BD的垂直平分线。利用三角形内角和、等腰三角形性质判断各结论。选项涉及AE=ED、BC=AE、角相等、线段比例等。
10.【答案】B对称轴x=2，A(-1,0)，由对称性B(5,0)。由图象开口向下知a<0。①abc>0需判断b、c符号：b=-4a>0，c在2和3之间>0，所以abc<0，①错。②比较两点到对称轴距离判断y值大小。③由c的范围和过A点条件确定a的范围。④判断△ADB是否可为等腰直角三角形。
二、填空题（每题3分，共15分）
11.【答案】m(x+2y)(x-2y)，先提公因式m，再用平方差公式。
12.【答案】a=0将x=0代入方程：(a+1)·0-0+a^2+a=0，得a^2+a=0，a(a+1)=0。a=0或a=-1。当a=-1时方程变为-2x=0，不是一元二次方程，舍去。故a=0。
13.【答案】扇形AOB圆心角90度，半径为r。折叠后圆心O落在弧AB上的D处，则BC=BD=BO=r（折叠对称性），△BCD≌△BCO。D在弧AB上，OD=r。阴影面积=扇形面积-△BOC面积-弓形面积，或利用割补法转化为规则图形面积差。
14.【答案】k=16矩形ABCD边AB平行x轴，反比例函数y=k/x过B、D两点。对角线CA延长线过原点O，且AC=AO。设B(m,k/m)，则D(n,k/n)。由矩形性质和中点公式，结合AC=AO条件，利用相似三角形或坐标法求解。设C在CA延长线上使AC=AO，则A为OC中点。利用矩形对角线互相平分性质得k=16。
15.【答案】√7 - 1菱形ABCD边长2，∠A=60度，M为AD中点，AM=1。N为AB上动点，将△AMN沿MN翻折得△A'MN，则A'M=AM=1，A'在以M为圆心、1为半径的圆上。求A'C的最小值即求C到圆M的最短距离。连接MC，MC长度固定，A'C最小值=MC-1。在△MCD中用余弦定理求MC。
三、解答题（共75分）
16.（8分）计算与化简
(1)计算：(-3)^0 + (1/2)^(-1) + |-5| + 2sin45° - √8
= 1 + 2 + 5 + 2×(√2/2) - 2√2
= 1 + 2 + 5 + √2 - 2√2
= 8 - √2
(2)化简：,
17.（8分）统计应用题
(1)m=20,a=4,中位数86.5
由八年级D组数据共7个，结合扇形统计图D组所占比例求m。D组7人占一定比例，由扇形图可得。设D组占比为p，则m=7/p。结合其他组数据可得m=20，a=25%。八年级共20人，排序后第10、11位的平均数为中位数。
(2)440人
估计认知程度高的学生人数
七年级不低于90分的学生比例 = (E组人数+F组人数)/m
八年级不低于90分的学生比例 = (E组百分比+F组百分比)
总人数 = 800×七年级比例 + 800×八年级比例
(3)
求恰好选中甲和丙的概率
从甲、乙、丙、丁4人中选2人，所有可能情况：
甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6种。
恰好选中甲和丙的概率 = 1/6
18.（8分）函数应用题（菌落增长）
(1)判断函数类型
描点：(1,20)、(2,25)、(3,30)、(4,35)...
观察规律：x每增加1，y增加5，即y是x的一次函数。
答案：一次函数
(2)求函数关系式
设y=kx+b，将(1,20)、(2,25)代入：
k+b=20，2k+b=25
解得k=5，b=15
函数关系式：y=5x+15
(3)判断第几天后蔬菜变质
当y=50时：5x+15=50
5x=35，x=7
答：第7天后蔬菜上的菌落总数达到50cfu·g^(-1)，第7天后蔬菜变质。
19.（10分）解直角三角形应用（水滑梯）
(1)求两滑梯的高度差
左边滑梯AB=21m，倾斜角40°，高度AC=AB×sin40°=21×0.643≈13.503m
右边滑梯DF=11m（已知高度）
高度差 = 13.503 - 11 = 2.503 ≈ 2.50m
(2)求BE的长度
左边滑梯水平距离BC=AB×cos40°=21×0.766≈16.086m
右边滑梯水平距离FE=DF/tan32°=11/0.625=17.6m（或用cos：FE=DF/tan32°）
注意：CF=3m为两支架间距离
BE = BC + CF + FE = 16.086 + 3 + 17.6 ≈ 36.69m
或重新分析几何关系：BE = BC + CF - FE 或 BC - CF + FE，需根据图形具体位置确定。
结合参考数据精确计算：BE≈36.69m 或约36.70m
20.（10分）圆的综合应用（不倒翁）
解：①，
，
，为半圆的直径，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的长度；
②如图所示，延长交桌面于点，过点作于点，
是等边三角形，，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
当时，
如图所示，过点作于点，作于点，
，，
，四边形是矩形，
，
，则，
当时，点到的距离为，当时，
如图所示，
同理，四边形是矩形，
，
，
，即，
，
，
，
此时点比②中点的位置升高的距离为
21（9分）.解:（1）证明:如图所示，连接AC.
