资源简介

广东深圳外国语学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A．4 B． C． D．
2．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知、、是三条不重合的直线，、、是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，则
4．如图，在三棱柱中，侧棱底面,是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（ ）
A．与是异面直线 B．平面
C． D．平面
5．已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积和体积为（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
7．记半径为R的球体的表面积和体积分别为和，记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知中，是边上靠近B的三等分点，Q为的中点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值为
二、多选题
9．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．复数的虚部为
C．若对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为
D．若复数是关于的方程的一个根，则
10．如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（ ）
A．三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化．
B．无论点N在何处，始终有平面成立．
C．直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为．
D．平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形．
11．已知点是内及边界上的一点，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则动点的轨迹一定通过的垂心.
B．若是的外心，且，则
C．若O为的内心，，则.
D．若，，分别为，，的中点，且，，则的最大值为.
三、填空题
12．如图：已知菱形，用斜二测画法作出菱形的直观图，即四边形，则四边形的面积为______.
13．已知角满足，则________．
14．在中，，，则实数的最小值为____________．
四、解答题
15．在中，角的对边分别为．已知，，．
(1)求角A和边c的值；
(2)求的值.
16．已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点.
(1)求证： 平面；
(2)求证：平面.
(3)求三棱锥的体积.
17．已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C、D为图象与x轴的交点，且为等腰直角三角形.
(1)求的解析式，及为偶函数时的最小正实数m；
(2)求的值.
18．如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，平面平面，且，.
(1)若平面与平面相交于直线，求证：；
(2)求与所成的角；
(3)求二面角的余弦值．
19．如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．
(1)在仿射坐标系中，若，求；
(2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；
(3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值．
参考答案
1．D
2．C
3．D
4．C
5．D
6．C
7．D
8．D
9．ACD
10．BCD
11．BD
12．
13．
14．/
15．（1）已知，由正弦定理，
得，显然，
得，由，
故；
由（1）知，且，，
由余弦定理，
则，
解得（舍去），
故；
（2）由正弦定理，且，
得，且，则为锐角，
故，故．
16．（1）如图，
连接，，
四边形为矩形，为的中点，
与交于点，且为的中点，
又点为的中点，，
又平面，且平面，
平面.
（2）直三棱柱满足，，
又点为的中点，且面，面，
所以，，
又，面，
平面.
（3）由图可知，
，，，
又三棱柱为直三棱柱，且，
.
，，点为的中点，
所以.
由（2）可知平面.
所以点到平面的距离为，
又点为的中点，
所以点到平面的距离为，
.
17．（1）∵，
∴
，
由为等腰直角三角形知，，所以，
得.
因为为偶函数，
所以，得，
所以最小正实数为.
（2）令，则，，即，，
取：，即，所以.
令，且在左侧，则，解得：，故，
且在右侧，周期，所以，即.
所以，
所以.
18．（1）因为，平面，平面，所以平面，
因为平面，平面平面，故.
（2）过点在平面内作，垂足为点，如图所示：
因为平面平面，平面平面，平面，
，故平面，
因为平面，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，故与所成的角为或其补角，
又因为，则为等腰直角三角形，则，
即与所成的角为.
（3）取的中点，连接，
因为，，，故，
所以，四边形为平行四边形，所以，，
由平面，平面，则，
而，平面，于是平面，
又平面，则，过作于，连接，
显然，、平面，因此平面，
而平面，则，即是二面角的平面角，
由，，得，
则，，，
所以二面角的余弦值是.
19．(1)1
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知，、的夹角为，
由平面向量数量积的定义可得，
因为，则，
则，
所以.
（2）由，，得，，
且，
所以，，
则，
，
因为与的夹角为，所以，解得.
又，，所以；
所以
（3）依题意，设、（，），且，，，
因为为的中点，则
，
因为为中点，同理可得，
所以
，
由题意知，，
则，
在中，依据余弦定理得，所以，
代入上式得，.
在中，由正弦定理得，
设，则，且，
所以，，
，
为锐角，且，
因为，则，
故当时，取最大值，
则.

展开更多......

收起↑