∵AD是⊙O的切线，
∴∠BAD＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴ACD＝90°.
∵点E是AD的中点，
∴，
∴∠ECA＝∠CAD.
∵OA＝OC,
∴∠OAC＝∠OCA,
∴∠OCA+∠ECA＝∠OAC+∠CAD＝90°, ∴OC⊥CE.
∵OC为⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线.
（2）∵AD是⊙O的切线，
∴∠BAD＝90°，
∴∠D+∠B＝90°.
由（1），得∠ACB＝∠ACD＝90°， ∴∠BAC+∠B＝90°，
∴∠BAC＝∠D,
∴tanD＝tan∠, ∴,
∴AC2+BC2）82+62）＝10， ∴BO＝OA＝OC＝5.
∵∠BAD＝90°,, ∴
∵AE＝ED,BO＝OA,
∴S△ACE＝S△△ACD，S△AOC＝S△S（△ACB），
∴S四边形AOCE＝S△ACE+S△△△ABC
22.（11分）二次函数综合
解：（1）把（-1，0）代入y=ax2-3ax-3a+1得a+3a-3a+1=0，解得a=-1，∴y=-x2+3x+4，
①在y=-x2+3x+4中，令x=0得y=4，∴A（0，4），在y=-x2+3x+4中，令y=4得4=-x2+3x+4，解得x=0或x=3，∴B（3，4）；故答案为：（3，4）；
②∵y=-x2+3x+4=-（x-）2+，
∴抛物线y=-x2+3x+4的对称轴为直线x=，最大值为，
当时，y随x的增大而增大，∴x=t时，y=-x2+3x+4取最大值，∴，解得t=（舍去）或t=，当且t-1，即时，y=-x2+3x+4的最大值为，与抛物线取得最大值不符合；当t-1＞，即t＞时，y随x增大而减小，∴x=t-1时，y=-x2+3x+4取最大值，∴，解得t=或t=（舍去），综上所述，t的值为或；
（2）∵点，，，在抛物线y=ax2-3ax-3a+1上，
∴，，
∵＜，∴＜，∴2am＜3a，∵a＜0，∴m＞，
（3）∵抛物线y=ax2-3ax-3a+1=a(x-）2+
∴抛物线对称轴为x=，顶点为(，，
∵点G（1，3），H（3，3），若抛物线与线段GH有且只有一个交点，分以下两种情况讨论：
I．当抛物线y=ax2-3ax-3a+1的顶点(，在线段GH上时，
即：，解得：；
II．当抛物线顶点落在GH上方时，
当x=1时，y=a-3a-3a+1=-5a+1，当x=3时，y=9a-9a-3a+1=-3a+1，
∵a＜0，对称轴为x=，∴-5a+1＞-3a+1，
∵抛物线y=ax2-3ax-3a+1与线段GH有且只有一个交点（不含端点G、H），
∴与线段GH有且只有一个交点，一定在对称轴右侧，
∴，解得：，
23. （11分）解：
理由如下：由翻折，得，，∵，∴∵，，∴∵，，∴≌，∴，∴∵，，∴，∴∵，∴∽，∴∵，∴；【解析】过作，交延长线于，作的平分线，交于，如图，∵，，，，又，∽，
，，∽，， ，，△，，，设
四边形为菱形，，，，，，，由勾股定理可得：，，解得：负值舍去)，即的长为

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